【精品解析】安徽省六校教育研究会2023届高三下学期数学入学素质测试试卷

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名称 【精品解析】安徽省六校教育研究会2023届高三下学期数学入学素质测试试卷
格式 zip
文件大小 1.3MB
资源类型 试卷
版本资源
科目 数学
更新时间 2023-02-28 12:01:03

文档简介

安徽省六校教育研究会2023届高三下学期数学入学素质测试试卷
一、单选题
1.(2023高三下·安徽开学考)设复数,则在复平面内对应的点位于(  )
A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限
2.(2023高三下·安徽开学考)已知集合,,则有(  )个真子集.
A.3 B.16 C.15 D.4
3.(2023高三下·安徽开学考)已知且,“函数为增函数”是“函数在上单调递增”的(  )
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
4.(2023高三下·安徽开学考)2021年2月10日,天问一号探测器顺利进入火星的椭圆环火轨道(将火星近似看成一个球体,球心为椭圆的一个焦点).2月15日17时,天问一号探测器成功实施捕获轨道远火点(椭圆轨迹上距离火星表面最远的一点)平面机动,同时将近火点高度调整至约265km.若此时远火点距离约为11945km,火星半径约为3395km,则调整后天问一号的运行轨迹(环火轨道曲线)的焦距约为(  )
A.11680km B.5840km C.19000km D.9500km
5.(2023高三下·安徽开学考)如图,一种棱台形状的无盖容器(无上底面)模型其上、下底面均为正方形,面积分别为,,且,若该容器模型的体积为,则该容器模型的表面积为(  )
A. B. C. D.
6.(2021高一下·大理期中)在 中, , , ,则直线 通过 的(  )
A.垂心 B.外心 C.重心 D.内心
7.(2023高三下·安徽开学考)已知向量的夹角为60°的单位向量,若对任意的 ,且,,则的取值范围是(  )
A. B. C. D.
8.(2023高三下·安徽开学考)已知直线l与曲线相切,切点为P,直线l与x轴、y轴分别交于点A,B,O为坐标原点.若的面积为,则点P的个数是(  )
A.1 B.2 C.3 D.4
二、多选题
9.(2023高三下·安徽开学考)以下四个命题中,真命题的有(  )
A.在回归分析中,可用相关指数的值判断模型的拟合效果,越大,模型的拟合效果越好;
B.回归模型中残差是实际值与估计值的差,残差点所在的带状区域宽度越窄,说明模型拟合精度越高;
C.对分类变量与的统计量来说,值越小,判断“与有关系”的把握程度越大.
D.已知随机变量服从二项分布,若,则.
10.(2023高三下·安徽开学考)2022年9月钱塘江多处出现罕见潮景“鱼鳞潮”,“鱼鳞潮”的形成需要两股涌潮,一股是波状涌潮,另外一股是破碎的涌潮,两者相遇交叉就会形成像鱼鳞一样的涌潮.若波状涌潮的图像近似函数的图像,而破碎的涌潮的图像近似(是函数的导函数)的图像.已知当时,两潮有一个交叉点,且破碎的涌潮的波谷为,则(  )
A. B.
C.的图像关于原点对称 D.在区间上单调
11.(2023高三下·安徽开学考)在棱长为2的正方体中,,分别为,的中点,则(  )
A.异面直线与所成角的余弦值为
B.点为正方形内一点,当平面时,的最小值为
C.过点,,的平面截正方体所得的截面周长为
D.当三棱锥的所有顶点都在球的表面上时,球的表面积为
12.(2023高三下·安徽开学考)对于正整数n,是小于或等于n的正整数中与n互质的数的数目.函数以其首名研究者欧拉命名,称为欧拉函数,又称为函数,例如,(10与1,3,7,9均互质)则(  )
A.
B.数列不是单调递增数列
C.若p为质数,则数列为等比数列
D.数列的前4项和等于
三、填空题
13.(2022高三上·威海期末)在的展开式中,只有第4项的二项式系数最大,则展开式中含项的系数为   .
14.(2023高三下·安徽开学考)曲线在点处的切线平分圆,则函数的零点为   .
15.(2023高三下·安徽开学考)已知函数,若,,则   .
16.(2023高三下·安徽开学考)设抛物线的焦点为,准线为与轴的交点为N,过抛物线上一点作的垂线,垂足为,若,与相交于点,且,则点的纵坐标为   .
四、解答题
17.(2023高三下·安徽开学考)等差数列中,分别是如表所示第一、二、三行中的某一个数,且其中的任意两个数不在表格的同一列.
第一列 第二列 第三列
第一行 5 8 2
第二行 4 3 12
第三行 16 6 9
(1)请选择一个可能的组合,并求数列的通项公式.
(2)记(1)中您选择的的前n项和为Sn,判断是否存在正整数k,使得成等比数列 若存在,请求出k的值;若不存在,请说明理由.
18.(2020高三上·运城期中)某高档小区有一个池塘,其形状为直角 , , 百米, 百米,现准备养一批观赏鱼供小区居民观赏.
(1)若在 内部取一点P,建造APC连廊供居民观赏,如图①,使得点P是等腰三角形PBC的顶点,且 ,求连廊 的长;
(2)若分别在AB,BC,CA上取点D,E,F,建造 连廊供居民观赏,如图②,使得 为正三角形,求 连廊长的最小值.
19.(2023高三下·安徽开学考)2020年席卷全球的新冠肺炎给世界人民带来了巨大的灾难,面对新冠肺炎,早发现、早诊断、早隔离、早治疗是有效防控疾病蔓延的重要举措之一.某社区对位居民是否患有新冠肺炎疾病进行筛查,先到社区医务室进行口拭子核酸检测,检测结果成阳性者,再到医院做进一步检查,已知随机一人其口拭子核酸检测结果成阳性的概率为%,且每个人的口拭子核酸是否呈阳性相互独立.
(1)假设该疾病患病的概率是%,且患病者口拭子核酸呈阳性的概率为%,设这位居民中有一位的口拭子核酸检测呈阳性,求该居民可以确诊为新冠肺炎患者的概率;
(2)根据经验,口拭子核酸检测采用分组检测法可有效减少工作量,具体操作如下:将位居民分成若干组,先取每组居民的口拭子核酸混在一起进行检测,若结果显示阴性,则可断定本组居民没有患病,不必再检测;若结果显示阳性,则说明本组中至少有一位居民患病,需再逐个进行检测,现有两个分组方案:
方案一:将位居民分成组,每组人;
方案二:将位居民分成组,每组人;
试分析哪一个方案的工作量更少?
(参考数据:,)
20.图1是直角梯形ABCD,,∠D=90°,四边形ABCE是边长为2的菱形,并且∠BCE=60°,以BE为折痕将△BCE折起,使点C到达的位置,且.
(1)求证:平面平面ABED.
(2)在棱上是否存在点P,使得点P到平面的距离为?若存在,求出直线EP与平面所成角的正弦值;若不存在,请说明理由.
21.(2023高三下·安徽开学考)已知双曲线的右焦点为,渐近线与抛物线交于点.
(1)求的方程;
(2)设是与在第一象限的公共点,作直线与的两支分别交于点,便得.
(i)求证:直线过定点;
(ii)过作于.是否存在定点,使得为定值?如果有,请求出点的坐标;如果没有,请说明理由.
22.(2021·高州模拟)已知函数 .
(1)当 时,证明: 在 上为减函数.
(2)当 时, ,求实数 的取值范围.
答案解析部分
1.【答案】D
【知识点】复数在复平面中的表示
【解析】【解答】,,则其在复平面对应的点为,即在第四象限.
故答案为:D
【分析】,计算得,可得答案.
2.【答案】A
【知识点】子集与真子集;交集及其运算
【解析】【解答】,,则,
真子集个数为.
故答案为:A
【分析】计算,得到真子集个数.
3.【答案】C
【知识点】必要条件、充分条件与充要条件的判断
【解析】【解答】函数为增函数,则 ,此时,故函数在上单调递增;当在上单调递增时, ,,所以,故为增函数.
故答案为:C
【分析】由已知结合指数函数与幂函数单调性分别求出相应的a的范围,即可判断.
4.【答案】A
【知识点】椭圆的简单性质
【解析】【解答】设椭圆的方程为(),
由椭圆的性质可知椭圆上的点到焦点距离的最小值为,最大值为,
根据题意可得近火点满足①,
远火点满足②,
由得,
故答案为:A
【分析】由题意可知,,即可解出.
5.【答案】C
【知识点】组合几何体的面积、体积问题
【解析】【解答】由题意得该容器模型为正四棱台,上、下底面的边长分别为2cm,3cm.
设该棱台的高为h,则由棱台体积公式,
得: 得,
所以侧面等腰梯形的高,
所以,
故答案为:C
【分析】由题意可知这是正四棱台,由其体积公式求出棱台的高,继而求得侧面上的高,最后求得其表面积.
6.【答案】D
【知识点】三角形中的几何计算
【解析】【解答】 ,又 , 在 的平分线上,
故答案为:D.
【分析】利用已知条件整理化简即可得到,由此即可得出结论。
7.【答案】A
【知识点】利用导数研究函数的单调性;向量的模
【解析】【解答】已知向量的夹角为的单位向量,则
所以
所以对任意的,且,则
所以,即,
设,即在上单调递减,
又时,,解得,
所以在上单调递增;
在上单调递减,所以,
故答案为:A.
【分析】利用向量的运算,求得模长,整理不等式,构造函数研究其单调性,利用导数,可得答案.
8.【答案】C
【知识点】利用导数研究函数的极值;利用导数研究曲线上某点切线方程
【解析】【解答】设直线l与曲线相切于,又,
所以直线l的斜率为,方程为,
令,;令,,即,.
所以.
设,则.
由,解得或;由,解得.
所以在,上单调递增,在上单调递减.
,,,,且恒有成立,
如图,函数与直线有3个交点.
所以点P的个数为3.
故答案为:C.
【分析】设出切点坐标,利用导数求切线斜率,写出切线方程,求出点A,B的坐标,表示的面积函数,求面积函数与直线有几个交点.
9.【答案】A,B
【知识点】独立性检验;独立性检验的应用;样本相关系数r及其数字特征
【解析】【解答】对于A,由相关指数的定义知:越大,模型的拟合效果越好,A符合题意;
对于B,残差点所在的带状区域宽度越窄,则残差平方和越小,模型拟合精度越高,B符合题意;
对于C,由独立性检验的思想知:值越大,“与有关系”的把握程度越大,C不符合题意.
对于D,,,又,,解得:,D不符合题意.
故答案为:AB.
【分析】根据相关指数的定义确定A;
根据残差的性质确定B;
根据独立性检验确定C;
根据二项分布与均值的运算确定D.
10.【答案】B,C
【知识点】利用导数研究函数的单调性;函数y=Asin(ωx+φ)的图象变换
【解析】【解答】,则,由题意得,即,故,因为,所以,由则,,A不符合题意;
因为破碎的涌潮的波谷为,所以的最小值为,即,得,所以,
则,B符合题意;
因为,所以,所以为奇函数,则C符合题意;
,由,得,因为函数在上单调递增,在上单调递减,
所以在区间上不单调,则D不符合题意,
故答案为:BC.
【分析】对于A,由题意,求导建立方程,根据正切函数的性质,可得答案;
对于B,整理其函数解析式,代入值,利用和角公式,可得答案;
对于C,整理函数解析式,利用诱导公式,结合奇函数的性质,可得答案;
对于D,利用整体思想,整体换元结合余弦函数的性质,可得答案.
11.【答案】B,C,D
【知识点】棱柱的结构特征;球的体积和表面积;异面直线及其所成的角
【解析】【解答】对于A选项,,
在中即为异面直线与所成的角,

异面直线与所成的角的余弦值为.A不符合题意;
对于B选项,取的中点的中点,取的中点,连接,,,

同理可得,
又面,面,面,面,
面,面,
又,面,
面面,
又面,面,
轨迹为线段,
在中,过作,此时取得最小值,
在中,,,,
在中,,,,
在中,,,,
如图,在中,.B项正确;
对于C选项,过点的平面截正方体,
平面平面,则过点的平面必与与交于两点,
设过点的平面必与与分别交于、,
过点的平面与平面和平面分别交于与,,同理可得,
如图过点的平面截正方体所得的截面图形为五边形,
如图以为原点,分别以方向为轴 轴 轴正方向建立空间直角坐标系,
设,,
则,,,,,
,,,,
,,
,解得,
,,
,,
在中,,,,同理:,
在中,,,,同理:
在中,,,

即过点的平面截正方体所得的截面周长为.C符合题意;
对于D选项,如图所示,取的中点,则,过作,
且使得,则为三棱锥的外接球的球心,
所以为外接球的半径,
在中,,
.D项正确,
故答案为:BCD.
【分析】根据正方体结构特征,逐项求解即可.
12.【答案】A,B,C
【知识点】数列的应用
【解析】【解答】根据题意可知,12与互质,29与共28个数都互质,
即,所以A符合题意;
由题意知,可知数列不是单调递增的,B符合题意;
若为质数,则小于等于的正整数中与互质的数为,
即每个数当中就有一个与不互质,所以互质的数的数目为个,
故,
所以为常数,即数列为等比数列,C符合题意;
根据C即可知,数列的前4项和为,D不符合题意,
故答案为:ABC
【分析】根据函数的定义、单调函数的定义,等比数列的定义,求和公式,可得答案.
13.【答案】15
【知识点】二项式定理
【解析】【解答】由题知,则,
令,得,
所以展开式中的系数为.
故答案为:15.
【分析】首先根据题意,可得,进而可得其二项式展开式的通项,令x的指数为3,可得r的值,最后将r的值代入通项可得其展开式中的项,即可得答案.
14.【答案】1
【知识点】利用导数研究曲线上某点切线方程;函数与方程的综合运用
【解析】【解答】因为,所以,
曲线在点处的切线斜率,又,
则切线方程为:,即,
若该切线平分圆,则切线过圆心,则,解得,
所以,因为,所以,
则只有一个零点,
故答案为:1
【分析】利用导数求出切线方程,根据切线过圆心,求得,再将零点转化为方程的根求解即可.
15.【答案】
【知识点】正弦函数的性质;运用诱导公式化简求值
【解析】【解答】解:因为,所以为偶函数,
所以,
所以,
又因为,
所以,
所以,
又因为,
所以,
所以,
所以,
又因为,
所以,
所以,
所以.
故答案为:
【分析】由,所以为偶函数,可得,再由,可得,进而可得,可求.
16.【答案】
【知识点】抛物线的简单性质;直线与圆锥曲线的关系
【解析】【解答】由题意,不妨设其在第一象限,作图如下,
由得,,即,
又因为为的中点,所以,所以,
所以为的三等分点,且,又因为,所以,且,
所以,不妨设,且在第一象限,,所以,
因为点在抛物线上,所以,
所以根据相似关系可得,
故答案为:.
【分析】根据向量运算的几何性质,结合相似三角形,求得线段之间的关系,根据抛物线的性质,求得点的坐标,结合线段的比例,可得答案.
17.【答案】(1)解:由题意可知,有两种组合满足条件.
①,此时等差数列中,,公差d=4,
所以数列的通项公式为 .
②,此时等差数列中,,公差d=2,
所以数列的通项公式为.
(2)解:若选择①,,
则 .
若成等比数列,则,
即,整理得,即
此方程无正整数解,故不存在正整数,使成等比数列.
若选择②,,
则.
若成等比数列,则,
即,整理得,
因为k为正整数,所以 .
故存在正整数 ,使得成等比数列.
【知识点】等差数列的通项公式;等差数列的前n项和;等比关系的确定
【解析】【分析】(1)根据题意,满足的组合有和两种情况,进而选择一种,求解即可;
(2)结合(1)中的组合,求得,再根据等比中项求解方程即可.
18.【答案】(1)解:因为P是等腰三角形PBC的顶点,且 ,
又 ,所以 , ,又因为 ,所以 ,
则在三角形PAC中,由余弦定理可得:
,解得 ,
所以连廊 百米;
(2)解:设正三角形DEF的边长为a, ,
则 , ,且 ,所以 ,
在三角形ADF中,由正弦定理可得:
,即 ,
即 ,化简可得 ,
所以 (其中 为锐角,且 ),
即边长的最小值为 百米,
所以三角形DEF连廊长的最小值为 百米.
【知识点】正弦定理;余弦定理
【解析】【分析】 (1)先在三角形PBC中利用已知条件求出PC的长度,再在三角形PAC中利用余弦定理求出PA的长度,即可求解;
(2)线设出等腰三角形的边长以及角CEF,则可求出CF的长度,进而可得AF的长度,再利用角的关系求出角ADF的大小,然后在三角形ADF中利用正弦定理化简出a的表达式,再利用三角函数的最值即可求出a的最小值,进而可以求解.
19.【答案】(1)解:设事件为 “核酸检测呈阳性”,事件为“患疾病”
由题意可得,
由条件概率公式得:

故该居民可以确诊为新冠肺炎患者的概率为
(2)解:设方案一中每组的检测次数为,则的取值为
所以的分布列为
所以
即方案一检测的总次数的期望为
设方案二中每组的检测次数为,则的取值为

所以的分布列为
所以
即方案二检测的总次数的期望为
由,则方案二的工作量更少
【知识点】离散型随机变量的期望与方差;条件概率与独立事件
【解析】【分析】(1) 设事件为 “核酸检测呈阳性”,事件为“患疾病” 利用条件概率公式求解即可;
(2)设方案一和方案二中每组的检测次数为,,分别求出两种方案检测次数的分布列,进而得出期望,通过比较期望的大小即可得出结论.
20.【答案】(1)解:如图所示:
在图1中,连接,交于O,因为四边形是边长为2的菱形,并且,所以,且.
在图 2 中, 相交直线 ,均与 垂直, 所以 是二面角 的平面角, 因为 , 所以 ,,所以平面 平面 ;
(2)解:由 (1) 知, 分别以,, 为 x,y,z 轴建立如图 2 所示的空间直角坐标系, 则 ,,,,, ,,,,.
设 ,,
则 .
设平面 的法向量为 ,
则, 即 , 取 ,
因为点 到平面 的距离为 ,
所以 , 解得 ,
则 , 所以 .
设直线 与平面 所成的角为 ,
所以直线 与平面 所成角的正弦值为 .
【知识点】平面与平面垂直的判定;用空间向量研究直线与平面所成的角
【解析】【分析】 (1)在图1中连接AC,交BE于O,由题意知AC⊥BE,且 ,再在图2中由 是二面角 的平面角,根据勾股定理得 ,证明出平面 平面 ;
(2) 分别以,, 为 x,y,z 轴建立空间直角坐标系,求出所需点的坐标和向量的坐标, 利用向量法求出直线 与平面 所成角的正弦值 .
21.【答案】(1)解:因为,渐近线经过点,
所以,解得:,所以
抛物线经过点
所以,所以
(2)证明:(i)因为在不同支,所以直线的斜率存在,设方程为.
令,联立得, ,则.
联立可得,解得:.
因为,所以,
代入直线方程及韦达结构整理可得:,
整理化简得:.
因为不在直线MN上,所以.
直线MN的方程为,过定点.
(ⅱ)因为为定点,且为直角,
所以D在以AB为直径的圆上,AB的中点即为圆心,半径为定值.
故存在点,使得为定值.
【知识点】抛物线的标准方程;双曲线的标准方程;直线与圆锥曲线的综合问题
【解析】【分析】(1)利用待定系数法求出的方程;
(2)(i)设方程为,令,利用“设而不求法”得到,表示出,整理可得:,可以判断出直线MN的方程为,即可证明过定点;
(ⅱ)由为直角,判断出D在以AB为直径的圆上,得到为AB的中点,使得为定值.
22.【答案】(1)当 时, ,则 ,
令 ,则 ,
当 时, , 单调递增,
当 时, , 单调递减,
∴ ,当 时 ,当 时 ,
∴ 是 上以 为拐点的减函数.
(2)由题意, 对于 恒成立.
设 ,则 ,易知 在 上为增函数,
∴ ,故 在 上为增函数,又 , ,
∴存在唯一的 ,使得 :当 时, ,此时,由 得 ,
令 ,则 ,
∴ 在 上为减函数,则 ,故 .
当 时, ,对于 , 恒成立.
当 时, ,由 得 ,
由上知 ,
令 ,则 ,易知 在 上为增函数,
∵ ,而 , ,
∴ ,又 ,
∴存在唯一 ,使得 :当 时, , 递减;当 时, , 递增;
∵ , ,
∴ ,即 ,
∴ 在 为减函数, ,故 .
综上可知,实数 的取值范围为 .
【知识点】函数单调性的性质;利用导数研究函数的单调性;利用导数研究函数的极值
【解析】【分析】(1)根据题意把a的值代入求出函数的解析式,再对其求导结合导函数的性质即可得出函数f(x)的单调性,由 时 由此得出函数 是 上以 为拐点的减函数。
(2)由已知条件即可得出 对于 恒成立 ,构造函数并对其求导结合导函数的性质即可得出函数h(x)的单调性,由此得出,然后再对其求导结合导函数的性质即可得出函数的单调性,由函数的单调性即可得出从而得到,进而求出a的取值范围。
1 / 1安徽省六校教育研究会2023届高三下学期数学入学素质测试试卷
一、单选题
1.(2023高三下·安徽开学考)设复数,则在复平面内对应的点位于(  )
A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限
【答案】D
【知识点】复数在复平面中的表示
【解析】【解答】,,则其在复平面对应的点为,即在第四象限.
故答案为:D
【分析】,计算得,可得答案.
2.(2023高三下·安徽开学考)已知集合,,则有(  )个真子集.
A.3 B.16 C.15 D.4
【答案】A
【知识点】子集与真子集;交集及其运算
【解析】【解答】,,则,
真子集个数为.
故答案为:A
【分析】计算,得到真子集个数.
3.(2023高三下·安徽开学考)已知且,“函数为增函数”是“函数在上单调递增”的(  )
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
【答案】C
【知识点】必要条件、充分条件与充要条件的判断
【解析】【解答】函数为增函数,则 ,此时,故函数在上单调递增;当在上单调递增时, ,,所以,故为增函数.
故答案为:C
【分析】由已知结合指数函数与幂函数单调性分别求出相应的a的范围,即可判断.
4.(2023高三下·安徽开学考)2021年2月10日,天问一号探测器顺利进入火星的椭圆环火轨道(将火星近似看成一个球体,球心为椭圆的一个焦点).2月15日17时,天问一号探测器成功实施捕获轨道远火点(椭圆轨迹上距离火星表面最远的一点)平面机动,同时将近火点高度调整至约265km.若此时远火点距离约为11945km,火星半径约为3395km,则调整后天问一号的运行轨迹(环火轨道曲线)的焦距约为(  )
A.11680km B.5840km C.19000km D.9500km
【答案】A
【知识点】椭圆的简单性质
【解析】【解答】设椭圆的方程为(),
由椭圆的性质可知椭圆上的点到焦点距离的最小值为,最大值为,
根据题意可得近火点满足①,
远火点满足②,
由得,
故答案为:A
【分析】由题意可知,,即可解出.
5.(2023高三下·安徽开学考)如图,一种棱台形状的无盖容器(无上底面)模型其上、下底面均为正方形,面积分别为,,且,若该容器模型的体积为,则该容器模型的表面积为(  )
A. B. C. D.
【答案】C
【知识点】组合几何体的面积、体积问题
【解析】【解答】由题意得该容器模型为正四棱台,上、下底面的边长分别为2cm,3cm.
设该棱台的高为h,则由棱台体积公式,
得: 得,
所以侧面等腰梯形的高,
所以,
故答案为:C
【分析】由题意可知这是正四棱台,由其体积公式求出棱台的高,继而求得侧面上的高,最后求得其表面积.
6.(2021高一下·大理期中)在 中, , , ,则直线 通过 的(  )
A.垂心 B.外心 C.重心 D.内心
【答案】D
【知识点】三角形中的几何计算
【解析】【解答】 ,又 , 在 的平分线上,
故答案为:D.
【分析】利用已知条件整理化简即可得到,由此即可得出结论。
7.(2023高三下·安徽开学考)已知向量的夹角为60°的单位向量,若对任意的 ,且,,则的取值范围是(  )
A. B. C. D.
【答案】A
【知识点】利用导数研究函数的单调性;向量的模
【解析】【解答】已知向量的夹角为的单位向量,则
所以
所以对任意的,且,则
所以,即,
设,即在上单调递减,
又时,,解得,
所以在上单调递增;
在上单调递减,所以,
故答案为:A.
【分析】利用向量的运算,求得模长,整理不等式,构造函数研究其单调性,利用导数,可得答案.
8.(2023高三下·安徽开学考)已知直线l与曲线相切,切点为P,直线l与x轴、y轴分别交于点A,B,O为坐标原点.若的面积为,则点P的个数是(  )
A.1 B.2 C.3 D.4
【答案】C
【知识点】利用导数研究函数的极值;利用导数研究曲线上某点切线方程
【解析】【解答】设直线l与曲线相切于,又,
所以直线l的斜率为,方程为,
令,;令,,即,.
所以.
设,则.
由,解得或;由,解得.
所以在,上单调递增,在上单调递减.
,,,,且恒有成立,
如图,函数与直线有3个交点.
所以点P的个数为3.
故答案为:C.
【分析】设出切点坐标,利用导数求切线斜率,写出切线方程,求出点A,B的坐标,表示的面积函数,求面积函数与直线有几个交点.
二、多选题
9.(2023高三下·安徽开学考)以下四个命题中,真命题的有(  )
A.在回归分析中,可用相关指数的值判断模型的拟合效果,越大,模型的拟合效果越好;
B.回归模型中残差是实际值与估计值的差,残差点所在的带状区域宽度越窄,说明模型拟合精度越高;
C.对分类变量与的统计量来说,值越小,判断“与有关系”的把握程度越大.
D.已知随机变量服从二项分布,若,则.
【答案】A,B
【知识点】独立性检验;独立性检验的应用;样本相关系数r及其数字特征
【解析】【解答】对于A,由相关指数的定义知:越大,模型的拟合效果越好,A符合题意;
对于B,残差点所在的带状区域宽度越窄,则残差平方和越小,模型拟合精度越高,B符合题意;
对于C,由独立性检验的思想知:值越大,“与有关系”的把握程度越大,C不符合题意.
对于D,,,又,,解得:,D不符合题意.
故答案为:AB.
【分析】根据相关指数的定义确定A;
根据残差的性质确定B;
根据独立性检验确定C;
根据二项分布与均值的运算确定D.
10.(2023高三下·安徽开学考)2022年9月钱塘江多处出现罕见潮景“鱼鳞潮”,“鱼鳞潮”的形成需要两股涌潮,一股是波状涌潮,另外一股是破碎的涌潮,两者相遇交叉就会形成像鱼鳞一样的涌潮.若波状涌潮的图像近似函数的图像,而破碎的涌潮的图像近似(是函数的导函数)的图像.已知当时,两潮有一个交叉点,且破碎的涌潮的波谷为,则(  )
A. B.
C.的图像关于原点对称 D.在区间上单调
【答案】B,C
【知识点】利用导数研究函数的单调性;函数y=Asin(ωx+φ)的图象变换
【解析】【解答】,则,由题意得,即,故,因为,所以,由则,,A不符合题意;
因为破碎的涌潮的波谷为,所以的最小值为,即,得,所以,
则,B符合题意;
因为,所以,所以为奇函数,则C符合题意;
,由,得,因为函数在上单调递增,在上单调递减,
所以在区间上不单调,则D不符合题意,
故答案为:BC.
【分析】对于A,由题意,求导建立方程,根据正切函数的性质,可得答案;
对于B,整理其函数解析式,代入值,利用和角公式,可得答案;
对于C,整理函数解析式,利用诱导公式,结合奇函数的性质,可得答案;
对于D,利用整体思想,整体换元结合余弦函数的性质,可得答案.
11.(2023高三下·安徽开学考)在棱长为2的正方体中,,分别为,的中点,则(  )
A.异面直线与所成角的余弦值为
B.点为正方形内一点,当平面时,的最小值为
C.过点,,的平面截正方体所得的截面周长为
D.当三棱锥的所有顶点都在球的表面上时,球的表面积为
【答案】B,C,D
【知识点】棱柱的结构特征;球的体积和表面积;异面直线及其所成的角
【解析】【解答】对于A选项,,
在中即为异面直线与所成的角,

异面直线与所成的角的余弦值为.A不符合题意;
对于B选项,取的中点的中点,取的中点,连接,,,

同理可得,
又面,面,面,面,
面,面,
又,面,
面面,
又面,面,
轨迹为线段,
在中,过作,此时取得最小值,
在中,,,,
在中,,,,
在中,,,,
如图,在中,.B项正确;
对于C选项,过点的平面截正方体,
平面平面,则过点的平面必与与交于两点,
设过点的平面必与与分别交于、,
过点的平面与平面和平面分别交于与,,同理可得,
如图过点的平面截正方体所得的截面图形为五边形,
如图以为原点,分别以方向为轴 轴 轴正方向建立空间直角坐标系,
设,,
则,,,,,
,,,,
,,
,解得,
,,
,,
在中,,,,同理:,
在中,,,,同理:
在中,,,

即过点的平面截正方体所得的截面周长为.C符合题意;
对于D选项,如图所示,取的中点,则,过作,
且使得,则为三棱锥的外接球的球心,
所以为外接球的半径,
在中,,
.D项正确,
故答案为:BCD.
【分析】根据正方体结构特征,逐项求解即可.
12.(2023高三下·安徽开学考)对于正整数n,是小于或等于n的正整数中与n互质的数的数目.函数以其首名研究者欧拉命名,称为欧拉函数,又称为函数,例如,(10与1,3,7,9均互质)则(  )
A.
B.数列不是单调递增数列
C.若p为质数,则数列为等比数列
D.数列的前4项和等于
【答案】A,B,C
【知识点】数列的应用
【解析】【解答】根据题意可知,12与互质,29与共28个数都互质,
即,所以A符合题意;
由题意知,可知数列不是单调递增的,B符合题意;
若为质数,则小于等于的正整数中与互质的数为,
即每个数当中就有一个与不互质,所以互质的数的数目为个,
故,
所以为常数,即数列为等比数列,C符合题意;
根据C即可知,数列的前4项和为,D不符合题意,
故答案为:ABC
【分析】根据函数的定义、单调函数的定义,等比数列的定义,求和公式,可得答案.
三、填空题
13.(2022高三上·威海期末)在的展开式中,只有第4项的二项式系数最大,则展开式中含项的系数为   .
【答案】15
【知识点】二项式定理
【解析】【解答】由题知,则,
令,得,
所以展开式中的系数为.
故答案为:15.
【分析】首先根据题意,可得,进而可得其二项式展开式的通项,令x的指数为3,可得r的值,最后将r的值代入通项可得其展开式中的项,即可得答案.
14.(2023高三下·安徽开学考)曲线在点处的切线平分圆,则函数的零点为   .
【答案】1
【知识点】利用导数研究曲线上某点切线方程;函数与方程的综合运用
【解析】【解答】因为,所以,
曲线在点处的切线斜率,又,
则切线方程为:,即,
若该切线平分圆,则切线过圆心,则,解得,
所以,因为,所以,
则只有一个零点,
故答案为:1
【分析】利用导数求出切线方程,根据切线过圆心,求得,再将零点转化为方程的根求解即可.
15.(2023高三下·安徽开学考)已知函数,若,,则   .
【答案】
【知识点】正弦函数的性质;运用诱导公式化简求值
【解析】【解答】解:因为,所以为偶函数,
所以,
所以,
又因为,
所以,
所以,
又因为,
所以,
所以,
所以,
又因为,
所以,
所以,
所以.
故答案为:
【分析】由,所以为偶函数,可得,再由,可得,进而可得,可求.
16.(2023高三下·安徽开学考)设抛物线的焦点为,准线为与轴的交点为N,过抛物线上一点作的垂线,垂足为,若,与相交于点,且,则点的纵坐标为   .
【答案】
【知识点】抛物线的简单性质;直线与圆锥曲线的关系
【解析】【解答】由题意,不妨设其在第一象限,作图如下,
由得,,即,
又因为为的中点,所以,所以,
所以为的三等分点,且,又因为,所以,且,
所以,不妨设,且在第一象限,,所以,
因为点在抛物线上,所以,
所以根据相似关系可得,
故答案为:.
【分析】根据向量运算的几何性质,结合相似三角形,求得线段之间的关系,根据抛物线的性质,求得点的坐标,结合线段的比例,可得答案.
四、解答题
17.(2023高三下·安徽开学考)等差数列中,分别是如表所示第一、二、三行中的某一个数,且其中的任意两个数不在表格的同一列.
第一列 第二列 第三列
第一行 5 8 2
第二行 4 3 12
第三行 16 6 9
(1)请选择一个可能的组合,并求数列的通项公式.
(2)记(1)中您选择的的前n项和为Sn,判断是否存在正整数k,使得成等比数列 若存在,请求出k的值;若不存在,请说明理由.
【答案】(1)解:由题意可知,有两种组合满足条件.
①,此时等差数列中,,公差d=4,
所以数列的通项公式为 .
②,此时等差数列中,,公差d=2,
所以数列的通项公式为.
(2)解:若选择①,,
则 .
若成等比数列,则,
即,整理得,即
此方程无正整数解,故不存在正整数,使成等比数列.
若选择②,,
则.
若成等比数列,则,
即,整理得,
因为k为正整数,所以 .
故存在正整数 ,使得成等比数列.
【知识点】等差数列的通项公式;等差数列的前n项和;等比关系的确定
【解析】【分析】(1)根据题意,满足的组合有和两种情况,进而选择一种,求解即可;
(2)结合(1)中的组合,求得,再根据等比中项求解方程即可.
18.(2020高三上·运城期中)某高档小区有一个池塘,其形状为直角 , , 百米, 百米,现准备养一批观赏鱼供小区居民观赏.
(1)若在 内部取一点P,建造APC连廊供居民观赏,如图①,使得点P是等腰三角形PBC的顶点,且 ,求连廊 的长;
(2)若分别在AB,BC,CA上取点D,E,F,建造 连廊供居民观赏,如图②,使得 为正三角形,求 连廊长的最小值.
【答案】(1)解:因为P是等腰三角形PBC的顶点,且 ,
又 ,所以 , ,又因为 ,所以 ,
则在三角形PAC中,由余弦定理可得:
,解得 ,
所以连廊 百米;
(2)解:设正三角形DEF的边长为a, ,
则 , ,且 ,所以 ,
在三角形ADF中,由正弦定理可得:
,即 ,
即 ,化简可得 ,
所以 (其中 为锐角,且 ),
即边长的最小值为 百米,
所以三角形DEF连廊长的最小值为 百米.
【知识点】正弦定理;余弦定理
【解析】【分析】 (1)先在三角形PBC中利用已知条件求出PC的长度,再在三角形PAC中利用余弦定理求出PA的长度,即可求解;
(2)线设出等腰三角形的边长以及角CEF,则可求出CF的长度,进而可得AF的长度,再利用角的关系求出角ADF的大小,然后在三角形ADF中利用正弦定理化简出a的表达式,再利用三角函数的最值即可求出a的最小值,进而可以求解.
19.(2023高三下·安徽开学考)2020年席卷全球的新冠肺炎给世界人民带来了巨大的灾难,面对新冠肺炎,早发现、早诊断、早隔离、早治疗是有效防控疾病蔓延的重要举措之一.某社区对位居民是否患有新冠肺炎疾病进行筛查,先到社区医务室进行口拭子核酸检测,检测结果成阳性者,再到医院做进一步检查,已知随机一人其口拭子核酸检测结果成阳性的概率为%,且每个人的口拭子核酸是否呈阳性相互独立.
(1)假设该疾病患病的概率是%,且患病者口拭子核酸呈阳性的概率为%,设这位居民中有一位的口拭子核酸检测呈阳性,求该居民可以确诊为新冠肺炎患者的概率;
(2)根据经验,口拭子核酸检测采用分组检测法可有效减少工作量,具体操作如下:将位居民分成若干组,先取每组居民的口拭子核酸混在一起进行检测,若结果显示阴性,则可断定本组居民没有患病,不必再检测;若结果显示阳性,则说明本组中至少有一位居民患病,需再逐个进行检测,现有两个分组方案:
方案一:将位居民分成组,每组人;
方案二:将位居民分成组,每组人;
试分析哪一个方案的工作量更少?
(参考数据:,)
【答案】(1)解:设事件为 “核酸检测呈阳性”,事件为“患疾病”
由题意可得,
由条件概率公式得:

故该居民可以确诊为新冠肺炎患者的概率为
(2)解:设方案一中每组的检测次数为,则的取值为
所以的分布列为
所以
即方案一检测的总次数的期望为
设方案二中每组的检测次数为,则的取值为

所以的分布列为
所以
即方案二检测的总次数的期望为
由,则方案二的工作量更少
【知识点】离散型随机变量的期望与方差;条件概率与独立事件
【解析】【分析】(1) 设事件为 “核酸检测呈阳性”,事件为“患疾病” 利用条件概率公式求解即可;
(2)设方案一和方案二中每组的检测次数为,,分别求出两种方案检测次数的分布列,进而得出期望,通过比较期望的大小即可得出结论.
20.图1是直角梯形ABCD,,∠D=90°,四边形ABCE是边长为2的菱形,并且∠BCE=60°,以BE为折痕将△BCE折起,使点C到达的位置,且.
(1)求证:平面平面ABED.
(2)在棱上是否存在点P,使得点P到平面的距离为?若存在,求出直线EP与平面所成角的正弦值;若不存在,请说明理由.
【答案】(1)解:如图所示:
在图1中,连接,交于O,因为四边形是边长为2的菱形,并且,所以,且.
在图 2 中, 相交直线 ,均与 垂直, 所以 是二面角 的平面角, 因为 , 所以 ,,所以平面 平面 ;
(2)解:由 (1) 知, 分别以,, 为 x,y,z 轴建立如图 2 所示的空间直角坐标系, 则 ,,,,, ,,,,.
设 ,,
则 .
设平面 的法向量为 ,
则, 即 , 取 ,
因为点 到平面 的距离为 ,
所以 , 解得 ,
则 , 所以 .
设直线 与平面 所成的角为 ,
所以直线 与平面 所成角的正弦值为 .
【知识点】平面与平面垂直的判定;用空间向量研究直线与平面所成的角
【解析】【分析】 (1)在图1中连接AC,交BE于O,由题意知AC⊥BE,且 ,再在图2中由 是二面角 的平面角,根据勾股定理得 ,证明出平面 平面 ;
(2) 分别以,, 为 x,y,z 轴建立空间直角坐标系,求出所需点的坐标和向量的坐标, 利用向量法求出直线 与平面 所成角的正弦值 .
21.(2023高三下·安徽开学考)已知双曲线的右焦点为,渐近线与抛物线交于点.
(1)求的方程;
(2)设是与在第一象限的公共点,作直线与的两支分别交于点,便得.
(i)求证:直线过定点;
(ii)过作于.是否存在定点,使得为定值?如果有,请求出点的坐标;如果没有,请说明理由.
【答案】(1)解:因为,渐近线经过点,
所以,解得:,所以
抛物线经过点
所以,所以
(2)证明:(i)因为在不同支,所以直线的斜率存在,设方程为.
令,联立得, ,则.
联立可得,解得:.
因为,所以,
代入直线方程及韦达结构整理可得:,
整理化简得:.
因为不在直线MN上,所以.
直线MN的方程为,过定点.
(ⅱ)因为为定点,且为直角,
所以D在以AB为直径的圆上,AB的中点即为圆心,半径为定值.
故存在点,使得为定值.
【知识点】抛物线的标准方程;双曲线的标准方程;直线与圆锥曲线的综合问题
【解析】【分析】(1)利用待定系数法求出的方程;
(2)(i)设方程为,令,利用“设而不求法”得到,表示出,整理可得:,可以判断出直线MN的方程为,即可证明过定点;
(ⅱ)由为直角,判断出D在以AB为直径的圆上,得到为AB的中点,使得为定值.
22.(2021·高州模拟)已知函数 .
(1)当 时,证明: 在 上为减函数.
(2)当 时, ,求实数 的取值范围.
【答案】(1)当 时, ,则 ,
令 ,则 ,
当 时, , 单调递增,
当 时, , 单调递减,
∴ ,当 时 ,当 时 ,
∴ 是 上以 为拐点的减函数.
(2)由题意, 对于 恒成立.
设 ,则 ,易知 在 上为增函数,
∴ ,故 在 上为增函数,又 , ,
∴存在唯一的 ,使得 :当 时, ,此时,由 得 ,
令 ,则 ,
∴ 在 上为减函数,则 ,故 .
当 时, ,对于 , 恒成立.
当 时, ,由 得 ,
由上知 ,
令 ,则 ,易知 在 上为增函数,
∵ ,而 , ,
∴ ,又 ,
∴存在唯一 ,使得 :当 时, , 递减;当 时, , 递增;
∵ , ,
∴ ,即 ,
∴ 在 为减函数, ,故 .
综上可知,实数 的取值范围为 .
【知识点】函数单调性的性质;利用导数研究函数的单调性;利用导数研究函数的极值
【解析】【分析】(1)根据题意把a的值代入求出函数的解析式,再对其求导结合导函数的性质即可得出函数f(x)的单调性,由 时 由此得出函数 是 上以 为拐点的减函数。
(2)由已知条件即可得出 对于 恒成立 ,构造函数并对其求导结合导函数的性质即可得出函数h(x)的单调性,由此得出,然后再对其求导结合导函数的性质即可得出函数的单调性,由函数的单调性即可得出从而得到,进而求出a的取值范围。
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