第五章 三角函数 章末总结 课件（共48张PPT）

(共48张PPT)
三角函数
规定：逆时针转动 ——正角
顺时针转动 ——负角
没有转动 ——零角
(1)角的顶点重合于原点；
(2)始边重合于x轴的非负半轴，
(3)终边落在第几象限就是第几象限角.
象限角
如果角的终边落在了坐标轴上，就认为这
个角不属于任何象限，也称非象限角
一般地，所有与角α终边相同的角，
连同角α在内所构成的集合S可以表示为
即任一与α终边相同的角，都可以表示成角α与整数个周角的和.
终边相同的角
思考:终边在x轴正半轴、负半轴，y轴正半轴、负半轴上的角分别如何表示？
x轴正半轴：α= k·360°，k∈Z ；
x轴负半轴：α= 180°＋k·360°，k∈Z ；
y轴正半轴：α= 90°＋k·360°，k∈Z ；
y轴负半轴：α= 270°＋k·360°，k∈Z .
变式:请判断1305°是第几象限角；
方法一：解：1305°-1080°=225°
=3×360°+225°
方法二：解：1305°=1080°+225°
因为，1305°与225°终边相同
所以，1305°是第三象限的角
所以，1305°是第三象限的角
长度等于半径长的圆弧所对的圆心角叫做1弧度的角，弧度记作rad.这种以弧度为单位来度量角的制度叫做弧度制.
注意：今后在用弧度制表示角的时候，弧度二字或rad可以略去不写.
弧度的定义：
360°=2 rad
180°= rad
1°
=
0.01745 rad
1 rad=
=57°18′
弧度制与角度制的换算:抓住关键
用弧度制表示弧长及扇形面积公式：
弧长公式：
扇形面积公式
其中l是扇形弧长，R是圆的半径.
在半径为R的圆中，240 的中心角所对的弧长为 ，面积为2R2的扇形的中心角等于 弧度.
解： (1)240 = ，根据l=αR，得
(2)根据S= lR= αR2，且S=2R2.
所以 α=4.
任意角的三角函数定义
设 是一个任意角，它的终边与单位圆交于点
那么:（1） 叫做 的正弦，记作 ，即 ；
（2） 叫做 的余弦，记作 ，即 ；
（3） 叫做 的正切，记作 ，即
那么① 叫做 的正弦，即
② 叫做 的余弦，即
③ 叫做 的正切，即
是终边上的任意一点，点 P 与原点的距离
于是，
1.变式: 1).已知角 的终边过点 ，
求 的三个三角函数值.
解：由已知可得：
终边相同的角的同一三角函数值相等（公式一）
其中
利用公式一，可以把求任意角的三角函数值，
转化为求 角的三角函数值 .
求下列三角函数值：
（1） . （2）
解：（1）
变式练习： 求下列三角函数值
（2）
根据三角函数的定义，当时 ，有
同角三角函数的基本关系：
由上可知：已知三角函数中的任意一个函数值，
必可求另外的两个函数值(知一求二)
奇变偶不变，符号看象限
对于公式一 ~ 六都叫做诱导公式.
【4】这些规律对任何三角函数(只要存在，有意义)都成立
【1】诱导公式都是α的三角函数与 的三角函数之间的
转化，记忆口诀是： 奇变偶不变，符号看象限

【2】“奇变偶不变”：
角α前面的是 ，如果k是奇数，那么得到的三角函数
名要发生变化，即 正弦变余弦，余弦变正弦；如果k是偶数，
那么得到的三角函数名不变化

【3】“符号看象限”：
将角α看成一个锐角(为了判断符号，实际α可以不是锐角)，
此时判断 所在的象限，并观察原三角函数对这个角
运算得到的符号是正还是负.
的值为
A. B. C. 0 D.
2.已知，则的值等于 ．
3.已知角的终边上有一点，则
的值为
A. B. C. D.
4.已知，
则________．
正弦函数的“五点画图法”
0
x
y
1
-1
●
●
●
●
●
y=sinx，x [0, 2 ]
五个关键点从左到右依次为：
余弦函数的“五点画图法”
o
x
y
●
●
●
●
●
1
-1
五个关键点从左到右依次为：
x
y
0
1
-1
sin( x+ )=
余弦函数y=cosx与正弦函数y=sinx的图象关系
cosx
y=sinx的图象
y=cosx的图象
正弦函数
定义域：R
值域：[-1，1]
余弦函数
为奇函数
为偶函数
周期函数定义：对于函数f (x)，如果存在一个非零常数T，使得当x取定义域内的每一个值时，都有
f (x+T)=f (x)
那么函数f (x)就叫做周期函数，非零常数T叫做这个函数的周期.
周期T中最小的正数叫做f (x)的最小正周期
正弦函数是周期函数，周期是 ，最小正周期是
余弦函数是周期函数，周期是 ，最小正周期是
练一练
（2）已知函数 的周期是3，且当 时， ，求
（1）求下列函数的最小正周期
①
②
f(1)=1+1=2
f(5)=f(5-3)=f(2)=2x2+1=5
f(16)=f(16-3x5)=f(1)=2
对称轴：
对称中心：
正弦函数
余弦函数
对称轴：
对称中心：
函数最值点
函数最值点
函数零点坐标
函数零点坐标
可以通过画草图找出
1.函数 的一条对称轴是（ ）
解：经验证，当
时
为对称轴
正弦函数的单调性
正弦函数在每个闭区间
上都是增函数，其值从－1增大到1；
而在每个闭区间
上都是
减函数，其值从1减小到－1。
余弦函数的单调性
余弦函数在每一个闭区间
上都是增函数，其值从－1增大到1 ；
上都是减函数，其值从1减小到－1。
而在每个闭区间
（1） ；
（2） ．
解：（1）因为 ，
正弦函数y＝sinx在区间 上单调递增，
所以
新知探究
不通过求值，比较下列各数的大小：
解：（2） ，
且余弦函数在区间［0，π］上单调递减，
所以
例　求函数　　　　　　 　　　　　　　的单调递增区间．
解：令 ，则 ．
因为 的单调递增区间是 ，
且由 得 ，
所以，函数 的
单调递增区间是 ．
最大值：
当 时，
有最大值
最小值：
当 时，
有最小值
正余弦函数的最值
正弦函数
最大值：
当 时，
有最大值
最小值：
当 时，
有最小值
余弦函数
⑷ 奇偶性：
奇函数，图象关于原点对称。
⑵ 值域：
⑶ 周期性：
R
(6)单调性：
⑴ 定义域：
}
,
2
|
{
Z
k
k
x
x

+

p
p
在每一个开区间
上是增函数
正切函数y=tanx的性质
P(x,y) ·
P′ (-x,-y )·
(5) 对称性：　　 　　　　　　　
无对称轴
对称中心：
0
x
y
求（1）定义域：
（2）单调区间：
（3）周期
例2：不求值比较下列各组两个正切值的大小
又∵ 内单调递增
比较两个正切值大小，在同一单调区间内，利用单调递增性解决；如果所比较的两个值不在同一单调区间内，用诱导公式化到同一单调区间内。
符号上同下异
1.两角和与差的余弦公式：
2.两角和与差的正弦公式：
同名积，符号反
异名积，符号同
3.两角和与差的正切公式：
倍角公式
半角公式
辅助角公式：
注：解决复合三角函数的周期，最值等性质问题时，要化成单一名称的三角函数来解决.
求下列各式的值
求下列函数的周期，最大值和最小值
所以所求的周期为 ，最大值为2，最小值为－2
1
-１
2
-2
x
o
y
3
-3
2
y=sinx 　　
y=sin(x- )① 　　
②
③　　
以寻找“五点法”中的特殊点作为突破口：
“第一点”(即图象上升时与x轴的交点)为ωx＋φ＝0；“第二点”(即图象的最高点)为ωx＋φ＝ ；
“第三点”(即图象下降时与x轴的交点)为ωx＋φ＝π；“第四点”(即图象的最低点)为ωx＋φ＝ ；
“第五点”为ωx＋φ＝2π.
1.函数y=Asin(ωx＋φ)中φ值的确定
总结:
利用 ，求得
选择的点要认清其属“五点法”中的哪一位置点，并能正确代人列式，求得 .
A：做简谐运动的物体离开平衡位置的最大距离，称为“振幅”.
当函数表示一个振动量时，
T：
f ：
当函数表示一个振动量时：
称为“相位” .
x= 0时的相位 ，称为“初相”.
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