江苏省南京市、盐城市2022-2023学年高三下学期2月开学摸底考试 数学 Word版含答案

2022～2023学年高三年级模拟试卷
数　　学
(满分：150分　考试时间：120分钟)
2023．2
一、 选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的选项中只有一个选项符合要求．
1. “a3＋a9＝2a6”是“数列{an}为等差数列”的(　　)
A. 充分不必要条件　 B. 必要不充分条件
C. 充要条件　 D. 既不充分也不必要条件
2. 若复数z满足|z－1|≤2，则复数z在复平面内对应点组成图形的面积为(　　)
A. π　 B. 2π　 C. 3π　 D. 4π
3. 已知集合A＝{x|<0}，若A∩N*＝ ，则实数a的取值范围是(　　)
A. {1}　 B. (－∞，1)
C. [1，2]　 D. (－∞，2]
4. 把5个相同的小球分给3个小朋友，使每个小朋友都能分到小球的分法有(　　)
A. 4种　 B. 6种　 C. 21种　 D. 35种
5. 某研究性学习小组发现，由双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的两渐近线所成的角可求离心率e的大小，联想到反比例函数y＝(k≠0)的图象也是双曲线，据此可进一步推断双曲线y＝的离心率为(　　)
A. 　 B. 2　 C. 　 D. 5
6. 在△ABC中，AH为边BC上的高且＝3，动点P满足·＝－2，则点P的轨迹一定过△ABC的(　　)
A. 外心　 B. 内心　 C. 垂心　 D. 重心
7. 若函数f(x)＝x3＋bx2＋cx＋d满足f(1－x)＋f(1＋x)＝0对一切实数x恒成立，则不等式f′(2x＋3)A. (0，＋∞)　 B. (－∞，－4)
C. (－4，0)　 D. (－∞，－4)∪(0，＋∞)
8. 已知四边形ABCD是矩形，AB＝3AD，E，F分别是AB，CD的中点，将四边形AEFD绕EF旋转至与四边形BCFE重合，则直线ED，BF所成角α在旋转过程中(　　)
A. 逐步变大　 B. 逐步变小
C. 先变小后变大　 D. 先变大后变小
二、 选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．
9. 若X～N(μ，σ2)，则下列说法正确的是(　　)
A. P(X<μ＋σ)＝P(X>μ－σ)
B. P(μ－2σC. P(X<μ＋σ)不随μ，σ的变化而变化
D. P(μ－2σ10. 已知函数f(x) ＝3sin x－4cos x，若f(α)，f(β)分别为f(x)的极大值与极小值，则(　　)
A. tan α＝－tan β　 B. tan α＝tan β
C. sin α＝－sin β　 D. cos α＝－cos β
11. 已知直线l的方程为(a2 －1)x－2ay＋2a2＋2＝0，a∈R，O为原点，则(　　)
A. 若OP≤2，则点P一定不在直线l上
B. 若点P在直线l上，则OP≥2
C. 直线l上存在定点P
D. 存在无数个点P总不在直线l上
12. 如图，圆柱OO′的底面半径为1，高为2，矩形ABCD是其轴截面，过点A的平面α与圆柱底面所成的锐二面角为θ，平面α截圆柱侧面所得的曲线为椭圆Ω，截母线EF得点P，则(　　)
A. 椭圆Ω的短轴长为2
B. tan θ的最大值为2
C. 椭圆Ω的离心率的最大值为
D. EP＝(1－cos ∠AOE)tan θ
三、 填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．
13. (2x＋)5展开式中x3的系数为________．
14. 设函数f(x)＝sin (ωx＋)(ω>0)，则使f(x)在(－，)上为增函数的ω的值可以为________(写出一个即可).
15. 在概率论中常用散度描述两个概率分布的差异．若离散型随机变量X，Y的取值集合均为{0，1，2，3，…，n}(n∈N*)，则X，Y的散度D(X‖Y)＝P(X＝i)ln .若X，Y的概率分布如下表所示，其中0X 0 1
P
　　　　
Y 0 1
P 1－p p
16. 已知数列{an}，{bn}满足bn＝其中k∈N*，{bn}是公比为q的等比数列，则＝________(用q表示)；若a2＋b2＝24，则a5＝________．
四、 解答题：本大题共6小题，共70分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．
17. (本小题满分10分)
已知数列{an}满足a1＝3，an＋1＝3an－4n，n∈N*.
(1) 试判断数列{an－2n－1}是否是等比数列，并求{an}的通项公式；
(2) 若bn＝，求数列{bn}的前n项和Sn.
18. (本小题满分12分)
在△ABC中，已知AC＝2，∠BAC＝，P为△ABC内的一点，满足AP⊥CP，∠APB＝.
(1) 若AP＝PC，求△ABC的面积；
(2) 若BC＝，求AP.
19. (本小题满分12分)
某校从2022年起积极推进劳动课程改革，先后开设了具有地方特色的家政、烹饪、手工、园艺、非物质文化遗产等劳动实践类校本课程．为调研学生对新开设劳动课程的满意度并不断改进劳动教育，该校从2022年1月到10月每两个月从全校3 000名学生中随机抽取150名学生进行问卷调查，统计数据如下表：
月份x 2 4 6 8 10
满意人数y 80 95 100 105 120
(1) 由表中看出，可用线性回归模型拟合满意人数y与月份x之间的关系，求y关于x的回归直线方程y＝ bx＋a，并预测12月份该校全体学生中对劳动课程的满意人数．
(2) 10月份时，该校为进一步深化劳动教育改革，了解不同性别的学生对劳动课程是否满意，经调研得如下统计表：
满意 不满意 合计
男生 65 10 75
女生 55 20 75
合计 120 30 150
请根据上表判断是否有95%的把握认为该校的学生性别与对劳动课程是否满意有关？
参考公式和数据：
K2＝，其中n＝a＋b＋c＋d.
P(K2≥k) 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005
k 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879
20. (本小题满分12分)
如图，在四棱锥PABCD中，PA⊥底面ABCD，AB⊥AD，平面PAC⊥平面PBD，AB＝AD＝AP＝2，四棱锥PABCD的体积为4.
(1) 求证：BD⊥PC；
(2) 求平面PAD与平面PCD所成锐二面角的余弦值．
21. (本小题满分12分)
如图，已知椭圆＋y2＝1的左、右顶点分别为A，B，点C是椭圆上异于A，B的动点，过原点O平行于AC的直线与椭圆交于点M，N，AC的中点为点D，直线OD与椭圆交于点P，Q，点P，C，M在x轴的上方．
(1) 当AC＝时，求cos ∠POM；
(2) 求PQ·MN的最大值．
22. (本小题满分12分)
已知函数f(x)＝.
(1) 当x>－1时，求函数g(x)＝f(x)＋x2－1的最小值；
(2) 已知x1≠x2，f(x1)＝f(x2)＝t，求证：|x1－x2|>2.
2022～2023学年高三年级模拟试卷(南京、盐城)
数学参考答案及评分标准
1. B　2. D　3. D　4. B　5. A　6. A　7. C　8. D　9. AC　10. BCD　11. BD　12. ACD
13. 80　14. (答案不唯一，满足0<ω≤即可)　15. [0，＋∞)　16. q2　1 024
17. 解：(1) 因为a1＝3，所以a1－2×1－1＝0，所以数列{an－2n－1}不是等比数列．(2分)
由an＋1＝3an－4n，得an＋1－2(n＋1)－1＝3(an－2n－1)，因为a1－2×1－1＝0，
所以an－2n－1＝0，即an＝2n＋1.(5分)
(2) 因为bn＝＝－，(7分)
所以Sn＝(－)＋(－)＋…＋(－)＝－.(10分)
18. 解：(1) 因为AP⊥CP，且AP＝CP，所以∠CAP＝，
又∠BAC＝，所以∠BAP＝，因为∠APB＝，所以∠ABP＝.
由AC＝2，所以AP＝，在△ABP中，由正弦定理，得＝，
解得AB＝，所以S△ABC＝×AC×AB sin ∠BAC＝××2×＝. (5分)
(2) 在△ABC中，由余弦定理，得7＝4＋AB2－2AB，所以AB＝3.(7分)
令∠CAP＝α，则∠BAP＝－α，∠ABP＝α，在△APC中，AP＝2cos α.(9分)
在△ABP中，由正弦定理，得＝，所以tan α＝，(11分)
因为α∈(0，)，所以α＝，所以AP＝2×＝.(12分)
19. 解：(1) x＝(2＋4＋6＋8＋10)＝6，y＝(80＋95＋100＋105＋120)＝100，
(xi－x)(yi－y)＝(2－6)(80－100)＋(4－6)(95－100)＋(6－6)(100－100)＋(8－6)(105－100)＋(10－6)(120－100)＝80＋10＋0＋10＋80＝180，
＝＝，(2分)
a＝100－×6＝73，(3分)
得y关于x的回归直线方程为y＝x＋73，(4分)
令x＝12，得y＝127，(5分)
据此预测12月份该校全体学生中对劳动课程的满意人数为3 000×＝2 540(人).(6分)
(2) 提出假设H0：该校的学生性别与对劳动课程是否满意无关．(8分)
则K2＝＝＝≈4.17，(10分)
因为P(K2≥3.841)＝0.05，而4.17>3.841，
故有95%的把握认为该校的学生性别与对劳动课程是否满意有关．(12分)
20. (1) 证明：设AC∩BD＝O，在平面PAC内过点A作AH⊥PO，垂足为H，
因为平面PAC⊥平面PBD，平面PAC∩平面PBD＝PO，
所以AH⊥平面PBD.(3分)
又BD 平面PBD，所以BD⊥AH.
因为PA⊥平面ABCD，BD 平面ABCD，所以BD⊥PA.
因为BD⊥AH，PA∩AH＝A，PA 平面PAC，AH 平面PAC，
所以BD⊥平面PAC，又因为PC 平面PAC，所以BD⊥PC.(6分)
(2) 解：由AB＝AD＝2，AB⊥AD知BD＝2，
由(1)知BD⊥AC，所以VPABCD＝S四边形ABCD×PA＝××2×AC×2＝4，
所以AC＝3.(8分)
以{，，}为基底建立如图所示空间直角坐标系Axyz，则A(0，0，0)，B(2，0，0)，D(0，2，0)，C(3，3，0)，P(0，0，2)，易知平面PAD的一个法向量为n1＝(1，0，0)，
设平面PCD的法向量为n2＝(x，y，z)，又＝(0，2，－2)，＝(3，3，－2)，
得取z＝3，则x＝－1，y＝3，则n2＝(－1，3，3)，(10分)
所以cos 〈n1，n2〉＝＝－，(11分)
所以平面PAD与平面PCD所成锐二面角的余弦值为.(12分)
21. 解：(1)由AC＝知点C(0，1)，
因为D为AC的中点，且A(－2，0)，所以D(－1，)，所以kAC＝，kOP＝－，(2分)
(解法1)直线MN的方程为y＝x，
联立方程得yM＝，所以M(，)，同理P(－，)，
所以cos ∠POM＝＝－.(4分)
(解法2)由kOM＝ ，kOP＝－知∠POM＝π－2∠MOB，由kOM＝知tan ∠BOM＝，
所以cos ∠BOM＝，所以cos ∠POM＝cos (π－2∠MOB)＝－.(4分)
(解法3)由∠POM＝〈，〉＝〈，〉＝〈，〉求解．
(2) 设点C(x0，y0)，由A(－2，0)知D(，)，
则kAC＝kOM＝，kOP＝kOD＝，kOM·kOP＝·＝＝＝－，(6分)
设直线OM的方程为y＝kx，
联立方程得x2＝，y2＝，则OM2＝，(8分)
由kOM·kOP＝－，知OP2＝，
(解法1)OM2·OP2＝·，(10分)
令1＋4k2＝t，t>1，则OM2·OP2＝＝－9()2＋＋4≤(当t＝2时取等号)，
所以PQ·MN的最大值为10.(12分)
(解法2)由OM2＋OP2＝＋＝5，知OM·OP≤＝，
当且仅当OM＝OP＝时取等号，所以PQ·MN的最大值为10.(12分)
22. (1) 解：当x>－1时，g′(x)＝(ex－)，(1分)
令g′(x)＝0，可得x1＝－ln 2>－1，x2＝0，列表分析如下：
x (－1，－ln 2) －ln 2 (－ln 2，0) 0 (0，＋∞)
g′(x) ＋ 0 － 0 ＋
g(x) 增 极大值 减 极小值 增
可知g(x)min＝g(－1)＝g(0)＝0，故函数的最小值为0.(5分)
(2) 证明：由(1)可知，当x>－1时，g(x)≥0，即≥1－x2(当且仅当x＝0时取等号)，
不妨取h(x)＝1－x2，则在区间(－1，0)和(0，＋∞)上，都有f(x)>h(x)，
且h(x)在(－1，0)上单调递增，在(0，＋∞)上单调递减，又由f′(x)＝可知f(x)在(－1，0)上单调递增，在(0，＋∞)上单调递减，且f(x)>0在(－1，0)和(0，＋∞)上恒成立．(8分)
由x1≠x2，f(x1)＝f(x2)＝t，得0设h(x3)＝h(x4)＝t且x3<0同理0|x3－x4|，其中x3，x4为方程h(x)＝t的两个实根，
而x3，4＝±，所以|x1－x2|>2成立．(12分)
(
10
)