2014届高考数学（理）考前60天冲刺【六大解答题】--三角函数专练

2014届高考数学（理）考前60天冲刺【六大解答题】
三角函数
1．设△ABC的内角A、B、C所对的边分别为a、b、c，已知a＝1，b＝2，cosC＝.
(1)求△ABC的周长；
(2)求cos(A－C)的值．
2. 在中，角对的边分别为，且
（1）求的值；
（2）若，求的面积。
3．设的三个内角所对的边分别为．已知．
（Ⅰ）求角Ａ的大小；
（Ⅱ）若，求的最大值.
4，在中，角A、B、C所对的边分别为，
已知
（1）求的值；
（2）当，时，求及的长.
5，已知中，、、是三个内角、、的对边，关于的不等式
的解集是空集．
（1）求角的最大值；
（2）若，的面积，求当角取最大值时的值．
16．在中，．
（I）求角的大小；
（II）若，，求．
6．已知函数
的图象的一部分如下图所示．
（I）求函数的解析式；
（II）求函数的最大值与最小值．
7．已知函数.
（Ⅰ）求的最小正周期；
（Ⅱ）求在区间上的最大值和最小值.
8．在中，分别为角的对边，且满足.
（Ⅰ）求角的值；
（Ⅱ）若，设角的大小为的周长为，求的最大值.
9．三角形的三个内角A、B、C所对边的长分别为、、，设向量，若//．
（I）求角B的大小；
（II）求的取值范围．
10．三角形的三个内角A、B、C所对边的长分别为、、，设向量，若//．
（I）求角B的大小；
（II）求的取值范围．

11． 已知角的顶点在原点，始边与轴的正半轴重合，终边经过点.
（1）求的值；
（2）若函数，求函数
在区间上的取值范围．
12．设向量α＝(sin 2x，sin x＋cos x)，β＝(1，sin x－cos x)，其中x∈R，函数f (x)＝αβ．
(Ⅰ) 求f (x) 的最小正周期；
(Ⅱ) 若f (θ)＝，其中0＜θ＜，求cos(θ＋)的值．
13．设向量
（1）若与垂直，求的值；
（2）求的最大值；（3）若，求证：∥。
14．已知的面积为，且满足，设和的夹角为．
（I）求的取值范围；
（II）求函数的最大值及取得最大值时的值．
15．已知向量，，且
　　（1）求的取值范围；
　　（2）求函数的最小值，并求此时x的值
16．已知
（1）求的值；
（2）求函数的值域。
17．（本小题满分为12分）已知△ABC的周长为，且，角A、B、C所对的边为a、b、c（1）求AB的长；（2）若△ABC的面积为求角C的大小。
18、在△中，角，，的对边分别为，，，且满足．
（1）求角的大小；（2）若，求△面积的最大值．
19．在中，．
（I）求角的大小；
（II）若，，求．
20．已知向量，且。
(1)求的值；
(2)求函数的最大值和单调递增区间。
21．已知角的顶点在原点，始边与轴的正半轴重合，终边经过点.
（1）求的值；
（2）若函数，求函数
在区间上的取值范围．
22．已知，满足．
（I）将表示为的函数，并求的最小正周期；
（II）已知分别为的三个内角对应的边长，若，且，求的取值范围．
23．在锐角三角形ABC中，角A，B，C所对的边分别为，且
（1）求角A；
（2）若，求的取值范围．
24．已知的内角、、所对的边分别为、、，向量，且∥，为锐角.
（Ⅰ）求角的大小；
（Ⅱ）如果，求的面积的最大值.
25．已知角的顶点在原点，始边与轴的正半轴重合，终边经过点.
（1）求的值；
（2）若函数，求函数
在区间上的取值范围．
26．三角形ABC中，
（1）求边AB的长度 （2）
解：
27．已知函数f(x)＝asinx＋bcos(x－)的图象经过点(，)，(，0).
(1)求实数a，b的值；
(2)求函数f(x)在[0，π]上的单调递增区间.

(2)由(1)知：f(x)＝sinx－cos(x－)＝sinx－cosx＝sin(x－).(9分)
由2kπ－≤x－≤2kπ＋，解得2kπ－≤x≤2kπ＋　k∈Z.
∵x∈[0，π]，∴x∈[0，]，∴函数f(x)在[0，π]上的单调递增区间为[0，].
28．已知向量设函数
（I）求的最小正周期与单调递减区间；
（II）在△ABC中，分别是角A、B、C的对边，若△ABC的面积为，求的值.
30．某地有三家工厂，分别位于矩形ABCD的顶点A、B及CD的中点P处，已知AB=20km，BC=10km，为了处理三家工厂的污水，现要在矩形ABCD的区域上（含边界），且A、B与等距离的一点O处建造一个污水处理厂，并铺设排污管道AO、BO、OP，设排污管道的总长为ykm。
（1）按下列要求写出函数关系式：
①设∠BAO=θ(rad)，将y表示成θ的函数关系式；
②设OP=x(km)，将y表示成x的函数关系式；
（2）请你选用（1）中的一个函数关系式，确定污水处理厂的位置，使三条排污管道总长度最短
31．设三角形的内角的对边分别为 ,．
（1）求边的长；
（2）求角的大小.
（3）如果,求.
32．的三个内角所对的边分别为，向量，，且．
（1）求的大小；
（2）现在给出下列三个条件：①；②；③，试从中再选择两个条件以确定，求出所确定的的面积．
（注：只需要选择一种方案答题，如果用多种方案答题，则按第一方案给分）．
33．在中，三个内角所对应的边为，其中，且。
（1）求证：是直角三角形；
（2）若的外接圆为，点位于劣弧上，，求四边形的面积。
34．在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知.
（1）求的值；
（2）若cosB=，△
2012届高考数学（理）考前60天冲刺【六大解答题】三角函数专练
1．设△ABC的内角A、B、C所对的边分别为a、b、c，已知a＝1，b＝2，cosC＝. (1)求△ABC的周长； (2)求cos(A－C)的值．
【解答】 (1)∵c2＝a2＋b2－2abcosC＝1＋4－4×＝4，
∴c＝2，∴△ABC的周长为a＋b＋c＝1＋2＋2＝5.
(2)∵cosC＝，∴sinC＝＝＝，
∴sinA＝＝＝.
∵a∴cosA＝＝＝.
∴cos(A－C)＝cosAcosC＋sinAsinC＝×＋×＝.
2. 在中，角对的边分别为，且
（1）求的值；
（2）若，求的面积。
解：（1）由正弦定理可设，
所以，
所以． …………………6分
（2）由余弦定理得，
即，
又，所以，
解得或（舍去）
所以．
3．设的三个内角所对的边分别为．已知．
（Ⅰ）求角Ａ的大小；
（Ⅱ）若，求的最大值.
本小题主要考查两角和与差的三角函数公式、正弦定理、余弦定理等基础知识，考查运算求解能力，考查化归与转化思想．
解法一：（Ⅰ）由已知有，
故，.
又，所以.
（Ⅱ）由正弦定理得，
故.………………………………8分
．………………………………10分
所以.
因为，所以.
∴当即时，取得最大值，取得最大值４. …………12分
解法二：（Ⅰ）同解法一．
（Ⅱ）由余弦定理得，，………………………………8分
所以，即，………………………………10分
，故.
所以，当且仅当，即为正三角形时，取得最大值４. …………12分
4，在中，角A、B、C所对的边分别为，
已知
（1）求的值；
（2）当，时，求及的长.
（1）解：因为，及，
所以
（2）解：当时，
由正弦定理，得
由及
得
由余弦定理，
得，
解得ks5u
所以
.解：(1) 证明：∵，平面，
平面∴EC//平面,
同理可得BC//平面 ----------2分
∵EC平面EBC,BC平面EBC且
∴平面//平面 -------4分
又∵BE平面EBC ∴BE//平面PDA -------6分
(2)∵平面，平面
∴平面平面ABCD
∵ ∴BC平面----------8分
∵------10分
∴四棱锥B－CEPD的体积
.----------12分
5，已知中，、、是三个内角、、的对边，关于的不等式
的解集是空集．
（1）求角的最大值；
（2）若，的面积，求当角取最大值时的值．
解：（1）显然 不合题意，则有，---------------------2分
即， 即， 故，--4分
∴角的最大值为。……………………------------------------------------6分
（2）当=时，，∴-------------8分
由余弦定理得，
∴，∴。
16．在中，．
（I）求角的大小；
（II）若，，求．
解：（I）由已知得：，
， ………………5分
（II）由 可得：
………………8分
………………10分
解得：
6．已知函数
的图象的一部分如下图所示．
（I）求函数的解析式；
（II）求函数的最大值与最小值．
I）由图象，知A＝2，．
∴，得．……………………………………………2分
当时，有．
∴． ………………………………………………………………4分
∴． …………………………………………… 5分
（II）
……………………………7分
…………………………………………………10分
∴，． …
7．已知函数.
（Ⅰ）求的最小正周期；
（Ⅱ）求在区间上的最大值和最小值.
16解析：（Ⅰ）∵，
∴函数的最小正周期为.
（Ⅱ）由，∴，
∴在区间上的最大值为1，最小值为.
8．在中，分别为角的对边，且满足.
（Ⅰ）求角的值；
（Ⅱ）若，设角的大小为的周长为，求的最大值.
（Ⅰ）在中，由及余弦定理得…2分
而，则； ……………4分
（Ⅱ）由及正弦定理得， ……6分
同理 ……………8分
∴ ………………10分
∵∴，
∴即时，。
9．三角形的三个内角A、B、C所对边的长分别为、、，设向量，若//．
（I）求角B的大小；
（II）求的取值范围．
解（I）由//知，即得，据余弦定理知
，得 ——————6分
（II）
————————9分
因为，所以，得 ————10分
所以，得，即得的取值范围为．
10．三角形的三个内角A、B、C所对边的长分别为、、，设向量，若//．
（I）求角B的大小；
（II）求的取值范围．
解（I）由//知，即得，据余弦定理知
，得 ——————6分
（II）
————————9分
因为，所以，得 ————10分
所以，得，即得的取值范围为．
11． 已知角的顶点在原点，始边与轴的正半轴重合，终边经过点.
（1）求的值；
（2）若函数，求函数
在区间上的取值范围．
12．设向量α＝(sin 2x，sin x＋cos x)，β＝(1，sin x－cos x)，其中x∈R，函数f (x)＝αβ．
(Ⅰ) 求f (x) 的最小正周期；
(Ⅱ) 若f (θ)＝，其中0＜θ＜，求cos(θ＋)的值．
(Ⅰ)解：由题意得 f (x)＝sin 2x＋(sin x－cos x)(sin x＋cos x)
＝sin 2x－cos 2x＝2sin (2x－)，
故 f (x)的最小正周期T＝＝π． …………6分
(Ⅱ)解：若f (θ)＝，则2sin (2θ－)＝，
所以，sin (2θ－)＝．
又因为0＜θ＜，所以θ＝或．
当θ＝时，cos(θ＋)＝cos(＋)＝；
当θ＝时，cos(θ＋)＝cos(＋)＝－cos＝－．
13．设向量
（1）若与垂直，求的值；
（2）求的最大值；（3）若，求证：∥。
14．已知的面积为，且满足，设和的夹角为．
（I）求的取值范围；
（II）求函数的最大值及取得最大值时的值．
解：（Ⅰ）设中角的对边分别为，
则由，， …………………………………2分
可得， …………………………………4分
． …………………………………6分
（Ⅱ）……………8分
．…………10分
，，当时， ………………12分
有． ………………………………14分
15．已知向量，，且
　　（1）求的取值范围；
　　（2）求函数的最小值，并求此时x的值
解析：（1）∵　　　∴　；
　　∴　0≤≤2　　　　4分
（2）∵　　　∴　；…………6分
∵　
………………10分
∴　当，即或时，取最小值－。
16．已知
（1）求的值；
（2）求函数的值域。
解：
（Ⅰ）因为，且，
所以，．
因为
所以． …………………………………………6分

17．（本小题满分为12分）已知△ABC的周长为，且，角A、B、C所对的边为a、b、c（1）求AB的长；（2）若△ABC的面积为求角C的大小。
解（1） ∵ -------------------2分
∴ ∴C=1 ---------------------6分
（2） ---------------------8分
∵ ---------------------10分
∴
18、在△中，角，，的对边分别为，，，且满足．
（1）求角的大小；（2）若，求△面积的最大值．
解：解：（Ⅰ）因为， 所以
由正弦定理，得．
整理得．
所以．
在△中，． 所以，
（Ⅱ）由余弦定理，． 所以
所以，当且仅当时取“=”
所以三角形的面积． 所以三角形面积的最大值为
19．在中，．
（I）求角的大小；
（II）若，，求．
解：（I）由已知得：，
， ………………5分
（II）由 可得：
………………8分
………………10分
解得：
20．已知向量，且。
(1)求的值；
(2)求函数的最大值和单调递增区间。
16、解：(1)由，且，
得
(2)由
，所以的最大值是4
又得
所以递增区间是
21．已知角的顶点在原点，始边与轴的正半轴重合，终边经过点.
（1）求的值；
（2）若函数，求函数
在区间上的取值范围．
解：（1）因为角终边经过点，所以
，， ------------3分
---------6分
(2) ，--------8分
----10分

，------------------13分
故：函数在区间上的取值范围是
22．已知，满足．
（I）将表示为的函数，并求的最小正周期；
（II）已知分别为的三个内角对应的边长，若，且，求的取值范围．
解：（I）由得
即
所以，其最小正周期为．…………6分
（II）因为，则
.因为为三角形内角，所以…………9分
由正弦定理得，，
，，，
所以的取值范围为
23．在锐角三角形ABC中，角A，B，C所对的边分别为，且
（1）求角A；
（2）若，求的取值范围．
解：（1），，
，，-----------------6分
（2）正根据弦定理可得：，-----------8分
，=
---------------------------------12分
又，，得到的范围：----13分
，则范围：（2----14分
24．已知的内角、、所对的边分别为、、，向量，且∥，为锐角.
（Ⅰ）求角的大小；
（Ⅱ）如果，求的面积的最大值.
解：（Ⅰ）∵// ∴………………………1分
∴. 即. …………………………3分
又∵为锐角，∴. …………………………………………4分
∴，∴. …………………………………………………5分
（Ⅱ）∵，∴由余弦定理得
.
又∵，代入上式得（当且仅当时等号成
立）. ………………………………………………………………………8分
∴（当且仅当时等号成
立）.
∴面积的最大值为.
25．已知角的顶点在原点，始边与轴的正半轴重合，终边经过点.
（1）求的值；
（2）若函数，求函数
在区间上的取值范围．
解：（1）因为角终边经过点，所以
，， ------------3分
---------6分
(2) ，--------8分
----10分

，------------------13分
故：函数在区间上的取值范围是
26．三角形ABC中，
（1）求边AB的长度 （2）
解：
（1）
····················6分
(2)因为bccosA=1;accosB=3.
····················8分
所以
····················10分
于是
27．已知函数f(x)＝asinx＋bcos(x－)的图象经过点(，)，(，0).
(1)求实数a，b的值；
(2)求函数f(x)在[0，π]上的单调递增区间.

(2)由(1)知：f(x)＝sinx－cos(x－)＝sinx－cosx＝sin(x－).(9分)
由2kπ－≤x－≤2kπ＋，解得2kπ－≤x≤2kπ＋　k∈Z.
∵x∈[0，π]，∴x∈[0，]，∴函数f(x)在[0，π]上的单调递增区间为[0，].
28．已知向量设函数
（I）求的最小正周期与单调递减区间；
（II）在△ABC中，分别是角A、B、C的对边，若△ABC的面积为，求的值.
解：（I）
…………4分
…………5分
…………7分
（II）由得
…………10分
…………12分

29．在正四棱柱ABCD－A1B1C1D1中，AA1＝2AB，E为CC1的中点．
求证：（1）AC1∥平面BDE；（2）A1E(平面BDE．
（1）证明：连接AC，设AC∩BD＝O．由条件得ABCD为正方形，
故O为AC中点．因为E为CC1中点，所以OE∥AC1．
因为OE(平面BDE，AC1平面BDE．所以AC1∥平面BDE．
（2）连接B1E．设AB＝a，则在△BB1E中，BE＝B1E＝a，BB1＝2a．所以BE2＋B1E2＝BB12．
所以B1E(BE．由正四棱柱得，A1B1(平面BB1C1C，所以A1B1(BE．
所以BE(平面A1B1E．所以A1E(BE．同理A1E(DE．所以A1E(平面BDE．
30．某地有三家工厂，分别位于矩形ABCD的顶点A、B及CD的中点P处，已知AB=20km，BC=10km，为了处理三家工厂的污水，现要在矩形ABCD的区域上（含边界），且A、B与等距离的一点O处建造一个污水处理厂，并铺设排污管道AO、BO、OP，设排污管道的总长为ykm。
（1）按下列要求写出函数关系式：
①设∠BAO=θ(rad)，将y表示成θ的函数关系式；
②设OP=x(km)，将y表示成x的函数关系式；
（2）请你选用（1）中的一个函数关系式，确定污水处理厂的位置，使三条排污管道总长度最短
【解析】本小题主要考查函数最值的应用．
（Ⅰ）①由条件知PQ 垂直平分AB，若∠BAO=(rad) ，则, 故
，又OP＝，
所以，
所求函数关系式为
②若OP=(km) ，则OQ＝10－，所以OA =OB=
所求函数关系式为
（Ⅱ）选择函数模型①，
令0 得sin ，因为，所以=，
当时， ，是的减函数；当时， ，是的增函数，所以当=时，。这时点P 位于线段AB 的中垂线上，在矩形区域内且距离AB 边km处。
31．设三角形的内角的对边分别为 ,．
（1）求边的长；
（2）求角的大小.
（3）如果,求.
解：（1）依正弦定理错误！不能通过编辑域代码创建对象。有
又错误！不能通过编辑域代码创建对象。，∴错误！不能通过编辑域代码创建对象。 …………………………4分
（2）依余弦定理有
又错误！不能通过编辑域代码创建对象。＜＜错误！不能通过编辑域代码创建对象。，∴ ……………………9分
(3)由已知得错误！不能通过编辑域代码创建对象。…
32．的三个内角所对的边分别为，向量，，且．
（1）求的大小；
（2）现在给出下列三个条件：①；②；③，试从中再选择两个条件以确定，求出所确定的的面积．
（注：只需要选择一种方案答题，如果用多种方案答题，则按第一方案给分）．
解：（1）因为，所以
即：，所以
因为，所以
所以 6分
（2）方案一:选择①②，可确定，因为
由余弦定理，得：
整理得：
所以 12分
方案二:选择①③，可确定，因为
又
由正弦定理
所以
（注意;选择②③不能确定三角形）
33．在中，三个内角所对应的边为，其中，且。
（1）求证：是直角三角形；
（2）若的外接圆为，点位于劣弧上，，求四边形的面积。
．解：（1）由得………… 2分
所以或，……………………………… 4分
但，故，所以，所以是直角三角形；……………………………… 6分
（2）由（1）得，所以，
……………………………… 8分
在中，，
，………………… 10分
所以
所以。
34．在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知.
（1）求的值；
（2）若cosB=，△
解析 (1)由正弦定理得所以=,
即,即有,即,所以=2
(2)由(1)知=2,所以有,即c=2a,又因为的周长为5,所以b=5-3a,由余弦定理得：
，即，解得a=1，所以b=2.