2014届高考数学（理）三轮复习专题练习--导数

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2014届高考数学（理）考前60天冲刺【六大解答题】
导 数
1、已知函数其中。
（1）当时，判断的单调性；
（2）若在其定义域内为增函数，求正实数的取值范围；
（3）设函数若总有成立，求实数m
2. 已知函数，∈R．
(I)讨论函数的单调性；
(Ⅱ)当时，≤恒成立，求的取值范围．
3.已知函数 ( http: / / www.21cnjy.com )．
（I）当 ( http: / / www.21cnjy.com )时，求函数 ( http: / / www.21cnjy.com )的单调区间；
（II）若函数 ( http: / / www.21cnjy.com )的图象在点 ( http: / / www.21cnjy.com )处的切线的倾斜角为45o，问：m在什么范围取值时，对于任意的 ( http: / / www.21cnjy.com )，函数 ( http: / / www.21cnjy.com )在区间 ( http: / / www.21cnjy.com )上总存在极值？
4.已知三次函数 ( http: / / www.21cnjy.com )的导函数 ( http: / / www.21cnjy.com )， ( http: / / www.21cnjy.com )， ( http: / / www.21cnjy.com )． ( http: / / www.21cnjy.com )为实数。m]
（Ⅰ）若曲线 ( http: / / www.21cnjy.com ) ( http: / / www.21cnjy.com )在点（ ( http: / / www.21cnjy.com )， ( http: / / www.21cnjy.com )）处切线的斜率为12，求 ( http: / / www.21cnjy.com )的值；
（Ⅱ）若 ( http: / / www.21cnjy.com )在区间［-1，1］上的最小值．最大值分别为-2．1，且 ( http: / / www.21cnjy.com )，求函数 ( http: / / www.21cnjy.com )的解析式。
5.已知函数 ( http: / / www.21cnjy.com )，（ ( http: / / www.21cnjy.com )为自然对数的底数）．
（Ⅰ）求函数 ( http: / / www.21cnjy.com )的递增区间；
（Ⅱ）当 ( http: / / www.21cnjy.com )时，过点 ( http: / / www.21cnjy.com ) ( http: / / www.21cnjy.com )作曲线 ( http: / / www.21cnjy.com )的两条切线，设两切点为
( http: / / www.21cnjy.com )， ( http: / / www.21cnjy.com ) ( http: / / www.21cnjy.com )，求证 ( http: / / www.21cnjy.com )为定值，并求出该定值。
6.已知函数 ( http: / / www.21cnjy.com )
（1）求函数 ( http: / / www.21cnjy.com )的单调区间；
（2）若不等式 ( http: / / www.21cnjy.com )在区间 ( http: / / www.21cnjy.com )上恒成立，求实数k的取值范围；
（3）求证： ( http: / / www.21cnjy.com )
7.已知函数
（Ⅰ）当时，求的单调区间；
（Ⅱ）若对任意， 恒成立，求实数的取值范围．
8.已知函数 ( http: / / www.21cnjy.com )
(Ⅰ)求函数 ( http: / / www.21cnjy.com )的单调区间;
(Ⅱ)是否存在实数 ( http: / / www.21cnjy.com ),使不等式 ( http: / / www.21cnjy.com )对 ( http: / / www.21cnjy.com )恒成立,若存在,求实数 ( http: / / www.21cnjy.com )的取值范围,若不存在,请说明理由.
9设函数
(Ⅰ) 当时，求函数的极值；
（Ⅱ）当时，讨论函数的单调性.
（Ⅲ）若对任意及任意，恒有 成立，求实数的取值范围.
10. 设函数
(Ⅰ) 当时，求函数的极值；
（Ⅱ）当时，讨论函数的单调性.
（Ⅲ）若对任意及任意，恒有 成立，求实数的取值范围.
11.已知函数．
（Ⅰ）若函数在，处取得极值，求，的值；
（Ⅱ）若，函数在上是单调函数，求的取值范围．
12.设．
（1）若函数在区间内单调递减，求的取值范围；
（2）若函数处取得极小值是，求的值，并说明在区间内函数的单调性．
14.已知三次函数 ( http: / / www.21cnjy.com )的导函数 ( http: / / www.21cnjy.com )， ( http: / / www.21cnjy.com )， ( http: / / www.21cnjy.com )． ( http: / / www.21cnjy.com )为实数。m]
（Ⅰ）若曲线 ( http: / / www.21cnjy.com ) ( http: / / www.21cnjy.com )在点（ ( http: / / www.21cnjy.com )， ( http: / / www.21cnjy.com )）处切线的斜率为12，求 ( http: / / www.21cnjy.com )的值；
（Ⅱ）若 ( http: / / www.21cnjy.com )在区间［-1，1］上的最小值．最大值分别为-2．1，且 ( http: / / www.21cnjy.com )，求函数 ( http: / / www.21cnjy.com )的解析式。
15.已知函数f(x)=x－ax + (a－1)，．
(Ⅰ) 若，讨论函数的单调性；
（II）已知a =1，，若数列{an}的前n项和为，证明：
．
16.已知在与处都取得极值。
（I）求，的值；
（Ⅱ）若对时，恒成立，求实数的取值范围。
17.已知函数f (x)＝x3＋ax2＋bx， a , bR．
(Ⅰ) 曲线C：y＝f (x) 经过点P (1，2)，且曲线C在点P处的切线平行于直线y＝2x＋1，求a，b的值；21·cn·jy·com21cnjy.com
(Ⅱ) 已知f (x)在区间 (1，2) 内存在两个极值点，求证：0＜a＋b＜2．
18.已知函数f(x)=x-ax+(a-1)，。
（1）讨论函数的单调性；
（2）证明：若，则对任意x，x HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" ，x HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" x，有。
19．已知 ( http: / / www.21cnjy.com )，其中 ( http: / / www.21cnjy.com )是自然常数， ( http: / / www.21cnjy.com )
（Ⅰ）当 ( http: / / www.21cnjy.com )时, 研究 ( http: / / www.21cnjy.com )的单调性与极值；w.w.w.k.s.5.u.c.o.m
（Ⅱ）在（Ⅰ）的条件下，求证： ( http: / / www.21cnjy.com )；
（Ⅲ）是否存在实数 ( http: / / www.21cnjy.com )，使 ( http: / / www.21cnjy.com )的最小值是3？若存在，求出 ( http: / / www.21cnjy.com )的值；若不存在，说明理由．
20. 设函数，已知 ，且（a∈R，且a≠0），函数（b∈R，c为正整数）有两个不同的极值点，且该函数图象上取得极值的两点A、B与坐标原点O在同一直线上。21教育名师原创作品2·1·c·n·j·y
（1）试求a、b的值；
（2）若时，函数的图象恒在函数图象的下方，求正整数的值。
22.已知函数f(x)＝x2＋bsinx－2(b∈R)，F(x)＝f(x)＋2，且对于任意实数x，恒有F(x)－F(－x)＝0.
(1)求函数f(x)的解析式；
(2)已知函数g(x)＝f(x)＋2(x＋1)＋alnx在区间(0,1)上单调递减，求实数a的取值范围．
23.已知在与处都取得极值。
(Ⅰ) 若为的极大值点，求的单调区间（用表示）；
(Ⅱ)若恰有两解，求实数的取值范围．
25.已知抛物线的焦点为，抛物线上一点的横坐标为 HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" ，过点作抛物线的切线交轴于点，交轴于点，交直线于点，当时，．
（Ⅰ）求证：为等腰三角形，并求抛物线的方程；
（Ⅱ）若位于轴左侧的抛物线上，过点作抛物线的切线交直线于点，交直线于点，
26.已知函数 ( http: / / www.21cnjy.com )（x）= ( http: / / www.21cnjy.com ),a是正常数。（1）若f(x)= ( http: / / www.21cnjy.com )（x）+lnx,且a= ( http: / / www.21cnjy.com ),求函数f(x)的单调递增区间；（2）若g(x)=∣lnx∣+ ( http: / / www.21cnjy.com )（x）,且对任意的x ( http: / / www.21cnjy.com ),x ( http: / / www.21cnjy.com )∈（0,2〕，且x ( http: / / www.21cnjy.com )≠x ( http: / / www.21cnjy.com )，都有 ( http: / / www.21cnjy.com )＜-1，求a的取值范围【来源：21·世纪·教育·网】【版权所有：21教育】
27.已知函数
（1）求的单调区间；
（2）设，若在上不单调且仅在处取得最大值，求的取值范围．
27. 已知函数是常数，且当和时，函数取得极值
（Ⅰ）求函数的解析式；
（Ⅱ）若曲线与有两个不同的交点，求实数的取值范围
28. 已知抛物线的顶点是椭圆的中心，焦点与该椭圆的右焦点重合.
(1)求抛物线的方程;
(2)已知动直线过点,交抛物线于、两点.
若直线的斜率为1,求的长;
是否存在垂直于轴的直线被以为直径的圆所截得的弦长恒为定值？如果存在，求出的方程；如果不存在，说明理由.21*cnjy*com21教育名师原创作品
29.已知函数处取得极值2。
（1）求函数的表达式；
（2）当满足什么条件时，函数在区间上单调递增？
（3）若为图象上任意一点，直线与的图象切于点P，求直线的斜率的取值范围。
30.已知动圆G过点F(，0)，且与直线l：x＝－相切，动圆圆心G的轨迹为 ( http: / / www. / )曲线E.曲线E上的两个动点A(x1，y1)和B(x2，y2).
(1)求曲线E的方程；
(2)已知·＝－9(O为坐标原点)，探究直线AB是否恒过定点，若过定点，求出定点坐标；若不过，请说明理由.2-1-c-n-j-y
(3)已知线段AB的垂直平分线交x轴于点C，其中x1≠x2且x1＋x2＝4.求△ABC面积的最大值.
31.已知函数(a为实常数).
(1)若，求证：函数在(1，+．∞)上是增函数；
(2)求函数在[1，e]上的最小值及相应的值；
(3)若存在，使得成立，求实数a的取值范围.
32.设，其中 ( http: / / www.21cnjy.com )为正实数.
(1)当时，求 ( http: / / www.21cnjy.com )的极值点；
(2)若为上的单调函数，求的取值范围.
答 案
1、已知函数其中。
（1）当时，判断的单调性；
（2）若在其定义域内为增函数，求正实数的取值范围；
（3）设函数若总有成立，求实数m的取值范围。
答案：解析：由，
当 时， HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" 在（）上单调递增。
（2）由已知得，其定义域为（），
因为在其定义域内为增函数，所以即
而，当且仅当x=1时，等号成立，所以
（3）当a=2时，由得，或，当时，
所以在（0，1）上，
而“成立”等价于“（0，1）上的最大值不小于上的最大值”。
又
2. 已知函数，∈R．
(I)讨论函数的单调性；
(Ⅱ)当时，≤恒成立，求的取值范围．
解： (Ⅰ) 若时，，()………………2分
由得，又
解得，
所以函数的单调递增区间为． …………4分
(Ⅱ)依题意得,即，
∴，
∵ ，∴ ，∴ HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" ，
∴ …………6分
设 HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" ， ，
令，解得
当时，，在单调递增；…………8分
当时，，在单调递减； …………10分
∴=，
∴ 即．
3.已知函数 ( http: / / www.21cnjy.com )．
（I）当 ( http: / / www.21cnjy.com )时，求函数 ( http: / / www.21cnjy.com )的单调区间；
（II）若函数 ( http: / / www.21cnjy.com )的图象在点 ( http: / / www.21cnjy.com )处的切线的倾斜角为45o，问：m在什么范围取值时，对于任意的 ( http: / / www.21cnjy.com )，函数 ( http: / / www.21cnjy.com )在区间 ( http: / / www.21cnjy.com )上总存在极值？
( http: / / www.21cnjy.com )
（I）当 ( http: / / www.21cnjy.com )时， ( http: / / www.21cnjy.com )， …………………………………2分
令 ( http: / / www.21cnjy.com )时，解得 ( http: / / www.21cnjy.com )，所以 ( http: / / www.21cnjy.com )在（0，1）上单调递增； ……4分
令 ( http: / / www.21cnjy.com )时，解得 ( http: / / www.21cnjy.com )，所以 ( http: / / www.21cnjy.com )在（1，+∞）上单调递减． ………6分
（II）因为函数 ( http: / / www.21cnjy.com )的图象在点（2， ( http: / / www.21cnjy.com )）处的切线的倾斜角为45o，
所以 ( http: / / www.21cnjy.com )．
所以 ( http: / / www.21cnjy.com )， ( http: / / www.21cnjy.com )． ………………………………………………8分
( http: / / www.21cnjy.com ) ( http: / / www.21cnjy.com )，
( http: / / www.21cnjy.com )， ……………………………………………10分
因为任意的 ( http: / / www.21cnjy.com )，函数 ( http: / / www.21cnjy.com )在区间 ( http: / / www.21cnjy.com )上总存在极值，
所以只需 ( http: / / www.21cnjy.com ) ……………………………………………………12分
解得 ( http: / / www.21cnjy.com )． ………………………………………………………14分
4.已知三次函数 ( http: / / www.21cnjy.com )的导函数 ( http: / / www.21cnjy.com )， ( http: / / www.21cnjy.com )， ( http: / / www.21cnjy.com )． ( http: / / www.21cnjy.com )为实数。m]
（Ⅰ）若曲线 ( http: / / www.21cnjy.com ) ( http: / / www.21cnjy.com )在点（ ( http: / / www.21cnjy.com )， ( http: / / www.21cnjy.com )）处切线的斜率为12，求 ( http: / / www.21cnjy.com )的值；
（Ⅱ）若 ( http: / / www.21cnjy.com )在区间［-1，1］上的最小值．最大值分别为-2．1，且 ( http: / / www.21cnjy.com )，求函数 ( http: / / www.21cnjy.com )的解析式。
解析：（Ⅰ）由导数的几何意义 ( http: / / www.21cnjy.com )=12 ……………1分
∴ ( http: / / www.21cnjy.com ) ……………2分
∴ ( http: / / www.21cnjy.com ) ∴ ( http: / / www.21cnjy.com ) ………………………3分
（Ⅱ）∵ ( http: / / www.21cnjy.com )， ( http: / / www.21cnjy.com ) ∴ ( http: / / www.21cnjy.com ) ……5分
由 ( http: / / www.21cnjy.com ) 得 ( http: / / www.21cnjy.com )， ( http: / / www.21cnjy.com )
∵ ( http: / / www.21cnjy.com )［-1，1］， ( http: / / www.21cnjy.com )
∴ 当 ( http: / / www.21cnjy.com )［-1，0）时， ( http: / / www.21cnjy.com )， ( http: / / www.21cnjy.com )递增；
当 ( http: / / www.21cnjy.com )（0，1］时， ( http: / / www.21cnjy.com )， ( http: / / www.21cnjy.com )递减。……………8分
∴ ( http: / / www.21cnjy.com )在区间［-1，1］上的最大值为 ( http: / / www.21cnjy.com )
∵ ( http: / / www.21cnjy.com )，∴ ( http: / / www.21cnjy.com )=1 ……………………10分
∵ ( http: / / www.21cnjy.com )， ( http: / / www.21cnjy.com )
∴ ( http: / / www.21cnjy.com ) ∴ ( http: / / www.21cnjy.com )是函数 ( http: / / www.21cnjy.com )的最小值，
∴ ( http: / / www.21cnjy.com ) ∴ ( http: / / www.21cnjy.com )
∴ ( http: / / www.21cnjy.com )= ( http: / / www.21cnjy.com )
5.已知函数 ( http: / / www.21cnjy.com )，（ ( http: / / www.21cnjy.com )为自然对数的底数）．
（Ⅰ）求函数 ( http: / / www.21cnjy.com )的递增区间；
（Ⅱ）当 ( http: / / www.21cnjy.com )时，过点 ( http: / / www.21cnjy.com ) ( http: / / www.21cnjy.com )作曲线 ( http: / / www.21cnjy.com )的两条切线，设两切点为
( http: / / www.21cnjy.com )， ( http: / / www.21cnjy.com ) ( http: / / www.21cnjy.com )，求证 ( http: / / www.21cnjy.com )为定值，并求出该定值。
解：（Ⅰ）函数 ( http: / / www.21cnjy.com )的定义域是 ( http: / / www.21cnjy.com )．
( http: / / www.21cnjy.com )……………………………………………….2分
当 ( http: / / www.21cnjy.com )时，由 ( http: / / www.21cnjy.com )，解得 ( http: / / www.21cnjy.com )；
当 ( http: / / www.21cnjy.com )时，由 ( http: / / www.21cnjy.com )，解得 ( http: / / www.21cnjy.com )；
当 ( http: / / www.21cnjy.com )时，由 ( http: / / www.21cnjy.com )，解得 ( http: / / www.21cnjy.com )，或 ( http: / / www.21cnjy.com )．-------------4分
所以当 ( http: / / www.21cnjy.com )时，函数 ( http: / / www.21cnjy.com )的递增区间是 ( http: / / www.21cnjy.com )；
当 ( http: / / www.21cnjy.com )时，函数 ( http: / / www.21cnjy.com )的递增区间是 ( http: / / www.21cnjy.com )；
当 ( http: / / www.21cnjy.com )时，函数 ( http: / / www.21cnjy.com )的递增区间是 ( http: / / www.21cnjy.com )， ( http: / / www.21cnjy.com )． …………….6分
（Ⅱ）因为 ( http: / / www.21cnjy.com )，
所以以 ( http: / / www.21cnjy.com )为切点的切线的斜率为 ( http: / / www.21cnjy.com )；
以 ( http: / / www.21cnjy.com )为切点的切线的斜率为 ( http: / / www.21cnjy.com )．………………………….8分
又因为切线过点 ( http: / / www.21cnjy.com )，所以 ( http: / / www.21cnjy.com )；
( http: / / www.21cnjy.com )…………………………………………..10分
解得， ( http: / / www.21cnjy.com ) ， ( http: / / www.21cnjy.com ). 则 ( http: / / www.21cnjy.com ).
由已知 ( http: / / www.21cnjy.com ),从而有 ( http: / / www.21cnjy.com )． 所以 ( http: / / www.21cnjy.com )为定值 ( http: / / www.21cnjy.com ).
6.已知函数 ( http: / / www.21cnjy.com )
（1）求函数 ( http: / / www.21cnjy.com )的单调区间；
（2）若不等式 ( http: / / www.21cnjy.com )在区间 ( http: / / www.21cnjy.com )上恒成立，求实数k的取值范围；
（3）求证： ( http: / / www.21cnjy.com )
解：（Ⅰ） ( http: / / www.21cnjy.com ) ( http: / / www.21cnjy.com )，故其定义域为 ( http: / / www.21cnjy.com )
( http: / / www.21cnjy.com ) ( http: / / www.21cnjy.com )， 令 ( http: / / www.21cnjy.com )>0,得 ( http: / / www.21cnjy.com )，令 ( http: / / www.21cnjy.com )<0,得 ( http: / / www.21cnjy.com )
故函数 ( http: / / www.21cnjy.com )的单调递增区间为 ( http: / / www.21cnjy.com )单调递减区间为 ( http: / / www.21cnjy.com )…………4分
（Ⅱ） ( http: / / www.21cnjy.com ) ( http: / / www.21cnjy.com ) ( http: / / www.21cnjy.com )，令 ( http: / / www.21cnjy.com )
又 ( http: / / www.21cnjy.com )，令 ( http: / / www.21cnjy.com )解得 ( http: / / www.21cnjy.com )
当x在 ( http: / / www.21cnjy.com )内变化时， ( http: / / www.21cnjy.com )， ( http: / / www.21cnjy.com )变化如下表
x ( http: / / www.21cnjy.com ) ( http: / / www.21cnjy.com ) ( http: / / www.21cnjy.com )
( http: / / www.21cnjy.com )) + 0 -
( http: / / www.21cnjy.com ) ↗ ( http: / / www.21cnjy.com ) ↘
由表知，当 ( http: / / www.21cnjy.com )时函数 ( http: / / www.21cnjy.com )有最大值，且最大值为 ( http: / / www.21cnjy.com )
所以， ( http: / / www.21cnjy.com ) …………10分　　21*cnjy*com
（Ⅲ）由（Ⅱ）知 ( http: / / www.21cnjy.com ) ( http: / / www.21cnjy.com ) ( http: / / www.21cnjy.com ) ( http: / / www.21cnjy.com ) ( http: / / www.21cnjy.com )
( http: / / www.21cnjy.com ) ( http: / / www.21cnjy.com )
( http: / / www.21cnjy.com ) ( http: / / www.21cnjy.com )
即 ( http: / / www.21cnjy.com )
7.已知函数
（Ⅰ）当时，求的单调区间；
（Ⅱ）若对任意， 恒成立，求实数的取值范围．
（I）当时，
………………………………………………………………2分
由得 HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" 得
的单调递增区间为，单调递减区间为.………………4分
（II）若对任意， 使得恒成立， 则时，恒成立，
即时，恒成立………………………………6分
设，，则 ，
设， HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" 在上恒成立
HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" 在上单调递增
即在上单调递增………………8分
，
HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" 在有零点
HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" 在上单调递减，在上单调递增……………10分
HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" ，即， HYPERLINK "http://www.21cnjy.com"
8.已知函数 ( http: / / www.21cnjy.com )
(Ⅰ)求函数 ( http: / / www.21cnjy.com )的单调区间;
(Ⅱ)是否存在实数 ( http: / / www.21cnjy.com ),使不等式 ( http: / / www.21cnjy.com )对 ( http: / / www.21cnjy.com )恒成立,若存在,求实数 ( http: / / www.21cnjy.com )的取值范围,若不存在,请说明理由.
【解】(Ⅰ) ( http: / / www.21cnjy.com )……………………1分
①当 ( http: / / www.21cnjy.com )时, ( http: / / www.21cnjy.com ),函数 ( http: / / www.21cnjy.com )在 ( http: / / www.21cnjy.com )内是增函数,
即函数的单调增区间为 ( http: / / www.21cnjy.com )……………………2分
②当 ( http: / / www.21cnjy.com )时,令 ( http: / / www.21cnjy.com )得 ( http: / / www.21cnjy.com ),
且 ( http: / / www.21cnjy.com )时, ( http: / / www.21cnjy.com )又 ( http: / / www.21cnjy.com )时, ( http: / / www.21cnjy.com )…………4分
所以函数 ( http: / / www.21cnjy.com )递增区间为 ( http: / / www.21cnjy.com ),递减区间为 ( http: / / www.21cnjy.com ).……………5分
(Ⅱ)假设存在这样的实数 ( http: / / www.21cnjy.com ),使不等式 ( http: / / www.21cnjy.com )对 ( http: / / www.21cnjy.com )恒成立
即 ( http: / / www.21cnjy.com )恒成立.令 ( http: / / www.21cnjy.com ),
则 ( http: / / www.21cnjy.com ),且 ( http: / / www.21cnjy.com )恒成立…………………………6分
( http: / / www.21cnjy.com )……………………………7分
①当 ( http: / / www.21cnjy.com )时, ( http: / / www.21cnjy.com ),则函数 ( http: / / www.21cnjy.com )在 ( http: / / www.21cnjy.com )上单调递减,于是 ( http: / / www.21cnjy.com )
与 ( http: / / www.21cnjy.com )矛盾,故舍去. ……………………8分
②当 ( http: / / www.21cnjy.com )时, ( http: / / www.21cnjy.com )
而当 ( http: / / www.21cnjy.com )时,由函数 ( http: / / www.21cnjy.com )和 ( http: / / www.21cnjy.com )都单调递减.
且由图象可知, ( http: / / www.21cnjy.com )趋向正无穷大时, ( http: / / www.21cnjy.com )趋向于负无穷大.
这与 ( http: / / www.21cnjy.com )恒成立矛盾,故舍去. …………10分
(注:若考生给出抛物线 ( http: / / www.21cnjy.com )草图以说明,
如右,同样也按该步骤应得分给分)
③当 ( http: / / www.21cnjy.com )时, ( http: / / www.21cnjy.com )等价于 ( http: / / www.21cnjy.com )( ( http: / / www.21cnjy.com ))
记其两根为 ( http: / / www.21cnjy.com )(这是因为 ( http: / / www.21cnjy.com ))
易知 ( http: / / www.21cnjy.com )时, ( http: / / www.21cnjy.com ),而 ( http: / / www.21cnjy.com )时, ( http: / / www.21cnjy.com ),
(i)若 ( http: / / www.21cnjy.com )时,则函数 ( http: / / www.21cnjy.com )在 ( http: / / www.21cnjy.com )上递减,于是 ( http: / / www.21cnjy.com )矛盾,舍去; ………11分
(ii)若 ( http: / / www.21cnjy.com )时,则函数 ( http: / / www.21cnjy.com )在 ( http: / / www.21cnjy.com )上递增,于是 ( http: / / www.21cnjy.com )恒成立.
所以 ( http: / / www.21cnjy.com ),即 ( http: / / www.21cnjy.com ),解得 ( http: / / www.21cnjy.com )………………12分
综上①②③可知,存在这样的实数 ( http: / / www.21cnjy.com ),使不等式 ( http: / / www.21cnjy.com )对 ( http: / / www.21cnjy.com )恒成立…………13分
9设函数
(Ⅰ) 当时，求函数的极值；
（Ⅱ）当时，讨论函数的单调性.
（Ⅲ）若对任意及任意，恒有 成立，求实数的取值范围.
解：(Ⅰ)函数的定义域为.
当时，令得.
当时，当时，
无极大值. HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" 4分
（Ⅱ）
HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" 5分
当，即时， 在上是减函数；
当，即时，令得或
令得
当，即时，令得或
令得 HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" 7分
综上，当时，在定义域上是减函数；
当时，在和单调递减，在上单调递增；
当时，在和单调递减，在上单调递8分
（Ⅲ）由（Ⅱ）知，当时，在上单调递减，
当时，有最大值，当时，有最小值.
HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" 10分
而经整理得 由得，所以
10. 设函数
(Ⅰ) 当时，求函数的极值；
（Ⅱ）当时，讨论函数的单调性.
（Ⅲ）若对任意及任意，恒有 成立，求实数的取值范围.
解：(Ⅰ)函数的定义域为.
当时，令得.
当时，当时，
无极大值. HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" 4分
（Ⅱ）
HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" 5分
当，即时， 在上是减函数；
当，即时，令得或
令得
当，即时，令得或
令得 HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" 7分
综上，当时，在定义域上是减函数；
当时，在和单调递减，在上单调递增；
当时，在和单调递减，在上单调递8分
（Ⅲ）由（Ⅱ）知，当时，在上单调递减，
当时，有最大值，当时，有最小值.
HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" 10分
而经整理得 由得，所以解(Ⅰ) 可知的定义域为 ( http: / / www.21cnjy.com )．有
————2分
因为 ( http: / / www.21cnjy.com )，所以．
故当 ( http: / / www.21cnjy.com )时；当 ( http: / / www.21cnjy.com )或时 ( http: / / www.21cnjy.com )．
综上，函数在区间 ( http: / / www.21cnjy.com )上单调递减，在区间和 ( http: / / www.21cnjy.com )上单调增加.www.21-cn-jy.com21·cn·jy·com
——————6分2·1·c·n·j·y
（II）由，知 ( http: / / www.21cnjy.com )，所以．
可得 ( http: / / www.21cnjy.com )．　　　　　　——————８分
所以 ．
因为 ( http: / / www.21cnjy.com )　　　　　——————11分
所以
( http: / / www.21cnjy.com )
综上，不等式得证． ——————14分
11.已知函数．
（Ⅰ）若函数在，处取得极值，求，的值；
（Ⅱ）若，函数在上是单调函数，求的取值范围．
21解：（Ⅰ），
由 ，可得 ．
（Ⅱ）函数的定义域是，
因为，所以．
所以
要使在上是单调函数，只要或在上恒成立．
……………………10分
当时，恒成立，所以在上是单调函数；
当时，令，得，，
此时在上不是单调函数；
当时，要使在上是单调函数，只要，即
综上所述，的取值范围是．
12.设．
（1）若函数在区间内单调递减，求的取值范围；
（2）若函数处取得极小值是，求的值，并说明在区间内函数的单调性．
解：
（1）∵函数在区间内单调递减，
∵，∴．…………5分
（2）∵函数在处有极值是，∴．
即．
∴，所以或．…………9分
当时，在上单调递增，在上单调递减，所以为极大值，这与函数在处取得极小值是矛盾，所以．【出处：21教育名师】21世纪教育网版权所有
当时，在上单调递减，在上单调递增，即为极小值，
所以时，此时，在区间内函数的单调性是：
在内减，在内增．
13.已知函数．
（1）当时，如果函数仅有一个零点，求实数的取值范围；
（2）当时，试比较与的大小；
（3）求证：（）．
解：（1）当时，，定义域是，
， 令，得或．
当或时，，当时，，
函数在．上单调递增，在上单调递减． 的极大值是，极小值是．www.21-cn-jy.com
当时，； 当时，，
当仅有一个零点时，的取值范围是或．
（2）当时，，定义域为．
令，，
在上是增函数．
①当时，，即；
②当时，，即；
③当时，，即．
（3）（法一）根据（2）的结论，当时，，即．
令，则有， ．
，．
14.已知三次函数 ( http: / / www.21cnjy.com )的导函数 ( http: / / www.21cnjy.com )， ( http: / / www.21cnjy.com )， ( http: / / www.21cnjy.com )． ( http: / / www.21cnjy.com )为实数。m]
（Ⅰ）若曲线 ( http: / / www.21cnjy.com ) ( http: / / www.21cnjy.com )在点（ ( http: / / www.21cnjy.com )， ( http: / / www.21cnjy.com )）处切线的斜率为12，求 ( http: / / www.21cnjy.com )的值；
（Ⅱ）若 ( http: / / www.21cnjy.com )在区间［-1，1］上的最小值．最大值分别为-2．1，且 ( http: / / www.21cnjy.com )，求函数 ( http: / / www.21cnjy.com )的解析式。
解析：（Ⅰ）由导数的几何意义 ( http: / / www.21cnjy.com )=12 ……………1分
∴ ( http: / / www.21cnjy.com ) ……………2分
∴ ( http: / / www.21cnjy.com ) ∴ ( http: / / www.21cnjy.com ) ………………………3分
（Ⅱ）∵ ( http: / / www.21cnjy.com )， ( http: / / www.21cnjy.com ) ∴ ( http: / / www.21cnjy.com ) ……5分
由 ( http: / / www.21cnjy.com ) 得 ( http: / / www.21cnjy.com )， ( http: / / www.21cnjy.com )
∵ ( http: / / www.21cnjy.com )［-1，1］， ( http: / / www.21cnjy.com )
∴ 当 ( http: / / www.21cnjy.com )［-1，0）时， ( http: / / www.21cnjy.com )， ( http: / / www.21cnjy.com )递增；
当 ( http: / / www.21cnjy.com )（0，1］时， ( http: / / www.21cnjy.com )， ( http: / / www.21cnjy.com )递减。……………8分
∴ ( http: / / www.21cnjy.com )在区间［-1，1］上的最大值为 ( http: / / www.21cnjy.com )
∵ ( http: / / www.21cnjy.com )，∴ ( http: / / www.21cnjy.com )=1 ……………………10分
∵ ( http: / / www.21cnjy.com )， ( http: / / www.21cnjy.com )
∴ ( http: / / www.21cnjy.com ) ∴ ( http: / / www.21cnjy.com )是函数 ( http: / / www.21cnjy.com )的最小值，
∴ ( http: / / www.21cnjy.com ) ∴ ( http: / / www.21cnjy.com )
∴ ( http: / / www.21cnjy.com )= ( http: / / www.21cnjy.com ) ………………12分
15.已知函数f(x)=x－ax + (a－1)，．
(Ⅰ) 若，讨论函数的单调性；
（II）已知a =1，，若数列{an}的前n项和为，证明：
．
解(Ⅰ) 可知的定义域为．有
————2分
因为，所以．
故当时；当或时．
综上，函数在区间上单调递减，在区间和上单调增加.
——————6分21世纪教育网版权所有
（II）由，知，所以．
可得 ．　　　　　　——————８分
所以 ．
因为 　　　　　——————11分
所以
综上，不等式得证． ——————14分
16.已知在与处都取得极值。
（I）求，的值；
（Ⅱ）若对时，恒成立，求实数的取值范围。
解：（1）
在与处都取得极值
，。，即--------------7分
（2）由（1）可知，
令得或
，在上单调递减，在上单调递增。--------------10分
而 ，
所以，即在上的最大值为。--------------15分
要使对任意时，恒成立，必须。
17.已知函数f (x)＝x3＋ax2＋bx， a , bR．
(Ⅰ) 曲线C：y＝f (x) 经过点P (1，2)，且曲线C在点P处的切线平行于直线y＝2x＋1，求a，b的值；21教育网　　21*cnjy*com
(Ⅱ) 已知f (x)在区间 (1，2) 内存在两个极值点，求证：0＜a＋b＜2．
(Ⅰ)解:
＝，
由题设知： 解得 …………6分
(Ⅱ)解：因为在区间内存在两个极值点 ，
所以，即在内有两个不等的实根．
故
由 (1)+(3)得.
由（4）得，
因，故，从而.
所以．
18.已知函数f(x)=x-ax+(a-1)，。
（1）讨论函数的单调性；
（2）证明：若，则对任意x，x HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" ，x HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" x，有。
解：(1)的定义域为。
2分
（i）若即,则[]
故在单调增加。
(ii)若,而,故,则当时，;[][]
当及时，
故在单调减少，在单调增加。
(iii)若,即,同理可得在单调减少，在单调增加.
(II)考虑函数
[]
则
由于119．已知 ( http: / / www.21cnjy.com )，其中 ( http: / / www.21cnjy.com )是自然常数， ( http: / / www.21cnjy.com )
（Ⅰ）当 ( http: / / www.21cnjy.com )时, 研究 ( http: / / www.21cnjy.com )的单调性与极值；w.w.w.k.s.5.u.c.o.m
（Ⅱ）在（Ⅰ）的条件下，求证： ( http: / / www.21cnjy.com )；
（Ⅲ）是否存在实数 ( http: / / www.21cnjy.com )，使 ( http: / / www.21cnjy.com )的最小值是3？若存在，求出 ( http: / / www.21cnjy.com )的值；若不存在，说明理由．
解：（Ⅰ） ( http: / / www.21cnjy.com ) ( http: / / www.21cnjy.com )， ( http: / / www.21cnjy.com ) ……1分
∴当 ( http: / / www.21cnjy.com )时， ( http: / / www.21cnjy.com )，此时 ( http: / / www.21cnjy.com )单调递减
当 ( http: / / www.21cnjy.com )时， ( http: / / www.21cnjy.com )，此时 ( http: / / www.21cnjy.com )单调递增 …………3分
∴ ( http: / / www.21cnjy.com )的极小值为 ( http: / / www.21cnjy.com ) ……4分
（Ⅱ） ( http: / / www.21cnjy.com ) ( http: / / www.21cnjy.com )的极小值为1，即 ( http: / / www.21cnjy.com )在 ( http: / / www.21cnjy.com )上的最小值为1，
∴ ( http: / / www.21cnjy.com )， ( http: / / www.21cnjy.com )……5分
令 ( http: / / www.21cnjy.com )，， …………6分w.w.w.k.s.5.u.c.o.m
当 ( http: / / www.21cnjy.com )时， ( http: / / www.21cnjy.com )， ( http: / / www.21cnjy.com )在 ( http: / / www.21cnjy.com )上单调递增 ………7分
∴ ( http: / / www.21cnjy.com ) ………9分
∴在（1）的条件下， ( http: / / www.21cnjy.com )……………………………10分
（Ⅲ）假设存在实数 ( http: / / www.21cnjy.com )，使 ( http: / / www.21cnjy.com )（ ( http: / / www.21cnjy.com )）有最小值3，
( http: / / www.21cnjy.com ) ( http: / / www.21cnjy.com )
① 当 ( http: / / www.21cnjy.com )时，，所以， 所以 ( http: / / www.21cnjy.com )在 ( http: / / www.21cnjy.com )上单调递减，
( http: / / www.21cnjy.com )， ( http: / / www.21cnjy.com )（舍去），
所以，此时 ( http: / / www.21cnjy.com )无最小值. ……12分
②当 ( http: / / www.21cnjy.com )时， ( http: / / www.21cnjy.com )在 ( http: / / www.21cnjy.com )上单调递减，在 ( http: / / www.21cnjy.com )上单调递增
( http: / / www.21cnjy.com )， ( http: / / www.21cnjy.com )，满足条件. ……14分
③ 当 ( http: / / www.21cnjy.com )时，，所以，
所以 ( http: / / www.21cnjy.com )在 ( http: / / www.21cnjy.com )上单调递减， ( http: / / www.21cnjy.com )， ( http: / / www.21cnjy.com )（舍去），
所以，此时 ( http: / / www.21cnjy.com )无最小值. ……15分
综上，存在实数 ( http: / / www.21cnjy.com )，使得当 ( http: / / www.21cnjy.com )时 ( http: / / www.21cnjy.com )有最小值3 .……16分
22．（本小题满分14分）
设函数，已知 ，且（a∈R，且a≠0），函数（b∈R，c为正整数）有两个不同的极值点，且该函数图象上取得极值的两点A、B与坐标原点O在同一直线上。21教育网
（1）试求a、b的值；
（2）若时，函数的图象恒在函数图象的下方，求正整数的值。
解析：（1），∴ ①
又，∴，即 ②
由①②得，．又时，①、②不成立，故．------2分
∴，设x1、x2是函数的两个极值点，则x1、x2是方程=0的两个根，，
∴x1+x2=，又∵ A、O、B三点共线， =，
∴=0，又∵x1≠x2，∴b= x1+x2=，∴b=0．----------------6分
（2）时，， -----------------------7分
由得，可知在上单调递增，在
上单调递减， ． ---------------------9分
①由得 HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" 的值为1或2．（∵为正整数） -----------------11分
②时，记在上切线斜率为2的切点的横坐标为，
则由得，依题意得，
得与矛盾．
（或构造函数在上恒正）
综上，所求的值为1或2．
22.已知函数f(x)＝x2＋bsinx－2(b∈R)，F(x)＝f(x)＋2，且对于任意实数x，恒有F(x)－F(－x)＝0.
(1)求函数f(x)的解析式；
(2)已知函数g(x)＝f(x)＋2(x＋1)＋alnx在区间(0,1)上单调递减，求实数a的取值范围．
解：(1)F(x)＝f(x)＋2＝x2＋bsinx－2＋2＝x2＋bsinx，
依题意，对任意实数x，恒有F(x)－F(－x)＝0.
即x2＋bsinx－(－x)2－bsin(－x)＝0，
即2bsinx＝0，
所以b＝0，
所以f(x)＝x2－2.
(2)∵g(x)＝x2－2＋2(x＋1)＋alnx，
∴g(x)＝x2＋2x＋alnx，
g′(x)＝2x＋2＋.
∵函数g(x)在(0,1)上单调递减， ∴在区间(0,1)内，
g′(x)＝2x＋2＋＝≤0恒成立，
∴a≤－(2x2＋2x)在(0,1)上恒成立 .
∵－(2x2＋2x)在(0,1)上单调递减， ∴a≤－4为所求.
23.已知在与处都取得极值。
（I）求，的值；
（Ⅱ）若对时，恒成立，求实数的取值范围。
解：（1）
在与处都取得极值
，。，即--------------7分
（2）由（1）可知，
令得或
，在上单调递减，在上单调递增。--------------10分
而 ，
所以，即在上的最大值为。--------------15分
要使对任意时，恒成立，必须。
24.设函数 HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" ，且为的极值点．
(Ⅰ) 若为的极大值点，求的单调区间（用表示）；
(Ⅱ)若恰有两解，求实数的取值范围．
解： ，又
所以且， …………4分
（I）因为为的极大值点，所以
当时，；当时，；当时，
所以的递增区间为，；递减区间为．…………7分
（II）①若，则在上递减，在上递增
恰有两解，则，即，所以；
②若，则，
因为，则
，从而只有一解；③若，则,, 则只有一解.综上，使恰有两解的的范围为．…………15分21cnjy.com【来源：21·世纪·教育·网】
25.已知抛物线的焦点为，抛物线上一点的横坐标为 HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" ，过点作抛物线的切线交轴于点，交轴于点，交直线于点，当时，．
（Ⅰ）求证：为等腰三角形，并求抛物线的方程；
（Ⅱ）若位于轴左侧的抛物线上，过点作抛物线的切线交直线于点，交直线于点，求面积的最小值，并求取到最小值时的值．www-2-1-cnjy-com21·世纪*教育网
解：(1)设，则切线的方程为，
所以，，，所以，[]
所以为等腰三角形 …………3分
且为中点，所以，，，得，抛物线方程为 …………7分
（II）设，则处的切线方程为
由， ( http: / / www. )
同理，
所以面积……①
设的方程为，则
由，得代入①得：
，使面积最小，则
得到…………② 令，
②得，，
所以当时单调递减；当 HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" 单调递增，
所以当时，取到最小值为，此时，，
所以，即 …………15分
26.已知函数 ( http: / / www.21cnjy.com )（x）= ( http: / / www.21cnjy.com ),a是正常数。（1）若f(x)= ( http: / / www.21cnjy.com )（x）+lnx,且a= ( http: / / www.21cnjy.com ),求函数f(x)的单调递增区间；（2）若g(x)=∣lnx∣+ ( http: / / www.21cnjy.com )（x）,且对任意的x ( http: / / www.21cnjy.com ),x ( http: / / www.21cnjy.com )∈（0,2〕，且x ( http: / / www.21cnjy.com )≠x ( http: / / www.21cnjy.com )，都有 ( http: / / www.21cnjy.com )＜-1，求a的取值范围2-1-c-n-j-ywww-2-1-cnjy-com
⑴ ( http: / / www.21cnjy.com )= ( http: / / www.21cnjy.com )- ( http: / / www.21cnjy.com )﹥1 ( http: / / www.21cnjy.com ) ( http: / / www.21cnjy.com )= ( http: / / www.21cnjy.com )﹥0 ( http: / / www.21cnjy.com )x﹥2或0﹤x﹤ ( http: / / www.21cnjy.com )，
所以函数 ( http: / / www.21cnjy.com )的单调增区间为（0， ( http: / / www.21cnjy.com )）和（2，+∞）……………………………3分
⑵因为 ( http: / / www.21cnjy.com )﹤-1，所以 ( http: / / www.21cnjy.com )﹤0，
所以F ( http: / / www.21cnjy.com )= ( http: / / www.21cnjy.com )在区间（0,2】上是减函数。
1 当1≦x≦2时，F ( http: / / www.21cnjy.com )=ln ( http: / / www.21cnjy.com )+ ( http: / / www.21cnjy.com ) ( http: / / www.21cnjy.com )，
由 ( http: / / www.21cnjy.com )在x∈ ( http: / / www.21cnjy.com )上恒成立。
设 ( http: / / www.21cnjy.com )，所以 ( http: / / www.21cnjy.com )﹥0（1≦x≦2），
所以 ( http: / / www.21cnjy.com )在[1,2]上为增函数，所以 ( http: / / www.21cnjy.com )
②当0﹤x﹤1时，F ( http: / / www.21cnjy.com )=-ln ( http: / / www.21cnjy.com )+ ( http: / / www.21cnjy.com ) ( http: / / www.21cnjy.com )，
由 ( http: / / www.21cnjy.com )- ( http: / / www.21cnjy.com )= ( http: / / www.21cnjy.com )在x∈（0,1）上恒成立。
令 ( http: / / www.21cnjy.com )= ( http: / / www.21cnjy.com ) ( http: / / www.21cnjy.com )﹥0，所以 ( http: / / www.21cnjy.com )在（0,1）上为增函数，所以 ( http: / / www.21cnjy.com )，综上： ( http: / / www.21cnjy.com )的取值范围为 ( http: / / www.21cnjy.com )≧ ( http: / / www.21cnjy.com )
27.已知函数
（1）求的单调区间；
（2）设，若在上不单调且仅在处取得最大值，求的取值范围．
解：（1）---------2分
若，则，所以此时只有递增区间（---------4分
若，当
所以此时递增区间为：（，递减区间为：（0，-------------6分
（2），设 HYPERLINK "http://www.21cnjy.com"
若在上不单调，则，
HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" -------------10分
同时仅在处取得最大值，即可
得出：----------14分 HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" 的范围：
27. 已知函数是常数，且当和时，函数取得极值
（Ⅰ）求函数的解析式；
（Ⅱ）若曲线与有两个不同的交点，求实数的取值范围
（文）解：（Ⅰ）， ………………………………………………2分
依题意，即解得
∴ ……………………………………………4分
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，曲线与有两个不同的
交点，即在上有两个不同的实数解…5分
设 HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" ，则， ………7分
由0的或
当时，于是在上递增；
当时，于是在上递减. ………………9分
依题意有. …………………11分
∴实数的取值范围是.
28. 已知抛物线的顶点是椭圆的中心，焦点与该椭圆的右焦点重合.
(1)求抛物线的方程;
(2)已知动直线过点,交抛物线于、两点.
若直线的斜率为1,求的长;
是否存在垂直于轴的直线被以为直径的圆所截得的弦长恒为定值？如果存在，求出的方程；如果不存在，说明理由.21·世纪*教育网【出处：21教育名师】
解：（1）
在与处都取得极值
，。，即--------------7分
（2）由（1）可知，
令得或
，在上单调递减，在上单调递增。--------------10分
而 ，
所以，即在上的最大值为。--------------15分
要使对任意时，恒成立，必须。
29.已知函数处取得极值2。
（1）求函数的表达式；
（2）当满足什么条件时，函数在区间上单调递增？
（3）若为图象上任意一点，直线与的图象切于点P，求直线的斜率的取值范围。
解：
（1）因为 ····················2分
而函数在处取得极值2，
所以， 即 解得
所以即为所求 ····················4分【版权所有：21教育】21*cnjy*com
（2）由（1）知
令得：
则的增减性如下表：
（-∞，-1） （-1，1） （1，+∞）
负 正 负
可知，的单调增区间是[-1，1]，
所以
所以当时，函数在区间上单调递增。 ·········9分
（3）由条件知，过的图象上一点P的切线的斜率为：
令，则，
此时，的图象性质知：
当时，；
当时，
所以，直线的斜率的取值范围是
30.已知动圆G过点F(，0)，且与直 ( http: / / www.21cnjy.com" \o "欢迎登陆21世纪教育网 )线l：x＝－相切，动圆圆心G的轨迹为曲线E.曲线E上的两个动点A(x1，y1)和B(x2，y2).
(1)求曲线E的方程；
(2)已知·＝－9(O为坐标原点)，探究直线AB是否恒过定点，若过定点，求出定点坐标；若不过，请说明理由.
(3)已知线段AB的垂直平分线交x轴于点C，其中x1≠x2且x1＋x2＝4.求△ABC面积的最大值.
解：(1)依题意，圆心G到定点F(，0)的距离与到直线l：x＝－的距离相等，∴曲线E是以F(，0)为焦点，直线l：x＝－为准线的抛物线.
∴曲线E的方程为y2＝6x.(3分)
(2)当直线AB不垂直x轴时，设直线AB方程为y＝kx＋b　(k≠0).
由 ( http: / / www.21cnjy.com )消去x得ky2－6y＋6b＝0，Δ＝36－24kb>0.
y1y2＝，x1x2＝·＝＝.
·＝x1x2＋y1y2＝＋＝－9，
∴b2＋6kb＋9k2＝0，(b＋3k)2＝0，b＝－3k，满足Δ>0.
∴直线AB方程为y＝kx－3k，即y＝k(x－3)，
∴直线AB恒过定点(3,0).(7分)
当直线AB垂直x轴时，可推得直线AB方程为x＝3，也过点(3,0).
综上，直线AB恒过定点(3,0).(8分)
(3)设线段AB的中点为M(x0，y0)，则
x0＝＝2，y0＝，kAB＝＝＝＝.
∴线段AB的垂直平分线的方程为y－y0＝－(x－2).
令y＝0，得x＝5，故C(5,0)为定点.
又直线AB的方程为y－y0＝(x－2)，与y2＝6x联立，消去x得y2－2y0y＋2y－12＝0.
由韦达定理得y1＋y2＝2y0，y1y2＝2y－12.
∴|AB|＝·|y1－y2|＝
＝＝.
又点C到直线AB的距离为h＝|CM|＝，
∴S△ABC＝|AB|·h＝
令t＝9＋y(t>9)，则12－y＝21－t.
设f(t)＝(9＋y)2(12－y)＝t2(21－t)＝－t3＋21t2，
则f′(t)＝－3t2＋42t＝－3t(t－14).
当90；当t>14时，f′(t)<0.∴f(t)在(9,14)上单调递增，在(14，＋∞)上单调递减.
∴当t＝14时，[f(t)]max＝142×7.故△ABC面积的最大值为.(13分)
注：第(3)问也可由AB直线方程y＝kx＋b及x1＋x2＝4，推出b＝－2k，然后转化为求关于k的函数的最值问题.
31.
已知函数(a为实常数).
(1)若，求证：函数在(1，+．∞)上是增函数；
(2)求函数在[1，e]上的最小值及相应的值；
(3)若存在，使得成立，求实数a的取值范围.
（1）当时，，当，，
故函数在上是增函数．…………………………………………………4分
（2），当，．
若，在上非负（仅当，x=1时，），故函数在上是增函数，此时 HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" ．　………………………………………………6分
若，当时，；当时，，此时
是减函数； 当时，，此时是增函数．故 HYPERLINK "http://www.21cnjy.com"
．
若，在上非正（仅当，x=e时，），故函数在上是减函数，此时 HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" ．……………………………………8分
综上可知，当时，的最小值为1，相应的x值为1；当时，
的最小值为，相应的x值为；当时，的最小值为，
相应的x值为．……………………………………………………………………10分
（3）不等式， 可化为．
∵, ∴且等号不能同时取，所以，即，
因而（）………………………………………………12分
令（），又，…………………14分
当时，，，
从而（仅当x=1时取等号），所以在上为增函数，
故的最小值为，所以a的取值范围是． ………………………16分
32.设，其中 ( http: / / www.21cnjy.com )为正实数.
(1)当时，求 ( http: / / www.21cnjy.com )的极值点；
(2)若为上的单调函数，求的取值范围.
19解：(Ⅰ)当时，
∴
令得
0 0
∴的极大值点是；极小值点是
(Ⅱ)
∵为上的单调函数，且为正实数
∴即
（1）a=1 b=0 3分
（2）∵恒成立 ∴恒成立
∴当，∴的最小值为
∴ 8分
（3），
令=0，得
当 时， ，为在区间（0,2）上的极大值点
当时，，为在区间（0,2）上的极值点
当时，在区间（0,2）上无极值点
当时，，为在区间（0,2）上的极值点
当时，，为在区间（0,2）上的极大值点
当时，，为在区间（0,2）上的极大值点
由以上可知：当或时，在区间（0,2）上有两个极值点
当或时，在区间（0,2）上有一个极值点；
当时，在区间（0,2）上无极值点
y=lnx(x>1)
y=ax2-ax(a<0)
x
O
y
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