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浙江省温州市2023届高三下学期数学返校统一测试试卷
一、单选题
1．（2023高三下·温州开学考）命题“，”的否定形式是（ ）
A．，或 B．，且
C．，或 D．，且
【答案】D
【知识点】命题的否定
【解析】【解答】解：由特称命题的否定形式得：命题“，”的否定形式是： ，且.
故答案为：D
【分析】由特称命题的否定是全称命题可得答案.
2．（2023高三下·温州开学考）已知，下列选项中不是方程的根的是（ ）
A．1 B． C． D．
【答案】B
【知识点】虚数单位i及其性质
【解析】【解答】因为，，
所以，即，
解得或，
ACD中是方程的根，B中不是.
故答案为：B
【分析】由，，求出x的值，可得答案.
3．（2023高三下·温州开学考）A，B是上两点，，则弦的长度是（ ）
A．1 B．2 C． D．不能确定
【答案】C
【知识点】平面向量数量积的运算；余弦定理
【解析】【解答】设半径为，，
则，
由余弦定理知，
故答案为：C
【分析】根据向量的数量积的运算结合余弦定理求解，可得答案.
4．（2023高三下·温州开学考）通过长期数据研究某人驾驶汽车的习惯，发现其行车速度v（公里/小时）与行驶地区的人口密度ρ（人/平方公里）有如下关系：，如果他在人口密度为的地区行车时速度为65公里/小时，那么他在人口密度为的地区行车时速度约是（ ）
A．69.4公里/小时 B．67.4公里/小时
C．62.5公里/小时 D．60.5公里/小时
【答案】B
【知识点】根据实际问题选择函数类型
【解析】【解答】解：由题知，整理得
所以
所以，当他在人口密度为的地区行车时速度公里/小时，
故答案为：B
【分析】由题知，进而得，进而代入计算可得答案.
5．（2023高三下·温州开学考）展开式中含的系数是（ ）
A．28 B． C．84 D．
【答案】C
【知识点】二项式定理；二项式系数的性质
【解析】【解答】展开式的通项为，.
当选取时，由已知可得，应选取展开式中含的项，
由，可得；
当选取时，由已知可得，应选取展开式中含的项，
由，可得；
当选取时，由已知可得，应选取展开式中含的项，
由，可得.
所以，展开式中含的系数是.
故答案为：C.
【分析】写出二项展开式的通项，当选取时，由已知可得，应选取展开式中含的项，令r分别取3，4，5进行求解，可得展开式中含的系数.
6．（2023高三下·温州开学考）某医院对10名入院人员进行新冠病毒感染筛查，若采用单管检验需检验10次；若采用10合一混管检验，检验结果为阴性则只要检验1次，如果检验结果为阳性，就要再全部进行单管检验．记10合一混管检验次数为，当时，10名人员均为阴性的概率为（ ）
A．0.01 B．0.02 C．0.1 D．0.2
【答案】C
【知识点】离散型随机变量及其分布列；离散型随机变量的期望与方差
【解析】【解答】设10人全部为阴性的概率为，混有阳性的概率为，
若全部为阴性，需要检测1次，若混有阳性，需要检测11次，
则随机变量的分布列
，解得，
故答案为：C.
【分析】根据题意写出随机变量的分布列，利用期望公式即可求出10名人员均为阴性的概率.
7．（2023高三下·温州开学考）下列实数中，最小的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】利用导数研究函数的单调性
【解析】【解答】解：当时，，
其中，所以，则，即；
当时，，所以，
则，即；
设，所以，在上单调递减，
所以，即，
又在上单调递减，且时，，所以，
作差法有，设，
所以，
则函数在上单调递减，则，所以，即；
综上，可知最小.
故答案为：A.
【分析】利用三角函数线比较大小，可得答案.
8．（2023高三下·温州开学考）直线l与双曲线的左，右两支分别交于点A，B，与双曲线的两条渐近线分别交于点C，D（A，C，D，B从左到右依次排列），若，且，，成等差数列，则双曲线的离心率的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】双曲线的简单性质
【解析】【解答】设直线，
联立，可得，则①
联立，可得，则②
因为，所以，所以③
因为，所以，所以，即得④
因为，所以中点为的中点，所以，
因为成等差数列，所以，又因为A，C，D，B从左到右依次排列，所以，
所以，代入①②③有，
因为且，又因为，则所以，所以，即
综上，
故答案为：D.
【分析】设直线，与双曲线方程联立，结合韦达定理可得，由为成等差数列可得，进而可得，求解可得双曲线的离心率的取值范围.
二、多选题
9．（2023高三下·温州开学考）设函数，则（ ）
A．若，则在上单调递增
B．若，则在有2个极值点
C．若，则的图象关于中心对称
D．若，则的最大值为
【答案】B,C
【知识点】正弦函数的奇偶性与对称性；正弦函数的单调性；正弦函数的周期性
【解析】【解答】当时，，，，故在上不单调，A不正确；
当时，，，，
当或时，函数取得极值，故函数有2个极值点，，B符合题意；
当时，，代入，可得，即为函数图象的一个对称中心，C符合题意；
当时，，所以，D不符合题意.
故答案为：BC
【分析】利用正弦函数的图象和性质逐项进行判断，可得答案.
10．（2023高三下·温州开学考）《国家学生体质健康标准》是国家学校教育工作的基础性指导文件和教育质量基本标准，它适用于全日制普通小学、初中、普通高中、中等职业学校、普通高等学校的学生.某高校组织名大一新生进行体质健康测试，现抽查200名大一新生的体测成绩，得到如图所示的频率分布直方图，其中分组区间为，，，，，．则下列说法正确的是（ ）
A．估计该样本的众数是
B．估计该样本的均值是
C．估计该样本的中位数是
D．若测试成绩达到分方可参加评奖，则有资格参加评奖的大一新生约为人
【答案】A,C,D
【知识点】频率分布直方图；众数、中位数、平均数
【解析】【解答】对于A项，由频率分布直方图可得，最高小矩形为，所以可估计该样本的众数是，A项正确；
对于B项，由频率分布直方图，可估计该样本的均值是，B项错误；
对于C项，由频率分布直方图可得，成绩在之间的频率为，
在之间的频率为，
所以可估计该样本的中位数在内.
设中位数为，则由可得，，C项正确；
对于D项，由频率分布直方图可得，测试成绩达到分的频率为，所以可估计有资格参加评奖的大一新生约为人，D项正确.
故答案为：ACD.
【分析】根据频率分布直方图可判断A；根据频率分布直方图估计出平均数可判断B；根据频率分布直方图估计出中位数可判断C；根据频率分布直方图，测试成绩达到85分的频率为0.55，即可估算有资格参加评奖的人数可判断D.
11．（2023高三下·温州开学考）如图，为等腰梯形，，且，，，，均垂直于平面．，则以下结论正确的是（ ）
A．
B．有可能等于
C．最大值为
D．时，点，，，共面
【答案】A,C,D
【知识点】直线与平面垂直的判定；直线与平面垂直的性质；余弦定理
【解析】【解答】对于，过作，连接，，
因为为等腰梯形，且，，所以，则，在中，，所以，
则，由垂直于平面，且平面，则，，平面，所以平面，平面，所以.因为， 均垂直于平面，所以，又因为，所以四边形为矩形，所以，则，所以，正确；
对于，过点分别作，过点作，连接，
由选项的分析可知：，因为，，，均垂直于平面，且，所以，，在中，，设，则，，所以，
同理，
若，则，即，也即，因为，所以方程无解，则不可能等于，错误；
对于，过作，
由题意可知：，则，由选项分析可得：，由选项的分析可知：，
设，在中，由余弦定理可知：
，
令，则，
因为，所以，则，所以，
因为，所以，则的最大值为，正确；
对于选项，根据前面选项的分析可知：两两垂直，
建立如图所示空间直角坐标系，
因为，，，
则，，，，
则，，所以，则，
则，所以点，，，四点共面，正确，
故答案为：.
【分析】过作，连接，，可得四边形为矩形，则，可判断A；设，则，，根据勾股定理可得，可判断B；由题意可知：，则，由余弦定理结合余弦函数的性质可判断C；建立空间直角坐标系，求出所需点的坐标和向量的坐标，利用共线定理可判断D.
12．（2023高三下·温州开学考）已知正m边形，一质点M从点出发，每一步移动均为等可能的到达与其相邻两个顶点之一．经过n次移动，记质点M又回到点的方式数共有种，且其概率为，则下列说法正确的是（ ）
A．若，则 B．若，则
C．若，则， D．若，则
【答案】B,C,D
【知识点】数列递推式
【解析】【解答】对A，时，如图，
经3步从回到，仅有，
与两种，所以，A不符合题意；
对B，若时，如图，
与，记从出发经过n步到的方法数为，则(先走两步回到有2种，化归为，先走两步到有2种，化归为)，所以，因为，所以，B符合题意；
对C，时，显然走奇数步无法回到，故，C符合题意；
对D，时，
走6步共有种走法(每一步顺时针或逆时针)，出发回到有2种情形，①一个方向连续走6步，有2种；②2个方向各走3步，有种，所以，所以，D符合题意.
故答案为：BCD
【分析】时，求出，可判断A；若时，得，，可判断B；时，显然走奇数步无法回到，可判断C；时，出发回到有2种情形，①一个方向连续走6步，有2种；②2个方向各走3步，有种，根据古典概型的概率公式可判断D.
三、填空题
13．（2023高三下·温州开学考）若抛物线以坐标轴为对称轴，原点为焦点，且焦点到准线的距离为2，则该抛物线的方程可以是 ．（只需填写满足条件的一个方程）
【答案】或或或（答案不唯一其它满足要求的答案也可）
【知识点】抛物线的定义
【解析】【解答】焦点为，准线为的抛物线的标准方程为，
将其向左平移一个单位，可得一条焦点为原点，焦点到准线的距离为2的抛物线，
其方程为，
焦点为，准线为的抛物线的标准方程为，
将其向右平移一个单位，可得一条焦点为原点，焦点到准线的距离为2的抛物线，
其方程为，
焦点为，准线为的抛物线的标准方程为，
将其向下平移一个单位，可得一条焦点为原点，焦点到准线的距离为2的抛物线，
其方程为，
焦点为，准线为的抛物线的标准方程为，
将其向上平移一个单位，可得一条焦点为原点，焦点到准线的距离为2的抛物线，
其方程为，
故答案为：或或或（注意答案不唯一，其它满足要求的答案也可）
【分析】先求焦点到准线的距离为2的抛物线的标准方程，通过平移变换确定符合要求的抛物线方程.
14．（2023高三下·温州开学考）正四面体棱长为2，E，F，G分别为，，的中点，过G作平面，则平面截正四面体，所得截面的面积为 ．
【答案】1
【知识点】直线与平面垂直的判定
【解析】【解答】分别取的中点，连接，
由题意可知：且，又因为且，
所以且，所以四边形为平行四边形，由因为且，所以，则平行四边形为菱形，
因为为正四面体，所以三角形是边长为2的正三角形，
所以且，同理且，
又，平面，所以平面，
又因为平面，所以，
因为，，所以，所以菱形为正方形.
因为，且为的中点，所以，
因为，所以，同理，，平面，所以平面，所以过G作平面，则平面截正四面体所得的图形即为正方形，所以截面面积为，
故答案为：1.
【分析】 根据题意作出图形，利用线面垂直的判定可得截面为边长为1的正方形，进而求解出所得截面的面积 .
15．（2023高三下·温州开学考）由直线构成的集合的方程为，若，且，则与之间的距离为 ．
【答案】2
【知识点】两条平行直线间的距离
【解析】【解答】当时，即，，当时，，当时，，
故，此时，与的距离为2；
当时，，
又因为，所以，且，
所以，
因为，所以，且过
又直线，
由两平行线间的距离公式可得：，
故答案为：2.
【分析】当时，，可得与的距离为2；当时，，利用两条平行线间的距离公式可求出答案.
16．（2023高三下·温州开学考）函数在上的值域为，则的值为 ．
【答案】
【知识点】函数的值域
【解析】【解答】因为，，
所以当且仅当且时，
所以，
又，所以
所以，易知在上单调递减，在单调递增，
所以当时，，不满足题意；
当时，因为，所以，
注意到，且在单调递增，
所以，所以
故答案为：.
【分析】由，，求出a，易知在和上的单调性，进而求出，即可得 的值 .
四、解答题
17．（2023高三下·温州开学考）记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知．
（1）求B；
（2）若，内切圆的面积为，求的面积．
【答案】（1）解：因为，所以，
所以
因为，所以．
所以，
又因为，所以，
所以，因为，所以，
所以，所以．
（2）解：因为内切圆的面积为，所以内切圆半径．
由于，所以，①
由余弦定理得，，
即，②
联立①②可得，即，
解得或（舍去），
所以．
【知识点】正弦定理；余弦定理
【解析】【分析】(1)直接利用正弦定理和三角函数关系式的恒等变换求出B的值；
(2)利用余弦定理和三角形的面积公式求出 的面积．
18．（2023高三下·温州开学考）如图，在四棱锥中，底面是边长为的菱形且，，．
（1）求的值；
（2）若，是否存在，使得平面平面？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）解：取线段的中点，连接、，
因为四边形是边长为的菱形，则，，
因为，由余弦定理可得，
，所以，即，
又且是的中点，，
，、平面，平面，
平面，，，，
，；
（2）解：过点在平面内作，垂足为点，
因为平面，平面，
所以，平面平面，
平面平面，平面，，
所以，平面，
过点作，分别交、于点、，
因为，则，
所以，、、、四点共面，
因为平面，
所以，平面平面，
因为，，，
则，
因为，，由余弦定理可得，
所以，，
，
所以，，
，
因为，所以，.
【知识点】直线与平面垂直的判定；直线与平面垂直的性质；余弦定理
【解析】【分析】（1） 取线段的中点，连接、， 得四边形是边长为的菱形，由余弦定理结合勾股定理可得， 推出 平面，再根据勾股定理可求出的值；
（2） 过点在平面内作，垂足为点，推出平面平面，平面平面，由余弦定理可得，再利用三角形的面积公式可得CM，进而求出的值 .
19．（2023高三下·温州开学考）已知正项数列，，．
（1）求数列的通项公式；
（2）已知，其中，的前n项和为，求．
【答案】（1）解：由可得：，
则，又，所以数列是以2为首项，以2为公比的等比数列，
所以．
（2）解：由（1）可得：，
所以，
，
则，又因为，
所以，
则，
所以.
【知识点】数列的求和；数列递推式
【解析】【分析】（1）由题意可得 ，则 ，再根据等比数列的通项公式可得 数列的通项公式；
（2） 由（1）可得： ，利用错位相减法和等比数列前n项和公式可求出 ．
20．（2023高三下·温州开学考）中国共产党第二十次全国代表大会报告指出：坚持精准治污、科学治污、依法治污，持续深入打好蓝天、碧水、净土保卫战，加强污染物协同控制，基本消除重污染天气、每年的《中国生态环境状态公报》都会公布全国339个地级及以上城市空气质量检测报告，以下是2017-2021五年339个城市空气质量平均优良天数占比统计表．
年份 2017年 2018年 2019年 2020年 2021年
年份代码 1 2 3 4 5
百分比 78 79.3 82 87 87.5
并计算得：，．
附：相关系数，，．
（1）求2017年—2021年年份代码与339个城市空气质量平均优良天数的百分比的样本相关系数（精确到0.01）；
（2）请用相关系数说明该组数据中y与x之间的关系可用线性回归模型进行拟合，并求出y关于x的回归直线方程（精确到0.01）和预测2022年（）的空气质量优良天数的百分比；
（3）试判断用所求回归方程是否可预测2026年（）的空气质量优良天数的百分比，并说明理由．
（回归直线的斜率和截距的最小二乘法估计公式分别为：，）
【答案】（1）解：由已知可得，，.
所以，
.
又，
所以.
又，
所以，．
（2）解：由（1）知，与的相关系数接近1，所以与之间具有极强的线性相关关系，可用线性回归模型进行拟合．
因为，，
故回归直线方程为.
当时，，
故2022年的空气质量优良天数的百分比为．
（3）解：由（2）知，当时，，显然不合常理.
其原因如下：
根据该组数据的相关系，是可以推断2017年—2021年间与两个变量正线性相关，且相关程度很强，由此来估计2022年的空气质量优良天数的百分比有一定的依据.但由于经验回归方程的时效性，随着国家对生态环境的治理，空气质量优良天数的百分比增加幅度会变缓，且都会小于1，故用该回归直线方程去预测今后几年的空气优良天数会误差较大，甚至出现不合情理的数据．
【知识点】两个变量的线性相关；线性回归方程
【解析】【分析】（1）由表中数据结合题中数据，求出相关数值，代入相关系数 ，即可求出答案；
（2） 由（1）知，与的相关系数接近1，所以与之间具有极强的线性相关关系，可用线性回归模型进行拟合，求出， 进而得到回归直线方程，代入，即可预测2022年的空气质量优良天数的百分比；
（3） 由（2）知，当时，可得， 显然不合常理，可根据回归直线的意义及其局限性说明.
21．（2023高三下·温州开学考）如图，椭圆的左右焦点分别为，，点是第一象限内椭圆上的一点，经过三点P，，的圆与y轴正半轴交于点，经过点且与x轴垂直的直线l与直线交于点Q．
（1）求证：．
（2）试问：x轴上是否存在不同于点B的定点M，满足当直线，的斜率存在时，两斜率之积为定值？若存在定点M，求出点M的坐标及该定值；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）证明：由可得，
设，则，
设圆的方程为，
代入及，得，
两式相减，得，
所以圆的方程为即，
令，得，
由，可得，即．
（2）解：设，由（1）知，由A，P，Q三点共线，得，解得，
则，
代入，得，
当且仅当，即时，为定值．
综上，存在点，可使得直线与的斜率之积为定值，该定值为．
【知识点】斜率的计算公式；直线和圆的方程的应用
【解析】【分析】(1)由题意可得圆的圆心在y轴上，设圆心的坐标，由P，A，F2在圆上，可得圆的方程，令x=0，可得A的坐标与P的纵坐标的关系，可证得 ；
(2)假设存在M点满足条件， 由A，P，Q三点共线 ，可得Q的纵坐标与P的纵坐标的关系，求出直线MP， MQ的斜率之积的表达式，再由其值为定值，可得分子分母的对应项系数成比例，可得M的坐标，并求出其定值.
22．（2023高三下·温州开学考）若函数，的图象与直线分别交于A，B两点，与直线分别交于C，D两点，且直线，的斜率互为相反数，则称，为“相关函数”．
（1），均为定义域上的单调递增函数，证明：不存在实数m，n，使得，为“相关函数”；
（2），，若存在实数，使得，为“相关函数”，且，求实数a的取值范围．
【答案】（1）证明：设，.由单调递增，则.
则.
同理可得，.
所以，直线，的斜率均为正数，不可能互为相反数.
即不存在实数m，n，使得，为“相关函数”．
（2）解：情况一：当时，，，若，则存在实数，使得，为“相关函数”，且；
情况二：当时
因为，为“相关函数”，所以有.
因为，所以有或.
①联立，可得，所以.
则有，，此时有，满足题意；
②联立，可得.
因为，所以方程组，则．
当时.
因为，均为上的单调递增函数，由（1）知不存在实数m，n，
使得，为“相关函数”，所以.
则由，可得，可得，
所以.
同理可得.
则在上存在两个不同的实数根.
记，则.
记，则.
解，可得.
解，可得，所以在上单调递增；
解，可得，所以在上单调递减.
所以，在处取得极小值.
（ⅰ）当时，，
此时有，即在单调递减.
又，，
则根据零点存在定理可得，存在唯一，使得，
即有唯一负根，不符合式；
（ⅱ）当时，.
因为，且，有，
根据零点存在定理可得，，使得；，使得.
所以，当时，有，此时，在上单调递减；
当时，有，此时，在上单调递增；
当时，有，此时，在上单调递减.
，
令，，则.
因为，所以，所以，
所以在上单调递增，
所以，所以，
所以.
根据零点存在定理可知，，使得.
取，即有，符合题意.
综上所述，的取值范围是.
【知识点】函数的单调性与导数的关系；利用导数研究函数的单调性；函数零点的判定定理
【解析】【分析】（1） 由单调递增 ，可得 ，同理可得，，得直线，的斜率均为正数，不可能互为相反数，可得不存在实数m，n，使得，为“相关函数”；
（2）情况一：当时，若，则存在实数，使得，为“相关函数” ； 情况二：当时，可得， 记，，求导，根据导数的符号可得 在和 上单调性，进而求出在处取得极小值，分和两种情况，结合零点存在定理可求出的取值范围.
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浙江省温州市2023届高三下学期数学返校统一测试试卷
一、单选题
1．（2023高三下·温州开学考）命题“，”的否定形式是（ ）
A．，或 B．，且
C．，或 D．，且
2．（2023高三下·温州开学考）已知，下列选项中不是方程的根的是（ ）
A．1 B． C． D．
3．（2023高三下·温州开学考）A，B是上两点，，则弦的长度是（ ）
A．1 B．2 C． D．不能确定
4．（2023高三下·温州开学考）通过长期数据研究某人驾驶汽车的习惯，发现其行车速度v（公里/小时）与行驶地区的人口密度ρ（人/平方公里）有如下关系：，如果他在人口密度为的地区行车时速度为65公里/小时，那么他在人口密度为的地区行车时速度约是（ ）
A．69.4公里/小时 B．67.4公里/小时
C．62.5公里/小时 D．60.5公里/小时
5．（2023高三下·温州开学考）展开式中含的系数是（ ）
A．28 B． C．84 D．
6．（2023高三下·温州开学考）某医院对10名入院人员进行新冠病毒感染筛查，若采用单管检验需检验10次；若采用10合一混管检验，检验结果为阴性则只要检验1次，如果检验结果为阳性，就要再全部进行单管检验．记10合一混管检验次数为，当时，10名人员均为阴性的概率为（ ）
A．0.01 B．0.02 C．0.1 D．0.2
7．（2023高三下·温州开学考）下列实数中，最小的是（ ）
A． B． C． D．
8．（2023高三下·温州开学考）直线l与双曲线的左，右两支分别交于点A，B，与双曲线的两条渐近线分别交于点C，D（A，C，D，B从左到右依次排列），若，且，，成等差数列，则双曲线的离心率的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
二、多选题
9．（2023高三下·温州开学考）设函数，则（ ）
A．若，则在上单调递增
B．若，则在有2个极值点
C．若，则的图象关于中心对称
D．若，则的最大值为
10．（2023高三下·温州开学考）《国家学生体质健康标准》是国家学校教育工作的基础性指导文件和教育质量基本标准，它适用于全日制普通小学、初中、普通高中、中等职业学校、普通高等学校的学生.某高校组织名大一新生进行体质健康测试，现抽查200名大一新生的体测成绩，得到如图所示的频率分布直方图，其中分组区间为，，，，，．则下列说法正确的是（ ）
A．估计该样本的众数是
B．估计该样本的均值是
C．估计该样本的中位数是
D．若测试成绩达到分方可参加评奖，则有资格参加评奖的大一新生约为人
11．（2023高三下·温州开学考）如图，为等腰梯形，，且，，，，均垂直于平面．，则以下结论正确的是（ ）
A．
B．有可能等于
C．最大值为
D．时，点，，，共面
12．（2023高三下·温州开学考）已知正m边形，一质点M从点出发，每一步移动均为等可能的到达与其相邻两个顶点之一．经过n次移动，记质点M又回到点的方式数共有种，且其概率为，则下列说法正确的是（ ）
A．若，则 B．若，则
C．若，则， D．若，则
三、填空题
13．（2023高三下·温州开学考）若抛物线以坐标轴为对称轴，原点为焦点，且焦点到准线的距离为2，则该抛物线的方程可以是 ．（只需填写满足条件的一个方程）
14．（2023高三下·温州开学考）正四面体棱长为2，E，F，G分别为，，的中点，过G作平面，则平面截正四面体，所得截面的面积为 ．
15．（2023高三下·温州开学考）由直线构成的集合的方程为，若，且，则与之间的距离为 ．
16．（2023高三下·温州开学考）函数在上的值域为，则的值为 ．
四、解答题
17．（2023高三下·温州开学考）记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知．
（1）求B；
（2）若，内切圆的面积为，求的面积．
18．（2023高三下·温州开学考）如图，在四棱锥中，底面是边长为的菱形且，，．
（1）求的值；
（2）若，是否存在，使得平面平面？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由．
19．（2023高三下·温州开学考）已知正项数列，，．
（1）求数列的通项公式；
（2）已知，其中，的前n项和为，求．
20．（2023高三下·温州开学考）中国共产党第二十次全国代表大会报告指出：坚持精准治污、科学治污、依法治污，持续深入打好蓝天、碧水、净土保卫战，加强污染物协同控制，基本消除重污染天气、每年的《中国生态环境状态公报》都会公布全国339个地级及以上城市空气质量检测报告，以下是2017-2021五年339个城市空气质量平均优良天数占比统计表．
年份 2017年 2018年 2019年 2020年 2021年
年份代码 1 2 3 4 5
百分比 78 79.3 82 87 87.5
并计算得：，．
附：相关系数，，．
（1）求2017年—2021年年份代码与339个城市空气质量平均优良天数的百分比的样本相关系数（精确到0.01）；
（2）请用相关系数说明该组数据中y与x之间的关系可用线性回归模型进行拟合，并求出y关于x的回归直线方程（精确到0.01）和预测2022年（）的空气质量优良天数的百分比；
（3）试判断用所求回归方程是否可预测2026年（）的空气质量优良天数的百分比，并说明理由．
（回归直线的斜率和截距的最小二乘法估计公式分别为：，）
21．（2023高三下·温州开学考）如图，椭圆的左右焦点分别为，，点是第一象限内椭圆上的一点，经过三点P，，的圆与y轴正半轴交于点，经过点且与x轴垂直的直线l与直线交于点Q．
（1）求证：．
（2）试问：x轴上是否存在不同于点B的定点M，满足当直线，的斜率存在时，两斜率之积为定值？若存在定点M，求出点M的坐标及该定值；若不存在，请说明理由．
22．（2023高三下·温州开学考）若函数，的图象与直线分别交于A，B两点，与直线分别交于C，D两点，且直线，的斜率互为相反数，则称，为“相关函数”．
（1），均为定义域上的单调递增函数，证明：不存在实数m，n，使得，为“相关函数”；
（2），，若存在实数，使得，为“相关函数”，且，求实数a的取值范围．
答案解析部分
1．【答案】D
【知识点】命题的否定
【解析】【解答】解：由特称命题的否定形式得：命题“，”的否定形式是： ，且.
故答案为：D
【分析】由特称命题的否定是全称命题可得答案.
2．【答案】B
【知识点】虚数单位i及其性质
【解析】【解答】因为，，
所以，即，
解得或，
ACD中是方程的根，B中不是.
故答案为：B
【分析】由，，求出x的值，可得答案.
3．【答案】C
【知识点】平面向量数量积的运算；余弦定理
【解析】【解答】设半径为，，
则，
由余弦定理知，
故答案为：C
【分析】根据向量的数量积的运算结合余弦定理求解，可得答案.
4．【答案】B
【知识点】根据实际问题选择函数类型
【解析】【解答】解：由题知，整理得
所以
所以，当他在人口密度为的地区行车时速度公里/小时，
故答案为：B
【分析】由题知，进而得，进而代入计算可得答案.
5．【答案】C
【知识点】二项式定理；二项式系数的性质
【解析】【解答】展开式的通项为，.
当选取时，由已知可得，应选取展开式中含的项，
由，可得；
当选取时，由已知可得，应选取展开式中含的项，
由，可得；
当选取时，由已知可得，应选取展开式中含的项，
由，可得.
所以，展开式中含的系数是.
故答案为：C.
【分析】写出二项展开式的通项，当选取时，由已知可得，应选取展开式中含的项，令r分别取3，4，5进行求解，可得展开式中含的系数.
6．【答案】C
【知识点】离散型随机变量及其分布列；离散型随机变量的期望与方差
【解析】【解答】设10人全部为阴性的概率为，混有阳性的概率为，
若全部为阴性，需要检测1次，若混有阳性，需要检测11次，
则随机变量的分布列
，解得，
故答案为：C.
【分析】根据题意写出随机变量的分布列，利用期望公式即可求出10名人员均为阴性的概率.
7．【答案】A
【知识点】利用导数研究函数的单调性
【解析】【解答】解：当时，，
其中，所以，则，即；
当时，，所以，
则，即；
设，所以，在上单调递减，
所以，即，
又在上单调递减，且时，，所以，
作差法有，设，
所以，
则函数在上单调递减，则，所以，即；
综上，可知最小.
故答案为：A.
【分析】利用三角函数线比较大小，可得答案.
8．【答案】D
【知识点】双曲线的简单性质
【解析】【解答】设直线，
联立，可得，则①
联立，可得，则②
因为，所以，所以③
因为，所以，所以，即得④
因为，所以中点为的中点，所以，
因为成等差数列，所以，又因为A，C，D，B从左到右依次排列，所以，
所以，代入①②③有，
因为且，又因为，则所以，所以，即
综上，
故答案为：D.
【分析】设直线，与双曲线方程联立，结合韦达定理可得，由为成等差数列可得，进而可得，求解可得双曲线的离心率的取值范围.
9．【答案】B,C
【知识点】正弦函数的奇偶性与对称性；正弦函数的单调性；正弦函数的周期性
【解析】【解答】当时，，，，故在上不单调，A不正确；
当时，，，，
当或时，函数取得极值，故函数有2个极值点，，B符合题意；
当时，，代入，可得，即为函数图象的一个对称中心，C符合题意；
当时，，所以，D不符合题意.
故答案为：BC
【分析】利用正弦函数的图象和性质逐项进行判断，可得答案.
10．【答案】A,C,D
【知识点】频率分布直方图；众数、中位数、平均数
【解析】【解答】对于A项，由频率分布直方图可得，最高小矩形为，所以可估计该样本的众数是，A项正确；
对于B项，由频率分布直方图，可估计该样本的均值是，B项错误；
对于C项，由频率分布直方图可得，成绩在之间的频率为，
在之间的频率为，
所以可估计该样本的中位数在内.
设中位数为，则由可得，，C项正确；
对于D项，由频率分布直方图可得，测试成绩达到分的频率为，所以可估计有资格参加评奖的大一新生约为人，D项正确.
故答案为：ACD.
【分析】根据频率分布直方图可判断A；根据频率分布直方图估计出平均数可判断B；根据频率分布直方图估计出中位数可判断C；根据频率分布直方图，测试成绩达到85分的频率为0.55，即可估算有资格参加评奖的人数可判断D.
11．【答案】A,C,D
【知识点】直线与平面垂直的判定；直线与平面垂直的性质；余弦定理
【解析】【解答】对于，过作，连接，，
因为为等腰梯形，且，，所以，则，在中，，所以，
则，由垂直于平面，且平面，则，，平面，所以平面，平面，所以.因为， 均垂直于平面，所以，又因为，所以四边形为矩形，所以，则，所以，正确；
对于，过点分别作，过点作，连接，
由选项的分析可知：，因为，，，均垂直于平面，且，所以，，在中，，设，则，，所以，
同理，
若，则，即，也即，因为，所以方程无解，则不可能等于，错误；
对于，过作，
由题意可知：，则，由选项分析可得：，由选项的分析可知：，
设，在中，由余弦定理可知：
，
令，则，
因为，所以，则，所以，
因为，所以，则的最大值为，正确；
对于选项，根据前面选项的分析可知：两两垂直，
建立如图所示空间直角坐标系，
因为，，，
则，，，，
则，，所以，则，
则，所以点，，，四点共面，正确，
故答案为：.
【分析】过作，连接，，可得四边形为矩形，则，可判断A；设，则，，根据勾股定理可得，可判断B；由题意可知：，则，由余弦定理结合余弦函数的性质可判断C；建立空间直角坐标系，求出所需点的坐标和向量的坐标，利用共线定理可判断D.
12．【答案】B,C,D
【知识点】数列递推式
【解析】【解答】对A，时，如图，
经3步从回到，仅有，
与两种，所以，A不符合题意；
对B，若时，如图，
与，记从出发经过n步到的方法数为，则(先走两步回到有2种，化归为，先走两步到有2种，化归为)，所以，因为，所以，B符合题意；
对C，时，显然走奇数步无法回到，故，C符合题意；
对D，时，
走6步共有种走法(每一步顺时针或逆时针)，出发回到有2种情形，①一个方向连续走6步，有2种；②2个方向各走3步，有种，所以，所以，D符合题意.
故答案为：BCD
【分析】时，求出，可判断A；若时，得，，可判断B；时，显然走奇数步无法回到，可判断C；时，出发回到有2种情形，①一个方向连续走6步，有2种；②2个方向各走3步，有种，根据古典概型的概率公式可判断D.
13．【答案】或或或（答案不唯一其它满足要求的答案也可）
【知识点】抛物线的定义
【解析】【解答】焦点为，准线为的抛物线的标准方程为，
将其向左平移一个单位，可得一条焦点为原点，焦点到准线的距离为2的抛物线，
其方程为，
焦点为，准线为的抛物线的标准方程为，
将其向右平移一个单位，可得一条焦点为原点，焦点到准线的距离为2的抛物线，
其方程为，
焦点为，准线为的抛物线的标准方程为，
将其向下平移一个单位，可得一条焦点为原点，焦点到准线的距离为2的抛物线，
其方程为，
焦点为，准线为的抛物线的标准方程为，
将其向上平移一个单位，可得一条焦点为原点，焦点到准线的距离为2的抛物线，
其方程为，
故答案为：或或或（注意答案不唯一，其它满足要求的答案也可）
【分析】先求焦点到准线的距离为2的抛物线的标准方程，通过平移变换确定符合要求的抛物线方程.
14．【答案】1
【知识点】直线与平面垂直的判定
【解析】【解答】分别取的中点，连接，
由题意可知：且，又因为且，
所以且，所以四边形为平行四边形，由因为且，所以，则平行四边形为菱形，
因为为正四面体，所以三角形是边长为2的正三角形，
所以且，同理且，
又，平面，所以平面，
又因为平面，所以，
因为，，所以，所以菱形为正方形.
因为，且为的中点，所以，
因为，所以，同理，，平面，所以平面，所以过G作平面，则平面截正四面体所得的图形即为正方形，所以截面面积为，
故答案为：1.
【分析】 根据题意作出图形，利用线面垂直的判定可得截面为边长为1的正方形，进而求解出所得截面的面积 .
15．【答案】2
【知识点】两条平行直线间的距离
【解析】【解答】当时，即，，当时，，当时，，
故，此时，与的距离为2；
当时，，
又因为，所以，且，
所以，
因为，所以，且过
又直线，
由两平行线间的距离公式可得：，
故答案为：2.
【分析】当时，，可得与的距离为2；当时，，利用两条平行线间的距离公式可求出答案.
16．【答案】
【知识点】函数的值域
【解析】【解答】因为，，
所以当且仅当且时，
所以，
又，所以
所以，易知在上单调递减，在单调递增，
所以当时，，不满足题意；
当时，因为，所以，
注意到，且在单调递增，
所以，所以
故答案为：.
【分析】由，，求出a，易知在和上的单调性，进而求出，即可得 的值 .
17．【答案】（1）解：因为，所以，
所以
因为，所以．
所以，
又因为，所以，
所以，因为，所以，
所以，所以．
（2）解：因为内切圆的面积为，所以内切圆半径．
由于，所以，①
由余弦定理得，，
即，②
联立①②可得，即，
解得或（舍去），
所以．
【知识点】正弦定理；余弦定理
【解析】【分析】(1)直接利用正弦定理和三角函数关系式的恒等变换求出B的值；
(2)利用余弦定理和三角形的面积公式求出 的面积．
18．【答案】（1）解：取线段的中点，连接、，
因为四边形是边长为的菱形，则，，
因为，由余弦定理可得，
，所以，即，
又且是的中点，，
，、平面，平面，
平面，，，，
，；
（2）解：过点在平面内作，垂足为点，
因为平面，平面，
所以，平面平面，
平面平面，平面，，
所以，平面，
过点作，分别交、于点、，
因为，则，
所以，、、、四点共面，
因为平面，
所以，平面平面，
因为，，，
则，
因为，，由余弦定理可得，
所以，，
，
所以，，
，
因为，所以，.
【知识点】直线与平面垂直的判定；直线与平面垂直的性质；余弦定理
【解析】【分析】（1） 取线段的中点，连接、， 得四边形是边长为的菱形，由余弦定理结合勾股定理可得， 推出 平面，再根据勾股定理可求出的值；
（2） 过点在平面内作，垂足为点，推出平面平面，平面平面，由余弦定理可得，再利用三角形的面积公式可得CM，进而求出的值 .
19．【答案】（1）解：由可得：，
则，又，所以数列是以2为首项，以2为公比的等比数列，
所以．
（2）解：由（1）可得：，
所以，
，
则，又因为，
所以，
则，
所以.
【知识点】数列的求和；数列递推式
【解析】【分析】（1）由题意可得 ，则 ，再根据等比数列的通项公式可得 数列的通项公式；
（2） 由（1）可得： ，利用错位相减法和等比数列前n项和公式可求出 ．
20．【答案】（1）解：由已知可得，，.
所以，
.
又，
所以.
又，
所以，．
（2）解：由（1）知，与的相关系数接近1，所以与之间具有极强的线性相关关系，可用线性回归模型进行拟合．
因为，，
故回归直线方程为.
当时，，
故2022年的空气质量优良天数的百分比为．
（3）解：由（2）知，当时，，显然不合常理.
其原因如下：
根据该组数据的相关系，是可以推断2017年—2021年间与两个变量正线性相关，且相关程度很强，由此来估计2022年的空气质量优良天数的百分比有一定的依据.但由于经验回归方程的时效性，随着国家对生态环境的治理，空气质量优良天数的百分比增加幅度会变缓，且都会小于1，故用该回归直线方程去预测今后几年的空气优良天数会误差较大，甚至出现不合情理的数据．
【知识点】两个变量的线性相关；线性回归方程
【解析】【分析】（1）由表中数据结合题中数据，求出相关数值，代入相关系数 ，即可求出答案；
（2） 由（1）知，与的相关系数接近1，所以与之间具有极强的线性相关关系，可用线性回归模型进行拟合，求出， 进而得到回归直线方程，代入，即可预测2022年的空气质量优良天数的百分比；
（3） 由（2）知，当时，可得， 显然不合常理，可根据回归直线的意义及其局限性说明.
21．【答案】（1）证明：由可得，
设，则，
设圆的方程为，
代入及，得，
两式相减，得，
所以圆的方程为即，
令，得，
由，可得，即．
（2）解：设，由（1）知，由A，P，Q三点共线，得，解得，
则，
代入，得，
当且仅当，即时，为定值．
综上，存在点，可使得直线与的斜率之积为定值，该定值为．
【知识点】斜率的计算公式；直线和圆的方程的应用
【解析】【分析】(1)由题意可得圆的圆心在y轴上，设圆心的坐标，由P，A，F2在圆上，可得圆的方程，令x=0，可得A的坐标与P的纵坐标的关系，可证得 ；
(2)假设存在M点满足条件， 由A，P，Q三点共线 ，可得Q的纵坐标与P的纵坐标的关系，求出直线MP， MQ的斜率之积的表达式，再由其值为定值，可得分子分母的对应项系数成比例，可得M的坐标，并求出其定值.
22．【答案】（1）证明：设，.由单调递增，则.
则.
同理可得，.
所以，直线，的斜率均为正数，不可能互为相反数.
即不存在实数m，n，使得，为“相关函数”．
（2）解：情况一：当时，，，若，则存在实数，使得，为“相关函数”，且；
情况二：当时
因为，为“相关函数”，所以有.
因为，所以有或.
①联立，可得，所以.
则有，，此时有，满足题意；
②联立，可得.
因为，所以方程组，则．
当时.
因为，均为上的单调递增函数，由（1）知不存在实数m，n，
使得，为“相关函数”，所以.
则由，可得，可得，
所以.
同理可得.
则在上存在两个不同的实数根.
记，则.
记，则.
解，可得.
解，可得，所以在上单调递增；
解，可得，所以在上单调递减.
所以，在处取得极小值.
（ⅰ）当时，，
此时有，即在单调递减.
又，，
则根据零点存在定理可得，存在唯一，使得，
即有唯一负根，不符合式；
（ⅱ）当时，.
因为，且，有，
根据零点存在定理可得，，使得；，使得.
所以，当时，有，此时，在上单调递减；
当时，有，此时，在上单调递增；
当时，有，此时，在上单调递减.
，
令，，则.
因为，所以，所以，
所以在上单调递增，
所以，所以，
所以.
根据零点存在定理可知，，使得.
取，即有，符合题意.
综上所述，的取值范围是.
【知识点】函数的单调性与导数的关系；利用导数研究函数的单调性；函数零点的判定定理
【解析】【分析】（1） 由单调递增 ，可得 ，同理可得，，得直线，的斜率均为正数，不可能互为相反数，可得不存在实数m，n，使得，为“相关函数”；
（2）情况一：当时，若，则存在实数，使得，为“相关函数” ； 情况二：当时，可得， 记，，求导，根据导数的符号可得 在和 上单调性，进而求出在处取得极小值，分和两种情况，结合零点存在定理可求出的取值范围.
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