重庆市2023届高三下学期数学开学摸底试卷

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重庆市2023届高三下学期数学开学摸底试卷
一、单选题
1．（2022·柳州模拟）设集合，，则（　　）
A． B． C． D．
2．（2023高三下·重庆市开学考）复数z在复平面内对应的点的坐标为，则（　　）
A． B． C． D．
3．（2023高三下·重庆市开学考）函数的图象大致是（　　）
A． B．
C． D．
4．（2023高三下·重庆市开学考）如图，在直三棱柱中，是直角三角形，且，为棱的中点，点在棱上，且，则异面直线AC与DE所成角的余弦值是（　　）
A． B． C． D．
5．（2022·南充模拟）设等差数列的前项和为，满足，则（　　）
A．
B．的最小值为
C．
D．满足的最大自然数的值为25
6．（2023高三下·重庆市开学考）从编号分别为1、2、3、4、5、6、7的七个大小完全相同的小球中，随机取出三个小球，则至少有两个小球编号相邻的概率为（　　）
A． B． C． D．
7．（2020高一上·台州期末）已知函数 ，则函数 的零点个数是（　　）
A．2 B．3 C．4 D．5
8．（2023高三下·重庆市开学考）已知两条直线，，有一动圆（圆心和半径都在变动）与都相交，并且被截在圆内的两条线段的长度分别是定值26，24，则动圆圆心的轨迹方程为（　　）
A． B．
C． D．
二、多选题
9．（2023高三下·重庆市开学考）下列命题中，正确的命题是（　　）
A．数据1，2，3，4，5，6，7，8，9，10的分位数是7
B．若随机变量，则
C．若事件A，B满足，则A与B独立
D．若随机变量，，则
10．（2023高三下·重庆市开学考）已知函数的最小正周期为，将的图象向左平移个单位长度，再把得到的曲线上各点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），得到函数的图象，则下列结论正确的是（　　）
A．
B．在单调递增
C．的图象关于对称
D．在上的最大值是1
11．（2023高三下·重庆市开学考）已知抛物线的焦点为F，过原点O的动直线l交抛物线于另一点P，交抛物线的准线于点Q，下列说法正确的是（　　）
A．若O为线段中点，则 B．若，则
C．存在直线l，使得 D．△PFO面积的最小值为2
12．（2022高二下·台州期中）定义：在区间上，若函数是减函数，且是增函数，则称在区间上是“弱减函数”.根据定义可得（　　）
A．在上是“弱减函数”
B．在上是“弱减函数”
C．若在上是“弱减函数”，则
D．若在上是“弱减函数”，则
三、填空题
13．（2023高三下·重庆市开学考）已知向量，，若，则实数　 　．
14．（2023高三下·重庆市开学考）将3封不同的信随机放入2个不同的信箱中，共有种不同的放法，则在的展开式中，含项的系数为　 　．
15．（2023高三下·重庆市开学考）《数书九章》三斜求积术：“以小斜幂，并大斜幂，减中斜幂，余半之，自乘于上；以小斜幂乘大斜幂，减上，余四约一，为实，一为从隅，开平方得积”．秦九韶把三角形的三条边分别称为小斜、中斜和大斜，“术”即方法．以，，，分别表示三角形的面积，大斜，中斜，小斜；分别为对应的大斜，中斜，小斜上的高；则．若在中，，，根据上述公式，可以推出该三角形外接圆的半径为　 　．
16．（2023高三下·重庆市开学考）定义：若A，B，C，D为球面上四点，E，F分别是AB，CD的中点，则把以EF为直径的球称为AB，CD的“伴随球”.已知A，B，C，D是半径为2的球面上四点，，则AB，CD的“伴随球”的直径取值范围为　 　；若A，B，C，D不共面，则四面体ABCD体积的最大值为　 　.
四、解答题
17．（2023高三下·重庆市开学考）如图，△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且.
（1）求角B的大小；
（2）已知，若D为△ABC外接圆劣弧AC上一点，求AD+DC的最大值.
18．（2023高三下·重庆市开学考）已知数列满足，．
（1）设，证明：是等差数列；
（2）设数列的前n项和为，求．
19．（2023高三下·重庆市开学考）如图1，在平面四边形中，∥，，将沿翻折到的位置，使得平面⊥平面，如图2所示.
（1）设平面与平面的交线为，求证：；
（2）在线段上是否存在一点（点不与端点重合），使得二面角的余弦值为，请说明理由.
20．（2023高三下·重庆市开学考）某企业从生产的一批零件中抽取100件产品作为样本，检测其质量指标值m（其中：），得到频率分布直方图，并依据质量指标值划分等级如表所示：
质量指标值m 150≤m<350 100≤m<150或350≤m≤400
等级 A级 B级
（1）根据频率分布直方图估计产品的质量指标值的分位数；
（2）从样本的B级零件中随机抽3件，记其中质量指标值在[350，400]的零件的件数为，求的分布列和数学期望；
（3）该企业为节省检测成本，采用混装的方式将所有的零件按500个一箱包装，已知一个A级零件的利润是10元，一个B级零件的利润是5元，以样本分布的频率作为总体分布的概率，试估计每箱零件的利润.
21．（2023高三下·重庆市开学考）已知抛物线的焦点为F，点在E上．
（1）求；
（2）O为坐标原点，E上两点A、B处的切线交于点P，P在直线上，PA、PB分别交x轴于M、N两点，记和的面积分别为和．试探究：是否为定值？若是定值，求出该定值；若不是定值，说明理由．
22．（2023高三下·重庆市开学考）已知函数，．
（1）讨论的单调性；
（2）当，时，，证明：．
答案解析部分
1．【答案】C
【知识点】补集及其运算
【解析】【解答】由题设，，，
所以.
故答案为：C
【分析】由集合的补集运算即可求解。
2．【答案】D
【知识点】复数代数形式的混合运算
【解析】【解答】依题意.
故答案为：D
【分析】根据已知条件，结合复数的运算法则，以及共轭复数的定义，即可求解出答案.
3．【答案】C
【知识点】函数的图象
【解析】【解答】函数定义域为R，，即是奇函数，A，B不满足；
当时，即，则，而，因此，D不满足，C满足.
故答案为：C
【分析】分析函数的奇偶性，可判断A，B；再利用时，值为正，即可判断C，D.
4．【答案】B
【知识点】异面直线及其所成的角；余弦定理
【解析】【解答】如图所示，在棱BC上取点，使，连接，
因为，为棱的中点，点在棱上，且，
设，可得，，，，
在中，因为，所以，
在直角中，，
在直角中，，
因为D是的中点，所以，所，
又因为，所以，所以四边形是平行四边形，所以，所以是异面直线与所成的角，
在中，由余弦定理可得，
即异面直线AC与DE所成角的余弦值是．
故答案为：B.
【分析】在棱BC上取点，使，连接，得四边形是平行四边形，，是异面直线与所成的角，利用余弦定理可求出异面直线AC与DE所成角的余弦值.
5．【答案】C
【知识点】等差数列的性质
【解析】【解答】由于 ， ，
∴上式中等差中项 ， ，即 ，
A不符合题意；
由等差数列的性质可知 ， ，即 ，
B不符合题意；
由以上分析可知C符合题意，D不符合题意；
故答案为：C.
【分析】利用等差数列等差中项的性质，计算出数列相关数值，即可得出答案。
6．【答案】A
【知识点】古典概型及其概率计算公式
【解析】【解答】随机取出三个小球共有种情况，任意两个小球编号都不相邻的基本事件有：
共有10种，故所求概率为.
故答案为：A.
【分析】先用组合数计算出基本事件的总数，再用排异法求出任意两个小球编号都不相邻的事件的个数，进而得出至少有两个小球编号相邻的事件的个数，然后用古典概型的计算公式即可求解出答案.
7．【答案】D
【知识点】分段函数的解析式求法及其图象的作法；函数的零点与方程根的关系；函数零点的判定定理
【解析】【解答】令 ，①当 时， ，则函数 在 上单调递增，
由于 ， ，
由零点存在定理可知，存在 ，使得 ；②当 时， ，由 ，解得 ， ，
作出函数 ，直线 、 、 的图象如下图所示：
由图象可知，直线 与函数 的图象有两个交点；
直线 与函数 的图象有两个交点；
直线 与函数 的图象有且只有一个交点，
综上所述，函数 的零点个数为 。
故答案为：D.
【分析】令 ，①，当 时， ，则函数 在 上单调递增，再利用零点存在性定理可知，存在 ，使得 ，②，当 时， ，由 ，解得 ， ，作出函数 ，直线 ， ， 的图象，由图象结合函数的零点与两函数图象交点的横坐标等价，从而求出数 的零点个数。
8．【答案】D
【知识点】轨迹方程
【解析】【解答】设动圆圆心，半径为，则到的距离，到的距离，因为被截在圆内的两条线段的长度分别是定值26，24，
，化简后得，相减得，将，代入后化简可得.
故答案为：D.
【分析】 利用点到直线距离公式与圆内弦长与半径关系即可求解出动圆圆心的轨迹方程 .
9．【答案】C,D
【知识点】众数、中位数、平均数；极差、方差与标准差；条件概率与独立事件
【解析】【解答】A：由，所以分位数是，错误；
B：由题设，，错误；
C：因为，即，又，即，所以，A与B独立，正确；
D：由题设，关于对称，所以，正确；
故答案为：CD
【分析】 应用百分数的求法求70%分位数，可判断A；应用二项分布方差公式求D(X)，即可判断B；应用全概率公式及已知条件判断P(AB)= P(A)P(B)是否成立即可判断C； 根据正态分布的对称性求P(2≤x<3)即可判断D.
10．【答案】A,C
【知识点】正弦函数的图象；正弦函数的奇偶性与对称性；正弦函数的单调性；函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换
【解析】【解答】由题意，，所以，
，，
，A符合题意；
时，，递增，递减，B不符合题意；
是最大值，C符合题意；
时，，的最小值是，的最大值是，D不符合题意；
故答案为：AC．
【分析】 由周期求出，由图象变换求得g (x)的解析式并化简，然后由正弦函数的性质，逐项进行判断，可得答案.
11．【答案】A,D
【知识点】平面向量数量积的运算；抛物线的简单性质
【解析】【解答】抛物线的准线为，焦点，
若O为中点，所以，所以，A符合题意；
若，则，所以，B不符合题意；
设，则，所以，，
所以，所以FP与FQ不垂直，C不符合题意；
，
当且仅当，即时，取等号，所以△PFO面积的最小值为2，D符合题意.
故答案为：AD.
【分析】求出P点的横坐标，再根据抛物线的定义求出|PF|，即可判断A；根据抛物线的定义求出P点的横坐标，再求出|OP|，即可判断B；设，则，判断是否有解，即可判断C；根据，结合基本不等式即可判断D.
12．【答案】B,C,D
【知识点】函数的单调性与导数的关系；利用导数研究函数的单调性
【解析】【解答】对于A，在上单调递减，不单调，A不符合题意；
对于B，，在上，函数单调递减，
，，∴在单调递增，B符合题意；
对于C，若在单调递减，由，得，
∴，在单调递增，C符合题意；
对于D，在上单调递减，
在上恒成立，
令，，令，
，
∴在上单调递减，，
∴，∴在上单调递减，，
∴，
在上单调递增，
在上恒成立，
∴，
令，，
∴在上单调递增，，
∴，
综上：，D符合题意.
故答案为：BCD.
【分析】由 “弱减函数” 的定义即可判断A，B，C；对于D，可将问题转换成，构造函数，求其导函数，再构造，求其导函数，确定的单调性，进而判断，在上单调递减，即可确定，再由在上单调递增，求导，可将问题转化成，进而构造函数，通过求导，确定单调性，求得最大值，即可判断D.
13．【答案】20
【知识点】数量积判断两个平面向量的垂直关系
【解析】【解答】依题意，若，
则，解得．
故答案为：20
【分析】 可求出的坐标，然后根据即可得出，然后进行向量坐标的数量积运算，即可求出的值.
14．【答案】70
【知识点】二项式定理
【解析】【解答】由题意得：
在展开式中，，当即时，该项为
故答案为：70
【分析】 由分步乘法计数原理可求得n=8，从而写出二项式的通项，进而求出 项的系数 .
15．【答案】
【知识点】正弦定理；余弦定理
【解析】【解答】解：由，知，
设，
则，
又，
∴，∴，
∴
∴，
又，∴，
∴该三角形外接圆的直径，
即该三角形外接圆的半径为.
故答案为：.
【分析】根据题中所给公式求出三角形的边长，再利用余弦定理求得其中一角，再利用正弦定理求得三角形外接圆的半径.
16．【答案】；4
【知识点】球内接多面体
【解析】【解答】设为所在球面的球心，∴.
∵，且分别是的中点，
∴，，且，
∴，
则E、F均是以O为球心，1为半径的球面上的点，
若以EF为直径作球，则，
即AB，CD的“伴随球”的直径取值范围是(0，2]；
∵E是AB中点，∴，
d为点到平面距离，，
又，为点到距离，，
∴，当且仅当，F三点共线，且⊥CD时，等号成立.
故答案为：(0，2]；4.
【分析】设为所在球面的球心，由题意可知E、F均是以O为球心，1为半径的球面上的点，由此即可求出EF范围；根据，d为点到平面距离，求出的最大值，即可得四面体ABCD体积的最大值.
17．【答案】（1）解：法一：∵，由正弦定理得，
∴，
∴，∵，
∴，又∵，∴，
法二：∵，
由余弦定理得，
∴，∴，
∵，∴.
（2）解：由（1）知，，面四边形ABCD内角互补，则，
法一：设，则，
由正弦定理得，
∴，，
∴，
当且仅当时，的最大值为.
法二：在△ADC中，，，
由余弦定理得，
∴，∴，
当且仅当时，的最大值为.
【知识点】正弦定理；余弦定理
【解析】【分析】(1)由已知结合余弦定理进行化简可求cosB，进而可求出角B的大小；
(2)由已知结合正弦定理先表示AD， CD，然后结合和差角及辅助角公式化简AD+CD，再由正弦函数的性质可求出 AD+DC的最大值.
18．【答案】（1）证明：因为，
所以数列是以1为公差的等差数列．
（2）因为，所以，
由得．
故，
所以，
，
，
．
【知识点】数列的求和；数列递推式
【解析】【分析】 (1)根据数列的递推关系，利用取倒数法结合等差数列的定义进行证明即可；
(2)求出数列 的通项公式，利用裂项求和 法进行求解，即可得 ．
19．【答案】（1）证明：延长相交于点，连接，
则为平面与平面的交线，
由平面⊥平面，，平面，
且平面平面，所以平面，
又由∥，所以平面，
因为平面，所以，所以，
（2）解：由（1）知：，
以为坐标原点，以所在的直线分别为轴、轴、轴建立空间直角坐标系，如图所示，
可得，
则，
设（其中），
则，所以，
设平面QBD的法向量为，
则，
令，可得，所以，
又由平面，所以平面的一个法向量为
则，
解得，
所以存在点为的中点时，使得二面角的余弦值为.
【知识点】直线与平面垂直的判定；直线与平面垂直的性质；用空间向量求平面间的夹角
【解析】【分析】(1) 延长相交于点，连接， 得到 为平面与平面的交线， 结合线面垂直的判定定理，证得AD⊥平面SAB，得到BC⊥平面SAB，进而证得 ；
(2) 以为坐标原点，以所在的直线分别为轴、轴、轴建立空间直角坐标系，求得平面QBD和平面BDC的法向量，利用向量的夹角公式列出方程，即可求解出的值.
20．【答案】（1）解：前三组的频率和为（0.001+0.002+0.003）×50=0.3<0.6
前四组的频率和为0.3+0.008×50=0.7>0.6
设分位数为，
，解得287.5
∴产品的质量指标值的分位数为287.5
（2）解：，所以样本的B级零件个数为10个，质量指标值在[350，400]的零件为5个，故可能取的值为0，1，2，3，相应的概率为：
，，
，
随机变量的分布列为
0 1 2 3
所以期望.
（3）解：设每箱零件中A级零件有个，每箱零件的利润为元，则级零件有个，
由题意知：，由（2）知：每箱零件中B级零件的概率为，A级零件的概率为1-0.1=0.9
所以， 所以，
所以(元).
所以每箱零件的利润是4750元
【知识点】频率分布直方图；离散型随机变量及其分布列；离散型随机变量的期望与方差
【解析】【分析】(1)根据中位数在频率分布直方图表示的意义计算即可；
(2)先计算出零件为B级的个数，然后求出相应概率，得到分布列，计算出数学期望；
(3)设每箱零件中A级零件有X个，每箱零件的利润为Y元，运用期望知识求解出每箱零件的利润.
21．【答案】（1）解：因为点在E上，于是，解得，所以．
（2）解：抛物线方程为，故，所以．
设A、B的坐标分别为、，
则PA的方程为：即，
同理PB的方程为：，
联立PA，PB方程得
所以P、M、N的坐标分别为：，，，
则，，设AB的直线方程为，联立消去y得：，
由韦达定理可知：，所以，故直线AB过定点，
所以，，
因此，，故为定值2．
【知识点】直线与圆锥曲线的综合问题
【解析】【分析】(1) 点在E上，解得p，利用抛物线的性质求解出 ；
(2) 设A、B的坐标分别为、 ，利用函数的导数求解PA、PB的方程分别为 ，，求出P、M、N的坐标， 设AB的直线方程为 ，联立直线与抛物线方程，通过韦达定理，推出直线AB过定点(0， 2)，求解三角形的面积推出 为定值 .
22．【答案】（1）解：的定义域为R，．
①当时，当或时，，单调递增；
当时，，单调递减．
②当时，当或时，，单调递减；
当时，，单调递增．
（2）证明：由，得，因为，所以，
令，则，
设，则，所以在单调递增，
又因为，，
（由（1）知当时，，所以当时，，即．）
所以，存在，使得，即．
所以，当时，，单调递减；当时，，单调递增，
所以，所以．
所以．
设，则，
当时，，单调递增；当时，，单调递减．
所以，所以．
【知识点】利用导数研究函数的单调性
【解析】【分析】(1)求出函数的导数，通过讨论a的范围，求出 的单调性；
(2)求出 ，令 ，根据函数的单调性求出g (x)的最小值，求出b的取值范围，表示出ab的表达式， 设，根据函数的单调性证明结论成立即可.
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重庆市2023届高三下学期数学开学摸底试卷
一、单选题
1．（2022·柳州模拟）设集合，，则（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】补集及其运算
【解析】【解答】由题设，，，
所以.
故答案为：C
【分析】由集合的补集运算即可求解。
2．（2023高三下·重庆市开学考）复数z在复平面内对应的点的坐标为，则（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】复数代数形式的混合运算
【解析】【解答】依题意.
故答案为：D
【分析】根据已知条件，结合复数的运算法则，以及共轭复数的定义，即可求解出答案.
3．（2023高三下·重庆市开学考）函数的图象大致是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】C
【知识点】函数的图象
【解析】【解答】函数定义域为R，，即是奇函数，A，B不满足；
当时，即，则，而，因此，D不满足，C满足.
故答案为：C
【分析】分析函数的奇偶性，可判断A，B；再利用时，值为正，即可判断C，D.
4．（2023高三下·重庆市开学考）如图，在直三棱柱中，是直角三角形，且，为棱的中点，点在棱上，且，则异面直线AC与DE所成角的余弦值是（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】异面直线及其所成的角；余弦定理
【解析】【解答】如图所示，在棱BC上取点，使，连接，
因为，为棱的中点，点在棱上，且，
设，可得，，，，
在中，因为，所以，
在直角中，，
在直角中，，
因为D是的中点，所以，所，
又因为，所以，所以四边形是平行四边形，所以，所以是异面直线与所成的角，
在中，由余弦定理可得，
即异面直线AC与DE所成角的余弦值是．
故答案为：B.
【分析】在棱BC上取点，使，连接，得四边形是平行四边形，，是异面直线与所成的角，利用余弦定理可求出异面直线AC与DE所成角的余弦值.
5．（2022·南充模拟）设等差数列的前项和为，满足，则（　　）
A．
B．的最小值为
C．
D．满足的最大自然数的值为25
【答案】C
【知识点】等差数列的性质
【解析】【解答】由于 ， ，
∴上式中等差中项 ， ，即 ，
A不符合题意；
由等差数列的性质可知 ， ，即 ，
B不符合题意；
由以上分析可知C符合题意，D不符合题意；
故答案为：C.
【分析】利用等差数列等差中项的性质，计算出数列相关数值，即可得出答案。
6．（2023高三下·重庆市开学考）从编号分别为1、2、3、4、5、6、7的七个大小完全相同的小球中，随机取出三个小球，则至少有两个小球编号相邻的概率为（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】古典概型及其概率计算公式
【解析】【解答】随机取出三个小球共有种情况，任意两个小球编号都不相邻的基本事件有：
共有10种，故所求概率为.
故答案为：A.
【分析】先用组合数计算出基本事件的总数，再用排异法求出任意两个小球编号都不相邻的事件的个数，进而得出至少有两个小球编号相邻的事件的个数，然后用古典概型的计算公式即可求解出答案.
7．（2020高一上·台州期末）已知函数 ，则函数 的零点个数是（　　）
A．2 B．3 C．4 D．5
【答案】D
【知识点】分段函数的解析式求法及其图象的作法；函数的零点与方程根的关系；函数零点的判定定理
【解析】【解答】令 ，①当 时， ，则函数 在 上单调递增，
由于 ， ，
由零点存在定理可知，存在 ，使得 ；②当 时， ，由 ，解得 ， ，
作出函数 ，直线 、 、 的图象如下图所示：
由图象可知，直线 与函数 的图象有两个交点；
直线 与函数 的图象有两个交点；
直线 与函数 的图象有且只有一个交点，
综上所述，函数 的零点个数为 。
故答案为：D.
【分析】令 ，①，当 时， ，则函数 在 上单调递增，再利用零点存在性定理可知，存在 ，使得 ，②，当 时， ，由 ，解得 ， ，作出函数 ，直线 ， ， 的图象，由图象结合函数的零点与两函数图象交点的横坐标等价，从而求出数 的零点个数。
8．（2023高三下·重庆市开学考）已知两条直线，，有一动圆（圆心和半径都在变动）与都相交，并且被截在圆内的两条线段的长度分别是定值26，24，则动圆圆心的轨迹方程为（　　）
A． B．
C． D．
【答案】D
【知识点】轨迹方程
【解析】【解答】设动圆圆心，半径为，则到的距离，到的距离，因为被截在圆内的两条线段的长度分别是定值26，24，
，化简后得，相减得，将，代入后化简可得.
故答案为：D.
【分析】 利用点到直线距离公式与圆内弦长与半径关系即可求解出动圆圆心的轨迹方程 .
二、多选题
9．（2023高三下·重庆市开学考）下列命题中，正确的命题是（　　）
A．数据1，2，3，4，5，6，7，8，9，10的分位数是7
B．若随机变量，则
C．若事件A，B满足，则A与B独立
D．若随机变量，，则
【答案】C,D
【知识点】众数、中位数、平均数；极差、方差与标准差；条件概率与独立事件
【解析】【解答】A：由，所以分位数是，错误；
B：由题设，，错误；
C：因为，即，又，即，所以，A与B独立，正确；
D：由题设，关于对称，所以，正确；
故答案为：CD
【分析】 应用百分数的求法求70%分位数，可判断A；应用二项分布方差公式求D(X)，即可判断B；应用全概率公式及已知条件判断P(AB)= P(A)P(B)是否成立即可判断C； 根据正态分布的对称性求P(2≤x<3)即可判断D.
10．（2023高三下·重庆市开学考）已知函数的最小正周期为，将的图象向左平移个单位长度，再把得到的曲线上各点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），得到函数的图象，则下列结论正确的是（　　）
A．
B．在单调递增
C．的图象关于对称
D．在上的最大值是1
【答案】A,C
【知识点】正弦函数的图象；正弦函数的奇偶性与对称性；正弦函数的单调性；函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换
【解析】【解答】由题意，，所以，
，，
，A符合题意；
时，，递增，递减，B不符合题意；
是最大值，C符合题意；
时，，的最小值是，的最大值是，D不符合题意；
故答案为：AC．
【分析】 由周期求出，由图象变换求得g (x)的解析式并化简，然后由正弦函数的性质，逐项进行判断，可得答案.
11．（2023高三下·重庆市开学考）已知抛物线的焦点为F，过原点O的动直线l交抛物线于另一点P，交抛物线的准线于点Q，下列说法正确的是（　　）
A．若O为线段中点，则 B．若，则
C．存在直线l，使得 D．△PFO面积的最小值为2
【答案】A,D
【知识点】平面向量数量积的运算；抛物线的简单性质
【解析】【解答】抛物线的准线为，焦点，
若O为中点，所以，所以，A符合题意；
若，则，所以，B不符合题意；
设，则，所以，，
所以，所以FP与FQ不垂直，C不符合题意；
，
当且仅当，即时，取等号，所以△PFO面积的最小值为2，D符合题意.
故答案为：AD.
【分析】求出P点的横坐标，再根据抛物线的定义求出|PF|，即可判断A；根据抛物线的定义求出P点的横坐标，再求出|OP|，即可判断B；设，则，判断是否有解，即可判断C；根据，结合基本不等式即可判断D.
12．（2022高二下·台州期中）定义：在区间上，若函数是减函数，且是增函数，则称在区间上是“弱减函数”.根据定义可得（　　）
A．在上是“弱减函数”
B．在上是“弱减函数”
C．若在上是“弱减函数”，则
D．若在上是“弱减函数”，则
【答案】B,C,D
【知识点】函数的单调性与导数的关系；利用导数研究函数的单调性
【解析】【解答】对于A，在上单调递减，不单调，A不符合题意；
对于B，，在上，函数单调递减，
，，∴在单调递增，B符合题意；
对于C，若在单调递减，由，得，
∴，在单调递增，C符合题意；
对于D，在上单调递减，
在上恒成立，
令，，令，
，
∴在上单调递减，，
∴，∴在上单调递减，，
∴，
在上单调递增，
在上恒成立，
∴，
令，，
∴在上单调递增，，
∴，
综上：，D符合题意.
故答案为：BCD.
【分析】由 “弱减函数” 的定义即可判断A，B，C；对于D，可将问题转换成，构造函数，求其导函数，再构造，求其导函数，确定的单调性，进而判断，在上单调递减，即可确定，再由在上单调递增，求导，可将问题转化成，进而构造函数，通过求导，确定单调性，求得最大值，即可判断D.
三、填空题
13．（2023高三下·重庆市开学考）已知向量，，若，则实数　 　．
【答案】20
【知识点】数量积判断两个平面向量的垂直关系
【解析】【解答】依题意，若，
则，解得．
故答案为：20
【分析】 可求出的坐标，然后根据即可得出，然后进行向量坐标的数量积运算，即可求出的值.
14．（2023高三下·重庆市开学考）将3封不同的信随机放入2个不同的信箱中，共有种不同的放法，则在的展开式中，含项的系数为　 　．
【答案】70
【知识点】二项式定理
【解析】【解答】由题意得：
在展开式中，，当即时，该项为
故答案为：70
【分析】 由分步乘法计数原理可求得n=8，从而写出二项式的通项，进而求出 项的系数 .
15．（2023高三下·重庆市开学考）《数书九章》三斜求积术：“以小斜幂，并大斜幂，减中斜幂，余半之，自乘于上；以小斜幂乘大斜幂，减上，余四约一，为实，一为从隅，开平方得积”．秦九韶把三角形的三条边分别称为小斜、中斜和大斜，“术”即方法．以，，，分别表示三角形的面积，大斜，中斜，小斜；分别为对应的大斜，中斜，小斜上的高；则．若在中，，，根据上述公式，可以推出该三角形外接圆的半径为　 　．
【答案】
【知识点】正弦定理；余弦定理
【解析】【解答】解：由，知，
设，
则，
又，
∴，∴，
∴
∴，
又，∴，
∴该三角形外接圆的直径，
即该三角形外接圆的半径为.
故答案为：.
【分析】根据题中所给公式求出三角形的边长，再利用余弦定理求得其中一角，再利用正弦定理求得三角形外接圆的半径.
16．（2023高三下·重庆市开学考）定义：若A，B，C，D为球面上四点，E，F分别是AB，CD的中点，则把以EF为直径的球称为AB，CD的“伴随球”.已知A，B，C，D是半径为2的球面上四点，，则AB，CD的“伴随球”的直径取值范围为　 　；若A，B，C，D不共面，则四面体ABCD体积的最大值为　 　.
【答案】；4
【知识点】球内接多面体
【解析】【解答】设为所在球面的球心，∴.
∵，且分别是的中点，
∴，，且，
∴，
则E、F均是以O为球心，1为半径的球面上的点，
若以EF为直径作球，则，
即AB，CD的“伴随球”的直径取值范围是(0，2]；
∵E是AB中点，∴，
d为点到平面距离，，
又，为点到距离，，
∴，当且仅当，F三点共线，且⊥CD时，等号成立.
故答案为：(0，2]；4.
【分析】设为所在球面的球心，由题意可知E、F均是以O为球心，1为半径的球面上的点，由此即可求出EF范围；根据，d为点到平面距离，求出的最大值，即可得四面体ABCD体积的最大值.
四、解答题
17．（2023高三下·重庆市开学考）如图，△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且.
（1）求角B的大小；
（2）已知，若D为△ABC外接圆劣弧AC上一点，求AD+DC的最大值.
【答案】（1）解：法一：∵，由正弦定理得，
∴，
∴，∵，
∴，又∵，∴，
法二：∵，
由余弦定理得，
∴，∴，
∵，∴.
（2）解：由（1）知，，面四边形ABCD内角互补，则，
法一：设，则，
由正弦定理得，
∴，，
∴，
当且仅当时，的最大值为.
法二：在△ADC中，，，
由余弦定理得，
∴，∴，
当且仅当时，的最大值为.
【知识点】正弦定理；余弦定理
【解析】【分析】(1)由已知结合余弦定理进行化简可求cosB，进而可求出角B的大小；
(2)由已知结合正弦定理先表示AD， CD，然后结合和差角及辅助角公式化简AD+CD，再由正弦函数的性质可求出 AD+DC的最大值.
18．（2023高三下·重庆市开学考）已知数列满足，．
（1）设，证明：是等差数列；
（2）设数列的前n项和为，求．
【答案】（1）证明：因为，
所以数列是以1为公差的等差数列．
（2）因为，所以，
由得．
故，
所以，
，
，
．
【知识点】数列的求和；数列递推式
【解析】【分析】 (1)根据数列的递推关系，利用取倒数法结合等差数列的定义进行证明即可；
(2)求出数列 的通项公式，利用裂项求和 法进行求解，即可得 ．
19．（2023高三下·重庆市开学考）如图1，在平面四边形中，∥，，将沿翻折到的位置，使得平面⊥平面，如图2所示.
（1）设平面与平面的交线为，求证：；
（2）在线段上是否存在一点（点不与端点重合），使得二面角的余弦值为，请说明理由.
【答案】（1）证明：延长相交于点，连接，
则为平面与平面的交线，
由平面⊥平面，，平面，
且平面平面，所以平面，
又由∥，所以平面，
因为平面，所以，所以，
（2）解：由（1）知：，
以为坐标原点，以所在的直线分别为轴、轴、轴建立空间直角坐标系，如图所示，
可得，
则，
设（其中），
则，所以，
设平面QBD的法向量为，
则，
令，可得，所以，
又由平面，所以平面的一个法向量为
则，
解得，
所以存在点为的中点时，使得二面角的余弦值为.
【知识点】直线与平面垂直的判定；直线与平面垂直的性质；用空间向量求平面间的夹角
【解析】【分析】(1) 延长相交于点，连接， 得到 为平面与平面的交线， 结合线面垂直的判定定理，证得AD⊥平面SAB，得到BC⊥平面SAB，进而证得 ；
(2) 以为坐标原点，以所在的直线分别为轴、轴、轴建立空间直角坐标系，求得平面QBD和平面BDC的法向量，利用向量的夹角公式列出方程，即可求解出的值.
20．（2023高三下·重庆市开学考）某企业从生产的一批零件中抽取100件产品作为样本，检测其质量指标值m（其中：），得到频率分布直方图，并依据质量指标值划分等级如表所示：
质量指标值m 150≤m<350 100≤m<150或350≤m≤400
等级 A级 B级
（1）根据频率分布直方图估计产品的质量指标值的分位数；
（2）从样本的B级零件中随机抽3件，记其中质量指标值在[350，400]的零件的件数为，求的分布列和数学期望；
（3）该企业为节省检测成本，采用混装的方式将所有的零件按500个一箱包装，已知一个A级零件的利润是10元，一个B级零件的利润是5元，以样本分布的频率作为总体分布的概率，试估计每箱零件的利润.
【答案】（1）解：前三组的频率和为（0.001+0.002+0.003）×50=0.3<0.6
前四组的频率和为0.3+0.008×50=0.7>0.6
设分位数为，
，解得287.5
∴产品的质量指标值的分位数为287.5
（2）解：，所以样本的B级零件个数为10个，质量指标值在[350，400]的零件为5个，故可能取的值为0，1，2，3，相应的概率为：
，，
，
随机变量的分布列为
0 1 2 3
所以期望.
（3）解：设每箱零件中A级零件有个，每箱零件的利润为元，则级零件有个，
由题意知：，由（2）知：每箱零件中B级零件的概率为，A级零件的概率为1-0.1=0.9
所以， 所以，
所以(元).
所以每箱零件的利润是4750元
【知识点】频率分布直方图；离散型随机变量及其分布列；离散型随机变量的期望与方差
【解析】【分析】(1)根据中位数在频率分布直方图表示的意义计算即可；
(2)先计算出零件为B级的个数，然后求出相应概率，得到分布列，计算出数学期望；
(3)设每箱零件中A级零件有X个，每箱零件的利润为Y元，运用期望知识求解出每箱零件的利润.
21．（2023高三下·重庆市开学考）已知抛物线的焦点为F，点在E上．
（1）求；
（2）O为坐标原点，E上两点A、B处的切线交于点P，P在直线上，PA、PB分别交x轴于M、N两点，记和的面积分别为和．试探究：是否为定值？若是定值，求出该定值；若不是定值，说明理由．
【答案】（1）解：因为点在E上，于是，解得，所以．
（2）解：抛物线方程为，故，所以．
设A、B的坐标分别为、，
则PA的方程为：即，
同理PB的方程为：，
联立PA，PB方程得
所以P、M、N的坐标分别为：，，，
则，，设AB的直线方程为，联立消去y得：，
由韦达定理可知：，所以，故直线AB过定点，
所以，，
因此，，故为定值2．
【知识点】直线与圆锥曲线的综合问题
【解析】【分析】(1) 点在E上，解得p，利用抛物线的性质求解出 ；
(2) 设A、B的坐标分别为、 ，利用函数的导数求解PA、PB的方程分别为 ，，求出P、M、N的坐标， 设AB的直线方程为 ，联立直线与抛物线方程，通过韦达定理，推出直线AB过定点(0， 2)，求解三角形的面积推出 为定值 .
22．（2023高三下·重庆市开学考）已知函数，．
（1）讨论的单调性；
（2）当，时，，证明：．
【答案】（1）解：的定义域为R，．
①当时，当或时，，单调递增；
当时，，单调递减．
②当时，当或时，，单调递减；
当时，，单调递增．
（2）证明：由，得，因为，所以，
令，则，
设，则，所以在单调递增，
又因为，，
（由（1）知当时，，所以当时，，即．）
所以，存在，使得，即．
所以，当时，，单调递减；当时，，单调递增，
所以，所以．
所以．
设，则，
当时，，单调递增；当时，，单调递减．
所以，所以．
【知识点】利用导数研究函数的单调性
【解析】【分析】(1)求出函数的导数，通过讨论a的范围，求出 的单调性；
(2)求出 ，令 ，根据函数的单调性求出g (x)的最小值，求出b的取值范围，表示出ab的表达式， 设，根据函数的单调性证明结论成立即可.
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