2.1.2 两条直线平行和垂直的判定课件(共28张PPT)-2022-2023学年高二上学期数学人教A版（2019）选择性必修第一册

(共28张PPT)
2.1.2 两条直线平行和垂直的判定
知识回顾
直线
倾斜角
斜率
点坐标
方向向量
代数问题
几何问题
数形结合
化归转化
知识回顾
问题1：我们知道，在平面几何中的两条直线有两种位置关系：相交、平行，用两条直线不相交来定义平行,你还记得平行线的性质定理和判定定理吗？
同位角相等
两直线平行
内错角相等
两直线平行
同旁内角互补
两直线平行
探究新知
问题2：当两条直线与平行时，它们的斜率满足什么关系？
若没有特别说明，说“两条直线”是指两条不重合的直线.
探究新知
问题2：当两条直线与平行时，它们的斜率满足什么关系？
若，则
形
数
探究新知
问题3：当两条直线与斜率相等时，这两条直线平行吗？
形
数
若则
探究新知
形
数
探究新知
问题3：若直线斜率为,它的一个方向向量为当两条直线与平行时，它们的方向向量满足什么关系？它们的斜率又满足什么关系呢？
设两条直线的斜率分别为，则直线的方向向量分别是 ，于是
1×k1 1×k2=0
k1=k2.
探究新知
于是，对于斜率分别为k1，k2的两条直线l1，l2，有

形
数
问题4：当两条直线与的斜率不存在时，两直线平行吗？
显然，当时，直线的斜率不存在，此时．
探究新知
问题5：若直线，它们的斜率满足什么关系？
如图证明三点共线你有什么方法？
三点共线
用斜率证明三点共线时，常常用到这个结论。
知识应用
例2 已知A(2，3)，B(4，0)，P(3，1)，Q(1，2)，试判断直线AB与PQ的位置关系，并证明你的结论.
分析：1.画出两条直线；
2.猜想两条直线的位置关系；
3.判断两条直线斜率是否存在；
4.判断斜率是否相等.
知识应用
例2 已知A(2，3)，B(4，0)，P(3，1)，Q(1，2)，试判断直线AB与PQ的位置关系，并证明你的结论.
知识应用
例3 已知四边形ABCD 的四个顶点分别为A(0，0)，B(2，1)，C(4，2)，D(2，3),试判断四边形ABCD 的形状，并给出证明.
分析：1.画出四边形ABCD ；
2. 猜想四边形形状；
3.证明平行四边形.
例3 已知四边形ABCD 的四个顶点分别为A(0，0)，B(2，1)，C(4，2)，D(2，3),试判断四边形ABCD 的形状，并给出证明.
如图，由已知可得
AB边所在直线的斜率，
CD边所在直线的斜率
BC边所在直线的斜率
DA边所在直线的斜率·
因为=， =，
所以ABCD，BCDA.
因此四边形ABCD是平行四边形.
知识应用
探究新知
问题6：平面中两条直线不平行时肯定相交，在斜率存在的前提下，当两条直线的斜率不相等时，两条直线相交，反之，两条直线相交，这两条直线的斜率不相等。在相交的位置关系中，垂直是最特殊的情形，当直线与垂直时，它们的斜率除了不相等外，是否还有特殊的数量关系？类比前面的研究进行讨论.

探究新知
设两条直线的斜率分别为，则直线的方向向量分别是 ，于是当两条直线与垂直时，它们的斜率满足什么关系？
l1⊥l2 a⊥b
a·b=0
1×1+k1k2=0
k1k2=–1.
l1⊥l2 k1k2=–1.
还有什么方法？
探究新知
l1⊥l2 α2= α1+90o，
k2=tanα2=tan(α1+90o)
k1=tanα1.
l1⊥l2 k1k2= –1.
= = = ，
探究新知
问题7：当直线倾斜角为时，若l1⊥l2，则直线l2的倾斜角为？
当直线l1或l2的倾斜角为时，若l1l2，则另一条直线的倾斜角为;反之亦然.
探究新知
由上我们得到，如果两条直线都有斜率，且它们互相垂直，那么它们的斜率之积等于1;反之，如果两条直线的斜率之积等于1，那么它们互相垂直.
即l1l2=1
知识应用
例4 已知，试判断直线与的位置关系.
解:直线 AB的斜率
直线PQ的斜率
因为=，
所以直线ABPQ.
知识应用
例5 已知A(5， 1)，B(1，1)，C(2，3)三点，试判断△ABC的形状.
分析:如图，猜想 AB⊥BC，ΔABC是直角三角形.
解:边AB所在直线的斜率=，
边BC所在直线的斜率=2.
由=1，
得ABBC，即ABC=90°.
所以△ABC是直角三角形.
当堂检测
1.判断下列各对直线是否平行或垂直:
(1)经过A(2，3)，B(1，0)两点的直线，与经过点P(1，0)且斜率为1的直线;
(2)经过C(3，1)，D(2,0)两点的直线，与经过点M(1，4)且斜率为5的直线.
解析：(1)直线的斜率，直线的斜率，
，.
(2)直线的斜率，直线的斜率，
，
当堂检测
2.试确定m的值，使过A(m，1)，B(1，m)两点的直线与过P(1，2)，Q(5，0)两点的直线:
(1)平行; (2)垂直.
解析:，.
(1)若，则，即，解得
(2)若，则，即，解得.
当堂检测
3.已知平行四边形ABCD 的三个顶点分别为A(0，0)，B(2，1)，C(4，2)，求点D的坐标.
解：设
因为，所以即 ①
因为，所以即 ②
由① ②得
所以
当堂检测
4.已知△ABC的顶点为A(5，－1)，B(1,1)，C(2，m)，若△ABC为直角三角形，求m的值.
解:若∠A为直角，则AC⊥AB，∴kAC·kAB＝－1，即解得
若∠B为直角，则AB⊥BC，∴kAB·kBC＝－1，
即解得
若∠C为直角，则AC⊥BC，∴kAC·kBC＝－1，
即解得
综上所述，m＝－7或m＝3或m＝±2.
几何问题
代数问题
l1⊥l2 k1k2=–1.
l1∥l2 k1=k2；
代数方法
几何对象的性质
代数问题的解
坐标系
解释
思考：通过本节课的学习，你在知识和方法上有哪些体会或收获？
1. 若两条直线l1，l2的斜率分别为k1，k2，则
2. 利用代数方法研究几何问题是解析几何的基本方法.
课堂小结
当堂检测
4.已知点A(5，–1)，C(2，3) ，点B在x轴上，且∠ABC为直角，求点B的坐标．
解：设B(x，0)，
则kAB= = ， kBC= = .
当x 2且x 5时，kAB kBC = × –1.
整理，得x2 7x+7=0.解得x=或.
当x=2或x=5时， ∠ABC均不为直角.
综上，点B的坐标为(，0)
或(，0).