广东省揭阳市普宁国贤学校2023届高三下学期数学开学考试试卷
一、单选题
1．（2023高三下·普宁开学考）若集合，，则（ ）
A． B．
C． D．
2．（2023高三下·普宁开学考）已知，是虚数单位，若与互为共轭复数，则（ ）
A． B． C． D．
3．（2023高三下·普宁开学考）“”是“直线与直线平行”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
4．（2023高三下·普宁开学考）小明和李华在玩游戏，他们分别从1~9这9个正整数中选出一个数告诉老师，老师经过计算后得知他们选择的两个数不相同，且两数之差为偶数，那么小明选择的数是偶数的概率是（ ）
A． B． C． D．
5．（2023高三下·普宁开学考）若函数(其中)存在零点，则实数的取值范围是（ ）
A． B．(1，3]
C．(2，3) D．(2，3]
6．（2023高三下·普宁开学考）已知为奇函数，当时，，则当时，（ ）
A． B．
C． D．
7．（2023高三下·普宁开学考）现有下列五个结论：
①若，则有；
②对任意向量、，有；
③对任意向量、，有；
④对任意复数，有；
⑤对任意复数，有．
以上结论中，正确的个数为（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
8．（2023高三下·普宁开学考）如图，已知正方体的棱长为分别是棱上的动点，若，则线段的中点的轨迹是（ ）
A．一条线段 B．一段圆弧
C．一部分球面 D．两条平行线段
二、多选题
9．（2023高三上·济南期末）有一组样本数据，其样本平均数为.现加入一个新数据，且，组成新的样本数据，与原样本数据相比，新的样本数据可能（ ）
A．平均数不变 B．众数不变
C．极差变小 D．第20百分位数变大
10．（2023高三下·普宁开学考）已知O为坐标原点，点，，，则（ ）
A． B．
C． D．
11．（2022·唐山二模）双曲线具有如下光学性质：如图，是双曲线的左、右焦点，从右焦点发出的光线m交双曲线右支于点P，经双曲线反射后，反射光线n的反向延长线过左焦点．若双曲线C的方程为，下列结论正确的是（ ）
A．若，则
B．当n过时，光由所经过的路程为13
C．射线n所在直线的斜率为k，则
D．若，直线PT与C相切，则
12．（2022·聊城模拟）在数列中，对于任意的都有，且，则下列结论正确的是（ ）
A．对于任意的，都有
B．对于任意的，数列不可能为常数列
C．若，则数列为递增数列
D．若，则当时，
三、填空题
13．（2023高三下·普宁开学考）中的系数为 （用数字作答）.
14．（2023高三下·普宁开学考）已知，则 .
15．（2023高三下·普宁开学考）已知为奇函数，则 ．
16．（2022高三上·湖北月考）球体在工业领域有广泛的应用，某零件由两个球体构成，球的半径为为球表面上两动点，为线段的中点.半径为2的球在球的内壁滚动，点在球表面上，点在截面上的投影恰为的中点，若，则三棱锥体积的最大值是 .
四、解答题
17．（2023高三下·普宁开学考）已知数列满足，其中是的前项和.
（1）求证：是等差数列；
（2）若，求的前项和.
18．（2023高三下·普宁开学考）如图，在四棱锥中，底面为矩形，平面平面为中点，与交于点的重心为.
（1）求证：平面
（2）若，求二面角的正弦值.
19．（2022高三上·邹城期中）如图，已知，平面内任意点关于点的对称点为，点关于点的对称点为.设（为单位向量）.
（1）求的长；
（2）在中，若，试求的取值范围.
20．（2023高三下·普宁开学考）某工厂生产一批零件，其直径X满足正态分布（单位：）.
（1）现随机抽取15个零件进行检测，认为直径在之内的产品为合格品，若样品中有次品则可以认定生产过程中存在问题.求上述事件发生的概率，并说明这一标准的合理性.（已知：）
（2）若在上述检测中发现了问题，另抽取100个零件进一步检测，则这100个零件中的次品数最可能是多少？
21．（2022高二上·南阳期中）已知抛物线C：与直线相切．
（1）求C的方程；
（2）过C的焦点F的直线l与C交于A，B两点，AB的中垂线与C的准线交于点P，若，求l的方程．
22．（2023高三下·普宁开学考）已知函数.
（1）若，求曲线在点处的切线方程；
（2）若对任意的恒成立，求的取值范围.
答案解析部分
1．【答案】C
【知识点】交集及其运算
【解析】【解答】，.
故答案为：C
【分析】根据集合的交集运算可得.
2．【答案】C
【知识点】复数代数形式的乘除运算
【解析】【解答】由已知可得，所以.
故答案为：C.
【分析】根据共轭复数的概念可求得，进而根据复数的乘法运算即可求得结果.
3．【答案】B
【知识点】必要条件、充分条件与充要条件的判断
【解析】【解答】若直线与直线平行，则且，
因为“”“且”，
但“”“且”，
因此，“”是“直线与直线平行”的必要不充分条件.
故答案为：B.
【分析】利用两直线平行求出实数的值，再利用充分条件、必要条件的定义判断可得出结论.
4．【答案】A
【知识点】条件概率与独立事件
【解析】【解答】解：设两数之差为偶数为事件，小明选择的数是偶数为事件，
由于他们选择的两个数不相同，且两数之差为偶数，则小明选择的数是偶数的概率为：.
故答案为：A．
【分析】设两数之差为偶数为事件，小明选择的数是偶数为事件，根据条件概率公式求解即可.
5．【答案】C
【知识点】分段函数的应用；函数的零点与方程根的关系
【解析】【解答】由函数的解析式可知，
因为指数函数单调递增，在区间上无零点，
所以函数在区间上存在零点，
由于单调递增，
故当时，有，
从而
所以实数的取值范围是(2，3)，
故答案为：C.
【分析】先判断，再判断指数函数单调递增，在区间上无零点，可得函数在区间上存在零点，利用对数函数的单调性可得答案.
6．【答案】C
【知识点】奇函数
【解析】【解答】因为为奇函数，所以，即．
当时，，．
故答案为：C
【分析】根据奇函数的性质即可算出答案.
7．【答案】D
【知识点】平面向量的数量积运算；复数代数形式的乘除运算
【解析】【解答】根据绝对值的运算法则正确，故①正确；
对任意向量、，，故②不正确；
对任意向量、，有，故③正确；
对任意复数，不妨设，则，而，显然不成立，故④错误；
对任意复数，不妨设，则，
所以，，
所以有，故⑤正确.
故答案为：D
【分析】根据绝对值的运算法则判断①，根据数量积的定义判断②③，根据复数的运算及模的定义判断④⑤.
8．【答案】B
【知识点】轨迹方程
【解析】【解答】由题意，连接，，，，取中点为，连接，如下图：
在正方体中，易知为直角三角形，
为的中点，在中，；在中，，
，且为的中点，，
在中，，
分别为上的动点，点的轨迹为以为圆心，以为半径的圆的一部分，
故答案为：B.
【分析】由题意，连接，，，，取中点为，连接，构造直角三角形，利用其性质求得的长，根据等腰三角形的性质，求得可得答案.
9．【答案】B,D
【知识点】众数、中位数、平均数；极差、方差与标准差
【解析】【解答】因为，所以新的样本数据平均数减小，A不符合题意；
加入一个新数据，则众数仍有可能为原数据的众数，B符合题意；
若加入一个新数据不是最大值也不是最小值，则新数据极差等于原数据极差，
C不符合题意；
若为原数据从小到大排列的第20为后的数，因为样本数增加，所以第20百分位数可能后移，则新数据第20百分位数可能变大.D符合题意，
故答案为：BD.
【分析】根据数据的平均数、极差、众数以及百分位数的定义判断求解.
10．【答案】A,B,C
【知识点】向量的模；平面向量的坐标运算；平面向量的数量积运算
【解析】【解答】对于A，因为，，，
所以，，
故是正三角形，则，A符合题意；
对于B，因为是正三角形，是的外心，
所以是的重心，故，即，B符合题意；
对于C，，C符合题意；
对于D，因为，则，
所以，D不符合题意.
故答案为：ABC．
.
【分析】利用平面向量的坐标表示与旋转角的定义推得是正三角形，从而对选项逐一分析判断即可.
11．【答案】C,D
【知识点】双曲线的简单性质
【解析】【解答】对于A：若，则.
因为P在双曲线右支上，所以.由勾股定理得：
二者联立解得：.A不符合题意；
对于B：光由所经过的路程为.
B不符合题意；
对于C：双曲线的方程为.设左、右顶点分别为A、B.如图示：
当与同向共线时，的方向为，此时k=0，最小.
因为P在双曲线右支上，所以n所在直线的斜率为.即.
C符合题意.
对于D：设直线PT的方程为.
，消去y可得：.
其中，即，解得
代入，有，解得：x=9.
由P在双曲线右支上，即，解得：（舍去），所以.
所以.
D符合题意
故答案为：CD
【分析】对于A：判断出，由定义和勾股定理联立方程组即可求得；对于B：利用双曲线的定义直接求得；对于C：先求出双曲线的渐近线方程，由P在双曲线右支上，即可得到n所在直线的斜率的范围；对于D：设直线PT的方程为.利用相切解得，进而求出.即可求出.
12．【答案】A,C,D
【知识点】数列的函数特性
【解析】【解答】A：由，对有，则，即任意都有，正确；
B：由，若为常数列且，则满足，错误；
C：由且，
当时，此时且，数列递增；
当时，此时，数列递减；
所以时数列为递增数列，正确；
D：由C分析知：时且数列递减，即时，正确.
故答案为：ACD
【分析】 结合数列递推式研究数列的单调性，然后逐一判断即可得答案.
13．【答案】1620
【知识点】二项式定理
【解析】【解答】，
其二项展开式的通项为，
要得到，则，解得.
的二项展开式的通项为，
令，可得.
故中的系数为.
故答案为：1620.
【分析】的二项展开式的通项为，令，再求出展开式中的系数，从而可求解.
14．【答案】
【知识点】二倍角的余弦公式；运用诱导公式化简求值
【解析】【解答】令，则，
所以，
因为，
所以，整理得，
则，解得或（舍去），
所以，即.
故答案为：.
【分析】先利用换元法，结合三角函数的诱导公式与倍角公式将等式转化为，解之即可.
15．【答案】-1
【知识点】奇函数
【解析】【解答】由题意可得满足且，
则有，即，
故，即，
因为时，定义域为，
满足，函数为偶函数，不合题意，
故，则的自变量x可取到0，且函数定义域关于原点对称，
则不恒等于0，故，
当时，定义域为R，满足，
即为奇函数，
故答案为：-1
【分析】根据奇函数的定义，可得，化简即得，即可求得答案.
16．【答案】15
【知识点】棱柱、棱锥、棱台的体积；空间向量的投影向量
【解析】【解答】如图一所示：
在圆中，因为点在截面上的投影恰为的中点，且，
所以为直角三角形，且，
又因为，
所以可得，
设，
则有，
所以，
所以，当时，等号成立，
所以；
如图二所示：
因为球的半径为，为线段的中点，
所以，
当三点共线且为如图所示的位置时，点为到平面的距离最大，
即此时三棱锥的高最大，此时，
所以此时，
即三棱锥体积的最大值是15。
故答案为：15。
【分析】在圆中 ，利用点在截面上的投影恰为的中点，且，所以三角形为直角三角形，且，再利用结合勾股定理得的长，设，再利用勾股定理和均值不等式求最值的方法得出mn的最大值，再结合三角形的面积公式得出的最大值，利用球的半径为，为线段的中点结合勾股定理得出的长，当三点共线且为如图所示的位置时，点为到平面的距离最大，则此时三棱锥的高最大，再利用求和法得出此时h的值，再结合三棱锥的体积公式得出三棱锥体积的最大值。
17．【答案】（1）证明：由得：
当时，，
两式子相减得①，
因此可得②，
①②相减得：，
由于 ，所以，
所以是等差数列；
（2）由（1）知是等差数列，，所以，
因此，
所以.
【知识点】等差关系的确定；数列的求和；数列的递推公式
【解析】【分析】（1） 当时， 根据，可得根据此递推关系推出，即可根据等差中项求 是等差数列；
（2） 由（1）知是等差数列，，所以，因此， 根据裂项求和即可求得 .
18．【答案】（1）证明：因为的重心为，为中点，
所以，又，
所以，即，又，
所以，
所以，又平面，平面，
所以平面；
（2）解：因为，为中点，
所以，又平面平面，平面平面，平面，
所以平面，
如图以为原点建立空间直角坐标系，
则，
所以，
设平面的法向量为，则
，令，可得，
设平面的法向量为，则
，令，可得，
所以，
所以二面角的正弦值.
【知识点】直线与平面平行的判定；用空间向量研究二面角
【解析】【分析】（1）由题可得 ，然后根据线面平行的判定定理即得；
（2）根据面面垂直的性质定理可得平面，然后为原点建立空间直角坐标系，求出平面的法向量， 平面的法向量， 利用坐标法，根据面面角的向量求法即得.
19．【答案】（1）解：连接，
由题意，得，
所以，
在中，点分别为的中点，所以，
所以.
（2）解：因为在中，有，
所以由正弦定理边角互化得，
即，
由于，所以，
又因为，所以，
在中由正弦定理得，
所以，
所以，
在中，因为，所以，
所以
，
因为，所以，
所以，
所以，即所求的取值范围是.
【知识点】平面向量的线性运算；正弦定理
【解析】【分析】（1）利用向量的四则运算结合单位向量的概念即可求解；
（2）利用正弦定理边角互化即可求解.
20．【答案】（1）解：因为，所以，
所以随机抽取15个零件进行检测，至少有1个次品的概率为，
如果生产状态正常，至少有一个次品的概率约为，该事件是小概率事件，因此一旦发生这种状况，就有理由认定生产过程中存在问题，即这一标准是合理的.
（2）解：次品的概率为，
抽取100个零件进一步检测，设次品数为，则，其中，
故，
设次品数最可能是件，
则，
即，
即，解得.
因为，所以，故.
故这100个零件中的次品数最可能是0.
【知识点】n次独立重复试验中恰好发生k次的概率；正态密度曲线的特点
【解析】【分析】（1） 因为，所以， ，故至少有1个次品的概率为，根据小概率事件说明即可；
（2）次品的概率为，设抽取100个零件进一步检测，设次品数为，则，其中，设次品数最可能是件，则 ，求解即可.
21．【答案】（1）解：联立方程，消去x得，
∵抛物线C与直线相切，则，解得或（舍去）
故抛物线的方程C：.
（2）解：设l的方程为，则线段AB的中点，
过作抛物线的准线的垂线，垂足为N，则，
即，
∵，则，即，
∴，
联立方程，消去x得，
，
则，AB的中垂线的方程为，
∴，则，
即，解得，
故l的方程为或.
【知识点】直线与圆锥曲线的综合问题
【解析】【分析】（1）利用已知条件，联立直线与抛物线方程结合判别式法，进而得出p的值，从而得出抛物线C的标准方程。
（2） 设l的方程为，再利用中点坐标公式得出线段AB的中点M的坐标，过作抛物线的准线的垂线，垂足为N，再利用抛物线的定义得出，再结合，则，即，所以，再利用直线与抛物线相交，联立二者方程结合判别式法和韦达定理，得出，进而得出M，N的坐标，再结合中点坐标公式和两直线垂直斜率之积等于-1，进而得出AB的中垂线的方程，从而得出点P的坐标，再利用两点距离公式得出PN和MN的长，再结合已知条件得出m的值， 从而得出直线l的方程。
22．【答案】（1）解：当时，，
则，，又，
在处的切线方程为：.
（2）解：，
令，则，
令，则，
在上单调递增，，即；
当时，，，，
，，
即，在上单调递增，即在上单调递增；
；
①当，即时，，在上单调递增，
，满足题意；
②当，即时，；
令，则，
在上单调递增，，即，
又，，使得，
当时，，则在上单调递减，此时，不合题意；
综上所述：实数的取值范围为.
【知识点】函数恒成立问题；利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数的极值
【解析】【分析】（1）根据导数几何意义可求得切线斜率，结合可求得切线方程；
（2）求导后，设；令，利用导数可求得单调性，得到，采用放缩法可确定，知 在上单调递增；当时，由恒成立可确定，满足题意；当时，令，利用导数可说明，得到，结合零点存在定理可说明，使得，由此可说明当时， ，不合题意；综合两种情况可得结论.
1 / 1广东省揭阳市普宁国贤学校2023届高三下学期数学开学考试试卷
一、单选题
1．（2023高三下·普宁开学考）若集合，，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【知识点】交集及其运算
【解析】【解答】，.
故答案为：C
【分析】根据集合的交集运算可得.
2．（2023高三下·普宁开学考）已知，是虚数单位，若与互为共轭复数，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】复数代数形式的乘除运算
【解析】【解答】由已知可得，所以.
故答案为：C.
【分析】根据共轭复数的概念可求得，进而根据复数的乘法运算即可求得结果.
3．（2023高三下·普宁开学考）“”是“直线与直线平行”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】B
【知识点】必要条件、充分条件与充要条件的判断
【解析】【解答】若直线与直线平行，则且，
因为“”“且”，
但“”“且”，
因此，“”是“直线与直线平行”的必要不充分条件.
故答案为：B.
【分析】利用两直线平行求出实数的值，再利用充分条件、必要条件的定义判断可得出结论.
4．（2023高三下·普宁开学考）小明和李华在玩游戏，他们分别从1~9这9个正整数中选出一个数告诉老师，老师经过计算后得知他们选择的两个数不相同，且两数之差为偶数，那么小明选择的数是偶数的概率是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】条件概率与独立事件
【解析】【解答】解：设两数之差为偶数为事件，小明选择的数是偶数为事件，
由于他们选择的两个数不相同，且两数之差为偶数，则小明选择的数是偶数的概率为：.
故答案为：A．
【分析】设两数之差为偶数为事件，小明选择的数是偶数为事件，根据条件概率公式求解即可.
5．（2023高三下·普宁开学考）若函数(其中)存在零点，则实数的取值范围是（ ）
A． B．(1，3]
C．(2，3) D．(2，3]
【答案】C
【知识点】分段函数的应用；函数的零点与方程根的关系
【解析】【解答】由函数的解析式可知，
因为指数函数单调递增，在区间上无零点，
所以函数在区间上存在零点，
由于单调递增，
故当时，有，
从而
所以实数的取值范围是(2，3)，
故答案为：C.
【分析】先判断，再判断指数函数单调递增，在区间上无零点，可得函数在区间上存在零点，利用对数函数的单调性可得答案.
6．（2023高三下·普宁开学考）已知为奇函数，当时，，则当时，（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【知识点】奇函数
【解析】【解答】因为为奇函数，所以，即．
当时，，．
故答案为：C
【分析】根据奇函数的性质即可算出答案.
7．（2023高三下·普宁开学考）现有下列五个结论：
①若，则有；
②对任意向量、，有；
③对任意向量、，有；
④对任意复数，有；
⑤对任意复数，有．
以上结论中，正确的个数为（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
【答案】D
【知识点】平面向量的数量积运算；复数代数形式的乘除运算
【解析】【解答】根据绝对值的运算法则正确，故①正确；
对任意向量、，，故②不正确；
对任意向量、，有，故③正确；
对任意复数，不妨设，则，而，显然不成立，故④错误；
对任意复数，不妨设，则，
所以，，
所以有，故⑤正确.
故答案为：D
【分析】根据绝对值的运算法则判断①，根据数量积的定义判断②③，根据复数的运算及模的定义判断④⑤.
8．（2023高三下·普宁开学考）如图，已知正方体的棱长为分别是棱上的动点，若，则线段的中点的轨迹是（ ）
A．一条线段 B．一段圆弧
C．一部分球面 D．两条平行线段
【答案】B
【知识点】轨迹方程
【解析】【解答】由题意，连接，，，，取中点为，连接，如下图：
在正方体中，易知为直角三角形，
为的中点，在中，；在中，，
，且为的中点，，
在中，，
分别为上的动点，点的轨迹为以为圆心，以为半径的圆的一部分，
故答案为：B.
【分析】由题意，连接，，，，取中点为，连接，构造直角三角形，利用其性质求得的长，根据等腰三角形的性质，求得可得答案.
二、多选题
9．（2023高三上·济南期末）有一组样本数据，其样本平均数为.现加入一个新数据，且，组成新的样本数据，与原样本数据相比，新的样本数据可能（ ）
A．平均数不变 B．众数不变
C．极差变小 D．第20百分位数变大
【答案】B,D
【知识点】众数、中位数、平均数；极差、方差与标准差
【解析】【解答】因为，所以新的样本数据平均数减小，A不符合题意；
加入一个新数据，则众数仍有可能为原数据的众数，B符合题意；
若加入一个新数据不是最大值也不是最小值，则新数据极差等于原数据极差，
C不符合题意；
若为原数据从小到大排列的第20为后的数，因为样本数增加，所以第20百分位数可能后移，则新数据第20百分位数可能变大.D符合题意，
故答案为：BD.
【分析】根据数据的平均数、极差、众数以及百分位数的定义判断求解.
10．（2023高三下·普宁开学考）已知O为坐标原点，点，，，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A,B,C
【知识点】向量的模；平面向量的坐标运算；平面向量的数量积运算
【解析】【解答】对于A，因为，，，
所以，，
故是正三角形，则，A符合题意；
对于B，因为是正三角形，是的外心，
所以是的重心，故，即，B符合题意；
对于C，，C符合题意；
对于D，因为，则，
所以，D不符合题意.
故答案为：ABC．
.
【分析】利用平面向量的坐标表示与旋转角的定义推得是正三角形，从而对选项逐一分析判断即可.
11．（2022·唐山二模）双曲线具有如下光学性质：如图，是双曲线的左、右焦点，从右焦点发出的光线m交双曲线右支于点P，经双曲线反射后，反射光线n的反向延长线过左焦点．若双曲线C的方程为，下列结论正确的是（ ）
A．若，则
B．当n过时，光由所经过的路程为13
C．射线n所在直线的斜率为k，则
D．若，直线PT与C相切，则
【答案】C,D
【知识点】双曲线的简单性质
【解析】【解答】对于A：若，则.
因为P在双曲线右支上，所以.由勾股定理得：
二者联立解得：.A不符合题意；
对于B：光由所经过的路程为.
B不符合题意；
对于C：双曲线的方程为.设左、右顶点分别为A、B.如图示：
当与同向共线时，的方向为，此时k=0，最小.
因为P在双曲线右支上，所以n所在直线的斜率为.即.
C符合题意.
对于D：设直线PT的方程为.
，消去y可得：.
其中，即，解得
代入，有，解得：x=9.
由P在双曲线右支上，即，解得：（舍去），所以.
所以.
D符合题意
故答案为：CD
【分析】对于A：判断出，由定义和勾股定理联立方程组即可求得；对于B：利用双曲线的定义直接求得；对于C：先求出双曲线的渐近线方程，由P在双曲线右支上，即可得到n所在直线的斜率的范围；对于D：设直线PT的方程为.利用相切解得，进而求出.即可求出.
12．（2022·聊城模拟）在数列中，对于任意的都有，且，则下列结论正确的是（ ）
A．对于任意的，都有
B．对于任意的，数列不可能为常数列
C．若，则数列为递增数列
D．若，则当时，
【答案】A,C,D
【知识点】数列的函数特性
【解析】【解答】A：由，对有，则，即任意都有，正确；
B：由，若为常数列且，则满足，错误；
C：由且，
当时，此时且，数列递增；
当时，此时，数列递减；
所以时数列为递增数列，正确；
D：由C分析知：时且数列递减，即时，正确.
故答案为：ACD
【分析】 结合数列递推式研究数列的单调性，然后逐一判断即可得答案.
三、填空题
13．（2023高三下·普宁开学考）中的系数为 （用数字作答）.
【答案】1620
【知识点】二项式定理
【解析】【解答】，
其二项展开式的通项为，
要得到，则，解得.
的二项展开式的通项为，
令，可得.
故中的系数为.
故答案为：1620.
【分析】的二项展开式的通项为，令，再求出展开式中的系数，从而可求解.
14．（2023高三下·普宁开学考）已知，则 .
【答案】
【知识点】二倍角的余弦公式；运用诱导公式化简求值
【解析】【解答】令，则，
所以，
因为，
所以，整理得，
则，解得或（舍去），
所以，即.
故答案为：.
【分析】先利用换元法，结合三角函数的诱导公式与倍角公式将等式转化为，解之即可.
15．（2023高三下·普宁开学考）已知为奇函数，则 ．
【答案】-1
【知识点】奇函数
【解析】【解答】由题意可得满足且，
则有，即，
故，即，
因为时，定义域为，
满足，函数为偶函数，不合题意，
故，则的自变量x可取到0，且函数定义域关于原点对称，
则不恒等于0，故，
当时，定义域为R，满足，
即为奇函数，
故答案为：-1
【分析】根据奇函数的定义，可得，化简即得，即可求得答案.
16．（2022高三上·湖北月考）球体在工业领域有广泛的应用，某零件由两个球体构成，球的半径为为球表面上两动点，为线段的中点.半径为2的球在球的内壁滚动，点在球表面上，点在截面上的投影恰为的中点，若，则三棱锥体积的最大值是 .
【答案】15
【知识点】棱柱、棱锥、棱台的体积；空间向量的投影向量
【解析】【解答】如图一所示：
在圆中，因为点在截面上的投影恰为的中点，且，
所以为直角三角形，且，
又因为，
所以可得，
设，
则有，
所以，
所以，当时，等号成立，
所以；
如图二所示：
因为球的半径为，为线段的中点，
所以，
当三点共线且为如图所示的位置时，点为到平面的距离最大，
即此时三棱锥的高最大，此时，
所以此时，
即三棱锥体积的最大值是15。
故答案为：15。
【分析】在圆中 ，利用点在截面上的投影恰为的中点，且，所以三角形为直角三角形，且，再利用结合勾股定理得的长，设，再利用勾股定理和均值不等式求最值的方法得出mn的最大值，再结合三角形的面积公式得出的最大值，利用球的半径为，为线段的中点结合勾股定理得出的长，当三点共线且为如图所示的位置时，点为到平面的距离最大，则此时三棱锥的高最大，再利用求和法得出此时h的值，再结合三棱锥的体积公式得出三棱锥体积的最大值。
四、解答题
17．（2023高三下·普宁开学考）已知数列满足，其中是的前项和.
（1）求证：是等差数列；
（2）若，求的前项和.
【答案】（1）证明：由得：
当时，，
两式子相减得①，
因此可得②，
①②相减得：，
由于 ，所以，
所以是等差数列；
（2）由（1）知是等差数列，，所以，
因此，
所以.
【知识点】等差关系的确定；数列的求和；数列的递推公式
【解析】【分析】（1） 当时， 根据，可得根据此递推关系推出，即可根据等差中项求 是等差数列；
（2） 由（1）知是等差数列，，所以，因此， 根据裂项求和即可求得 .
18．（2023高三下·普宁开学考）如图，在四棱锥中，底面为矩形，平面平面为中点，与交于点的重心为.
（1）求证：平面
（2）若，求二面角的正弦值.
【答案】（1）证明：因为的重心为，为中点，
所以，又，
所以，即，又，
所以，
所以，又平面，平面，
所以平面；
（2）解：因为，为中点，
所以，又平面平面，平面平面，平面，
所以平面，
如图以为原点建立空间直角坐标系，
则，
所以，
设平面的法向量为，则
，令，可得，
设平面的法向量为，则
，令，可得，
所以，
所以二面角的正弦值.
【知识点】直线与平面平行的判定；用空间向量研究二面角
【解析】【分析】（1）由题可得 ，然后根据线面平行的判定定理即得；
（2）根据面面垂直的性质定理可得平面，然后为原点建立空间直角坐标系，求出平面的法向量， 平面的法向量， 利用坐标法，根据面面角的向量求法即得.
19．（2022高三上·邹城期中）如图，已知，平面内任意点关于点的对称点为，点关于点的对称点为.设（为单位向量）.
（1）求的长；
（2）在中，若，试求的取值范围.
【答案】（1）解：连接，
由题意，得，
所以，
在中，点分别为的中点，所以，
所以.
（2）解：因为在中，有，
所以由正弦定理边角互化得，
即，
由于，所以，
又因为，所以，
在中由正弦定理得，
所以，
所以，
在中，因为，所以，
所以
，
因为，所以，
所以，
所以，即所求的取值范围是.
【知识点】平面向量的线性运算；正弦定理
【解析】【分析】（1）利用向量的四则运算结合单位向量的概念即可求解；
（2）利用正弦定理边角互化即可求解.
20．（2023高三下·普宁开学考）某工厂生产一批零件，其直径X满足正态分布（单位：）.
（1）现随机抽取15个零件进行检测，认为直径在之内的产品为合格品，若样品中有次品则可以认定生产过程中存在问题.求上述事件发生的概率，并说明这一标准的合理性.（已知：）
（2）若在上述检测中发现了问题，另抽取100个零件进一步检测，则这100个零件中的次品数最可能是多少？
【答案】（1）解：因为，所以，
所以随机抽取15个零件进行检测，至少有1个次品的概率为，
如果生产状态正常，至少有一个次品的概率约为，该事件是小概率事件，因此一旦发生这种状况，就有理由认定生产过程中存在问题，即这一标准是合理的.
（2）解：次品的概率为，
抽取100个零件进一步检测，设次品数为，则，其中，
故，
设次品数最可能是件，
则，
即，
即，解得.
因为，所以，故.
故这100个零件中的次品数最可能是0.
【知识点】n次独立重复试验中恰好发生k次的概率；正态密度曲线的特点
【解析】【分析】（1） 因为，所以， ，故至少有1个次品的概率为，根据小概率事件说明即可；
（2）次品的概率为，设抽取100个零件进一步检测，设次品数为，则，其中，设次品数最可能是件，则 ，求解即可.
21．（2022高二上·南阳期中）已知抛物线C：与直线相切．
（1）求C的方程；
（2）过C的焦点F的直线l与C交于A，B两点，AB的中垂线与C的准线交于点P，若，求l的方程．
【答案】（1）解：联立方程，消去x得，
∵抛物线C与直线相切，则，解得或（舍去）
故抛物线的方程C：.
（2）解：设l的方程为，则线段AB的中点，
过作抛物线的准线的垂线，垂足为N，则，
即，
∵，则，即，
∴，
联立方程，消去x得，
，
则，AB的中垂线的方程为，
∴，则，
即，解得，
故l的方程为或.
【知识点】直线与圆锥曲线的综合问题
【解析】【分析】（1）利用已知条件，联立直线与抛物线方程结合判别式法，进而得出p的值，从而得出抛物线C的标准方程。
（2） 设l的方程为，再利用中点坐标公式得出线段AB的中点M的坐标，过作抛物线的准线的垂线，垂足为N，再利用抛物线的定义得出，再结合，则，即，所以，再利用直线与抛物线相交，联立二者方程结合判别式法和韦达定理，得出，进而得出M，N的坐标，再结合中点坐标公式和两直线垂直斜率之积等于-1，进而得出AB的中垂线的方程，从而得出点P的坐标，再利用两点距离公式得出PN和MN的长，再结合已知条件得出m的值， 从而得出直线l的方程。
22．（2023高三下·普宁开学考）已知函数.
（1）若，求曲线在点处的切线方程；
（2）若对任意的恒成立，求的取值范围.
【答案】（1）解：当时，，
则，，又，
在处的切线方程为：.
（2）解：，
令，则，
令，则，
在上单调递增，，即；
当时，，，，
，，
即，在上单调递增，即在上单调递增；
；
①当，即时，，在上单调递增，
，满足题意；
②当，即时，；
令，则，
在上单调递增，，即，
又，，使得，
当时，，则在上单调递减，此时，不合题意；
综上所述：实数的取值范围为.
【知识点】函数恒成立问题；利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数的极值
【解析】【分析】（1）根据导数几何意义可求得切线斜率，结合可求得切线方程；
（2）求导后，设；令，利用导数可求得单调性，得到，采用放缩法可确定，知 在上单调递增；当时，由恒成立可确定，满足题意；当时，令，利用导数可说明，得到，结合零点存在定理可说明，使得，由此可说明当时， ，不合题意；综合两种情况可得结论.
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