6.4.3正弦定理 第二课时 课件（共29张PPT）

(共29张PPT)
§6.4.3-2 正弦定理
6.4 平面向量的应用
正弦定理
正弦定理的推论及面积公式
正弦定理的应用
小结及随堂练习
情境引入
如果已知两角和一边，是否也有相应的直接解三角形的公式呢
正弦定理
01
探究新知
在初中，我们得到了三角形中等边对等角的结论
实际上，三角形中还有大边对大角，小边对小角的边角关系
从量化的角度看，可以将这个边、角关系转化为：在中，设的对边为，的对边为，求之间的定量关系.
可以解决“在中，已知，求”的问题.
探究新知
我们从熟悉的直角三角形的边、角关系的分析入手：
根据锐角三角函数，在中，有:
显然，上述两个关系式在一般三角形中不成立.
观察发现，它们有一个共同元素，利用它把两个式子联系起来，
可得：
又因为
所以上式可写成与它的对角的正弦的比相等的形式，即
探究新知
思考1：对于锐角三角形与钝角三角形以上关系式是否仍然成立？
因为涉及三角形的边、角关系，所以仍然采用向量方法来研究．
我们希望获得△中的边与它们所对角的正弦之间的关系式。
在向量运算中，两个向量的数量积与长度、角度有关,
这就启示我们可以用向量的数量积来探究．
追问：向量的数量积运算中出现了角的余弦，而我们需要的是角的正弦.如何实现转化？
由诱导公式可知，我们可以通过构造角之间的互余关系，把边与角的余弦关系转化为正弦关系.
探究新知
锐角三角形
如图，在锐角中，过点作与垂直的单位向量，
则与的夹角为，与的夹角为.
因为，所以
由分配律，得：
即：，
也即.所以.
同理，过点作与垂直的单位向量，可得
因此，
探究新知
钝角三角形
当 是钝角三角形时，不妨设为钝角(如图).
过点作与垂直的单位向量，
则与的夹角为，与的夹角为.
仿照上述方法，同样可得
探究新知
思考2：还有其他的方法证明上述关系式的成立吗？
学习新知
在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等，即：
正弦定理
点拨
1. 适用范围：正弦定理对任意的三角形都成立；
应用
1.已知两角和任一边，求其他的边和角；
2. 结构形式：分子为三角形的边长，分母为相应边所对角的正弦；
3. 揭示规律：三角形中三条边与对应角的正弦之间的一个关系式；
4. 归纳方法：正弦定理实现了三角形中边角关系的转化。
2.已知两边和其中一边的对角，求其他的边和角；
3.边角互相转化。
正弦定理的推论及面积公式
02
连接并延长，交三角形的外接圆于点，连接B，
易知， 是直角三角形，°
，且
在中，,且
同理可得， 、
综上，
探索新知
思考3：正弦定理是否有几何意义呢？比如，你能找出 的比值吗？
如图，的外接圆为圆，其半径为，
D
学习新知
在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等，比值为其外接圆的直径，即：
正弦定理的几何意义
常用变形：
, ，
, , ,
探索新知
探究：三角形的面积公式
如图，的三边分别所对的内角为
过点作的垂线，垂足为，
则
同理，
三角形面积等于任意两边与它们夹角正弦值乘积的二分之一
三角形的面积公式
学习新知
例1. 在中，角所对的边分别为.若，，，
求： 角；
的面积.
解： （1）由正弦定理， 得，
因为在中，且，
所以.
（2）因为，
所以.
所以.
探索新知
探究：射影定理
如图，的三边分别所对的内角为
过点作的垂线，垂足为，
则，
同理,
射影定理
正弦定理的应用
03
典型例题
题型一：已知两角及一边解三角形
例2.在△中，已知，，，解这个三角形.
解：由三角形内角和定理，得
由正弦定理，得：
典型例题
题型一：已知两角及一边解三角形
(1)若所给边是已知角的对边时 ，可由正弦定理求另一边，再由三角
形内角和定理求出第三个角，最后由正弦定理求第三边.
(2)若所给边不是已知角的对边时，先由三角形内角和定理求第三个
角，再由正弦定理求另外两边。
技巧总结：已知两角及一边解三角形的一般步骤
典型例题
题型二：已知两边及一边的对角解三角形
例3.在△中，已知，，，解这个三角形.
解：由正弦定理 ，得：
因为，所以
于是或
分析：这是已知三角形两边及其一边的对角求解三角形的问题，
可以利用正弦定理
(1)当 时，
典型例题
题型二：已知两边及一边的对角解三角形
例3.在△中，已知，，，解这个三角形.
解：(2)当时，
思考：为什么角有两个值？
由三角函数的性质可知，
在区间内，余弦函数单调递减，所以利用余弦定理求角，只有一解；
正弦函数在区间内单调递增，在区间内单调递减，所以利用正弦定理求角，可能有两解.
典型例题
题型二：已知两边及一边的对角解三角形
A 为 锐 角 图形
关系
解的个数 0 1 2 1
A 为 钝 角 或 直 角 图形
关系
解的个数 0 0 1 1
典型例题
题型三：三角形形状的判断
小结及随堂练习
04
随堂练习
1.在中，若,则有
A. B. C. D.的大小无法确定
2. 的三边分别所对的内角为，已知°，
那么等于。
A. B. C.4 D.
3.在中，已知且，角是锐角，则的
形状是.
直角三角形 等腰三角形 等腰直角三角形 等边三角形
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