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广东省汕头市潮南区2023届高三下学期数学期初摸底试卷
一、单选题
1．（2023高三下·潮南开学考）已知集合，，若，，则（ ）
A． B． C． D．
2．（2023高三下·潮南开学考）已知复数，在复平面内，复数所对应的点位于第三象限的一个充分不必要条件是（ ）
A． B． C． D．
3．（2022·合肥模拟）中国空间站的主体结构包括天和核心舱、问天实验舱和梦天实验舱．假设中国空间站要安排甲，乙，丙，丁，戊5名航天员开展实验，其中天和核心舱安排3人，问天实验舱与梦天实验舱各安排1人．若甲、乙两人不能同时在一个舱内做实验，则不同的安排方案共有（ ）
A．8种 B．14种 C．20种 D．116种
4．（2023高三下·潮南开学考）如图，将一个球放入一个倒立的圆锥形容器中，圆锥的高为3，底面半径为4，且圆锥的底面恰好经过球心，则该球的表面积为（ ）
A． B． C． D．
5．（2021·广东模拟）核酸检测分析是用荧光定量 法，通过化学物质的荧光信号，对在 扩增进程中成指数级增加的靶标 实时监测，在 扩增的指数时期，荧光信号强度达到阈值时， 的数量 与扩增次数 满足 ，其中 为扩增效率， 为 的初始数量.已知某被测标本 扩增 次后，数量变为原来的 倍，那么该样本的扩增效率 约为（ ）
(参考数据： ， )
A．0.369 B．0.415 C．0.585 D．0.631
6．（2023高三下·潮南开学考）已知A，F分别是双曲线的右顶点和左焦点，O是坐标原点.点P在第一象限且在C的渐近线上，满足PA⊥AF.若OP平分∠APF，则双曲线C的离心率为（ ）
A．2 B． C．3 D．
7．（2022高三上·湖南月考）某干燥塔的底面是半径为1的圆面，圆面有一个内接正方形框架，在圆的劣弧上有一点，现在从点出发，安装三根热管，则三根热管的长度和的最大值为（ ）
A．4 B． C． D．
8．（2023高三上·宝安月考）已知角A为△ABC中一个内角，如果适当排列sinA，cosA，tanA的顺序，可使它们成为一个等比数列，那么角A的大小属于区间（ ）
A． B． C． D．
二、多选题
9．（2023高三上·济南期末）有一组样本数据，其样本平均数为.现加入一个新数据，且，组成新的样本数据，与原样本数据相比，新的样本数据可能（ ）
A．平均数不变 B．众数不变
C．极差变小 D．第20百分位数变大
10．（2023高三下·潮南开学考）函数的最小正周期为，若为的零点，则（ ）
A．
B．函数的图象可由函数的图象向右平移个单位得到
C．在内有4个极值点
D．函数在仅有1个零点
11．（2022高三上·菏泽期末）函数的图象类似于汉字“囧”字，被称为“囧函数”，并把其与y轴的交点关于原点的对称点称为“囧点”，以“囧点”为圆心，凡是与“囧函数”有公共点的圆，皆称之为“囧圆”，则当，时，下列结论正确的是（ ）
A．函数的图象关于直线对称
B．当时，的最大值为－1
C．函数的“囧点”与函数图象上的点的最短距离为
D．函数的所有“囧圆”中，面积的最小值为3π
12．（2023高三下·潮南开学考）已知正方体的棱长均为为线段的中点，，其中，则下列选项正确的是（ ）
A．当时，
B．当时，的最小值为
C．若直线与平面所成角为，则点的轨迹长度为
D．当时，正方体被平面截的图形最大面积为
三、填空题
13．（2023高三下·潮南开学考）在的展开式中，的系数为 .
14．（2023高三下·潮南开学考）已知向量，若在方向上的投影向量为，则的值为 .
15．（2023高三下·潮南开学考）已知等差数列的公差为，随机变量满足，则的取值范围为 .
16．（2023高三下·潮南开学考）已知函数，所有满足的点中，有且只有一个在圆上，则圆的方程可以是 .（写出一个满足条件的圆的方程即可）
四、解答题
17．（2023高三下·潮南开学考）已知正项数列的前n项和为，且满足.
（1）证明：数列是等差数列；
（2）设数列的前n项和为，证明：
18．（2023高三下·潮南开学考）记的内角的对边分别为，满足，是边上的点，且.
（1）求；
（2）求的最小值.
19．（2023高三下·潮南开学考）2022年卡塔尔世界杯将11月20日开赛，某国家队为考察甲、乙两名球员对球队的贡献，现作如下数据统计：
球队胜 球队负 总计
甲参加 30 60
甲未参加 10
总计 60 n
乙球员能够胜任前锋 中场 后卫三个位置，且出场率分别为：0.1，0.5，0.4；在乙出任前锋、中场、后卫的条件下，球队输球的概率依次为：0.2，0.2，0.7
附表：
0.15 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001
2.072 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828
（1）根据小概率值=0.025的独立性检验，能否认为该球队胜利与甲球员参赛有关联？
（2）根据数据统计，问：
①当乙参加比赛时，求该球队某场比赛输球的概率；
②当乙参加比赛时，在球队输了某场比赛的条件下，求乙球员担当中场的概率；
③如果你是教练员，应用概率统计有关知识，该如何使用乙球员？
20．（2022·佛山模拟）如图，在以P，A，B，C，D为顶点的五面体中，平面ABCD为等腰梯形，，平面PAD⊥平面PAB，.
（1）求证：△PAD为直角三角形；
（2）若，求直线PD与平面PBC所成角的正弦值.
21．（2023高三下·潮南开学考）设椭圆的左 右顶点分别为，上顶点为，点是椭圆上异于顶点的动点，已知椭圆的右焦点为，且经过点.
（1）求椭圆的方程；
（2）若直线与直线交于点，直线与轴交于点，求证：直线恒过某定点，并求出该定点.
22．（2022·福建模拟）已知函数，，其中R.
（1）讨论的单调性；
（2）当时，是否存在，且，使得？证明你的结论.
答案解析部分
1．【答案】D
【知识点】元素与集合关系的判断；集合的包含关系判断及应用
【解析】【解答】对于A，当集合时，不是的子集，A不符合题意；
对于B，当集合时，不是的子集，B不符合题意；
对于C，当集合时，，C不符合题意；
对于D，因为，，且，所以，D符合题意.
故答案为：D.
【分析】根据集合N中所含元素的可能性逐一判断即可.
2．【答案】A
【知识点】必要条件、充分条件与充要条件的判断；复数代数形式的乘除运算
【解析】【解答】根据题意：，
故在复平面内对应的点若在第三象限，则，解得，
所以复数所对应的点位于第三象限的一个充分不必要条件是为.
故答案为：A.
【分析】由复数的运算化简复数，再根据复平面内对应的点若在第三象限，列出不等式组，结合充分条件、必要条件的判定，即可求解.
3．【答案】B
【知识点】分类加法计数原理；分步乘法计数原理；组合及组合数公式
【解析】【解答】按照甲是否在天和核心舱划分，
①若甲在天和核心舱，天和核心舱需要从除了甲乙之外的三人中选取两人，剩下两人去剩下两个舱位，则有种可能；
②若甲不在天和核心舱，需要从问天实验舱和梦天实验舱中挑选一个，剩下四人中选取三人进入天和核心舱即可，则有种可能；
根据分类加法计数原理，共有6+8=14种可能.
故答案为：B.
【分析】分两类情况①甲在天和核心舱和②甲不在天和核心舱，分别计算，再由加法原理即可求解。
4．【答案】C
【知识点】球的体积和表面积
【解析】【解答】解：如图，设球的半径为R，则由题意可得球与圆锥的母线相切，
所以球心到母线的距离等于球的半径，作，
所以，得，
所以球的表面积为，
故答案为：C
【分析】由题意可得球与圆锥的母线相切，则球心到母线的距离等于球的半径，然后利用的三角形面积公式求得，代入球面积公式计算即可求解.
5．【答案】C
【知识点】对数的性质与运算法则
【解析】【解答】由题意知， ，
即 ，
所以 ，解得 .
故答案为：C.
【分析】由 得 ，从而可求出p的值。
6．【答案】A
【知识点】双曲线的简单性质；直线与圆锥曲线的关系
【解析】【解答】根据题意， A，F分别是双曲线的右顶点和左焦点，可得点的坐标为，点的坐标为，其中，所以直线的方程为，即.
所以坐标原点到直线的距离等于.
因为，所以点到直线的距离等于.
由平分，由角平分线上一点到角两边距离相等可得，
即.
因为离心率，又，所以，解得：.
故答案为：A.
【分析】先求出直线的方程，得到坐标原点到直线的距离等于，点到直线的距离等于，由角平分线的性质得到，整理化简求出离心率.
7．【答案】B
【知识点】三角函数的值域与最值
【解析】【解答】如图，连接，
设，则，
可得：
，其中，所以，
由的范围可以取到最大值.
故答案为：B
【分析】设，利用辅助角公式表达出，从而求出三根热管的长度和的最大值.
8．【答案】A
【知识点】同角三角函数间的基本关系
【解析】【解答】角A为△ABC中一个内角，，
若sinA是等比中项，即，得或，不符合要求；
若cosA是等比中项，即，，
，得，；
若tanA是等比中项，即，，
，则，
综上有
故答案为：A
【分析】由给定条件分情况建立关系，再结合同角公式及函数值的范围即可作答.
9．【答案】B,D
【知识点】众数、中位数、平均数；极差、方差与标准差
【解析】【解答】因为，所以新的样本数据平均数减小，A不符合题意；
加入一个新数据，则众数仍有可能为原数据的众数，B符合题意；
若加入一个新数据不是最大值也不是最小值，则新数据极差等于原数据极差，
C不符合题意；
若为原数据从小到大排列的第20为后的数，因为样本数增加，所以第20百分位数可能后移，则新数据第20百分位数可能变大.D符合题意，
故答案为：BD.
【分析】根据数据的平均数、极差、众数以及百分位数的定义判断求解.
10．【答案】B,C
【知识点】函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换；正弦函数的周期性；正弦函数的零点与最值
【解析】【解答】解：由题知，，
所以，所以，
所以，因为，
所以，即，
因为为的零点，
所以，
即，
解得： ，
因为，所以，
故，
故，A不符合题意；
因为，
向右平移个单位后可得：
，B符合题意；
因为，
令，
则在的极值点有：
共4个，
即在内有4个极值点，C符合题意；
因为，，
令，
则在的零点，
即的根，即或共2个，
则在有2个零点，D不符合题意.
故答案为：BC
【分析】先根据为的零点，求出解析式，进而求得周期，判断选项A的正误；通过平移变换即可判断选项B的正误；令，求在上的极值点即求在的极值点，解得即可判断选项C正误；令，求在的零点个数，即求在的零点，解得即可判断选项D的正误.
11．【答案】B,C,D
【知识点】归纳推理
【解析】【解答】当，时，函数.
A．f(x)的定义域为，，且为偶函数，则函数关于对称，A不符合题意；
B．其图象如图所示，当，为减函数，则当时，最大为，B符合题意；
C．当时，，即函数图象与轴的交点为，其关于原点的对称点为，
所以“囧点”为，
设，则，设切点为，，
切线的斜率，
当“囧点”与切点的连线垂直切线时，距离最短，
，
解得，
切点坐标为，
故函数的“囧点”与函数图象上的点的最短距离是，C符合题意，
D．“囧圆”的圆心为．要求“囧圆”的面积最小，则只需考虑轴及轴右侧的函数图象．当圆过点时，其半径为2，这是和轴下方的函数图象有公共点的所有“囧圆”中半径的最小值；
当圆和轴上方且轴右侧的函数图象有公共点时，设（其中，
则点到圆心的距离的平方为，
令，，则，
再令，（其中，
则，
所以当圆和轴上方且轴右侧的函数图象有公共点时，最小半径为．
又，
综上可知，在所有的“囧圆”中，半径的最小值为．
故所有的“囧圆”中，圆的面积的最小值为3π，D符合题意，
故答案为：BCD．
【分析】当，时，函数， 根据已知中关于“囧函数”、“囧点”、“囧圆”的定义，逐项进行判断，可得答案.
12．【答案】A,D
【知识点】平面向量的数量积运算；棱柱的结构特征；直线与平面所成的角；扇形的弧长与面积
【解析】【解答】由题知正方体的棱长均为2，
当时，，
此时
，
所以，
即A符合题意；
当时，，
所以点在上，且点在平面上，
分别将，延长至，
使得，
将沿着向下翻折至与平面共面，
点翻折后变为，过向作垂线，垂足为，如图所示：
因为，
所以，
因为，所以为中点，且，
因为平面平面，且平面平面，
，所以平面，
所以，又因为，
所以在上，且为中点，，
在平面中，连接交于点时，取最小值，
因为，所以，
此时
，
B不符合题意；
因为面，所以为直线与面的平面角，
当直线与平面所成角为时，
即，因为，所以，
所以为等腰直角三角形，因为，所以，
因为，由平面向量基本定理可知在平面内，
所以的轨迹为以为圆心为半径的圆上，且在平面内，
所以点的轨迹长度为，
C不符合题意；
因为，其中，
因为，所以三点共线，
连接交于点，
当点在上运动时，延长交于点，
则正方体被平面截的图形为，
由图可知，当点运动到点时，截面为，此时截面积最大，
因为正方体棱为2，所以，
此时截面积最大为，
当点在上运动时，延长交于点，
过点做的平行线交于点，连接，
再过点做的垂线，垂足为，如图所示：
由题可知，此时截面为等腰梯形，
记，则，
，，
所以，
，
所以
，
令，
所以，所以在单调递增，
所以，
故，因为，
所以正方体被平面截的图形最大面积为，
即D符合题意.
故答案为：AD
【分析】A选项，当时，，根据向量积的运算得，所以；
B选项，当时，，所以点在上，且点在平面上，
将沿着向下翻折至与平面共面，点翻折后变为，过向作垂线，垂足为，所以在上，且为中点，取最小值为，根据长度关系解出即可；
C选项，当直线与平面所成角为时，可得为等腰直角三角形，即，
所以的轨迹为以为圆心为半径的圆上，且在平面内，所以点的轨迹长度为；
选项D，由，所以三点共线，分在上运动和在上运动两种情况下，讨论截面面积的大小情况，求出最值，即可判断正误.
13．【答案】80
【知识点】二项式定理
【解析】【解答】解：依题意，的展开式中，
含的项为，
所以的系数为80.
故答案为：80.
【分析】根据二项式定理及组合数的计算求得正确答案.
14．【答案】1
【知识点】平面向量的坐标运算；空间向量的投影向量
【解析】【解答】解：因为在上的投影向量为，
所以，则，
因为，，
所以，
从而，
解得.
故答案为：1.
【分析】结合已知条件可知，则以及数量积的坐标运算即可求解.
15．【答案】
【知识点】数列的函数特性；数列的应用
【解析】【解答】由题意可知，可得，
由可得，解得
综合可得，的取值范围为.
故答案为：
【分析】根据随机变量分布列的性质可得，即可得，再根据，即可求得.
16．【答案】．（注：圆心到直线的距离为半径即可）
【知识点】利用导数研究函数的单调性；圆的切线方程
【解析】【解答】解：由函数得，
所以在定义域上单调递增，
又因为，
所以关于对称，
则，即，
因为，所以，即，
所有满足的点中，有且只有一个在圆上，
则直线与圆相切，假设圆心，
所以，所以圆可以是，
故答案为： ．（注：圆心到直线的距离为半径即可）
【分析】根据题意结合函数的单调性和对称性得，进而可得直线与圆相切，即可写出答案.
17．【答案】（1）证明：当时，由，
所以数列是等差数列；
（2）证明：，由（1）可知数列是等差数列，且公差为，
所以，又因为数列是正项数列，
所以，即，
.
【知识点】等差数列的通项公式；数列的求和
【解析】【分析】（1）根据和之间的关系，结合等差数列的定义进行证明即可；
（2）， 由（1）可知数列是等差数列，且公差为，得到，结合已知条件得，结合放缩法、裂项相消法进行求解证明即可.
18．【答案】（1）解：因为，
所以由正弦定理得①，
又因为中，，
所以②，
①②联立可得，
因为中，
所以，，即.
（2）解：由（1）得，
因为，所以，
又因为，
所以由三角形面积公式得，整理得，
由均值不等式可得，当且仅当，，即时等号成立，
所以，解得，
所以，即的最小值为.
【知识点】基本不等式；解三角形；正弦定理
【解析】【分析】（1）利用正弦定理结合三角恒等变换得，解得，则得到答案；
（2）根据三角形面积公式结合有，利用基本不等式即可求出面积最值.
19．【答案】（1）解：依题意，，
零假设为：球队胜利与甲球员参赛无关，则的观测值，
根据小概率值的独立性检验，我们推断不成立，即认为该球队胜利与甲球员参赛有关联，此推断犯错误的概率不超过.
（2）解：①设表示“乙球员担当前锋”；表示“乙球员担当中场”；表示“乙球员担当后卫”；表示“球队输掉某场比赛”，有，，，，，
则
，所以该球队某场比赛输球的概率是0.4.
②由①知，球队输的条件下，乙球员担当中场的概率.
③由①知，球队输的条件下，乙球员担当前锋的概率，
球队输的条件下，乙球员担当后卫的概率，
由②知，，
所以，应该多让乙球员担任前锋，来扩大赢球场次.
【知识点】独立性检验；条件概率与独立事件；全概率公式
【解析】【分析】（1） 依题意，，结合列联表直接的数据关系，以及独立性检验公式，求解即可；
（2）①利用全概率公式计算某场比赛输球的概率；②利用条件概率公式计算乙担当中场的概率；③求出球队输的条件下乙任前锋、后卫概率得解.
20．【答案】（1）证明：在等腰梯形中，作于H，连BD，如图，
则，且，则，
即，而，因此，，即，
因平面平面，平面平面，平面，而，
则平面，又平面，于是有，，平面，
则有平面，平面，因此，，
所以为直角三角形.
（2）解：在平面内过点P作，因平面平面，平面平面，则平面，
因此，两两垂直，以点P为原点，建立如图所示的空间直角坐标系，
令，则，，，
，有，从而得，
设平面的一个法向量，则，令，得，
，设直线PD与平面所成角为，
则有，
所以直线PD与平面所成角的正弦值为.
【知识点】直线与平面垂直的判定；直线与平面垂直的性质；用空间向量研究直线与平面所成的角
【解析】【分析】(1) 作于H，连BD，证明AD⊥BD，再结合面面垂直的性质、线面垂直的性质推出 △PAD为直角三角形；
(2)在平面PAD内过点P作 ，以P为原点建立空间直角坐标系，利用向量法即可求出直线PD与平面所成角的正弦值 .
21．【答案】（1）解：因为椭圆右焦点为，所以，
因为椭圆经过点，所以，
又，所以，解得（负值舍去），
所以，故椭圆的方程为.
（2）证明：依题意，，则，
设直线的方程为（且），直线的方程为（且），
则直线与x轴的交点为，
易得直线的方程为，联立，解得，
则直线与直线的交点为，
联立，消去，得，
解得或，此时，
则点P的横坐标为，故点P的纵坐标为，
将点P的坐标代入直线的方程，整理得，
因为，所以，即，
因为，
所以直线的方程为：，
即，
所以直线过定点.
.
【知识点】椭圆的标准方程；椭圆的简单性质；直线与圆锥曲线的综合问题
【解析】【分析】（1） 椭圆的右焦点为，所以，椭圆经过点，所以，又，解得，所以，故椭圆的方程为；
（2） 设直线的方程为 ， 直线的方程为 ， 直线的方程为 ，从而求出点M、N的坐标，再联立直线与椭圆的方程得到的关系式，进而求得直线的方程，由此证得直线MN恒过某定点.
22．【答案】（1）解：依题意，的定义域为，
由，得 ，
①当时， 恒成立，所以在单调递增；
②当时，令，得，
当时，，所以在单调递减；
当时，，所以在单调递增；
综上，当时，在单调递增；
当时，在单调递减，在单调递增.
（2）解：设，则，
①当时， 恒成立，所以在单调递增，
又因为，所以，
所以，在不存在零点；
②当时，设，则，
当时，，所以在单调递减；
当时，，所以在单调递增；
所以，即，因为，所以，
又因为且，所以，所以，
所以，
当时，函数的对称轴为，
所以在单调递增，所以，
所以，所以在单调递增；
当时，，
所以，所以，所以在单调递增；
综上可知，当时，均有在单调递增，
又因为，所以在恰有一个零点1，
故当时，在恰有一个零点1，
因此不存在，且，使得.
【知识点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数最大（小）值
【解析】【分析】（1）求出导函数，分和时，求解，，即可求解；
（2）构造函数 ，分 时和 讨论， 当时 ，再分和讨论导数的正负，即可求解。
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广东省汕头市潮南区2023届高三下学期数学期初摸底试卷
一、单选题
1．（2023高三下·潮南开学考）已知集合，，若，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】元素与集合关系的判断；集合的包含关系判断及应用
【解析】【解答】对于A，当集合时，不是的子集，A不符合题意；
对于B，当集合时，不是的子集，B不符合题意；
对于C，当集合时，，C不符合题意；
对于D，因为，，且，所以，D符合题意.
故答案为：D.
【分析】根据集合N中所含元素的可能性逐一判断即可.
2．（2023高三下·潮南开学考）已知复数，在复平面内，复数所对应的点位于第三象限的一个充分不必要条件是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】必要条件、充分条件与充要条件的判断；复数代数形式的乘除运算
【解析】【解答】根据题意：，
故在复平面内对应的点若在第三象限，则，解得，
所以复数所对应的点位于第三象限的一个充分不必要条件是为.
故答案为：A.
【分析】由复数的运算化简复数，再根据复平面内对应的点若在第三象限，列出不等式组，结合充分条件、必要条件的判定，即可求解.
3．（2022·合肥模拟）中国空间站的主体结构包括天和核心舱、问天实验舱和梦天实验舱．假设中国空间站要安排甲，乙，丙，丁，戊5名航天员开展实验，其中天和核心舱安排3人，问天实验舱与梦天实验舱各安排1人．若甲、乙两人不能同时在一个舱内做实验，则不同的安排方案共有（ ）
A．8种 B．14种 C．20种 D．116种
【答案】B
【知识点】分类加法计数原理；分步乘法计数原理；组合及组合数公式
【解析】【解答】按照甲是否在天和核心舱划分，
①若甲在天和核心舱，天和核心舱需要从除了甲乙之外的三人中选取两人，剩下两人去剩下两个舱位，则有种可能；
②若甲不在天和核心舱，需要从问天实验舱和梦天实验舱中挑选一个，剩下四人中选取三人进入天和核心舱即可，则有种可能；
根据分类加法计数原理，共有6+8=14种可能.
故答案为：B.
【分析】分两类情况①甲在天和核心舱和②甲不在天和核心舱，分别计算，再由加法原理即可求解。
4．（2023高三下·潮南开学考）如图，将一个球放入一个倒立的圆锥形容器中，圆锥的高为3，底面半径为4，且圆锥的底面恰好经过球心，则该球的表面积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】球的体积和表面积
【解析】【解答】解：如图，设球的半径为R，则由题意可得球与圆锥的母线相切，
所以球心到母线的距离等于球的半径，作，
所以，得，
所以球的表面积为，
故答案为：C
【分析】由题意可得球与圆锥的母线相切，则球心到母线的距离等于球的半径，然后利用的三角形面积公式求得，代入球面积公式计算即可求解.
5．（2021·广东模拟）核酸检测分析是用荧光定量 法，通过化学物质的荧光信号，对在 扩增进程中成指数级增加的靶标 实时监测，在 扩增的指数时期，荧光信号强度达到阈值时， 的数量 与扩增次数 满足 ，其中 为扩增效率， 为 的初始数量.已知某被测标本 扩增 次后，数量变为原来的 倍，那么该样本的扩增效率 约为（ ）
(参考数据： ， )
A．0.369 B．0.415 C．0.585 D．0.631
【答案】C
【知识点】对数的性质与运算法则
【解析】【解答】由题意知， ，
即 ，
所以 ，解得 .
故答案为：C.
【分析】由 得 ，从而可求出p的值。
6．（2023高三下·潮南开学考）已知A，F分别是双曲线的右顶点和左焦点，O是坐标原点.点P在第一象限且在C的渐近线上，满足PA⊥AF.若OP平分∠APF，则双曲线C的离心率为（ ）
A．2 B． C．3 D．
【答案】A
【知识点】双曲线的简单性质；直线与圆锥曲线的关系
【解析】【解答】根据题意， A，F分别是双曲线的右顶点和左焦点，可得点的坐标为，点的坐标为，其中，所以直线的方程为，即.
所以坐标原点到直线的距离等于.
因为，所以点到直线的距离等于.
由平分，由角平分线上一点到角两边距离相等可得，
即.
因为离心率，又，所以，解得：.
故答案为：A.
【分析】先求出直线的方程，得到坐标原点到直线的距离等于，点到直线的距离等于，由角平分线的性质得到，整理化简求出离心率.
7．（2022高三上·湖南月考）某干燥塔的底面是半径为1的圆面，圆面有一个内接正方形框架，在圆的劣弧上有一点，现在从点出发，安装三根热管，则三根热管的长度和的最大值为（ ）
A．4 B． C． D．
【答案】B
【知识点】三角函数的值域与最值
【解析】【解答】如图，连接，
设，则，
可得：
，其中，所以，
由的范围可以取到最大值.
故答案为：B
【分析】设，利用辅助角公式表达出，从而求出三根热管的长度和的最大值.
8．（2023高三上·宝安月考）已知角A为△ABC中一个内角，如果适当排列sinA，cosA，tanA的顺序，可使它们成为一个等比数列，那么角A的大小属于区间（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】同角三角函数间的基本关系
【解析】【解答】角A为△ABC中一个内角，，
若sinA是等比中项，即，得或，不符合要求；
若cosA是等比中项，即，，
，得，；
若tanA是等比中项，即，，
，则，
综上有
故答案为：A
【分析】由给定条件分情况建立关系，再结合同角公式及函数值的范围即可作答.
二、多选题
9．（2023高三上·济南期末）有一组样本数据，其样本平均数为.现加入一个新数据，且，组成新的样本数据，与原样本数据相比，新的样本数据可能（ ）
A．平均数不变 B．众数不变
C．极差变小 D．第20百分位数变大
【答案】B,D
【知识点】众数、中位数、平均数；极差、方差与标准差
【解析】【解答】因为，所以新的样本数据平均数减小，A不符合题意；
加入一个新数据，则众数仍有可能为原数据的众数，B符合题意；
若加入一个新数据不是最大值也不是最小值，则新数据极差等于原数据极差，
C不符合题意；
若为原数据从小到大排列的第20为后的数，因为样本数增加，所以第20百分位数可能后移，则新数据第20百分位数可能变大.D符合题意，
故答案为：BD.
【分析】根据数据的平均数、极差、众数以及百分位数的定义判断求解.
10．（2023高三下·潮南开学考）函数的最小正周期为，若为的零点，则（ ）
A．
B．函数的图象可由函数的图象向右平移个单位得到
C．在内有4个极值点
D．函数在仅有1个零点
【答案】B,C
【知识点】函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换；正弦函数的周期性；正弦函数的零点与最值
【解析】【解答】解：由题知，，
所以，所以，
所以，因为，
所以，即，
因为为的零点，
所以，
即，
解得： ，
因为，所以，
故，
故，A不符合题意；
因为，
向右平移个单位后可得：
，B符合题意；
因为，
令，
则在的极值点有：
共4个，
即在内有4个极值点，C符合题意；
因为，，
令，
则在的零点，
即的根，即或共2个，
则在有2个零点，D不符合题意.
故答案为：BC
【分析】先根据为的零点，求出解析式，进而求得周期，判断选项A的正误；通过平移变换即可判断选项B的正误；令，求在上的极值点即求在的极值点，解得即可判断选项C正误；令，求在的零点个数，即求在的零点，解得即可判断选项D的正误.
11．（2022高三上·菏泽期末）函数的图象类似于汉字“囧”字，被称为“囧函数”，并把其与y轴的交点关于原点的对称点称为“囧点”，以“囧点”为圆心，凡是与“囧函数”有公共点的圆，皆称之为“囧圆”，则当，时，下列结论正确的是（ ）
A．函数的图象关于直线对称
B．当时，的最大值为－1
C．函数的“囧点”与函数图象上的点的最短距离为
D．函数的所有“囧圆”中，面积的最小值为3π
【答案】B,C,D
【知识点】归纳推理
【解析】【解答】当，时，函数.
A．f(x)的定义域为，，且为偶函数，则函数关于对称，A不符合题意；
B．其图象如图所示，当，为减函数，则当时，最大为，B符合题意；
C．当时，，即函数图象与轴的交点为，其关于原点的对称点为，
所以“囧点”为，
设，则，设切点为，，
切线的斜率，
当“囧点”与切点的连线垂直切线时，距离最短，
，
解得，
切点坐标为，
故函数的“囧点”与函数图象上的点的最短距离是，C符合题意，
D．“囧圆”的圆心为．要求“囧圆”的面积最小，则只需考虑轴及轴右侧的函数图象．当圆过点时，其半径为2，这是和轴下方的函数图象有公共点的所有“囧圆”中半径的最小值；
当圆和轴上方且轴右侧的函数图象有公共点时，设（其中，
则点到圆心的距离的平方为，
令，，则，
再令，（其中，
则，
所以当圆和轴上方且轴右侧的函数图象有公共点时，最小半径为．
又，
综上可知，在所有的“囧圆”中，半径的最小值为．
故所有的“囧圆”中，圆的面积的最小值为3π，D符合题意，
故答案为：BCD．
【分析】当，时，函数， 根据已知中关于“囧函数”、“囧点”、“囧圆”的定义，逐项进行判断，可得答案.
12．（2023高三下·潮南开学考）已知正方体的棱长均为为线段的中点，，其中，则下列选项正确的是（ ）
A．当时，
B．当时，的最小值为
C．若直线与平面所成角为，则点的轨迹长度为
D．当时，正方体被平面截的图形最大面积为
【答案】A,D
【知识点】平面向量的数量积运算；棱柱的结构特征；直线与平面所成的角；扇形的弧长与面积
【解析】【解答】由题知正方体的棱长均为2，
当时，，
此时
，
所以，
即A符合题意；
当时，，
所以点在上，且点在平面上，
分别将，延长至，
使得，
将沿着向下翻折至与平面共面，
点翻折后变为，过向作垂线，垂足为，如图所示：
因为，
所以，
因为，所以为中点，且，
因为平面平面，且平面平面，
，所以平面，
所以，又因为，
所以在上，且为中点，，
在平面中，连接交于点时，取最小值，
因为，所以，
此时
，
B不符合题意；
因为面，所以为直线与面的平面角，
当直线与平面所成角为时，
即，因为，所以，
所以为等腰直角三角形，因为，所以，
因为，由平面向量基本定理可知在平面内，
所以的轨迹为以为圆心为半径的圆上，且在平面内，
所以点的轨迹长度为，
C不符合题意；
因为，其中，
因为，所以三点共线，
连接交于点，
当点在上运动时，延长交于点，
则正方体被平面截的图形为，
由图可知，当点运动到点时，截面为，此时截面积最大，
因为正方体棱为2，所以，
此时截面积最大为，
当点在上运动时，延长交于点，
过点做的平行线交于点，连接，
再过点做的垂线，垂足为，如图所示：
由题可知，此时截面为等腰梯形，
记，则，
，，
所以，
，
所以
，
令，
所以，所以在单调递增，
所以，
故，因为，
所以正方体被平面截的图形最大面积为，
即D符合题意.
故答案为：AD
【分析】A选项，当时，，根据向量积的运算得，所以；
B选项，当时，，所以点在上，且点在平面上，
将沿着向下翻折至与平面共面，点翻折后变为，过向作垂线，垂足为，所以在上，且为中点，取最小值为，根据长度关系解出即可；
C选项，当直线与平面所成角为时，可得为等腰直角三角形，即，
所以的轨迹为以为圆心为半径的圆上，且在平面内，所以点的轨迹长度为；
选项D，由，所以三点共线，分在上运动和在上运动两种情况下，讨论截面面积的大小情况，求出最值，即可判断正误.
三、填空题
13．（2023高三下·潮南开学考）在的展开式中，的系数为 .
【答案】80
【知识点】二项式定理
【解析】【解答】解：依题意，的展开式中，
含的项为，
所以的系数为80.
故答案为：80.
【分析】根据二项式定理及组合数的计算求得正确答案.
14．（2023高三下·潮南开学考）已知向量，若在方向上的投影向量为，则的值为 .
【答案】1
【知识点】平面向量的坐标运算；空间向量的投影向量
【解析】【解答】解：因为在上的投影向量为，
所以，则，
因为，，
所以，
从而，
解得.
故答案为：1.
【分析】结合已知条件可知，则以及数量积的坐标运算即可求解.
15．（2023高三下·潮南开学考）已知等差数列的公差为，随机变量满足，则的取值范围为 .
【答案】
【知识点】数列的函数特性；数列的应用
【解析】【解答】由题意可知，可得，
由可得，解得
综合可得，的取值范围为.
故答案为：
【分析】根据随机变量分布列的性质可得，即可得，再根据，即可求得.
16．（2023高三下·潮南开学考）已知函数，所有满足的点中，有且只有一个在圆上，则圆的方程可以是 .（写出一个满足条件的圆的方程即可）
【答案】．（注：圆心到直线的距离为半径即可）
【知识点】利用导数研究函数的单调性；圆的切线方程
【解析】【解答】解：由函数得，
所以在定义域上单调递增，
又因为，
所以关于对称，
则，即，
因为，所以，即，
所有满足的点中，有且只有一个在圆上，
则直线与圆相切，假设圆心，
所以，所以圆可以是，
故答案为： ．（注：圆心到直线的距离为半径即可）
【分析】根据题意结合函数的单调性和对称性得，进而可得直线与圆相切，即可写出答案.
四、解答题
17．（2023高三下·潮南开学考）已知正项数列的前n项和为，且满足.
（1）证明：数列是等差数列；
（2）设数列的前n项和为，证明：
【答案】（1）证明：当时，由，
所以数列是等差数列；
（2）证明：，由（1）可知数列是等差数列，且公差为，
所以，又因为数列是正项数列，
所以，即，
.
【知识点】等差数列的通项公式；数列的求和
【解析】【分析】（1）根据和之间的关系，结合等差数列的定义进行证明即可；
（2）， 由（1）可知数列是等差数列，且公差为，得到，结合已知条件得，结合放缩法、裂项相消法进行求解证明即可.
18．（2023高三下·潮南开学考）记的内角的对边分别为，满足，是边上的点，且.
（1）求；
（2）求的最小值.
【答案】（1）解：因为，
所以由正弦定理得①，
又因为中，，
所以②，
①②联立可得，
因为中，
所以，，即.
（2）解：由（1）得，
因为，所以，
又因为，
所以由三角形面积公式得，整理得，
由均值不等式可得，当且仅当，，即时等号成立，
所以，解得，
所以，即的最小值为.
【知识点】基本不等式；解三角形；正弦定理
【解析】【分析】（1）利用正弦定理结合三角恒等变换得，解得，则得到答案；
（2）根据三角形面积公式结合有，利用基本不等式即可求出面积最值.
19．（2023高三下·潮南开学考）2022年卡塔尔世界杯将11月20日开赛，某国家队为考察甲、乙两名球员对球队的贡献，现作如下数据统计：
球队胜 球队负 总计
甲参加 30 60
甲未参加 10
总计 60 n
乙球员能够胜任前锋 中场 后卫三个位置，且出场率分别为：0.1，0.5，0.4；在乙出任前锋、中场、后卫的条件下，球队输球的概率依次为：0.2，0.2，0.7
附表：
0.15 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001
2.072 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828
（1）根据小概率值=0.025的独立性检验，能否认为该球队胜利与甲球员参赛有关联？
（2）根据数据统计，问：
①当乙参加比赛时，求该球队某场比赛输球的概率；
②当乙参加比赛时，在球队输了某场比赛的条件下，求乙球员担当中场的概率；
③如果你是教练员，应用概率统计有关知识，该如何使用乙球员？
【答案】（1）解：依题意，，
零假设为：球队胜利与甲球员参赛无关，则的观测值，
根据小概率值的独立性检验，我们推断不成立，即认为该球队胜利与甲球员参赛有关联，此推断犯错误的概率不超过.
（2）解：①设表示“乙球员担当前锋”；表示“乙球员担当中场”；表示“乙球员担当后卫”；表示“球队输掉某场比赛”，有，，，，，
则
，所以该球队某场比赛输球的概率是0.4.
②由①知，球队输的条件下，乙球员担当中场的概率.
③由①知，球队输的条件下，乙球员担当前锋的概率，
球队输的条件下，乙球员担当后卫的概率，
由②知，，
所以，应该多让乙球员担任前锋，来扩大赢球场次.
【知识点】独立性检验；条件概率与独立事件；全概率公式
【解析】【分析】（1） 依题意，，结合列联表直接的数据关系，以及独立性检验公式，求解即可；
（2）①利用全概率公式计算某场比赛输球的概率；②利用条件概率公式计算乙担当中场的概率；③求出球队输的条件下乙任前锋、后卫概率得解.
20．（2022·佛山模拟）如图，在以P，A，B，C，D为顶点的五面体中，平面ABCD为等腰梯形，，平面PAD⊥平面PAB，.
（1）求证：△PAD为直角三角形；
（2）若，求直线PD与平面PBC所成角的正弦值.
【答案】（1）证明：在等腰梯形中，作于H，连BD，如图，
则，且，则，
即，而，因此，，即，
因平面平面，平面平面，平面，而，
则平面，又平面，于是有，，平面，
则有平面，平面，因此，，
所以为直角三角形.
（2）解：在平面内过点P作，因平面平面，平面平面，则平面，
因此，两两垂直，以点P为原点，建立如图所示的空间直角坐标系，
令，则，，，
，有，从而得，
设平面的一个法向量，则，令，得，
，设直线PD与平面所成角为，
则有，
所以直线PD与平面所成角的正弦值为.
【知识点】直线与平面垂直的判定；直线与平面垂直的性质；用空间向量研究直线与平面所成的角
【解析】【分析】(1) 作于H，连BD，证明AD⊥BD，再结合面面垂直的性质、线面垂直的性质推出 △PAD为直角三角形；
(2)在平面PAD内过点P作 ，以P为原点建立空间直角坐标系，利用向量法即可求出直线PD与平面所成角的正弦值 .
21．（2023高三下·潮南开学考）设椭圆的左 右顶点分别为，上顶点为，点是椭圆上异于顶点的动点，已知椭圆的右焦点为，且经过点.
（1）求椭圆的方程；
（2）若直线与直线交于点，直线与轴交于点，求证：直线恒过某定点，并求出该定点.
【答案】（1）解：因为椭圆右焦点为，所以，
因为椭圆经过点，所以，
又，所以，解得（负值舍去），
所以，故椭圆的方程为.
（2）证明：依题意，，则，
设直线的方程为（且），直线的方程为（且），
则直线与x轴的交点为，
易得直线的方程为，联立，解得，
则直线与直线的交点为，
联立，消去，得，
解得或，此时，
则点P的横坐标为，故点P的纵坐标为，
将点P的坐标代入直线的方程，整理得，
因为，所以，即，
因为，
所以直线的方程为：，
即，
所以直线过定点.
.
【知识点】椭圆的标准方程；椭圆的简单性质；直线与圆锥曲线的综合问题
【解析】【分析】（1） 椭圆的右焦点为，所以，椭圆经过点，所以，又，解得，所以，故椭圆的方程为；
（2） 设直线的方程为 ， 直线的方程为 ， 直线的方程为 ，从而求出点M、N的坐标，再联立直线与椭圆的方程得到的关系式，进而求得直线的方程，由此证得直线MN恒过某定点.
22．（2022·福建模拟）已知函数，，其中R.
（1）讨论的单调性；
（2）当时，是否存在，且，使得？证明你的结论.
【答案】（1）解：依题意，的定义域为，
由，得 ，
①当时， 恒成立，所以在单调递增；
②当时，令，得，
当时，，所以在单调递减；
当时，，所以在单调递增；
综上，当时，在单调递增；
当时，在单调递减，在单调递增.
（2）解：设，则，
①当时， 恒成立，所以在单调递增，
又因为，所以，
所以，在不存在零点；
②当时，设，则，
当时，，所以在单调递减；
当时，，所以在单调递增；
所以，即，因为，所以，
又因为且，所以，所以，
所以，
当时，函数的对称轴为，
所以在单调递增，所以，
所以，所以在单调递增；
当时，，
所以，所以，所以在单调递增；
综上可知，当时，均有在单调递增，
又因为，所以在恰有一个零点1，
故当时，在恰有一个零点1，
因此不存在，且，使得.
【知识点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数最大（小）值
【解析】【分析】（1）求出导函数，分和时，求解，，即可求解；
（2）构造函数 ，分 时和 讨论， 当时 ，再分和讨论导数的正负，即可求解。
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