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浙江省绍兴市嵊州市2023届高三下学期数学2月学业质量调测试卷
一、单选题
1．（2023高三下·嵊州月考）已知集合，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【知识点】并集及其运算
【解析】【解答】由不等式，整理可得，解得，则；
.
故答案为：D.
【分析】求出集合A，再根据并集的定义即可得答案.
2．（2023高三下·嵊州月考）已知双曲线，则该双曲线的其中一条渐近线方程是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】双曲线的简单性质
【解析】【解答】由双曲线的标准方程可知该双曲线的渐近线方程为，
故答案为：C
【分析】根据双曲线的渐近线方程直接求解，可得答案.
3．（2023高三下·嵊州月考）若（是虚数单位），则（ ）
A． B．0 C．1 D．3
【答案】A
【知识点】复数代数形式的乘除运算
【解析】【解答】因为，所以，
则，所以，
故答案为：A.
【分析】 根据已知条件，结合复数的四则运，算以及复数相等的条件，即可求解出答案.
4．（2023高三下·嵊州月考）已知是边长为1的等边三角形，点分别是边的中点，连接并延长到点，使得，则的值为（ ）
A． B． C． D．1
【答案】B
【知识点】向量的三角形法则；平面向量数量积的运算
【解析】【解答】是边长为1的等边三角形，设，分别是边，的中点，
连接并延长到点，使得，如图，
则，，
则
，
故答案为：B.
【分析】 由题意画出图形，利用数量积公式计算，可得答案.
5．（2023高三下·嵊州月考）某中学为了解高三男生的体能情况，通过随机抽样，获得了200名男生的100米体能测试成绩（单位：秒），将数据按照分成9组，制成了如图所示的频率分布直方图.
由直方图可估计本校高三男生100米体能测试成绩小于13.5秒的人数为（ ）
A．47 B．54 C．67 D．94
【答案】D
【知识点】频率分布直方图
【解析】【解答】由题意，则，解得，
由图，则本校高三男生100米体能测试成绩小于13.5秒的频率为，
估计本校高三男生100米体能测试成绩小于13.5秒的人数为.
故答案为：D.
【分析】根据频率分布直方图的性质建立方程求出a，进而计算所求人数的频率，再乘总人数，即可得答案.
6．（2020·嘉祥模拟）已知不重合的平面 和直线 ，则“ ”的充分不必要条件是（ ）
A． 内有无数条直线与 平行 B． 且
C． 且 D． 内的任何直线都与 平行
【答案】B
【知识点】必要条件、充分条件与充要条件的判断
【解析】【解答】A. 内有无数条直线与 平行，则 相交或 ，排除；
B. 且 ，故 ，当 ，不能得到 且 ，满足；
C. 且 ， ，则 相交或 ，排除；
D. 内的任何直线都与 平行，故 ，若 ，则 内的任何直线都与 平行，充要条件，排除.
故选： .
【分析】根据充分不必要条件和直线和平面，平面和平面的位置关系，依次判断每个选项得到答案.
7．（2023高三下·嵊州月考）在正棱台中，为棱中点.当四棱台的体积最大时，平面截该四棱台的截面面积是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】基本不等式；棱柱、棱锥、棱台的体积
【解析】【解答】设，上底面和下底面的中心分别为，该四棱台的高，.
在上下底面由勾股定理可知，.
在梯形中，，
所以该四棱台的体积为，
所以，
当且仅当，即时取等号，此时，.
取的中点，连接、，显然有，平面，
平面，所以平面，因此平面就是截面.
显然，
在直角梯形 中，，
因此在等腰梯形中，，
同理在等腰梯形中，，
在等腰梯形中，设，
则，
，
所以梯形的面积为，
故答案为：C.
【分析】 根据正四棱台的体积公式，结合基本不等式、线面平行的判定定理、梯形的面积公式进行求解，即可得平面截该四棱台的截面面积 .
8．（2023高三下·嵊州月考）对于任意实数及，均有，则实数的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【知识点】函数的单调性及单调区间；基本不等式
【解析】【解答】由基本不等式，，故只需要即可，
即对于任意的，恒成立，等价于对任意的，，或.
当时，由于，原式可变形为，记，
根据对勾函数性质在上递减，在上递增，
于是在上递增，此时；
当时，由于，原式可变形为，记，
根据对勾函数性质在上递减，在上递增，于是在上递减，在上递增，
当，当，注意到，故当时，，故.
综上，.
故答案为：D
【分析】先将除了x以外的量a，t看成常量，运用基本不等式先求出左边表达式的最小值，然后利用分离参数，结合对勾函数性质求解，可得实数的取值范围 .
二、多选题
9．（2023高三下·嵊州月考）已知函数，则（ ）
A．的最小正周期为
B．的一个对称中心坐标为
C．的图象可由函数的图象向左平移个单位得到
D．在区间上单调递减
【答案】A,B,D
【知识点】三角函数中的恒等变换应用；正弦函数的奇偶性与对称性；正弦函数的单调性；函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换；正弦函数的周期性
【解析】【解答】对A，，
由周期公式可得，A符合题意；
对B，因为，故为对称中心，B符合题意；
对C，的图象向左平移个单位得到，C不符合题意；
对D，当，，
根据正弦函数的图象与性质可知，在单调递减，D符合题意.
故答案为：ABD.
【分析】首先利用函数的关系式的变换，把函数的关系式变形成正弦型函数，再利用正弦函数的性质逐项进行判断，可得答案.
10．（2023高三下·嵊州月考）传说古希腊毕达哥拉斯学派的数学家用沙粒和小石子来研究数，他们根据沙粒或小石子所排列的形状把数分成许多类，如图中第一行的1，3，6，10称为三角形数，第二行的1，4，9，16称为正方形数.下列数中，既是三角形数又是正方形数的是（ ）
A．36 B．289 C．1225 D．1378
【答案】A,C
【知识点】归纳推理
【解析】【解答】由题意，三角形数可看作，，，，
则第三角形数为；
正方形数可看作，，，，，则第个正方形数为；
对于A，令，解得，令，解得，A符合题意；
对于B，令，解得，令，其解显然不是正整数，B不符合题意；
对于C，令，解得，令，解得，C符合题意；
对于D，令，显然其解布置正整数，D不符合题意.
故答案为：AC.
【分析】通过观察可以得到三角形数和正方形数的通项，再逐项进行计算判断，可得答案.
11．（2023高三下·嵊州月考）过直线上一点作拋物线的两条切线，设切点分别为，记是线段的中点，则（ ）
A．直线经过该抛物线的焦点
B．直线轴
C．线段的中点在该抛物线上
D．以线段为直径的圆与抛物线的准线相交
【答案】B,C
【知识点】抛物线的简单性质；圆与圆锥曲线的综合
【解析】【解答】首先推导抛物线的切线方程，
设过抛物线上一点的切线的斜率为，则，
由点斜式得切线方程为：，
联合抛物线方程，有：消去，得
，
相切，，即，
整理得：，，
点是抛物线上的点，，
，，代入得：，整理，得
即：，
当不存在时，此时，切线方程为，适合上式切线方程，
所以，过抛物线上一点的切线的方程为： .
故对于本题来说，设
对A，则过点的切线方程为，代入坐标有
过点的切线方程为，代入坐标有
故切点弦方程为，当时，，故过定点，
而抛物线焦点坐标为，A不符合题意；
对B，由切于的切线方程，
切于的切线方程，，解得，
而，则，B符合题意；
对C，，故，
故的中点为，代入抛物线方程有，
故的中点在抛物线上，C符合题意；
对D，取，此时切点弦所在直线方程为：，即，
此时中点即圆心的坐标为，当时，，，
故圆的半径为，而圆心到准线的距离为，故此时直线与圆相离，D不符合题意.
故答案为：BC.
【分析】首先证明过抛物线上一点的切线方程结论，利用结论即可得到切点弦所在直线方程，即可判断A；求出点M的坐标，从而得到，即可判断B；求出PM的中点，代入抛物线方程即可判断C；举反例可判断D.
12．（2023高三下·嵊州月考）已知，若，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A,D
【知识点】利用导数研究函数的单调性；利用导数求闭区间上函数的最值
【解析】【解答】由得.
设，，故，，递减，，，递增，故；
设，，故，，递减，，，递增，故.
于是，的值域是值域的子集，故可以取遍所有正数，B选项错误；
不妨取，则，令，当时，根据上述分析，即存在这样的，使得，若C成立，则，推出，即C不一定成立，C选项错误；
由上述分析，当时，，当时，递增，若，所以，A选项正确；
若，根据指数函数的值域，，即成立；
若，此时，由可得，，故，设，则，故当时，故递增，而，，故，由，于是，D选项正确.
故答案为：AD
【分析】将式子变形成，设，，通过h(y)值域， f (x)值域的包含关系进行判断B；然后结合B选项去判断A；举反例可判断C；通过同构建立不等式来判断D.
三、填空题
13．（2023高三下·嵊州月考）若的展开式中含有非零常数项，则正整数的最小值为 .
【答案】7
【知识点】二项式定理
【解析】【解答】，
所以，又，均为正整数，
所以为7的倍数，故，此时满足题意，
故答案为：7.
【分析】先求出二项式展开式的通项公式，再令x的幂指数等于0，求得n与r的关系式，从而求出正整数的最小值 .
14．（2023高三下·嵊州月考）已知函数满足：，且当时，，请你写出符合上述条件的一个函数 .
【答案】（答案不唯一）
【知识点】对数的运算性质
【解析】【解答】对于函数，
，
且当时，，
所以函数满足条件，
故答案为：（答案不唯一）.
【分析】 利用对数的运算性质，结合题中给出的恒等式以及单调性，即可得答案.
15．（2023高三下·嵊州月考）已知圆和圆，若对于上的任意一点，使得过点都可作一条射线与圆依次交于点，满足，则的取值范围是 .
【答案】
【知识点】圆与圆的位置关系及其判定
【解析】【解答】因为上任意一点P，都可以作射线与圆依次交于A，B两点，
所以，即，
又因为上任意一点P，都可以作射线与圆依次交于A，B两点，满足，
而，所以上任意一点P，都有，即，解得，
综上，.
故答案为：.
【分析】由两圆的位置关系，得两圆半径与圆心距的关系，再将C1上任意一点P，都可以作射线与圆C2依次交于A， B两点，满足|PA|=|AB|，转化为两圆上点的距离的取值范围问题，求解出r的范围.
16．（2023高三下·嵊州月考）在正三棱锥中，，设分别是棱的中点，是三棱锥的外接球的球心，若，则到平面的距离为 .
【答案】
【知识点】棱柱的结构特征；棱锥的结构特征；点、线、面间的距离计算
【解析】【解答】设是的中点，连接，
由于，所以，
由于平面，所以平面，
由于平面，所以，
由于分别是的中点，所以，
由于，所以，
由于平面，所以平面，
由于平面，所以，
根据正四棱锥的性质可知两两相互垂直，且，
所以可将正三棱锥补形成正方体如下图所示，
正三棱锥的外接球也即是正方体的外接球，设外接球的半径为，
由于，所以，
，设等边三角形的外接圆半径为，
则，
所以外接球的球心到平面的距离为.
故答案为：
【分析】先判断出PA，PB，PC两两相互垂直，求得外接球的半径，利用勾股定理求得O到平面ABC的距离.
四、解答题
17．（2023高三下·嵊州月考）设等比数列的前项和为，已知.
（1）求数列通项公式；
（2）记，证明：.
【答案】（1）解：在等比数列中，，所以，
所以.
则，所以.
（2）证明：，
，
因为，所以，
即证：.
【知识点】等比数列的前n项和；数列的求和
【解析】【分析】(1)根据等比数列的前n项和公式，求得a1和q，然后由等比数列的通项公式，求出数列通项公式；
(2)结合对数的运算法则，裂项可得 ，再求和，即可证得 .
18．（2023高三下·嵊州月考）如图，在直三棱柱中，分别是棱的中点，.
（1）证明：；
（2）若，平面与平面所成的锐二面角的角余弦值为，求直线与平面所成角的正弦值.
【答案】（1）证明：
证明：取BC的中点，连接DE，DF，
因为D，E分别为BC，BA的中点，所以，
又因为，所以，
因为D，F分别为BC，的中点，所以，
又因为为直三棱柱，所以，所以，
因为，平面DEF，平面DEF，
所以平面DEF，因为平面DEF，所以.
（2）解：
设（），以C为原点，CA，CB，分别为x，y，z轴建立如图空间直角坐标系，
因为，，则，，，
，，
设平面的一个法向量，
则，即，取，
为平面的一个法向量，平面与平面所成锐二面角的余弦值为，
所以，解得，
由（1），即直线EF与平面ABC所成的角，，
，所以直线EF与平面ABC所成的角的正弦值为.
【知识点】直线与平面垂直的判定；直线与平面垂直的性质；用空间向量求直线与平面的夹角
【解析】【分析】(1) 取BC的中点，连接DE，DF， 证明BC⊥平面DEF，即可证明EF⊥BC；
(2) 以C为原点，CA，CB，分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系，求出平面的一个法向量和平面的一个法向量，由平面与平面所成锐二面角的余弦值为，求出AA1的长，计算出sin∠FED，即可得直线与平面所成角的正弦值.
19．（2023高三下·嵊州月考）原定于2022年9月在杭州举行的亚运会延期至2023年的9月，据调查此次亚运会已签约145家赞助企业，亚运会赞助成为一项跨度时间较长的营销方式，为了解其中在浙江地区的50家赞助企业每天销售额与每天线上销售时间之间的相关关系，某平台对50家赞助企业进行跟踪调查，其中每天线上销售时间不少于8小时的企业有30家，销售额不足50万元的企业有25家，统计后得到如下列联表：
销售额不少于50万元 销售额不足50万元 合计
线上销售时间不少于8小时 17 30
线上销售时间不足8小时
合计 50
附：
参考公式：，其中.
（1）请完成上面的列联表，并依据的独立性检验，能否认为赞助企业每天的销售额与每天线上销售时间有关；
（2）（i）按销售额进行分层随机抽样，在线上销售时间不足8小时的赞助企业中抽取5家，求销售额不少于50万元和销售额不足50万元的企业数；
（ii）从销售额不少于50万元的企业抽取2家时，设抽到每天线上销售时间不足8小时的企业数是，求的分布列及期望值.
【答案】（1）解：由题意完成列联表如下：
销售额不少于50万元 销售额不足50万元 合计
线上销售时间不少于8小时 17 13 30
线上销售时间不足8小时 8 12 20
合计 25 25 50
因为，所以不能认为赞助企业每天的销售额与每天线上销售时间有关；
（2）解：（i）因为在线上销售时间不足8小时的赞助企业中抽取5家，
所以销售额不少于50万元的企业数为，
和销售额不足50万元的企业数；
（ii）根据列联表可知：，
所以的分布列如下：
0 1 2
所以.
【知识点】独立性检验的基本思想；离散型随机变量及其分布列；离散型随机变量的期望与方差
【解析】【分析】（1）根据题中数据直接填表，再根据题中公式进行求解判断即可；
（2）（i）根据分层抽样的性质进行求解即可；
（ii）根据古典概型计算公式，结合数学期望公式进行求解即可.
20．（2023高三下·嵊州月考）已知的内角的对边分别为，且.
（1）求角的大小；
（2）若于，求的面积的最小值.
【答案】（1）解：由可得
，由正弦定理可得
由余弦定理可得，
又，所以.
（2）解：如下图所示：
三角形面积，
又，所以，
由（1）中可得，当且仅当时，等号成立；
即，得.
所以面积，
故的面积的最小值为
【知识点】基本不等式；正弦定理；余弦定理
【解析】【分析】(1)利用余弦定理表示出cosC，把已知等式利用正弦定理化简，整理后代入计算求出cosC的值，即可求出角的大小；
(2)根据已知条件，结合三角形的面积公式，余弦定理，以及基本不等式的公式，即可求解出 的面积的最小值.
21．（2023高三下·嵊州月考）在平面直角坐标系中，已知椭圆C：.
（1）设是椭圆上的一个动点，求的取值范围；
（2）设与坐标轴不垂直的直线交椭圆于两点，试问：是否存在满足条件的直线，使得是以为直角顶点的等腰直角三角形？若存在，求出直线的方程，若不存在，请说明理由.
【答案】（1）解：设点，则，
，
因为，所以当时，，
当时，，
所以.
（2）解：设直线l：（），，，
，消去y得，，
由题，，
，，
，，
若是以B为直角顶点的等腰直角三角形，则， ，
所以，①
设中点为D，则，因为，
所以，即，②
由①②，得，或，，满足，
所以存在直线l使得是以B为直角顶点的等腰直角三角形，
直线方程为或.
【知识点】直线与圆锥曲线的综合问题
【解析】【分析】(1)设P的坐标，代入椭圆的方程，可得P点横纵坐标的关系，求出数量积的代数式，由P的横坐标的范围，可得数量积的范围；
(2)设直线l的方程，与椭圆的方程联立，可得两根之和及两根之积，由△MBN是以B为直角顶点的等腰直角三角形可得BM⊥BN，且B与NM的中点的斜率与直线MN的斜率互为负倒数，可得参数的值，求解可得直线的方程 .
22．（2023高三下·嵊州月考）已知，设函数，为的导函数，且恒成立.
（1）求实数的取值范围；
（2）设的零点为，的极小值点为，证明：.
【答案】（1）解：由函数，则，
即不等式，代入可得，
由，则不等式整理可得，
令，，
当时，，单调递减；当时，，单调递增，
所以，则，解得.
（2）解：因为函数的零点为，所以，则，解得，
由（1）知，令，则，
令，则，
故函数在上单调递增，所以，
由（1）可知，，故存在，使得，
所以当时，，，函数单调递减；
当时，，，函数单调递增.
所以是函数的极小值点，即是的极小值点，因此，
则，，又，
由，所以，所以，
又由（1）知，所以，所以，
又因为，所以，因为函数，
因为函数在上单调递增，所以，则.
由，则，即，可得，
由，则，即，
故.
【知识点】利用导数研究函数的单调性；利用导数求闭区间上函数的最值
【解析】【分析】（1）由函数解析式求导，根据分离变量整理不等式，构造函数，利用导数求函数的最值，即可得实数的取值范围；
（2）根据零点与极小值点的定义，整理m与的等量关系，利用函数的单调性比较其大小，根据（1）求得的m的取值范围，结合不等式的性质，可证得.
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浙江省绍兴市嵊州市2023届高三下学期数学2月学业质量调测试卷
一、单选题
1．（2023高三下·嵊州月考）已知集合，则（ ）
A． B．
C． D．
2．（2023高三下·嵊州月考）已知双曲线，则该双曲线的其中一条渐近线方程是（ ）
A． B． C． D．
3．（2023高三下·嵊州月考）若（是虚数单位），则（ ）
A． B．0 C．1 D．3
4．（2023高三下·嵊州月考）已知是边长为1的等边三角形，点分别是边的中点，连接并延长到点，使得，则的值为（ ）
A． B． C． D．1
5．（2023高三下·嵊州月考）某中学为了解高三男生的体能情况，通过随机抽样，获得了200名男生的100米体能测试成绩（单位：秒），将数据按照分成9组，制成了如图所示的频率分布直方图.
由直方图可估计本校高三男生100米体能测试成绩小于13.5秒的人数为（ ）
A．47 B．54 C．67 D．94
6．（2020·嘉祥模拟）已知不重合的平面 和直线 ，则“ ”的充分不必要条件是（ ）
A． 内有无数条直线与 平行 B． 且
C． 且 D． 内的任何直线都与 平行
7．（2023高三下·嵊州月考）在正棱台中，为棱中点.当四棱台的体积最大时，平面截该四棱台的截面面积是（ ）
A． B． C． D．
8．（2023高三下·嵊州月考）对于任意实数及，均有，则实数的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
二、多选题
9．（2023高三下·嵊州月考）已知函数，则（ ）
A．的最小正周期为
B．的一个对称中心坐标为
C．的图象可由函数的图象向左平移个单位得到
D．在区间上单调递减
10．（2023高三下·嵊州月考）传说古希腊毕达哥拉斯学派的数学家用沙粒和小石子来研究数，他们根据沙粒或小石子所排列的形状把数分成许多类，如图中第一行的1，3，6，10称为三角形数，第二行的1，4，9，16称为正方形数.下列数中，既是三角形数又是正方形数的是（ ）
A．36 B．289 C．1225 D．1378
11．（2023高三下·嵊州月考）过直线上一点作拋物线的两条切线，设切点分别为，记是线段的中点，则（ ）
A．直线经过该抛物线的焦点
B．直线轴
C．线段的中点在该抛物线上
D．以线段为直径的圆与抛物线的准线相交
12．（2023高三下·嵊州月考）已知，若，则（ ）
A． B． C． D．
三、填空题
13．（2023高三下·嵊州月考）若的展开式中含有非零常数项，则正整数的最小值为 .
14．（2023高三下·嵊州月考）已知函数满足：，且当时，，请你写出符合上述条件的一个函数 .
15．（2023高三下·嵊州月考）已知圆和圆，若对于上的任意一点，使得过点都可作一条射线与圆依次交于点，满足，则的取值范围是 .
16．（2023高三下·嵊州月考）在正三棱锥中，，设分别是棱的中点，是三棱锥的外接球的球心，若，则到平面的距离为 .
四、解答题
17．（2023高三下·嵊州月考）设等比数列的前项和为，已知.
（1）求数列通项公式；
（2）记，证明：.
18．（2023高三下·嵊州月考）如图，在直三棱柱中，分别是棱的中点，.
（1）证明：；
（2）若，平面与平面所成的锐二面角的角余弦值为，求直线与平面所成角的正弦值.
19．（2023高三下·嵊州月考）原定于2022年9月在杭州举行的亚运会延期至2023年的9月，据调查此次亚运会已签约145家赞助企业，亚运会赞助成为一项跨度时间较长的营销方式，为了解其中在浙江地区的50家赞助企业每天销售额与每天线上销售时间之间的相关关系，某平台对50家赞助企业进行跟踪调查，其中每天线上销售时间不少于8小时的企业有30家，销售额不足50万元的企业有25家，统计后得到如下列联表：
销售额不少于50万元 销售额不足50万元 合计
线上销售时间不少于8小时 17 30
线上销售时间不足8小时
合计 50
附：
参考公式：，其中.
（1）请完成上面的列联表，并依据的独立性检验，能否认为赞助企业每天的销售额与每天线上销售时间有关；
（2）（i）按销售额进行分层随机抽样，在线上销售时间不足8小时的赞助企业中抽取5家，求销售额不少于50万元和销售额不足50万元的企业数；
（ii）从销售额不少于50万元的企业抽取2家时，设抽到每天线上销售时间不足8小时的企业数是，求的分布列及期望值.
20．（2023高三下·嵊州月考）已知的内角的对边分别为，且.
（1）求角的大小；
（2）若于，求的面积的最小值.
21．（2023高三下·嵊州月考）在平面直角坐标系中，已知椭圆C：.
（1）设是椭圆上的一个动点，求的取值范围；
（2）设与坐标轴不垂直的直线交椭圆于两点，试问：是否存在满足条件的直线，使得是以为直角顶点的等腰直角三角形？若存在，求出直线的方程，若不存在，请说明理由.
22．（2023高三下·嵊州月考）已知，设函数，为的导函数，且恒成立.
（1）求实数的取值范围；
（2）设的零点为，的极小值点为，证明：.
答案解析部分
1．【答案】D
【知识点】并集及其运算
【解析】【解答】由不等式，整理可得，解得，则；
.
故答案为：D.
【分析】求出集合A，再根据并集的定义即可得答案.
2．【答案】C
【知识点】双曲线的简单性质
【解析】【解答】由双曲线的标准方程可知该双曲线的渐近线方程为，
故答案为：C
【分析】根据双曲线的渐近线方程直接求解，可得答案.
3．【答案】A
【知识点】复数代数形式的乘除运算
【解析】【解答】因为，所以，
则，所以，
故答案为：A.
【分析】 根据已知条件，结合复数的四则运，算以及复数相等的条件，即可求解出答案.
4．【答案】B
【知识点】向量的三角形法则；平面向量数量积的运算
【解析】【解答】是边长为1的等边三角形，设，分别是边，的中点，
连接并延长到点，使得，如图，
则，，
则
，
故答案为：B.
【分析】 由题意画出图形，利用数量积公式计算，可得答案.
5．【答案】D
【知识点】频率分布直方图
【解析】【解答】由题意，则，解得，
由图，则本校高三男生100米体能测试成绩小于13.5秒的频率为，
估计本校高三男生100米体能测试成绩小于13.5秒的人数为.
故答案为：D.
【分析】根据频率分布直方图的性质建立方程求出a，进而计算所求人数的频率，再乘总人数，即可得答案.
6．【答案】B
【知识点】必要条件、充分条件与充要条件的判断
【解析】【解答】A. 内有无数条直线与 平行，则 相交或 ，排除；
B. 且 ，故 ，当 ，不能得到 且 ，满足；
C. 且 ， ，则 相交或 ，排除；
D. 内的任何直线都与 平行，故 ，若 ，则 内的任何直线都与 平行，充要条件，排除.
故选： .
【分析】根据充分不必要条件和直线和平面，平面和平面的位置关系，依次判断每个选项得到答案.
7．【答案】C
【知识点】基本不等式；棱柱、棱锥、棱台的体积
【解析】【解答】设，上底面和下底面的中心分别为，该四棱台的高，.
在上下底面由勾股定理可知，.
在梯形中，，
所以该四棱台的体积为，
所以，
当且仅当，即时取等号，此时，.
取的中点，连接、，显然有，平面，
平面，所以平面，因此平面就是截面.
显然，
在直角梯形 中，，
因此在等腰梯形中，，
同理在等腰梯形中，，
在等腰梯形中，设，
则，
，
所以梯形的面积为，
故答案为：C.
【分析】 根据正四棱台的体积公式，结合基本不等式、线面平行的判定定理、梯形的面积公式进行求解，即可得平面截该四棱台的截面面积 .
8．【答案】D
【知识点】函数的单调性及单调区间；基本不等式
【解析】【解答】由基本不等式，，故只需要即可，
即对于任意的，恒成立，等价于对任意的，，或.
当时，由于，原式可变形为，记，
根据对勾函数性质在上递减，在上递增，
于是在上递增，此时；
当时，由于，原式可变形为，记，
根据对勾函数性质在上递减，在上递增，于是在上递减，在上递增，
当，当，注意到，故当时，，故.
综上，.
故答案为：D
【分析】先将除了x以外的量a，t看成常量，运用基本不等式先求出左边表达式的最小值，然后利用分离参数，结合对勾函数性质求解，可得实数的取值范围 .
9．【答案】A,B,D
【知识点】三角函数中的恒等变换应用；正弦函数的奇偶性与对称性；正弦函数的单调性；函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换；正弦函数的周期性
【解析】【解答】对A，，
由周期公式可得，A符合题意；
对B，因为，故为对称中心，B符合题意；
对C，的图象向左平移个单位得到，C不符合题意；
对D，当，，
根据正弦函数的图象与性质可知，在单调递减，D符合题意.
故答案为：ABD.
【分析】首先利用函数的关系式的变换，把函数的关系式变形成正弦型函数，再利用正弦函数的性质逐项进行判断，可得答案.
10．【答案】A,C
【知识点】归纳推理
【解析】【解答】由题意，三角形数可看作，，，，
则第三角形数为；
正方形数可看作，，，，，则第个正方形数为；
对于A，令，解得，令，解得，A符合题意；
对于B，令，解得，令，其解显然不是正整数，B不符合题意；
对于C，令，解得，令，解得，C符合题意；
对于D，令，显然其解布置正整数，D不符合题意.
故答案为：AC.
【分析】通过观察可以得到三角形数和正方形数的通项，再逐项进行计算判断，可得答案.
11．【答案】B,C
【知识点】抛物线的简单性质；圆与圆锥曲线的综合
【解析】【解答】首先推导抛物线的切线方程，
设过抛物线上一点的切线的斜率为，则，
由点斜式得切线方程为：，
联合抛物线方程，有：消去，得
，
相切，，即，
整理得：，，
点是抛物线上的点，，
，，代入得：，整理，得
即：，
当不存在时，此时，切线方程为，适合上式切线方程，
所以，过抛物线上一点的切线的方程为： .
故对于本题来说，设
对A，则过点的切线方程为，代入坐标有
过点的切线方程为，代入坐标有
故切点弦方程为，当时，，故过定点，
而抛物线焦点坐标为，A不符合题意；
对B，由切于的切线方程，
切于的切线方程，，解得，
而，则，B符合题意；
对C，，故，
故的中点为，代入抛物线方程有，
故的中点在抛物线上，C符合题意；
对D，取，此时切点弦所在直线方程为：，即，
此时中点即圆心的坐标为，当时，，，
故圆的半径为，而圆心到准线的距离为，故此时直线与圆相离，D不符合题意.
故答案为：BC.
【分析】首先证明过抛物线上一点的切线方程结论，利用结论即可得到切点弦所在直线方程，即可判断A；求出点M的坐标，从而得到，即可判断B；求出PM的中点，代入抛物线方程即可判断C；举反例可判断D.
12．【答案】A,D
【知识点】利用导数研究函数的单调性；利用导数求闭区间上函数的最值
【解析】【解答】由得.
设，，故，，递减，，，递增，故；
设，，故，，递减，，，递增，故.
于是，的值域是值域的子集，故可以取遍所有正数，B选项错误；
不妨取，则，令，当时，根据上述分析，即存在这样的，使得，若C成立，则，推出，即C不一定成立，C选项错误；
由上述分析，当时，，当时，递增，若，所以，A选项正确；
若，根据指数函数的值域，，即成立；
若，此时，由可得，，故，设，则，故当时，故递增，而，，故，由，于是，D选项正确.
故答案为：AD
【分析】将式子变形成，设，，通过h(y)值域， f (x)值域的包含关系进行判断B；然后结合B选项去判断A；举反例可判断C；通过同构建立不等式来判断D.
13．【答案】7
【知识点】二项式定理
【解析】【解答】，
所以，又，均为正整数，
所以为7的倍数，故，此时满足题意，
故答案为：7.
【分析】先求出二项式展开式的通项公式，再令x的幂指数等于0，求得n与r的关系式，从而求出正整数的最小值 .
14．【答案】（答案不唯一）
【知识点】对数的运算性质
【解析】【解答】对于函数，
，
且当时，，
所以函数满足条件，
故答案为：（答案不唯一）.
【分析】 利用对数的运算性质，结合题中给出的恒等式以及单调性，即可得答案.
15．【答案】
【知识点】圆与圆的位置关系及其判定
【解析】【解答】因为上任意一点P，都可以作射线与圆依次交于A，B两点，
所以，即，
又因为上任意一点P，都可以作射线与圆依次交于A，B两点，满足，
而，所以上任意一点P，都有，即，解得，
综上，.
故答案为：.
【分析】由两圆的位置关系，得两圆半径与圆心距的关系，再将C1上任意一点P，都可以作射线与圆C2依次交于A， B两点，满足|PA|=|AB|，转化为两圆上点的距离的取值范围问题，求解出r的范围.
16．【答案】
【知识点】棱柱的结构特征；棱锥的结构特征；点、线、面间的距离计算
【解析】【解答】设是的中点，连接，
由于，所以，
由于平面，所以平面，
由于平面，所以，
由于分别是的中点，所以，
由于，所以，
由于平面，所以平面，
由于平面，所以，
根据正四棱锥的性质可知两两相互垂直，且，
所以可将正三棱锥补形成正方体如下图所示，
正三棱锥的外接球也即是正方体的外接球，设外接球的半径为，
由于，所以，
，设等边三角形的外接圆半径为，
则，
所以外接球的球心到平面的距离为.
故答案为：
【分析】先判断出PA，PB，PC两两相互垂直，求得外接球的半径，利用勾股定理求得O到平面ABC的距离.
17．【答案】（1）解：在等比数列中，，所以，
所以.
则，所以.
（2）证明：，
，
因为，所以，
即证：.
【知识点】等比数列的前n项和；数列的求和
【解析】【分析】(1)根据等比数列的前n项和公式，求得a1和q，然后由等比数列的通项公式，求出数列通项公式；
(2)结合对数的运算法则，裂项可得 ，再求和，即可证得 .
18．【答案】（1）证明：
证明：取BC的中点，连接DE，DF，
因为D，E分别为BC，BA的中点，所以，
又因为，所以，
因为D，F分别为BC，的中点，所以，
又因为为直三棱柱，所以，所以，
因为，平面DEF，平面DEF，
所以平面DEF，因为平面DEF，所以.
（2）解：
设（），以C为原点，CA，CB，分别为x，y，z轴建立如图空间直角坐标系，
因为，，则，，，
，，
设平面的一个法向量，
则，即，取，
为平面的一个法向量，平面与平面所成锐二面角的余弦值为，
所以，解得，
由（1），即直线EF与平面ABC所成的角，，
，所以直线EF与平面ABC所成的角的正弦值为.
【知识点】直线与平面垂直的判定；直线与平面垂直的性质；用空间向量求直线与平面的夹角
【解析】【分析】(1) 取BC的中点，连接DE，DF， 证明BC⊥平面DEF，即可证明EF⊥BC；
(2) 以C为原点，CA，CB，分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系，求出平面的一个法向量和平面的一个法向量，由平面与平面所成锐二面角的余弦值为，求出AA1的长，计算出sin∠FED，即可得直线与平面所成角的正弦值.
19．【答案】（1）解：由题意完成列联表如下：
销售额不少于50万元 销售额不足50万元 合计
线上销售时间不少于8小时 17 13 30
线上销售时间不足8小时 8 12 20
合计 25 25 50
因为，所以不能认为赞助企业每天的销售额与每天线上销售时间有关；
（2）解：（i）因为在线上销售时间不足8小时的赞助企业中抽取5家，
所以销售额不少于50万元的企业数为，
和销售额不足50万元的企业数；
（ii）根据列联表可知：，
所以的分布列如下：
0 1 2
所以.
【知识点】独立性检验的基本思想；离散型随机变量及其分布列；离散型随机变量的期望与方差
【解析】【分析】（1）根据题中数据直接填表，再根据题中公式进行求解判断即可；
（2）（i）根据分层抽样的性质进行求解即可；
（ii）根据古典概型计算公式，结合数学期望公式进行求解即可.
20．【答案】（1）解：由可得
，由正弦定理可得
由余弦定理可得，
又，所以.
（2）解：如下图所示：
三角形面积，
又，所以，
由（1）中可得，当且仅当时，等号成立；
即，得.
所以面积，
故的面积的最小值为
【知识点】基本不等式；正弦定理；余弦定理
【解析】【分析】(1)利用余弦定理表示出cosC，把已知等式利用正弦定理化简，整理后代入计算求出cosC的值，即可求出角的大小；
(2)根据已知条件，结合三角形的面积公式，余弦定理，以及基本不等式的公式，即可求解出 的面积的最小值.
21．【答案】（1）解：设点，则，
，
因为，所以当时，，
当时，，
所以.
（2）解：设直线l：（），，，
，消去y得，，
由题，，
，，
，，
若是以B为直角顶点的等腰直角三角形，则， ，
所以，①
设中点为D，则，因为，
所以，即，②
由①②，得，或，，满足，
所以存在直线l使得是以B为直角顶点的等腰直角三角形，
直线方程为或.
【知识点】直线与圆锥曲线的综合问题
【解析】【分析】(1)设P的坐标，代入椭圆的方程，可得P点横纵坐标的关系，求出数量积的代数式，由P的横坐标的范围，可得数量积的范围；
(2)设直线l的方程，与椭圆的方程联立，可得两根之和及两根之积，由△MBN是以B为直角顶点的等腰直角三角形可得BM⊥BN，且B与NM的中点的斜率与直线MN的斜率互为负倒数，可得参数的值，求解可得直线的方程 .
22．【答案】（1）解：由函数，则，
即不等式，代入可得，
由，则不等式整理可得，
令，，
当时，，单调递减；当时，，单调递增，
所以，则，解得.
（2）解：因为函数的零点为，所以，则，解得，
由（1）知，令，则，
令，则，
故函数在上单调递增，所以，
由（1）可知，，故存在，使得，
所以当时，，，函数单调递减；
当时，，，函数单调递增.
所以是函数的极小值点，即是的极小值点，因此，
则，，又，
由，所以，所以，
又由（1）知，所以，所以，
又因为，所以，因为函数，
因为函数在上单调递增，所以，则.
由，则，即，可得，
由，则，即，
故.
【知识点】利用导数研究函数的单调性；利用导数求闭区间上函数的最值
【解析】【分析】（1）由函数解析式求导，根据分离变量整理不等式，构造函数，利用导数求函数的最值，即可得实数的取值范围；
（2）根据零点与极小值点的定义，整理m与的等量关系，利用函数的单调性比较其大小，根据（1）求得的m的取值范围，结合不等式的性质，可证得.
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