【中学教材全解】2013-2014学年七年级数学（下）（华东师大版）第9章 多边形检测题
文档属性
| 名称 | 【中学教材全解】2013-2014学年七年级数学（下）（华东师大版）第9章 多边形检测题 |  | |
| 格式 | zip | ||
| 文件大小 | 58.5KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 华东师大版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2014-04-05 08:03:16 | ||
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文档简介
第9章 多边形检测题
（本检测题满分：100分，时间：90分钟）
一、选择题（每小题3分，共30分）
1.（2013·湖南长沙中考）如果一个三角形的两边长分别为2和4，则第三边长可能
是（ ）
A.2 B.4 C.6 D.8
2.（2013·湖北襄阳中考）如图，在△ABC中，点D是BC延长线上一点，∠B=40°，∠ACD=120°，则∠A等于（ ）
A.60° B.70° C.80° D.90°
3.（2013·河北中考）如图①，点M是 ( http: / / www.21cnjy.com )铁丝AD的中点，将该铁丝首尾相接折成△ABC，且∠B=30°，∠C=100°，如图②,则下列说法正确的是（ ）
( http: / / www.21cnjy.com )
A.点M在AB上
B.点M在BC的中点处
C.点M在BC上，且距点B较近，距点C较远
D.点M在BC上，且距点C较近，距点B较远
4. 一个三角形三个内角的度数之比为2∶3∶7，则这个三角形一定是（ ）
A.直角三角形 B.等腰三角形
C.锐角三角形 D.钝角三角形
5.（2013·烟台中考）一个多边形截去一个角后，形成另一个多边形的内角和为720°，那么原多边形的边数为（ ）
A.5 B.5或6 C.5或7 D.5或6或7
6.（2013·长沙中考）下列多边形中，内角和与外角和相等的是（ ）
A.四边形 B.五边形 C.六边形 D.八边形
7. 一个多边形的内角和是720°，则这个多边形的边数是（ ）
A.4 B.5 C.6 D.7
8. 正多边形的一个内角为135°，则该正多边形的边数为（ ）
A.9 B.8 C.7 D.4
9. 一个正多边形，它的每一个外角都等于45°，则该正多边形是（ ）
A.正六边形 B.正七边形
C.正八边形 D.正九边形
10.有下列五种正多边形地砖：①正三角形;②正方形;③正五边形;④正六边形;⑤正八边形.
现要用同一种大小一样、形状相同的正多边形地砖铺设地面，其中能做到彼此之间不留空
隙、不重叠地铺设的地砖有( )
A.4种 B.3种 C.2种 D.1种
二、填空题（每小题3分，共24分）
11.（2013·南京中考）△OAB是以正多边形相邻的两个顶点A、B与它的中心O为顶点
的三角形.若△OAB的一个内角为70°，则该正多边形的边数为__________.
12. 若一个多边形的每个外角都为36°，则这个多边形的对角线有__________条.
13. 已知多边形的边数恰好是从一个顶点出发的对角线条数的2倍，则此多边形的边数
为 ，内角和为 .
14. 若将 边形边数增加1倍，则它的内角和增加__________.
15. 已知两个多边形的内角和为1 800°，且两个多边形的边数比为2∶5，则这两个多边形的边数分别为__________.
16. 如果等腰三角形两边长是6 cm和3 cm，那么它的周长是__________.
17.（2013·上海中考）当三角形中一个 ( http: / / www.21cnjy.com )内角α是另一个内角β的两倍时,我们称此三角形为“特征三角形”,其中α称为“特征角”.如果一个“特征三角形”的“特征角”为100°,那么这个“特征三角形”的最小内角的度数为__________.
18. 在△ABC中，若 AB=8，BC=6 ，则第三边AC的长度m的取值范围是__________.
三、解答题（共46分）
19.（8分）已知等腰三角形的底边长为5 cm，一腰上的中线把原三角形的周长分为两部分，其差为3 cm，求该等腰三角形的腰长.
20.（8分）一个凸多边形，除去一个内角外，其余各内角的和为2 750°，求这个多边形的
边数.
21.（7分）一个多边形的内角和与它的一个外角的度数之和为1 350°，求此多边形的边数.
22.（8分）为什么用一种正多边形密铺地面时，只有正三角形、正方形和正六边形三种？
23. (15分）问题再现
现实生活中，镶嵌图案在地面、墙面乃至于服装 ( http: / / www.21cnjy.com )面料设计中随处可见.对于单种多边形的镶嵌，主要研究了正三角形、正方形、正六边形的镶嵌问题.今天我们把正多边形的镶嵌作为研究问题的切入点，提出其中几个问题，共同来探究.
我们知道，可以单独用正三角形、正方形或正六边形镶嵌平面.
如图所示，用正方形镶嵌平面，可以发现在一个顶点周围围
绕着4个正方形的内角.
试想：如果用正六边形来镶嵌平面，在一个顶点周围应该围绕着
个正六边形的内角.
问题提出
如果我们要同时用两种不同的正多边形镶嵌平面，可能设计出几种不同的组合
方案？
问题解决
猜想1：是否可以同时用正方形、正八边形两种正多边形组合进行平面镶嵌？
分析：我们可以将此问题转化为数学问题来解决.从平面图形的镶嵌中可以发现,解
决问题的关键在于分析能同时用于完整镶嵌平面的两种正多边形的内角特点.具体地
说,就是在镶嵌平面时,一个顶点周围围绕的各个正多边形的内角恰好拼成一个周角.
验证1：在镶嵌平面时，设围绕某一点有 个正方形和 个正八边形的内角可以拼成
一个周角.根据题意，可得方程： HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" ，整理得 HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" ，
我们可以找到唯一一组适合方程的正整数解为 HYPERLINK "http://www.21cnjy.com"
结论1：镶嵌平面时，在一个顶点周围围绕着1个正方形和2个正八边形的内角可以
拼成一个周角，所以同时用正方形和正八边形两种正多边形组合可以进行平面镶嵌.
猜想2：是否可以同时用正三角形和正六边形两种正多边形组合进行平面镶嵌？若能，
请按照上述方法进行验证，并写出所有可能的方案；若不能，请说明理由.
验证2：
结论2：
上面，我们探究了同时用两种不同的正多边形组合镶嵌平面的部分情况，仅仅得到了
一部分组合方案，相信同学们用同样的方法，一定会找到其他可能的组合方案.
问题拓广
请你仿照上面的研究方式，探索出一个同时用三种不同的正多边形组合进行平面镶嵌
的方案，并写出验证过程.
猜想3：
验证3：
结论3：
第9章 多边形检测题参考答案
1.B 解析：本题考查了三角形的三边关系，设第三边长为x，∵ HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" ,
∴ HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" ，只有选项B正确.
2.C 解析：根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和，知∠ACD=∠A+∠B，从而求出∠A的度数，∵ ∠ACD=∠A+∠B，∴ ∠A=∠ACD-∠B=120°，故选C.
3.C 解析：因为AC+BC>AB,所以铁丝AD的中点M一定不在AB上.因为∠B=30°，∠C=100°，所以AB>AC,所以AB+ HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" BC>AC+ HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" BC,铁丝AD的中点M一定在BC上，且距点B较近，距点C较远，所以选项C正确.
4. D 解析：三角形三个内角的度数比值是已知的，故可用含同一个字母的代数式表示这三个内角，然后由三个内角之和为180°确定每个内角的度数.若设三个内角的大小分别为，，，则有 HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" 180°，故15°，所以三个内角分别为，
因此三角形为钝角三角形，故选D.
点拨：本题是利用三角形内角和定理分别计算出三个内角的度数，其中有一个角大于90°，所以判定三角形是钝角三角形.
5.D 解析：本题考查了多边形的内角和.n边形截去一个角后，内角的个数有n－1，n，n+1三种可能情况.设新多边形的边数为m,由多边形的内角和公式，得 HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" ,解得m=6，所以原多边形的边数为5或6或7.
6.A 解析：多边形的外角和等于360°，而内角和公式为 HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" （n为多边形的边数），∴ 由题意得 HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" ，解得n=4，即四边形的内角和与外角和相等.
7. C 解析：由 HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" ，得，所以n=6 .因此这个多边形的边数为6.
8. B 解析：设正多边形的边数为，则, 解得.
9. C 解析：因为多边形的外角和等于360°，且正多边形的外角都相等，即360÷45°＝8，所以该正多边形是正八边形.
10. B 解析：符合条件的正多边形是①正三角形，②正方形和④正六边形，故选B.
点拨：熟记铺满地面的条件是“一个顶点处所有角的和是360°，则这类问题便不难
解决.
11.9 解析：分∠O ( http: / / www.21cnjy.com )AB=70°和∠AOB=70°两种情况进行分类讨论求解．当∠OAB=70°时，∠AOB=40°，则正多边形的边数是360°÷40°=9；当∠AOB=70°时，360÷70的结果不是整数，此类情况不存在.故该正多边形的边数为9.
12. 35 解析：设这个多边形的边数为，则 HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" ，所以这个多边形是十边形.因为边形的对角线的总条数为 HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" ，所以这个多边形的对角线的条数为 HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" .
13. 6 ; 解析：设此多边形的边数为．由题意得解得
所以六边形的内角和为180°×(6-2)=720°.
14. 解析：利用多边形内角和定理进行计算.
因为边形与边形的内角和分别为 HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" 和 HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" ，
所以内角和增加 HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" .
15. 4和10 解析：因为两个多边形的边数之比为2∶5，可设这两个多边形的边数分别为和，利用多边形内角和定理可列出方程.
设这两个多边形的边数分别是和，则由多边形内角和定理可得：
HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" ，
解得，∴ ，.
故这两个多边形的边数分别为4和10.
点拨：利用多边形内角和定理，通过列方程求解，是计算多边形边数常用的方法.
16.15 cm 解析：∵ ，∴ 等腰三角形的底边长和腰长分别为3 cm和6 cm.
∴ 它的周长是.
17.30° 解析：本题考查了三角形的内角和.设三角形的三个内角分别是∠α，∠β， HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" ,由题意知 HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" ,则 HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" ,由三角形的内角和定理知 HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" ,
∴ HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" ,∴ 这个“特征三角形”的最小内角的度数为30°.
18. 解析：根据三角形三边关系，得，，即.
19. 分析：本题有两种情况：①底边长-腰长＝3 cm；②腰长-底边长＝3 cm.
解：设等腰三角形的腰长为 cm，由题意得
HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" ，
解得或.但当时，，故应舍去.
因此，该等腰三角形的腰长为8 cm.
点拨：在求三角形的边长时，一定要验证所求出的边长是否能组成三角形.
20. 分析：由于除去的一个内角大于0°且小于180°，因此题目中有两个未知量，但等量关系只有一个，在一些竞赛题目中常常会出现这种问题，这就需要依据条件中两个未知量的特殊含义去求值.
解：设这个多边形的边数为(为自然数)，除去的内角为°(0＜＜180)，
根据题意，得 HYPERLINK "http://www.21cnjy.com"
∵ ∴
∴ HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" ，∴ .
点拨：本题在利用多边形的内角和公式得到 ( http: / / www.21cnjy.com )方程后，又借助数的整除，通过讨论得到了这个多边形的边数.这也是解决有关多边形的内、外角和问题的一种常用方法.
21. 分析：题目中有两个未知量，但等量关系只有一个，如果设多边形的边数为，这个外角为，则可以列出一个二元一次方程，即.然后根据为整数和 x ，可求出这两个未知数的值.
解：设这个多边形的边数为，这个外角为，
则，依题意，有
方法1：∵
∴ HYPERLINK "http://www.21cnjy.com"
∵ 为正整数，∴ 必为180°的整数倍数.
又∵，∴ ，∴.
方法2：∵ ，
∴ ，
即.
又∵ ，
∴ ，
∴ .
∵ 是边数，必为整数，∴.
点拨：此类题都隐含着边数为正整数这个条件.方法1是利用整数方程来解的；方法2是利用不等式确定边数范围，然后通过边数为整数来解.
22. 分析：要使用同一种正多边形 ( http: / / www.21cnjy.com )密铺地面，必须满足正多边形的几个内角之和为.正多边形中只有正三角形、正方形和正六边形满足这个条件，其他的正多边形都不满足.
解：∵ 正三角形的每个内角都等于60°，
而，∴ 正三角形能密铺地面.
∵ 正方形的每个内角都等于，而，
∴ 正方形能密铺地面.
∵ 正六边形的每个内角都等于120°，
而，∴ 正六边形能密铺地面.
又其他正多边形的内角不论几个之和都不能正好构成360°，
∴ 用一种正多边形密铺地面时，只有正三角形、正方形、正六边形三种.
23. 分析：验证2：设围绕某一点 ( http: / / www.21cnjy.com )有个正三角形和个正六边形的内角可以拼成一个周角，于是有，求整数解，并得结论2.
验证3：设围绕某一点有个正三角形、个正方形和c个正六边形可以拼成一个周角，于是有求整数解，并得结论3.
解：3.
验证2：在镶嵌平面时，设围绕某一点有个正三角形和个正六边形的内角可以拼成一个周角.根据题意，可得方程，整理得
可以找到两组适合方程的正整数解，即 HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" 和 HYPERLINK "http://www.21cnjy.com"
结论2：镶嵌平面时，在一个顶点周围围绕着2个 ( http: / / www.21cnjy.com )正三角形和2个正六边形的内角或者围绕着4个正三角形和1个正六边形的内角可以拼成一个周角，所以同时用正三角形和正六边形两种正多边形组合可以进行平面镶嵌.
猜想3：是否可以同时用正三角形、正方形和正六边形三种正多边形组合进行平面镶嵌？
验证3：在镶嵌平面时，设围绕某一点有个正三角形、个正方形和个正六边形的内角可以拼成一个周角.根据题意，可得方程，整理得
可以找到唯一一组适合方程的正整数解为 HYPERLINK "http://www.21cnjy.com"
结论3：镶嵌平面时，在一个 ( http: / / www.21cnjy.com )顶点周围围绕着1个正三角形、2个正方形和1个正六边形的内角可以拼成一个周角，所以同时用正三角形、正方形和正六边形三种正多边形组合可以进行平面镶嵌.（说明：本题答案不唯一，符合要求即可）
第2题图
第3题图
第23题图
（本检测题满分：100分，时间：90分钟）
一、选择题（每小题3分，共30分）
1.（2013·湖南长沙中考）如果一个三角形的两边长分别为2和4，则第三边长可能
是（ ）
A.2 B.4 C.6 D.8
2.（2013·湖北襄阳中考）如图，在△ABC中，点D是BC延长线上一点，∠B=40°，∠ACD=120°，则∠A等于（ ）
A.60° B.70° C.80° D.90°
3.（2013·河北中考）如图①，点M是 ( http: / / www.21cnjy.com )铁丝AD的中点，将该铁丝首尾相接折成△ABC，且∠B=30°，∠C=100°，如图②,则下列说法正确的是（ ）
( http: / / www.21cnjy.com )
A.点M在AB上
B.点M在BC的中点处
C.点M在BC上，且距点B较近，距点C较远
D.点M在BC上，且距点C较近，距点B较远
4. 一个三角形三个内角的度数之比为2∶3∶7，则这个三角形一定是（ ）
A.直角三角形 B.等腰三角形
C.锐角三角形 D.钝角三角形
5.（2013·烟台中考）一个多边形截去一个角后，形成另一个多边形的内角和为720°，那么原多边形的边数为（ ）
A.5 B.5或6 C.5或7 D.5或6或7
6.（2013·长沙中考）下列多边形中，内角和与外角和相等的是（ ）
A.四边形 B.五边形 C.六边形 D.八边形
7. 一个多边形的内角和是720°，则这个多边形的边数是（ ）
A.4 B.5 C.6 D.7
8. 正多边形的一个内角为135°，则该正多边形的边数为（ ）
A.9 B.8 C.7 D.4
9. 一个正多边形，它的每一个外角都等于45°，则该正多边形是（ ）
A.正六边形 B.正七边形
C.正八边形 D.正九边形
10.有下列五种正多边形地砖：①正三角形;②正方形;③正五边形;④正六边形;⑤正八边形.
现要用同一种大小一样、形状相同的正多边形地砖铺设地面，其中能做到彼此之间不留空
隙、不重叠地铺设的地砖有( )
A.4种 B.3种 C.2种 D.1种
二、填空题（每小题3分，共24分）
11.（2013·南京中考）△OAB是以正多边形相邻的两个顶点A、B与它的中心O为顶点
的三角形.若△OAB的一个内角为70°，则该正多边形的边数为__________.
12. 若一个多边形的每个外角都为36°，则这个多边形的对角线有__________条.
13. 已知多边形的边数恰好是从一个顶点出发的对角线条数的2倍，则此多边形的边数
为 ，内角和为 .
14. 若将 边形边数增加1倍，则它的内角和增加__________.
15. 已知两个多边形的内角和为1 800°，且两个多边形的边数比为2∶5，则这两个多边形的边数分别为__________.
16. 如果等腰三角形两边长是6 cm和3 cm，那么它的周长是__________.
17.（2013·上海中考）当三角形中一个 ( http: / / www.21cnjy.com )内角α是另一个内角β的两倍时,我们称此三角形为“特征三角形”,其中α称为“特征角”.如果一个“特征三角形”的“特征角”为100°,那么这个“特征三角形”的最小内角的度数为__________.
18. 在△ABC中，若 AB=8，BC=6 ，则第三边AC的长度m的取值范围是__________.
三、解答题（共46分）
19.（8分）已知等腰三角形的底边长为5 cm，一腰上的中线把原三角形的周长分为两部分，其差为3 cm，求该等腰三角形的腰长.
20.（8分）一个凸多边形，除去一个内角外，其余各内角的和为2 750°，求这个多边形的
边数.
21.（7分）一个多边形的内角和与它的一个外角的度数之和为1 350°，求此多边形的边数.
22.（8分）为什么用一种正多边形密铺地面时，只有正三角形、正方形和正六边形三种？
23. (15分）问题再现
现实生活中，镶嵌图案在地面、墙面乃至于服装 ( http: / / www.21cnjy.com )面料设计中随处可见.对于单种多边形的镶嵌，主要研究了正三角形、正方形、正六边形的镶嵌问题.今天我们把正多边形的镶嵌作为研究问题的切入点，提出其中几个问题，共同来探究.
我们知道，可以单独用正三角形、正方形或正六边形镶嵌平面.
如图所示，用正方形镶嵌平面，可以发现在一个顶点周围围
绕着4个正方形的内角.
试想：如果用正六边形来镶嵌平面，在一个顶点周围应该围绕着
个正六边形的内角.
问题提出
如果我们要同时用两种不同的正多边形镶嵌平面，可能设计出几种不同的组合
方案？
问题解决
猜想1：是否可以同时用正方形、正八边形两种正多边形组合进行平面镶嵌？
分析：我们可以将此问题转化为数学问题来解决.从平面图形的镶嵌中可以发现,解
决问题的关键在于分析能同时用于完整镶嵌平面的两种正多边形的内角特点.具体地
说,就是在镶嵌平面时,一个顶点周围围绕的各个正多边形的内角恰好拼成一个周角.
验证1：在镶嵌平面时，设围绕某一点有 个正方形和 个正八边形的内角可以拼成
一个周角.根据题意，可得方程： HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" ，整理得 HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" ，
我们可以找到唯一一组适合方程的正整数解为 HYPERLINK "http://www.21cnjy.com"
结论1：镶嵌平面时，在一个顶点周围围绕着1个正方形和2个正八边形的内角可以
拼成一个周角，所以同时用正方形和正八边形两种正多边形组合可以进行平面镶嵌.
猜想2：是否可以同时用正三角形和正六边形两种正多边形组合进行平面镶嵌？若能，
请按照上述方法进行验证，并写出所有可能的方案；若不能，请说明理由.
验证2：
结论2：
上面，我们探究了同时用两种不同的正多边形组合镶嵌平面的部分情况，仅仅得到了
一部分组合方案，相信同学们用同样的方法，一定会找到其他可能的组合方案.
问题拓广
请你仿照上面的研究方式，探索出一个同时用三种不同的正多边形组合进行平面镶嵌
的方案，并写出验证过程.
猜想3：
验证3：
结论3：
第9章 多边形检测题参考答案
1.B 解析：本题考查了三角形的三边关系，设第三边长为x，∵ HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" ,
∴ HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" ，只有选项B正确.
2.C 解析：根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和，知∠ACD=∠A+∠B，从而求出∠A的度数，∵ ∠ACD=∠A+∠B，∴ ∠A=∠ACD-∠B=120°，故选C.
3.C 解析：因为AC+BC>AB,所以铁丝AD的中点M一定不在AB上.因为∠B=30°，∠C=100°，所以AB>AC,所以AB+ HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" BC>AC+ HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" BC,铁丝AD的中点M一定在BC上，且距点B较近，距点C较远，所以选项C正确.
4. D 解析：三角形三个内角的度数比值是已知的，故可用含同一个字母的代数式表示这三个内角，然后由三个内角之和为180°确定每个内角的度数.若设三个内角的大小分别为，，，则有 HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" 180°，故15°，所以三个内角分别为，
因此三角形为钝角三角形，故选D.
点拨：本题是利用三角形内角和定理分别计算出三个内角的度数，其中有一个角大于90°，所以判定三角形是钝角三角形.
5.D 解析：本题考查了多边形的内角和.n边形截去一个角后，内角的个数有n－1，n，n+1三种可能情况.设新多边形的边数为m,由多边形的内角和公式，得 HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" ,解得m=6，所以原多边形的边数为5或6或7.
6.A 解析：多边形的外角和等于360°，而内角和公式为 HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" （n为多边形的边数），∴ 由题意得 HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" ，解得n=4，即四边形的内角和与外角和相等.
7. C 解析：由 HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" ，得，所以n=6 .因此这个多边形的边数为6.
8. B 解析：设正多边形的边数为，则, 解得.
9. C 解析：因为多边形的外角和等于360°，且正多边形的外角都相等，即360÷45°＝8，所以该正多边形是正八边形.
10. B 解析：符合条件的正多边形是①正三角形，②正方形和④正六边形，故选B.
点拨：熟记铺满地面的条件是“一个顶点处所有角的和是360°，则这类问题便不难
解决.
11.9 解析：分∠O ( http: / / www.21cnjy.com )AB=70°和∠AOB=70°两种情况进行分类讨论求解．当∠OAB=70°时，∠AOB=40°，则正多边形的边数是360°÷40°=9；当∠AOB=70°时，360÷70的结果不是整数，此类情况不存在.故该正多边形的边数为9.
12. 35 解析：设这个多边形的边数为，则 HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" ，所以这个多边形是十边形.因为边形的对角线的总条数为 HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" ，所以这个多边形的对角线的条数为 HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" .
13. 6 ; 解析：设此多边形的边数为．由题意得解得
所以六边形的内角和为180°×(6-2)=720°.
14. 解析：利用多边形内角和定理进行计算.
因为边形与边形的内角和分别为 HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" 和 HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" ，
所以内角和增加 HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" .
15. 4和10 解析：因为两个多边形的边数之比为2∶5，可设这两个多边形的边数分别为和，利用多边形内角和定理可列出方程.
设这两个多边形的边数分别是和，则由多边形内角和定理可得：
HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" ，
解得，∴ ，.
故这两个多边形的边数分别为4和10.
点拨：利用多边形内角和定理，通过列方程求解，是计算多边形边数常用的方法.
16.15 cm 解析：∵ ，∴ 等腰三角形的底边长和腰长分别为3 cm和6 cm.
∴ 它的周长是.
17.30° 解析：本题考查了三角形的内角和.设三角形的三个内角分别是∠α，∠β， HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" ,由题意知 HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" ,则 HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" ,由三角形的内角和定理知 HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" ,
∴ HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" ,∴ 这个“特征三角形”的最小内角的度数为30°.
18. 解析：根据三角形三边关系，得，，即.
19. 分析：本题有两种情况：①底边长-腰长＝3 cm；②腰长-底边长＝3 cm.
解：设等腰三角形的腰长为 cm，由题意得
HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" ，
解得或.但当时，，故应舍去.
因此，该等腰三角形的腰长为8 cm.
点拨：在求三角形的边长时，一定要验证所求出的边长是否能组成三角形.
20. 分析：由于除去的一个内角大于0°且小于180°，因此题目中有两个未知量，但等量关系只有一个，在一些竞赛题目中常常会出现这种问题，这就需要依据条件中两个未知量的特殊含义去求值.
解：设这个多边形的边数为(为自然数)，除去的内角为°(0＜＜180)，
根据题意，得 HYPERLINK "http://www.21cnjy.com"
∵ ∴
∴ HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" ，∴ .
点拨：本题在利用多边形的内角和公式得到 ( http: / / www.21cnjy.com )方程后，又借助数的整除，通过讨论得到了这个多边形的边数.这也是解决有关多边形的内、外角和问题的一种常用方法.
21. 分析：题目中有两个未知量，但等量关系只有一个，如果设多边形的边数为，这个外角为，则可以列出一个二元一次方程，即.然后根据为整数和 x ，可求出这两个未知数的值.
解：设这个多边形的边数为，这个外角为，
则，依题意，有
方法1：∵
∴ HYPERLINK "http://www.21cnjy.com"
∵ 为正整数，∴ 必为180°的整数倍数.
又∵，∴ ，∴.
方法2：∵ ，
∴ ，
即.
又∵ ，
∴ ，
∴ .
∵ 是边数，必为整数，∴.
点拨：此类题都隐含着边数为正整数这个条件.方法1是利用整数方程来解的；方法2是利用不等式确定边数范围，然后通过边数为整数来解.
22. 分析：要使用同一种正多边形 ( http: / / www.21cnjy.com )密铺地面，必须满足正多边形的几个内角之和为.正多边形中只有正三角形、正方形和正六边形满足这个条件，其他的正多边形都不满足.
解：∵ 正三角形的每个内角都等于60°，
而，∴ 正三角形能密铺地面.
∵ 正方形的每个内角都等于，而，
∴ 正方形能密铺地面.
∵ 正六边形的每个内角都等于120°，
而，∴ 正六边形能密铺地面.
又其他正多边形的内角不论几个之和都不能正好构成360°，
∴ 用一种正多边形密铺地面时，只有正三角形、正方形、正六边形三种.
23. 分析：验证2：设围绕某一点 ( http: / / www.21cnjy.com )有个正三角形和个正六边形的内角可以拼成一个周角，于是有，求整数解，并得结论2.
验证3：设围绕某一点有个正三角形、个正方形和c个正六边形可以拼成一个周角，于是有求整数解，并得结论3.
解：3.
验证2：在镶嵌平面时，设围绕某一点有个正三角形和个正六边形的内角可以拼成一个周角.根据题意，可得方程，整理得
可以找到两组适合方程的正整数解，即 HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" 和 HYPERLINK "http://www.21cnjy.com"
结论2：镶嵌平面时，在一个顶点周围围绕着2个 ( http: / / www.21cnjy.com )正三角形和2个正六边形的内角或者围绕着4个正三角形和1个正六边形的内角可以拼成一个周角，所以同时用正三角形和正六边形两种正多边形组合可以进行平面镶嵌.
猜想3：是否可以同时用正三角形、正方形和正六边形三种正多边形组合进行平面镶嵌？
验证3：在镶嵌平面时，设围绕某一点有个正三角形、个正方形和个正六边形的内角可以拼成一个周角.根据题意，可得方程，整理得
可以找到唯一一组适合方程的正整数解为 HYPERLINK "http://www.21cnjy.com"
结论3：镶嵌平面时，在一个 ( http: / / www.21cnjy.com )顶点周围围绕着1个正三角形、2个正方形和1个正六边形的内角可以拼成一个周角，所以同时用正三角形、正方形和正六边形三种正多边形组合可以进行平面镶嵌.（说明：本题答案不唯一，符合要求即可）
第2题图
第3题图
第23题图