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浙江省义乌市后宅中学2022-2023学年八年级下学期数学期初独立作业
一、选择题（本大题有10个小题，每小题3分，共30分）
1．（2023八下·义乌开学考）下列三条线段的长度能构成三角形的是（ ）
A．1，2，3 B．2，2，4 C．2，9，6 D．4，6，9
【答案】D
【知识点】三角形三边关系
【解析】【解答】解：A、∵1+2=3，∴以1、2、3为长度的三条线段不能围成三角形，故此选项不符合题意；
B、∵2+2=4，∴以2、2、4为长度的三条线段不能围成三角形，故此选项不符合题意；
C、∵6+2＜9，∴以2、9、6为长度的三条线段不能围成三角形，故此选项不符合题意；
D、∵4+6＞9，∴以4、6、9为长度的三条线段能围成三角形，故此选项符合题意.
故答案为：D.
【分析】根据三角形三边的关系，三角形任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边，故只需要判断较小两条线段的长度和是否大于最长线段的长度，从而一一判断得出答案.
2．（2023八下·义乌开学考）在平面直角坐标系中，点P（－5，2）在（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【答案】B
【知识点】点的坐标与象限的关系
【解析】【解答】解：∵ 点P（－5，2） ，横坐标为负数，纵坐标为正数，
∴点P在第二象限.
故答案为：B.
【分析】点的坐标符号与象限的关系：第一象限的点（+，+），第二象限的点（-，+），第三象限的点（-，-），第四象限的点（+，-），据此判断得出答案.
3．（2017八上·路北期末）下列平面图形中，不是轴对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】轴对称图形
【解析】【解答】解：根据轴对称图形的概念，可知只有A沿任意一条直线折叠直线两旁的部分都不能重合．
故选：A．
【分析】根据轴对称图形的定义作答．
如果把一个图形沿着一条直线翻折过来，直线两旁的部分能够完全重合，这样的图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴．
4．（2023八下·义乌开学考）下列选项中，能说明命题“两个锐角的和是锐角”是一个假命题的反例是（ ）
A．∠A=20°，∠B=60° B．∠A=30°，∠B=90°
C．∠A=40°，∠B=50° D．∠A=50°，∠B=100°
【答案】C
【知识点】真命题与假命题
【解析】【解答】解：A、∠A=20°与∠B=60°都是锐角，但∠A+∠B=80°也是锐角，故此选项不能说明“两个锐角的和是锐角”是一个假命题，故此选项不符合题意；
B、∠A=30°是锐角，∠B=90°是直角，故此选项不能说明“两个锐角的和是锐角”是一个假命题，故此选项不符合题意；
C、∠A=40°与∠B=50°都是锐角，∠A+∠B=90°是直角，故此选项能说明“两个锐角的和是锐角”是一个假命题，故此选项符合题意；
D、∠A=50°是锐角，∠B=100°是钝角，故此选项不能说明“两个锐角的和是锐角”是一个假命题，故此选项不符合题意.
故答案为：C.
【分析】说明一个命题是假命题的反例，只需要满足命题的题设，不需要满足命题的结论，从而即可一一判断得出答案.
5．（2023八下·义乌开学考）用直尺和圆规作一个角的平分线的示意图如图所示，则能说明∠AOC＝∠BOC的依据是（ ）
A．SSS
B．ASA
C．AAS
D．角平分线上的点到角两边距离相等
【答案】A
【知识点】三角形全等的判定（SSS）
【解析】【解答】解：如图：连接NC、MC，
根据作图过程得OM=ON，NC=MC，又OC=OC，
∴△OCN≌△OCM（SSS），
∴∠AOC=∠BOC.
故答案为：A.
【分析】根据作图过程得OM=ON，NC=MC，又OC是公共边，从而用SSS判断出△OCN≌△OCM，根据全等三角形对应角相等即可得出∠AOC=∠BOC，据此即可得出答案.
6．（2023八下·义乌开学考）若m＞n，则下列不等式正确的是（ ）
A．m－2＜n－2 B．am＞an C．－8m＞－8n D．
【答案】D
【知识点】不等式的性质
【解析】【解答】解：A、若m＞n，则m-2＞n-2，故此选项错误，不符合题意；
B、若m＞n，则当a＞0时，am＞an，故此选项错误，不符合题意；
C、若m＞n，则-8m＜-8n，故此选项错误，不符合题意；
D、若m＞n，则，故此选项正确，符合题意.
故答案为：D.
【分析】不等式的两边同时加上或减去同一个数或式子，不等号的方向不改变；不等式的两边同时乘以或除以同一个正数，不等号的方向不改变；不等式的两边同时乘以或除以同一个负数，不等号的方向改变，据此一一判断得出答案.
7．（2023八下·义乌开学考）在△ABC中，BC＝a，AC＝b，AB＝c，根据下列条件不能判断△ABC是直角三角形的是（ ）
A．∠B＝50°，∠C＝40° B．∠A=2∠B=3∠C
C．a＝4，b＝，c＝5 D．a：b：c＝1：：
【答案】B
【知识点】三角形内角和定理；勾股定理的逆定理
【解析】【解答】解：A、∵∠B=50°，∠C=40°，∴∠A=180°-50°-40°=90°，故△ABC是直角三角形，此选项不符合题意；
B、∵∠A=2∠B=3∠C，
∴∠B=∠A，∠C=∠A，
∵∠A+∠B+∠C=180°，
∴∠A+∠A+∠A=180°，
解得∠A≈98°，故△ABC不是直角三角形，此选项符合题意；
C、∵a=4，，c=5，∴a2+b2=16+25=c2=41，故△ABC是直角三角形，此选项不符合题意；
D、，，∴a2+b2=3a2=c2，故△ABC是直角三角形，此选项不符合题意.
故答案为：B.
【分析】根据勾股定理的逆定理，若果一个三角形较小两边的平方和等于最大边长的平方，则该三角形就是直角三角形，据此可判断C、D选项；根据三角形的内角和定理，求出三角形中最大内角的度数，如果最大内角等于90°，则该三角形就是直角三角形，否则就不是，据此可判断A、B选项.
8．（2023八下·义乌开学考）小李与小陆从A地出发，骑自行车沿同一条路行驶到B地，他们离出发地的距离s(单位：km)和行驶时间t(单位：h)之间的函数关系的图象如图所示，根据图中提供的信息，有下列说法：
①他们都行驶了20 km；②小陆全程共用了1.5 h；③小李与小陆相遇后，小李的速度大于小陆的速度；④小李在途中停留了0.5 h. 其中正确的有（ ）
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
【答案】B
【知识点】通过函数图象获取信息并解决问题；用图象表示变量间的关系
【解析】【解答】解：（1）根据图象的纵坐标可得：他们都行驶了20km，故原说法正确；
（2）根据图象可得：小陆全程共用了：2 0.5＝1.5h，故原说法正确；
（3）根据图象可得：小李与小陆相遇后，他们距离目的地有相同的路程，但是小陆用1个小时到B地，小李用1.5个小时到B地，所以小李的速度小于小陆的速度，故原说法错误；
（4）根据图象可得：表示小李的S t图象从0.5时开始到1时结束，时间在增多，而路程没有变化，说明此时在停留，停留了1 0.5＝0.5小时，故原说法正确．
故答案为：B.
【分析】首先注意横纵坐标的表示意义，再观察图象可得他们都行驶了20km；小陆从0.5时出发，2时到达目的地，全程共用了：2 0.5＝1.5h；小李与小陆相遇后，他们距离目的地有相同的路程，但是小陆到达目的地所用时间小于小李到达目的地所用时间，根据速度＝路程÷时间可得小李的速度小于小陆的速度；小李出发0.5小时后停留了0.5小时，然后根据此信息分别对4种说法进行判断．
9．（2023八下·义乌开学考）如图，用四个螺丝将四条不可弯曲的木条围成一个木框（形状不限），不计螺丝大小，其中相邻两螺丝的距离依次为3、4、5、7，且相邻两木条的夹角均可调整．若调整木条的夹角时不破坏此木框，则任意两个螺丝间的距离的最大值为（ ）
A．9 B．8 C．7 D．6
【答案】A
【知识点】三角形三边关系
【解析】【解答】解：已知4条木棍的四边长为3、4、5、7；
①选3＋4、5、7作为三角形，则三边长为7、5、7，能构成三角形，此时两个螺丝间的最长距离为7；
②选5＋4、7、3作为三角形，则三边长为9、7、3，能构成三角形，此时两个螺丝间的最大距离为9；
③选5＋7、3、4作为三角形，则三边长为12、4、3，而4＋3＜12，不能构成三角形，此种情况不成立；
④选7＋3、5、4作为三角形，则三边长为10、5、4，而5＋4＜10，不能构成三角形，此种情况不成立；
综上所述，任两螺丝的距离之最大值为9．
故答案为：A.
【分析】两个螺丝的距离最大，则此时这个木框的形状为三角形，可根据三条木棍的长来判断有几种三角形的组合，然后分别找出这些三角形的最长边即可．
10．（2023八下·义乌开学考）如图，直线y＝x＋m与y＝nx－5n（n≠0）的交点的横坐标为3，则关于x的不等式x＋m＞nx－5n＞0的整数解为（ ）
A．6 B．5 C．4 D．3
【答案】C
【知识点】一次函数与不等式（组）的综合应用
【解析】【解答】解：当y＝0时，nx 5n＝0，
解得：x＝5，
∴直线y＝nx 5n与x轴的交点坐标为（5，0），
观察函数图象可知：当3＜x＜5时，直线y＝x＋m在直线y＝nx 5n的上方，且两直线均在x轴上方，
∴不等式x＋m＞nx 5n＞0的解集为3＜x＜5，
∴不等式x＋m＞nx 5n＞0的整数解为4．
故答案为：C.
【分析】令y＝0可求出直线y＝nx 5n与x轴的交点坐标，根据两函数图象与x轴的上下位置关系结合交点横坐标即可得出不等式x＋m＞nx 5n＞0的解，找出其内的整数即可．
二、填空题（本大题有6个小题，每小题4分，共24分）
11．（2023八下·义乌开学考）二次根式中x的取值范围是 ．
【答案】x≥－3
【知识点】二次根式有意义的条件
【解析】【解答】解：由题意得6+2x≥0，
解得x≥-3.
故答案为：x≥-3.
【分析】根据二次根式的被开方数不能为负数，列出不等式，求解即可.
12．（2023八下·义乌开学考）若直角三角形的两条直角边的长分别为5和 12，则斜边上的中线长为 ．
【答案】6.5
【知识点】勾股定理；直角三角形斜边上的中线
【解析】【解答】解：直角三角形的斜边长为：，
∴该直角三角形斜边上的中线长为6.5.
故答案为：6.5.
【分析】先根据勾股定理算出直角三角形的斜边长，再根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得答案.
13．（2023八下·义乌开学考）在平面直角坐标系中，点M（－4，1），先向右平移2个单位，再作关于y轴对称，最后得到的点的坐标为 ．
【答案】（2，1）
【知识点】关于坐标轴对称的点的坐标特征；用坐标表示平移
【解析】【解答】解： 点M（－4，1）向右平移2个单位后的坐标为（-2，1），点（-2，1）关于y轴对称的点的坐标为（2，1）.
故答案为：（2，1）.
【分析】根据点的坐标的平移规律“左移减，右移加”可得点M平移后对应点的坐标，进而根据关于y轴对称的点，横坐标互为相反数，纵坐标不变可得答案.
14．（2021八上·萧山期中）写出命题“等腰三角形的两个底角相等”的逆命题： ．
【答案】有两个角相等的三角形是等腰三角形
【知识点】逆命题
【解析】【解答】解：命题“等腰三角形的两个底角相等”的逆命题有两个角相等的三角形是等腰三角形.
故答案为：有两个角相等的三角形是等腰三角形.
【分析】利用逆命题就是原命题的题设和结论互换，由此可得到此命题的逆命题.
15．（2023八下·义乌开学考）如图，在△ABC中，AB=10，将△ABC绕点B按逆时针方向旋转30°后得到△A1BC1，则阴影部分的面积为 ．
【答案】25
【知识点】含30°角的直角三角形；旋转的性质；几何图形的面积计算-割补法
【解析】【解答】解：如图：过点A1作A1D⊥AB于点D，
∴∠A1DB=90°，
∵将△ABC绕点B按逆时针方向旋转30°后得到△A1BC1，
∴∠A1BD=30°，A1B=AB=10，△ABC≌△A1BC1，
∴A1D=A1B=5， S△ABC=S△A1BC1，
∴S△AA1B=×AB×A1D=×10×5=25，
∴S阴影=S△A1AB+S△A1BC1-S△ABC=S△AA1B=25.
故答案为：25.
【分析】过A1作A1D⊥AB于D，根据旋转的性质得∠A1BD=30°，A1B=AB=10，△ABC≌△A1BC1，根据含30°直角三角形的性质得A1D=5，根据全等三角形的性质得 S△ABC=S△A1BC1，进而利用割补法，由S阴影=S△A1AB+S△A1BC1-S△ABC=S△AA1B即可得出答案.
16．（2023八下·义乌开学考）如图，直线l1：y=－x+3交x轴于点A，交y轴于点B， 直线l2：y=x+1交x轴于点D，交y轴于点C，直线l1、l2交于点M．
（1）点M坐标为 ；
（2）若点E在y轴上，且△DME是以DM为一腰的等腰三角形，则E点坐标为 ．
【答案】（1）（1，2）
（2）（0， ）或（0，－ ）或（0，2＋ ）或（0，2－ ）
【知识点】两一次函数图象相交或平行问题；等腰三角形的性质；直角坐标系内两点的距离公式
【解析】【解答】解：（1）联立两直线解析式得，
解得，
∴点M的坐标为（1，2）；
故答案为：（1，2）；
（2）令直线y=x+1中的y=0得x=-1，
∴点D（-1，0），
∴DM2=（-1-1）2+22=8，
设E点坐标为（0，a），则DE2=1+a2，ME2=1+（2-a）2
∵ △DME是以DM为一腰的等腰三角形 ，
故需要分类讨论：①当DE=DM时，
可得1+a2=8，
解得，
∴E（0， ）或（0，－ ）
②当DM=ME时，可得1+（2-a）2=8，
解得，
∴E（0，2＋ ）或（0，2－ ），
综上可得点E的坐标为（0， ）或（0，－ ）或（0，2＋ ）或（0，2－ ）.
故答案为：（0， ）或（0，－ ）或（0，2＋ ）或（0，2－ ）.
【分析】（1）解联立两函数解析式组成的方程即可得出点M的坐标；
（2）令直线y=x+1中的y=0算出对应的x的值，可得点D的坐标，根据两点间的距离公式表示出DM2、DE2、ME2，再根据等腰三角形的性质分①当DE=DM时，②当DM=ME时，两种情况建立方程，求解即可.
三、解答题（共8题，共66分）
17．（2023八下·义乌开学考）计算
（1） ；
（2）
【答案】（1）解：原式=－ +2-3-1
=－ -2；
（2）解：原式=
=4 －8.
【知识点】实数的运算；二次根式的混合运算
【解析】【分析】（1）首先根据绝对值的性质、负指数幂的性质及0指数幂的性质分别化简，再进行有理数的加减法即可得出答案；
（2）先根据平方差公式及完全平方公式分别去括号，再根据二次根式的性质及二次根式的乘法法则分别化简，最后再进行有理数的加减法即可得出答案.
18．（2023八下·义乌开学考）解不等式（组）
（1）3y－2≤6+7y，并把解集表示在数轴上
（2）解不等式组
【答案】（1）解： 3y－2≤6+7y ，
移项，得3y-7y≤6+2，
合并同类项，得-4y≤8，
系数化为1，得y≥-2；
在数轴上表示该不等式的解集为：
（2）解：
由①得x≤ ，
由②得x＞-3，
∴该不等式组的解集为：－3＜x≤ ，
在数轴上表示该不等式组的解集为：
【知识点】在数轴上表示不等式组的解集；解一元一次不等式；解一元一次不等式组；在数轴上表示不等式的解集
【解析】【分析】（1）根据解不等式的步骤：移项、合并同类项、系数化为1求出不等式的解集，进而根据数轴上表示不等式的解集的方法“大向右，小向左，实心等于，空心不等”将该不等式的解集在数轴上表示出来即可；
（2）分别解出不等式组中两个不等式的解集，根据口诀：同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小无解了确定出解集，进而根据数轴上表示不等式组的解集的方法“大向右，小向左，实心等于，空心不等”将该不等式组的解集在数轴上表示出来即可.
19．（2023八下·义乌开学考）小刚上午9：00从家里出发，骑车去一家超市购物，然后从这家超市返回家中，小刚离家的路程y（米）和所经过的时间x（分）之间的函数图象如图所示．请根据图象回答下列问题：
（1）小刚在超市逗留了 分钟；
（2）小刚去超市途中的速度是多少？
（3）小刚几点几分返回到家？
【答案】（1）30
（2）解：3000÷10＝300（米/分钟），
答：小敏去超市途中的速度是300米/分钟；
（3）解：=3000÷200=15（分钟），
40+15=55分钟，
所以小刚9点55分返回家中，
答：小刚9点55分返回家中.
【知识点】通过函数图象获取信息并解决问题；用图象表示变量间的关系
【解析】【解答】解：（1）40 10＝30（分钟），
∴小刚在超市逗留了30分钟，
故答案为：30；
【分析】（1）由图象得小敏在超市逗留时间可列式为40 10，再进行求解；
（2）根据图象提供的信息，小刚去超市的时候，10分钟走了3000米，从而根据路程除以时间=速度即可算出答案；
（3）先求得小刚返回时的速度，再求得小刚返回时的时间，即可求得此题结果．
20．（2023八下·义乌开学考）如图，已知△ABC在方格纸中，每个小正方形的边长为1个单位长度．
（1）△A1B1C1与△ABC关于x轴对称，请你在图中画出△A1B1C1；
（2）将△ABC向右平移4个单位后得到△A2B2C2，请你在图中画出△A2B2C2；并写出B2的坐标；
（3）在x轴上存在点M，使得MB+MC的值最小，请求出点M的坐标以及MB+MC的最小值．
【答案】（1）解：如图： △A1B1C1 就是所求的三角形；
（2）解：如图： △A2B2C2就是所求的三角形，
点B2的坐标为（－2，3）；
（3）解：如图：作点C关于x轴的对称点C3点，连接BC3，交x轴于点M，此点就是使MB+MC的值最小的点，根据轴对称的性质MC=MC3，∴MB+MC=MB+MC3=BC3，根据两点之间线段最短可得BC3就是MB+MC的最小值；
易得点C3的坐标为（-3，-1），B点坐标为（-6，3），
设直线BC3的解析式为y=kx+b，
将点B、C的坐标代入得，
解得，
∴直线BC3的解析式为，
将y=0代入得
∴M（－ ，0）
∴
即MB＋MC的最小值为5.
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；作图﹣轴对称；轴对称的应用-最短距离问题；作图﹣平移；一次函数的性质
【解析】【分析】（1）利用方格纸的特点及轴对称的性质，分别作出A、B、C三点关于x轴的对称点A1、B1、C1，再顺次连接即可得出所求的△A1B1C1；
（2）利用方格纸的特点及平移的性质，分别作出A、B、C三点向右平移4个单位长度后的对称点A2、B2、C2，再顺次连接即可得出所求的△A2B2C2；
（3）作点C关于x轴的对称点C3点，连接BC3，交x轴于点M，此点就是使MB+MC的值最小的点，根据轴对称的性质MC=MC3，故MB+MC=MB+MC3=BC3，根据两点之间线段最短可得BC3就是MB+MC的最小值，进而利用两点间的距离公式即可算出BC3；利用待定系数法求出直线BC3的解析式，再令解析式中的y=0算出对应的x的值，可得点M的坐标.
21．（2023八下·义乌开学考）已知 ： OP平分 ∠MON，点A， B分别在边OM， ON上 ， 且∠OAP＋∠OBP=180°
（1）如图 1，当∠OAP=90°时，求证：OA=OB；
（2）如图 2，当∠OAP<90°时，作 PC⊥OM 于点 C．
求证：①PA=PB；
②请直接写出OA，OB，AC之间的数量关系 ▲ ．
【答案】（1）证明：∵∠OAP＋∠OBP＝180°，∠OAP＝90°
∴∠OBP＝90°
∴∠OAP＝∠OBP
∵OP平分∠MON
∴∠POA＝∠POB
又∵OP＝OP
∴△POA≌△POB（AAS）
∴OA＝OB
（2）解：①证明：如图：在OA上取点D，使得OD＝OB，连接PD，
由（1）知∠POA＝∠POB，OP＝OP
∴△POD≌△POB（SAS）
∴PD＝PB，∠ODP＝∠OBP
∵∠OAP＋∠OBP＝180°，而∠ODP＋∠ADP＝180°
∴∠ADP＝∠OAP
∴PD＝PA
∴PA＝PB
②OA－OB＝2AC
【知识点】等腰三角形的性质；三角形全等的判定（SAS）；三角形全等的判定（AAS）
【解析】【解答】（2）②解：OA－OB＝2AC，理由如下：
∵△POD≌△POB，
∴OB=OD，
∵PA=PD，PC⊥OA，
∴AD=2AC，
又∵AD=OA-OD=OA-OB，
∴OA－OB＝2AC.
【分析】 （1）易得∠OAP＝∠OBP，根据角平分线的定义得∠POA＝∠POB，从而利用AAS判断出△POA≌△POB，根据全等三角形对应边相等得OA=OB；
（2）①在OA上取点D，使得OD＝OB，连接PD，利用SAS判断出△POD≌△POB，根据全等三角形的性质得PD＝PB，∠ODP＝∠OBP，进而根据等角的补角相等得∠ADP＝∠OAP，由等角对等边得PD=PA，从而可得PA=PB；②OA－OB＝2AC，理由如下：根据全等三角形的对应边相等得OB=OD，根据等腰三角形的三线合一得AD=2AC，进而根据AD=OA-OD=OA-OB，即可得出结论.
22．（2023八下·义乌开学考）
义乌某商店销售10台A型和20台B型电脑的利润为4000元，销售20台A型和10台B型电脑的利润为3500元．
（1）求每台A型电脑和B型电脑的销售利润；
（2）该商店计划一次购进两种型号的电脑共100台，其中B型电脑的进货量不超过A型电脑的2倍，设购进A型电脑x台，这100台电脑的销售总利润为y元．
①
求y关于x的函数关系式；
②
该商店购进A型、B型电脑各多少台，才能使销售总利润最大？
（3）实际进货时，厂家对A型电脑出厂价下调m（50＜m＜100）元，且限定商店最多购进A型电脑70台，若商店保持同种电脑的售价不变，请你根据以上信息及（2）中条件，设计出使这100台电脑销售总利润最大的进货方案．
【答案】（1）解：（1）设每台A型电脑销售利润为a元，每台B型电脑的销售利润为b元，
根据题意，得
解得
答：每台A型电脑获利100元，每台B型电脑获利150元；
（2）解：①据题意得，y＝100x＋150（100 x），即y＝ 50x＋15000，
②据题意得，100 x≤2x，解得x≥，
∵y＝ 50x＋15000， 50＜0，
∴y随x的增大而减小，
∵x为正整数，
∴当x＝34时，y取最大值，则100 x＝66，
答：该商店购进A型电脑34台，B型电脑66台，获利最大；
（3）解：据题意得，y＝（100＋m）x＋150（100 x），即y＝（m 50）x＋15000，
∵≤x≤70，
当50＜m＜100时，m 50＞0，y随x的增大而增大，
∴当x＝70时，y取得最大值．
即商店购进70台A型电脑和30台B型电脑的销售利润最大．
【知识点】一次函数的实际应用；二元一次方程组的实际应用-销售问题
【解析】【分析】（1）设每台A型电脑销售利润为a元，每台B型电脑的销售利润为b元；根据“ 销售10台A型和20台B型电脑的利润为4000元，销售20台A型和10台B型电脑的利润为3500元 ”列出方程组求解即可；
（2）① 设购进A型电脑x台 ，则购进B型电脑（100-x）台，根据x台A型电脑的利润+（100-x）台B型电脑的利润=总利润可建立出y关于x的函数解析式；
② 由B型电脑的进货量不超过A型电脑的2倍列出不等式，求出x的范围，进而根据①所得函数的性质可解决问题；
（3）根据单件商品的利润乘以销售数量=总利润及x台A型电脑的利润+（100-x）台B型电脑的利润=总利润可建立出y关于x的函数解析式，由于当50＜m＜100时，m 50＞0，y随x的增大而增大，再结合x的取值范围即可解决问题.
23．（2023八下·义乌开学考）定义：在△ABC中，若BC=a，AC=b，AB=c，a，b，c满足，则称这个三角形为“和谐勾股三角形”. 请根据以上定义解决下列问题：
（1）命题：“直角三角形都是和谐勾股三角形”是 （填“真”或“假”）命题；
（2）如图1，若等腰△ABC是“和谐勾股三角形”，其中AB=BC，AC>AB，求∠A的度数；
（3）如图2，在三角形ABC中，∠B=2∠A，且∠C >∠A.
① 当∠A=32°时，你能把这个三角形分成两个等腰三角形吗？若能，请在图2中画出分割线，并标注被分割后的两个等腰三角形的顶角度数；若不能，请说明理由；
② 请证明△ABC为“和谐勾股三角形”.
【答案】（1）假
（2）解：∵AB＝BC
∴c＝a，b＞c，
又∵△ABC是“和谐勾股三角形”
∴b2＝ac＋a2
∴b2＝c2＋a2
∴△ABC是等腰直角三角形
∴∠A＝45°
（3）解：①在△ABC中，∠ABC＝2∠BAC，∠BAC＝32°，
∴∠ABC＝64°，
根据三角形的内角和定理得，∠ACB＝180° ∠BAC ∠ABC＝84°，
∵把这个三角形分成两个等腰三角形，
当射线经过点C，
（Ⅰ）当∠BCD＝∠BDC时，
∵∠ABC＝64°，
∴∠BCD＝∠BDC＝58°，
∴∠ACD＝∠ACB ∠BCD＝84° 58°＝26°，∠ADC＝∠ABC＋∠BCD＝122°，
∴△ACD不是等腰三角形，此种情况不成立；
（Ⅱ）当∠BCD＝∠ABC＝64°时，
∴∠BDC＝52°，
∴∠ACD＝20°，∠ADC＝128°，
∴△ACD是等腰三角形，此种情况不成立；
（Ⅲ）当∠BDC＝∠ABC＝64°时，如图：
∴∠BCD＝52°，
∴∠ACD＝∠ACB BCD＝32°＝∠BAC，
∴△ACD是等腰三角形，
即：分割线和顶角标注如图2所示，
当射线经过点B，同（Ⅰ）的方法，判断此种情况不成立；
当射线经过点A，同（Ⅱ）的方法，判断此种情况不成立；
②如图4，在AB边上取点D，连接CD，使得∠DCA＝∠A，过点C作CG⊥AB；
∴∠CDB＝∠ACD＋∠A＝2∠A，
∵∠B＝2∠A，
∴∠CDB＝∠B，
∴CD＝CB＝a，
∵∠ACD＝∠A，
∴AD＝CD＝a，
∴DB＝AB AD＝c a，
∵CG⊥AB，
∴BG＝DG＝ ，
∴DG＝BG＝（c a），
∴AG＝AD＋DG＝a＋（c a）＝（a＋c），
在Rt△ACG中，CG2＝AC2 AG2＝b2 [（c＋a）]2，
在Rt△BCG中，CG2＝BC2 BG2＝a2 [（c a）]2，
∴b2 [（a＋c）]2＝a2 [（c a）]2，
∴b2＝ac＋a2，
∴△ABC是“和谐勾股三角形”．
【知识点】三角形的综合
【解析】【解答】（1）解：如图1：假设Rt△ABC是和谐勾股三角形，
∴b2=ac+a2，
在Rt△ABC中，∠B＝90°，根据勾股定理得，a2＋c2＝b2，
∴ac+a2＝a2＋c2，
∴ac＝c2，
∴a＝c，
∴△ABC是等腰直角三角形，
∴等腰直角三角形是和谐勾股三角形，
即原命题是假命题，
故答案为：假；
【分析】（1）先由直角三角形是和谐勾股三角形得出b2=ac+a2，再由勾股定理得a2＋c2＝b2，即可判断出此直角三角形是等腰直角三角形；
（2）由和谐勾股三角形的定义并利用勾股定理的逆定理判断出此三角形是等腰直角三角形，即可得出结论；
（3）①首先求出∠ABC及∠ACB的度数，然后分三种情况：当射线经过点C，又分（Ⅰ）当∠BCD＝∠BDC时，（Ⅱ）当∠BCD＝∠ABC＝64°时，（Ⅲ）当∠BDC＝∠ABC＝64°时三种情况考虑；当射线经过点B，同（Ⅰ）的方法，判断此种情况不成立；当射线经过点A，同（Ⅱ）的方法，判断此种情况不成立；
②先求出CD＝CB＝a，AD＝CD＝a，DB＝AB AD＝c a，DG＝BG＝（c a），AG＝（a＋c），两个直角三角形中利用勾股定理建立方程即可得出结论．
24．（2023八下·义乌开学考）如图，在长方形ABCO中，点O为坐标原点，点B的坐标为（8，6），点A，C在坐标轴上，直线y＝2x－6与AB交于点D，与y轴交于点E.
（1）直接写出点D的坐标为 ；点E的坐标为 .
（2）求△CDE的面积.
（3）若动点M在BC边上，点N是坐标平面内的点.
①当点N在第一象限，又在直线y＝2x－6上时，若△AMN是等腰直角三角形，求点N的坐标；
②若△AMN是以点N为直角顶点的等腰直角三角形，直接写出整个运动过程中点N纵坐标n的取值范围.
【答案】（1）(6，6)；(0，－6)
（2）解：如图，设直线 y＝2x－6 交x轴于点F，
把y＝0代入y＝2x 6中，可得：x＝3，
∴点F的坐标为（3，0），
∵ 在长方形ABCO中，点O为坐标原点，点B的坐标为（8，6），点A，C在坐标轴上 ，
∴C（8，0），
∴FC＝8 3＝5，
∴△CDE的面积＝S△DFC＋S△CFE＝×5×6＋×5×6＝30，
（3）解：①（a）若点A为直角顶点时，点N在第一象限，连接AC，∠AMB＞∠ACB＞45°，
∴△AMN不可能为等腰直角三角形，
∴点N不存在；
（b）若点M为直角顶点时，点N在第一象限，如图3，过点N作NH⊥CB，交CB的延长线于点H
则Rt△ABM≌Rt△MHN，
∴AB＝MH＝8，HN＝BM，
设N（x，2x 6），则HN＝x 8，
∴2x 6＝8＋6 （x 8），
∴x＝，
∴N（，），
（c）若点N为直角顶点，点N在第一象限，
设N'（x，2x 6），
过点N'作N'G'⊥OA于点G'，交BC于点H'，则Rt△AG'N'≌Rt△N'H'M，
∴AG'=Q'H'=6-（2x-6），
∴x+6-（2x-6）=8，
∴x=4，
∴N'（4，2）
同理可得x＋2x 6 6＝8，
∴x＝，
∴N"（，），
综上所述，N的坐标为（ ， ）或（ ， ）（4，2）；
②当点M在B点时，如图，
AN1＝BN1，∠AN1B＝90°，∠N1AB＝∠N1BA＝45°，
∵AB＝8，N1T⊥AB，
∴AT＝N1T＝AB＝4，
∴N1的纵坐标为6＋4＝10，
同理，N2的纵坐标为6 4＝2，
当M在C点时，如图，
AN3＝CN3，∠AN3C＝90°，∠N3AC＝∠N3CA＝45°，
过点N3作N3S⊥AO于点S，延长SN3交CB于点H，
则Rt△N3SA≌Rt△CHN3，
则N3S＝CM，SA＝HN3，
设点N3纵坐标为6＋y，则BH＝SA＝HN3＝y，
那么N3S＝8 y＝CH＝6＋y，
解得：y＝1，
则点N3纵坐标为6＋y＝7，
同理可得，N4纵坐标为6 y＝ 1，
当点N为直角顶点时，t的取值范围为7≤t≤10或 1≤t≤2．
【知识点】三角形全等及其性质；矩形的性质；一次函数的性质；等腰直角三角形
【解析】【解答】（1）解：（1）∵在长方形ABCO中，点B的坐标为（8，6），直线y＝2x 6与AB交于点D，与y轴交于点E，
把y＝6代入y＝2x 6中，x＝6，
所以点D的坐标为（6，6），
把x＝0代入y＝2x 6中，y＝ 6，
所以点E的坐标为（0， 6）；
故答案为：（6，6），（0， 6）；
【分析】（1）把y＝6代入解析式得出点D的坐标，把x＝0代入解析式得出点E的坐标即可；
（2）把y＝0代入解析式得出直线DE与x轴的交点坐标，利用三角形面积公式解答即可；
（3）①分三种情况，（a）若点A为直角顶点时，（b）若点M为直角顶点时，（c）若点N为直角顶点，点N在第一象限，利用等腰直角三角形的性质解答即可；
②分两种情况，当点M在B点时与当M在C点时，根据等腰直角三角形的性质解答即可．
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浙江省义乌市后宅中学2022-2023学年八年级下学期数学期初独立作业
一、选择题（本大题有10个小题，每小题3分，共30分）
1．（2023八下·义乌开学考）下列三条线段的长度能构成三角形的是（ ）
A．1，2，3 B．2，2，4 C．2，9，6 D．4，6，9
2．（2023八下·义乌开学考）在平面直角坐标系中，点P（－5，2）在（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
3．（2017八上·路北期末）下列平面图形中，不是轴对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
4．（2023八下·义乌开学考）下列选项中，能说明命题“两个锐角的和是锐角”是一个假命题的反例是（ ）
A．∠A=20°，∠B=60° B．∠A=30°，∠B=90°
C．∠A=40°，∠B=50° D．∠A=50°，∠B=100°
5．（2023八下·义乌开学考）用直尺和圆规作一个角的平分线的示意图如图所示，则能说明∠AOC＝∠BOC的依据是（ ）
A．SSS
B．ASA
C．AAS
D．角平分线上的点到角两边距离相等
6．（2023八下·义乌开学考）若m＞n，则下列不等式正确的是（ ）
A．m－2＜n－2 B．am＞an C．－8m＞－8n D．
7．（2023八下·义乌开学考）在△ABC中，BC＝a，AC＝b，AB＝c，根据下列条件不能判断△ABC是直角三角形的是（ ）
A．∠B＝50°，∠C＝40° B．∠A=2∠B=3∠C
C．a＝4，b＝，c＝5 D．a：b：c＝1：：
8．（2023八下·义乌开学考）小李与小陆从A地出发，骑自行车沿同一条路行驶到B地，他们离出发地的距离s(单位：km)和行驶时间t(单位：h)之间的函数关系的图象如图所示，根据图中提供的信息，有下列说法：
①他们都行驶了20 km；②小陆全程共用了1.5 h；③小李与小陆相遇后，小李的速度大于小陆的速度；④小李在途中停留了0.5 h. 其中正确的有（ ）
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
9．（2023八下·义乌开学考）如图，用四个螺丝将四条不可弯曲的木条围成一个木框（形状不限），不计螺丝大小，其中相邻两螺丝的距离依次为3、4、5、7，且相邻两木条的夹角均可调整．若调整木条的夹角时不破坏此木框，则任意两个螺丝间的距离的最大值为（ ）
A．9 B．8 C．7 D．6
10．（2023八下·义乌开学考）如图，直线y＝x＋m与y＝nx－5n（n≠0）的交点的横坐标为3，则关于x的不等式x＋m＞nx－5n＞0的整数解为（ ）
A．6 B．5 C．4 D．3
二、填空题（本大题有6个小题，每小题4分，共24分）
11．（2023八下·义乌开学考）二次根式中x的取值范围是 ．
12．（2023八下·义乌开学考）若直角三角形的两条直角边的长分别为5和 12，则斜边上的中线长为 ．
13．（2023八下·义乌开学考）在平面直角坐标系中，点M（－4，1），先向右平移2个单位，再作关于y轴对称，最后得到的点的坐标为 ．
14．（2021八上·萧山期中）写出命题“等腰三角形的两个底角相等”的逆命题： ．
15．（2023八下·义乌开学考）如图，在△ABC中，AB=10，将△ABC绕点B按逆时针方向旋转30°后得到△A1BC1，则阴影部分的面积为 ．
16．（2023八下·义乌开学考）如图，直线l1：y=－x+3交x轴于点A，交y轴于点B， 直线l2：y=x+1交x轴于点D，交y轴于点C，直线l1、l2交于点M．
（1）点M坐标为 ；
（2）若点E在y轴上，且△DME是以DM为一腰的等腰三角形，则E点坐标为 ．
三、解答题（共8题，共66分）
17．（2023八下·义乌开学考）计算
（1） ；
（2）
18．（2023八下·义乌开学考）解不等式（组）
（1）3y－2≤6+7y，并把解集表示在数轴上
（2）解不等式组
19．（2023八下·义乌开学考）小刚上午9：00从家里出发，骑车去一家超市购物，然后从这家超市返回家中，小刚离家的路程y（米）和所经过的时间x（分）之间的函数图象如图所示．请根据图象回答下列问题：
（1）小刚在超市逗留了 分钟；
（2）小刚去超市途中的速度是多少？
（3）小刚几点几分返回到家？
20．（2023八下·义乌开学考）如图，已知△ABC在方格纸中，每个小正方形的边长为1个单位长度．
（1）△A1B1C1与△ABC关于x轴对称，请你在图中画出△A1B1C1；
（2）将△ABC向右平移4个单位后得到△A2B2C2，请你在图中画出△A2B2C2；并写出B2的坐标；
（3）在x轴上存在点M，使得MB+MC的值最小，请求出点M的坐标以及MB+MC的最小值．
21．（2023八下·义乌开学考）已知 ： OP平分 ∠MON，点A， B分别在边OM， ON上 ， 且∠OAP＋∠OBP=180°
（1）如图 1，当∠OAP=90°时，求证：OA=OB；
（2）如图 2，当∠OAP<90°时，作 PC⊥OM 于点 C．
求证：①PA=PB；
②请直接写出OA，OB，AC之间的数量关系 ▲ ．
22．（2023八下·义乌开学考）
义乌某商店销售10台A型和20台B型电脑的利润为4000元，销售20台A型和10台B型电脑的利润为3500元．
（1）求每台A型电脑和B型电脑的销售利润；
（2）该商店计划一次购进两种型号的电脑共100台，其中B型电脑的进货量不超过A型电脑的2倍，设购进A型电脑x台，这100台电脑的销售总利润为y元．
①
求y关于x的函数关系式；
②
该商店购进A型、B型电脑各多少台，才能使销售总利润最大？
（3）实际进货时，厂家对A型电脑出厂价下调m（50＜m＜100）元，且限定商店最多购进A型电脑70台，若商店保持同种电脑的售价不变，请你根据以上信息及（2）中条件，设计出使这100台电脑销售总利润最大的进货方案．
23．（2023八下·义乌开学考）定义：在△ABC中，若BC=a，AC=b，AB=c，a，b，c满足，则称这个三角形为“和谐勾股三角形”. 请根据以上定义解决下列问题：
（1）命题：“直角三角形都是和谐勾股三角形”是 （填“真”或“假”）命题；
（2）如图1，若等腰△ABC是“和谐勾股三角形”，其中AB=BC，AC>AB，求∠A的度数；
（3）如图2，在三角形ABC中，∠B=2∠A，且∠C >∠A.
① 当∠A=32°时，你能把这个三角形分成两个等腰三角形吗？若能，请在图2中画出分割线，并标注被分割后的两个等腰三角形的顶角度数；若不能，请说明理由；
② 请证明△ABC为“和谐勾股三角形”.
24．（2023八下·义乌开学考）如图，在长方形ABCO中，点O为坐标原点，点B的坐标为（8，6），点A，C在坐标轴上，直线y＝2x－6与AB交于点D，与y轴交于点E.
（1）直接写出点D的坐标为 ；点E的坐标为 .
（2）求△CDE的面积.
（3）若动点M在BC边上，点N是坐标平面内的点.
①当点N在第一象限，又在直线y＝2x－6上时，若△AMN是等腰直角三角形，求点N的坐标；
②若△AMN是以点N为直角顶点的等腰直角三角形，直接写出整个运动过程中点N纵坐标n的取值范围.
答案解析部分
1．【答案】D
【知识点】三角形三边关系
【解析】【解答】解：A、∵1+2=3，∴以1、2、3为长度的三条线段不能围成三角形，故此选项不符合题意；
B、∵2+2=4，∴以2、2、4为长度的三条线段不能围成三角形，故此选项不符合题意；
C、∵6+2＜9，∴以2、9、6为长度的三条线段不能围成三角形，故此选项不符合题意；
D、∵4+6＞9，∴以4、6、9为长度的三条线段能围成三角形，故此选项符合题意.
故答案为：D.
【分析】根据三角形三边的关系，三角形任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边，故只需要判断较小两条线段的长度和是否大于最长线段的长度，从而一一判断得出答案.
2．【答案】B
【知识点】点的坐标与象限的关系
【解析】【解答】解：∵ 点P（－5，2） ，横坐标为负数，纵坐标为正数，
∴点P在第二象限.
故答案为：B.
【分析】点的坐标符号与象限的关系：第一象限的点（+，+），第二象限的点（-，+），第三象限的点（-，-），第四象限的点（+，-），据此判断得出答案.
3．【答案】A
【知识点】轴对称图形
【解析】【解答】解：根据轴对称图形的概念，可知只有A沿任意一条直线折叠直线两旁的部分都不能重合．
故选：A．
【分析】根据轴对称图形的定义作答．
如果把一个图形沿着一条直线翻折过来，直线两旁的部分能够完全重合，这样的图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴．
4．【答案】C
【知识点】真命题与假命题
【解析】【解答】解：A、∠A=20°与∠B=60°都是锐角，但∠A+∠B=80°也是锐角，故此选项不能说明“两个锐角的和是锐角”是一个假命题，故此选项不符合题意；
B、∠A=30°是锐角，∠B=90°是直角，故此选项不能说明“两个锐角的和是锐角”是一个假命题，故此选项不符合题意；
C、∠A=40°与∠B=50°都是锐角，∠A+∠B=90°是直角，故此选项能说明“两个锐角的和是锐角”是一个假命题，故此选项符合题意；
D、∠A=50°是锐角，∠B=100°是钝角，故此选项不能说明“两个锐角的和是锐角”是一个假命题，故此选项不符合题意.
故答案为：C.
【分析】说明一个命题是假命题的反例，只需要满足命题的题设，不需要满足命题的结论，从而即可一一判断得出答案.
5．【答案】A
【知识点】三角形全等的判定（SSS）
【解析】【解答】解：如图：连接NC、MC，
根据作图过程得OM=ON，NC=MC，又OC=OC，
∴△OCN≌△OCM（SSS），
∴∠AOC=∠BOC.
故答案为：A.
【分析】根据作图过程得OM=ON，NC=MC，又OC是公共边，从而用SSS判断出△OCN≌△OCM，根据全等三角形对应角相等即可得出∠AOC=∠BOC，据此即可得出答案.
6．【答案】D
【知识点】不等式的性质
【解析】【解答】解：A、若m＞n，则m-2＞n-2，故此选项错误，不符合题意；
B、若m＞n，则当a＞0时，am＞an，故此选项错误，不符合题意；
C、若m＞n，则-8m＜-8n，故此选项错误，不符合题意；
D、若m＞n，则，故此选项正确，符合题意.
故答案为：D.
【分析】不等式的两边同时加上或减去同一个数或式子，不等号的方向不改变；不等式的两边同时乘以或除以同一个正数，不等号的方向不改变；不等式的两边同时乘以或除以同一个负数，不等号的方向改变，据此一一判断得出答案.
7．【答案】B
【知识点】三角形内角和定理；勾股定理的逆定理
【解析】【解答】解：A、∵∠B=50°，∠C=40°，∴∠A=180°-50°-40°=90°，故△ABC是直角三角形，此选项不符合题意；
B、∵∠A=2∠B=3∠C，
∴∠B=∠A，∠C=∠A，
∵∠A+∠B+∠C=180°，
∴∠A+∠A+∠A=180°，
解得∠A≈98°，故△ABC不是直角三角形，此选项符合题意；
C、∵a=4，，c=5，∴a2+b2=16+25=c2=41，故△ABC是直角三角形，此选项不符合题意；
D、，，∴a2+b2=3a2=c2，故△ABC是直角三角形，此选项不符合题意.
故答案为：B.
【分析】根据勾股定理的逆定理，若果一个三角形较小两边的平方和等于最大边长的平方，则该三角形就是直角三角形，据此可判断C、D选项；根据三角形的内角和定理，求出三角形中最大内角的度数，如果最大内角等于90°，则该三角形就是直角三角形，否则就不是，据此可判断A、B选项.
8．【答案】B
【知识点】通过函数图象获取信息并解决问题；用图象表示变量间的关系
【解析】【解答】解：（1）根据图象的纵坐标可得：他们都行驶了20km，故原说法正确；
（2）根据图象可得：小陆全程共用了：2 0.5＝1.5h，故原说法正确；
（3）根据图象可得：小李与小陆相遇后，他们距离目的地有相同的路程，但是小陆用1个小时到B地，小李用1.5个小时到B地，所以小李的速度小于小陆的速度，故原说法错误；
（4）根据图象可得：表示小李的S t图象从0.5时开始到1时结束，时间在增多，而路程没有变化，说明此时在停留，停留了1 0.5＝0.5小时，故原说法正确．
故答案为：B.
【分析】首先注意横纵坐标的表示意义，再观察图象可得他们都行驶了20km；小陆从0.5时出发，2时到达目的地，全程共用了：2 0.5＝1.5h；小李与小陆相遇后，他们距离目的地有相同的路程，但是小陆到达目的地所用时间小于小李到达目的地所用时间，根据速度＝路程÷时间可得小李的速度小于小陆的速度；小李出发0.5小时后停留了0.5小时，然后根据此信息分别对4种说法进行判断．
9．【答案】A
【知识点】三角形三边关系
【解析】【解答】解：已知4条木棍的四边长为3、4、5、7；
①选3＋4、5、7作为三角形，则三边长为7、5、7，能构成三角形，此时两个螺丝间的最长距离为7；
②选5＋4、7、3作为三角形，则三边长为9、7、3，能构成三角形，此时两个螺丝间的最大距离为9；
③选5＋7、3、4作为三角形，则三边长为12、4、3，而4＋3＜12，不能构成三角形，此种情况不成立；
④选7＋3、5、4作为三角形，则三边长为10、5、4，而5＋4＜10，不能构成三角形，此种情况不成立；
综上所述，任两螺丝的距离之最大值为9．
故答案为：A.
【分析】两个螺丝的距离最大，则此时这个木框的形状为三角形，可根据三条木棍的长来判断有几种三角形的组合，然后分别找出这些三角形的最长边即可．
10．【答案】C
【知识点】一次函数与不等式（组）的综合应用
【解析】【解答】解：当y＝0时，nx 5n＝0，
解得：x＝5，
∴直线y＝nx 5n与x轴的交点坐标为（5，0），
观察函数图象可知：当3＜x＜5时，直线y＝x＋m在直线y＝nx 5n的上方，且两直线均在x轴上方，
∴不等式x＋m＞nx 5n＞0的解集为3＜x＜5，
∴不等式x＋m＞nx 5n＞0的整数解为4．
故答案为：C.
【分析】令y＝0可求出直线y＝nx 5n与x轴的交点坐标，根据两函数图象与x轴的上下位置关系结合交点横坐标即可得出不等式x＋m＞nx 5n＞0的解，找出其内的整数即可．
11．【答案】x≥－3
【知识点】二次根式有意义的条件
【解析】【解答】解：由题意得6+2x≥0，
解得x≥-3.
故答案为：x≥-3.
【分析】根据二次根式的被开方数不能为负数，列出不等式，求解即可.
12．【答案】6.5
【知识点】勾股定理；直角三角形斜边上的中线
【解析】【解答】解：直角三角形的斜边长为：，
∴该直角三角形斜边上的中线长为6.5.
故答案为：6.5.
【分析】先根据勾股定理算出直角三角形的斜边长，再根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得答案.
13．【答案】（2，1）
【知识点】关于坐标轴对称的点的坐标特征；用坐标表示平移
【解析】【解答】解： 点M（－4，1）向右平移2个单位后的坐标为（-2，1），点（-2，1）关于y轴对称的点的坐标为（2，1）.
故答案为：（2，1）.
【分析】根据点的坐标的平移规律“左移减，右移加”可得点M平移后对应点的坐标，进而根据关于y轴对称的点，横坐标互为相反数，纵坐标不变可得答案.
14．【答案】有两个角相等的三角形是等腰三角形
【知识点】逆命题
【解析】【解答】解：命题“等腰三角形的两个底角相等”的逆命题有两个角相等的三角形是等腰三角形.
故答案为：有两个角相等的三角形是等腰三角形.
【分析】利用逆命题就是原命题的题设和结论互换，由此可得到此命题的逆命题.
15．【答案】25
【知识点】含30°角的直角三角形；旋转的性质；几何图形的面积计算-割补法
【解析】【解答】解：如图：过点A1作A1D⊥AB于点D，
∴∠A1DB=90°，
∵将△ABC绕点B按逆时针方向旋转30°后得到△A1BC1，
∴∠A1BD=30°，A1B=AB=10，△ABC≌△A1BC1，
∴A1D=A1B=5， S△ABC=S△A1BC1，
∴S△AA1B=×AB×A1D=×10×5=25，
∴S阴影=S△A1AB+S△A1BC1-S△ABC=S△AA1B=25.
故答案为：25.
【分析】过A1作A1D⊥AB于D，根据旋转的性质得∠A1BD=30°，A1B=AB=10，△ABC≌△A1BC1，根据含30°直角三角形的性质得A1D=5，根据全等三角形的性质得 S△ABC=S△A1BC1，进而利用割补法，由S阴影=S△A1AB+S△A1BC1-S△ABC=S△AA1B即可得出答案.
16．【答案】（1）（1，2）
（2）（0， ）或（0，－ ）或（0，2＋ ）或（0，2－ ）
【知识点】两一次函数图象相交或平行问题；等腰三角形的性质；直角坐标系内两点的距离公式
【解析】【解答】解：（1）联立两直线解析式得，
解得，
∴点M的坐标为（1，2）；
故答案为：（1，2）；
（2）令直线y=x+1中的y=0得x=-1，
∴点D（-1，0），
∴DM2=（-1-1）2+22=8，
设E点坐标为（0，a），则DE2=1+a2，ME2=1+（2-a）2
∵ △DME是以DM为一腰的等腰三角形 ，
故需要分类讨论：①当DE=DM时，
可得1+a2=8，
解得，
∴E（0， ）或（0，－ ）
②当DM=ME时，可得1+（2-a）2=8，
解得，
∴E（0，2＋ ）或（0，2－ ），
综上可得点E的坐标为（0， ）或（0，－ ）或（0，2＋ ）或（0，2－ ）.
故答案为：（0， ）或（0，－ ）或（0，2＋ ）或（0，2－ ）.
【分析】（1）解联立两函数解析式组成的方程即可得出点M的坐标；
（2）令直线y=x+1中的y=0算出对应的x的值，可得点D的坐标，根据两点间的距离公式表示出DM2、DE2、ME2，再根据等腰三角形的性质分①当DE=DM时，②当DM=ME时，两种情况建立方程，求解即可.
17．【答案】（1）解：原式=－ +2-3-1
=－ -2；
（2）解：原式=
=4 －8.
【知识点】实数的运算；二次根式的混合运算
【解析】【分析】（1）首先根据绝对值的性质、负指数幂的性质及0指数幂的性质分别化简，再进行有理数的加减法即可得出答案；
（2）先根据平方差公式及完全平方公式分别去括号，再根据二次根式的性质及二次根式的乘法法则分别化简，最后再进行有理数的加减法即可得出答案.
18．【答案】（1）解： 3y－2≤6+7y ，
移项，得3y-7y≤6+2，
合并同类项，得-4y≤8，
系数化为1，得y≥-2；
在数轴上表示该不等式的解集为：
（2）解：
由①得x≤ ，
由②得x＞-3，
∴该不等式组的解集为：－3＜x≤ ，
在数轴上表示该不等式组的解集为：
【知识点】在数轴上表示不等式组的解集；解一元一次不等式；解一元一次不等式组；在数轴上表示不等式的解集
【解析】【分析】（1）根据解不等式的步骤：移项、合并同类项、系数化为1求出不等式的解集，进而根据数轴上表示不等式的解集的方法“大向右，小向左，实心等于，空心不等”将该不等式的解集在数轴上表示出来即可；
（2）分别解出不等式组中两个不等式的解集，根据口诀：同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小无解了确定出解集，进而根据数轴上表示不等式组的解集的方法“大向右，小向左，实心等于，空心不等”将该不等式组的解集在数轴上表示出来即可.
19．【答案】（1）30
（2）解：3000÷10＝300（米/分钟），
答：小敏去超市途中的速度是300米/分钟；
（3）解：=3000÷200=15（分钟），
40+15=55分钟，
所以小刚9点55分返回家中，
答：小刚9点55分返回家中.
【知识点】通过函数图象获取信息并解决问题；用图象表示变量间的关系
【解析】【解答】解：（1）40 10＝30（分钟），
∴小刚在超市逗留了30分钟，
故答案为：30；
【分析】（1）由图象得小敏在超市逗留时间可列式为40 10，再进行求解；
（2）根据图象提供的信息，小刚去超市的时候，10分钟走了3000米，从而根据路程除以时间=速度即可算出答案；
（3）先求得小刚返回时的速度，再求得小刚返回时的时间，即可求得此题结果．
20．【答案】（1）解：如图： △A1B1C1 就是所求的三角形；
（2）解：如图： △A2B2C2就是所求的三角形，
点B2的坐标为（－2，3）；
（3）解：如图：作点C关于x轴的对称点C3点，连接BC3，交x轴于点M，此点就是使MB+MC的值最小的点，根据轴对称的性质MC=MC3，∴MB+MC=MB+MC3=BC3，根据两点之间线段最短可得BC3就是MB+MC的最小值；
易得点C3的坐标为（-3，-1），B点坐标为（-6，3），
设直线BC3的解析式为y=kx+b，
将点B、C的坐标代入得，
解得，
∴直线BC3的解析式为，
将y=0代入得
∴M（－ ，0）
∴
即MB＋MC的最小值为5.
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；作图﹣轴对称；轴对称的应用-最短距离问题；作图﹣平移；一次函数的性质
【解析】【分析】（1）利用方格纸的特点及轴对称的性质，分别作出A、B、C三点关于x轴的对称点A1、B1、C1，再顺次连接即可得出所求的△A1B1C1；
（2）利用方格纸的特点及平移的性质，分别作出A、B、C三点向右平移4个单位长度后的对称点A2、B2、C2，再顺次连接即可得出所求的△A2B2C2；
（3）作点C关于x轴的对称点C3点，连接BC3，交x轴于点M，此点就是使MB+MC的值最小的点，根据轴对称的性质MC=MC3，故MB+MC=MB+MC3=BC3，根据两点之间线段最短可得BC3就是MB+MC的最小值，进而利用两点间的距离公式即可算出BC3；利用待定系数法求出直线BC3的解析式，再令解析式中的y=0算出对应的x的值，可得点M的坐标.
21．【答案】（1）证明：∵∠OAP＋∠OBP＝180°，∠OAP＝90°
∴∠OBP＝90°
∴∠OAP＝∠OBP
∵OP平分∠MON
∴∠POA＝∠POB
又∵OP＝OP
∴△POA≌△POB（AAS）
∴OA＝OB
（2）解：①证明：如图：在OA上取点D，使得OD＝OB，连接PD，
由（1）知∠POA＝∠POB，OP＝OP
∴△POD≌△POB（SAS）
∴PD＝PB，∠ODP＝∠OBP
∵∠OAP＋∠OBP＝180°，而∠ODP＋∠ADP＝180°
∴∠ADP＝∠OAP
∴PD＝PA
∴PA＝PB
②OA－OB＝2AC
【知识点】等腰三角形的性质；三角形全等的判定（SAS）；三角形全等的判定（AAS）
【解析】【解答】（2）②解：OA－OB＝2AC，理由如下：
∵△POD≌△POB，
∴OB=OD，
∵PA=PD，PC⊥OA，
∴AD=2AC，
又∵AD=OA-OD=OA-OB，
∴OA－OB＝2AC.
【分析】 （1）易得∠OAP＝∠OBP，根据角平分线的定义得∠POA＝∠POB，从而利用AAS判断出△POA≌△POB，根据全等三角形对应边相等得OA=OB；
（2）①在OA上取点D，使得OD＝OB，连接PD，利用SAS判断出△POD≌△POB，根据全等三角形的性质得PD＝PB，∠ODP＝∠OBP，进而根据等角的补角相等得∠ADP＝∠OAP，由等角对等边得PD=PA，从而可得PA=PB；②OA－OB＝2AC，理由如下：根据全等三角形的对应边相等得OB=OD，根据等腰三角形的三线合一得AD=2AC，进而根据AD=OA-OD=OA-OB，即可得出结论.
22．【答案】（1）解：（1）设每台A型电脑销售利润为a元，每台B型电脑的销售利润为b元，
根据题意，得
解得
答：每台A型电脑获利100元，每台B型电脑获利150元；
（2）解：①据题意得，y＝100x＋150（100 x），即y＝ 50x＋15000，
②据题意得，100 x≤2x，解得x≥，
∵y＝ 50x＋15000， 50＜0，
∴y随x的增大而减小，
∵x为正整数，
∴当x＝34时，y取最大值，则100 x＝66，
答：该商店购进A型电脑34台，B型电脑66台，获利最大；
（3）解：据题意得，y＝（100＋m）x＋150（100 x），即y＝（m 50）x＋15000，
∵≤x≤70，
当50＜m＜100时，m 50＞0，y随x的增大而增大，
∴当x＝70时，y取得最大值．
即商店购进70台A型电脑和30台B型电脑的销售利润最大．
【知识点】一次函数的实际应用；二元一次方程组的实际应用-销售问题
【解析】【分析】（1）设每台A型电脑销售利润为a元，每台B型电脑的销售利润为b元；根据“ 销售10台A型和20台B型电脑的利润为4000元，销售20台A型和10台B型电脑的利润为3500元 ”列出方程组求解即可；
（2）① 设购进A型电脑x台 ，则购进B型电脑（100-x）台，根据x台A型电脑的利润+（100-x）台B型电脑的利润=总利润可建立出y关于x的函数解析式；
② 由B型电脑的进货量不超过A型电脑的2倍列出不等式，求出x的范围，进而根据①所得函数的性质可解决问题；
（3）根据单件商品的利润乘以销售数量=总利润及x台A型电脑的利润+（100-x）台B型电脑的利润=总利润可建立出y关于x的函数解析式，由于当50＜m＜100时，m 50＞0，y随x的增大而增大，再结合x的取值范围即可解决问题.
23．【答案】（1）假
（2）解：∵AB＝BC
∴c＝a，b＞c，
又∵△ABC是“和谐勾股三角形”
∴b2＝ac＋a2
∴b2＝c2＋a2
∴△ABC是等腰直角三角形
∴∠A＝45°
（3）解：①在△ABC中，∠ABC＝2∠BAC，∠BAC＝32°，
∴∠ABC＝64°，
根据三角形的内角和定理得，∠ACB＝180° ∠BAC ∠ABC＝84°，
∵把这个三角形分成两个等腰三角形，
当射线经过点C，
（Ⅰ）当∠BCD＝∠BDC时，
∵∠ABC＝64°，
∴∠BCD＝∠BDC＝58°，
∴∠ACD＝∠ACB ∠BCD＝84° 58°＝26°，∠ADC＝∠ABC＋∠BCD＝122°，
∴△ACD不是等腰三角形，此种情况不成立；
（Ⅱ）当∠BCD＝∠ABC＝64°时，
∴∠BDC＝52°，
∴∠ACD＝20°，∠ADC＝128°，
∴△ACD是等腰三角形，此种情况不成立；
（Ⅲ）当∠BDC＝∠ABC＝64°时，如图：
∴∠BCD＝52°，
∴∠ACD＝∠ACB BCD＝32°＝∠BAC，
∴△ACD是等腰三角形，
即：分割线和顶角标注如图2所示，
当射线经过点B，同（Ⅰ）的方法，判断此种情况不成立；
当射线经过点A，同（Ⅱ）的方法，判断此种情况不成立；
②如图4，在AB边上取点D，连接CD，使得∠DCA＝∠A，过点C作CG⊥AB；
∴∠CDB＝∠ACD＋∠A＝2∠A，
∵∠B＝2∠A，
∴∠CDB＝∠B，
∴CD＝CB＝a，
∵∠ACD＝∠A，
∴AD＝CD＝a，
∴DB＝AB AD＝c a，
∵CG⊥AB，
∴BG＝DG＝ ，
∴DG＝BG＝（c a），
∴AG＝AD＋DG＝a＋（c a）＝（a＋c），
在Rt△ACG中，CG2＝AC2 AG2＝b2 [（c＋a）]2，
在Rt△BCG中，CG2＝BC2 BG2＝a2 [（c a）]2，
∴b2 [（a＋c）]2＝a2 [（c a）]2，
∴b2＝ac＋a2，
∴△ABC是“和谐勾股三角形”．
【知识点】三角形的综合
【解析】【解答】（1）解：如图1：假设Rt△ABC是和谐勾股三角形，
∴b2=ac+a2，
在Rt△ABC中，∠B＝90°，根据勾股定理得，a2＋c2＝b2，
∴ac+a2＝a2＋c2，
∴ac＝c2，
∴a＝c，
∴△ABC是等腰直角三角形，
∴等腰直角三角形是和谐勾股三角形，
即原命题是假命题，
故答案为：假；
【分析】（1）先由直角三角形是和谐勾股三角形得出b2=ac+a2，再由勾股定理得a2＋c2＝b2，即可判断出此直角三角形是等腰直角三角形；
（2）由和谐勾股三角形的定义并利用勾股定理的逆定理判断出此三角形是等腰直角三角形，即可得出结论；
（3）①首先求出∠ABC及∠ACB的度数，然后分三种情况：当射线经过点C，又分（Ⅰ）当∠BCD＝∠BDC时，（Ⅱ）当∠BCD＝∠ABC＝64°时，（Ⅲ）当∠BDC＝∠ABC＝64°时三种情况考虑；当射线经过点B，同（Ⅰ）的方法，判断此种情况不成立；当射线经过点A，同（Ⅱ）的方法，判断此种情况不成立；
②先求出CD＝CB＝a，AD＝CD＝a，DB＝AB AD＝c a，DG＝BG＝（c a），AG＝（a＋c），两个直角三角形中利用勾股定理建立方程即可得出结论．
24．【答案】（1）(6，6)；(0，－6)
（2）解：如图，设直线 y＝2x－6 交x轴于点F，
把y＝0代入y＝2x 6中，可得：x＝3，
∴点F的坐标为（3，0），
∵ 在长方形ABCO中，点O为坐标原点，点B的坐标为（8，6），点A，C在坐标轴上 ，
∴C（8，0），
∴FC＝8 3＝5，
∴△CDE的面积＝S△DFC＋S△CFE＝×5×6＋×5×6＝30，
（3）解：①（a）若点A为直角顶点时，点N在第一象限，连接AC，∠AMB＞∠ACB＞45°，
∴△AMN不可能为等腰直角三角形，
∴点N不存在；
（b）若点M为直角顶点时，点N在第一象限，如图3，过点N作NH⊥CB，交CB的延长线于点H
则Rt△ABM≌Rt△MHN，
∴AB＝MH＝8，HN＝BM，
设N（x，2x 6），则HN＝x 8，
∴2x 6＝8＋6 （x 8），
∴x＝，
∴N（，），
（c）若点N为直角顶点，点N在第一象限，
设N'（x，2x 6），
过点N'作N'G'⊥OA于点G'，交BC于点H'，则Rt△AG'N'≌Rt△N'H'M，
∴AG'=Q'H'=6-（2x-6），
∴x+6-（2x-6）=8，
∴x=4，
∴N'（4，2）
同理可得x＋2x 6 6＝8，
∴x＝，
∴N"（，），
综上所述，N的坐标为（ ， ）或（ ， ）（4，2）；
②当点M在B点时，如图，
AN1＝BN1，∠AN1B＝90°，∠N1AB＝∠N1BA＝45°，
∵AB＝8，N1T⊥AB，
∴AT＝N1T＝AB＝4，
∴N1的纵坐标为6＋4＝10，
同理，N2的纵坐标为6 4＝2，
当M在C点时，如图，
AN3＝CN3，∠AN3C＝90°，∠N3AC＝∠N3CA＝45°，
过点N3作N3S⊥AO于点S，延长SN3交CB于点H，
则Rt△N3SA≌Rt△CHN3，
则N3S＝CM，SA＝HN3，
设点N3纵坐标为6＋y，则BH＝SA＝HN3＝y，
那么N3S＝8 y＝CH＝6＋y，
解得：y＝1，
则点N3纵坐标为6＋y＝7，
同理可得，N4纵坐标为6 y＝ 1，
当点N为直角顶点时，t的取值范围为7≤t≤10或 1≤t≤2．
【知识点】三角形全等及其性质；矩形的性质；一次函数的性质；等腰直角三角形
【解析】【解答】（1）解：（1）∵在长方形ABCO中，点B的坐标为（8，6），直线y＝2x 6与AB交于点D，与y轴交于点E，
把y＝6代入y＝2x 6中，x＝6，
所以点D的坐标为（6，6），
把x＝0代入y＝2x 6中，y＝ 6，
所以点E的坐标为（0， 6）；
故答案为：（6，6），（0， 6）；
【分析】（1）把y＝6代入解析式得出点D的坐标，把x＝0代入解析式得出点E的坐标即可；
（2）把y＝0代入解析式得出直线DE与x轴的交点坐标，利用三角形面积公式解答即可；
（3）①分三种情况，（a）若点A为直角顶点时，（b）若点M为直角顶点时，（c）若点N为直角顶点，点N在第一象限，利用等腰直角三角形的性质解答即可；
②分两种情况，当点M在B点时与当M在C点时，根据等腰直角三角形的性质解答即可．
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