第六章 平面向量及其应用-高一年级数学人教版（2019）必修二单元练习（含解析）

平面向量及其应用
1. 已知向量，，则向量与夹角的大小为( )
A. B. C. D.
2. 已知向量，，若与共线，则m的值为( )
A. B. 2 C. D.
3. 在中，，，，AD为BC边上的高，O为AD上靠近点A的三等分点，且，其中，，则( )
A. B. C. D.
4. 已知的三个内角A、B、C所对边分别为a、b、c，则“”是“为直角三角形”的( )
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
5. 如图，已知正六边形，下列向量的数量积中最大的是( )
A. B. C. D.
6. 为测量两塔塔尖之间的距离，某数学建模活动小组构建了如图所示的几何模型．若平面ABC，平面ABC，，，，，，则塔尖MN之间的距离为( )
A. B. C. 150m D.
7. 已知平面向量，，，，若对任意的正实数，的最小值为，则此时( )
A. 1 B. 2 C. D.
8. 中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知，，则的最大值为( )
A. B. C. D.
9. 已知是边长为2的等边三角形，若向量，满足，，则( )
A. B. C. D.
10. 已知向量，，，，则下列说法正确的是( )
A. 若，则有最小值
B. 若，则有最小值
C. 若，则的值为
D. 若，则的值为1
11. 对于，有如下判断，其中正确的判断是( )
A. 在非等腰中，满足，则为钝角三角形；
B. 若，，，则符合条件的有两个；
C. 若，则为锐角三角形；
D. 若的面积，，则的最大值为
12. 重庆荣昌折扇是中国四大名扇之一，始于1551年明代嘉靖年间，明末已成为贡品人朝，产品以其精湛的工业制作而闻名于海内外．经历代艺人刻苦钻研、精工创制，荣昌折扇逐步发展成为具有独特风格的中国传统工艺品，其精雅宜士人，其华灿宜艳女，深受各阶层人民喜爱．古人曾有诗赞曰：“开合清风纸半张，随机舒卷岂寻常；金环并束龙腰细，玉栅齐编凤翅长，偏称游人携袖里，不劳侍女执花傍；宫罗旧赐休相妒，还汝团圆共夜凉”图1为荣昌折扇，其平面图为图2的扇形COD，其中，，动点P在上含端点，连结OP交扇形OAB的弧于点Q，且，则下列说法正确的是( )
A. 若，则 B. 若，则
C. D.
13. 已知向量，为单位向量，若与的夹角为，则__________.
14. 如图，在中，，P是BN上的一点，若，则实数m的值为__________.
15. 在中，内角的对边分别为，，且，则外接圆的面积为__________.
16. 在边长为1的等边三角形ABC中，D为线段BC上的动点，且交AB于点E，且交AC于点F，则的值为__________；的最小值为__________ .
17. 已知向量与的夹角，且，
求，
求与的夹角的余弦值.
18. 在锐角中，内角A、B、C所对的边分别为a，b，c，，，向量，的夹角为
求角
若，求周长的取值范围.
19. 如图，在边长为4的正中，E为AB的中点，D为BC中点，，令，，
试用、表示向量；
延长线段EF交AC于P，求的值.
20. 如图，在海岸边A点的观测站发现南偏西方向上，距离A点20海里的C处有一艘走私船，立刻通知了停在A的正东方向上，且距离A点海里的B处的缉私艇，缉私艇立刻奉命以海里/时的速度追截走私船，此时，走私船正以10海里/时的速度从C处沿南偏东方向逃窜．
刚发现走私船时，走私船距离缉私艇多远，在缉私艇的什么方向？
缉私艇至少需要多长时间追上走私船？
21. 在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且
求A的值;
若，，当的周长最小时，求b的值;
若，，且的面积为，求CD的长度.
22. 如图，A，B是单位圆上的相异两定点为圆心，且为锐角点C为单位圆上的动点，线段AC交线段OB于点
求结果用表示；
若
①求的取值范围；
②设，记，求函数的值域．
答案和解析
1.D
【解析】
【分析】
本题考查利用向量数量积的坐标运算求向量的夹角，属于基础题.
利用向量数量积的坐标运算即可求解.
【解答】
解：因为，，
所以，
又因为 ，
所以
故选：

2.D
【解析】
【分析】
本题考查平面向量共线的概念及充要条件，平面向量坐标的运算，属于基础题．由向量的数乘及坐标加减法运算求得与的坐标，代入向量共线的坐标表示即可求解m的值．
【解答】解：，，
则，
，
又与平行，
，
解得：
故选
3.C
【解析】
【分析】
本题考查平面向量的基本定理和线性运算，属于基础题.
利用平面向量的线性运算求得，求出，，即可得解.
【解答】
解：在中，，所以，
所以
所以，
故选

4.A
【解析】
【分析】
本题考查了正弦定理、诱导公式、两角和的正弦公式的简单运用，充分条件、必要条件的判断，属于中档题．
由已知结合正弦定理可得，利用三角形的内角和及和角的正弦公式化简可得A为直角，结合充分条件及必要条件进行判断即可．
【解答】
解：因为，
由正弦定理可得，即，
所以，
所以，
因为，所以，，
则，为直角三角形，
但为直角三角形时不一定是，
所以是为直角三角形的充分不必要条件.
故选：

5.A
【解析】
【分析】
本题主要考查平面向量的数量积运算.注意向量数量积的定义和运算法则，属于基础题.
设边长，利用正六边形的性质求相应的长度和夹角，再根据向量数量积的定义，从而得到答案.
【解答】
解：已知正六边形，设边长，
则，，
故；
由，，
可得，
由，，，
可得，，
综上所述，数量积中最大的是
故选：

6.B
【解析】
【分析】
本题考查解三角形，数形结合思想，考查学生的计算能力，属于中档题．
通过所给条件依次求出MC，NC，再由余弦定理可求得
【解答】
解：由题得，在中，，则，
在中，，
则在中，由余弦定理可得 ，
则
故选：

7.D
【解析】
【分析】
本题考查了向量的坐标运算，向量的模以及三角恒等变换，计算时需要注意对取值进行讨论，得到取到最小值的条件，然后求解．属于较难题．
对任意的正实数，的最小值为，将表示为含有，，的算式，配方讨论得到，关系后，得到的值，即可求得
【解答】
解：
若，
则当时有最小值，
而，故不成立．
当时有最小值，
，另一解为负，舍去，
故答案选：

8.D
【解析】
【分析】
本题考查了正弦定理、余弦定理的应用，三角形的面积公式，以及利用基本不等式求最值问题，考查化简、变形能力，属于较难题．
由正弦定理和条件得，由余弦定理及基本不等式得到，根据面积公式求出面积的最大值．
【解答】
解：，
，又，
则，，
由余弦定理及，
得，
，
又，得，当且仅当时取等号，
的面积
当时，的面积S有最大值，
故选

9.AC
【解析】
【分析】
本题考查平面向量的线性运算，考查分析与计算能力，属于基础题.
根据向量加法的三角形法则判断A，根据数量积的定义判断B，根据数量积的运算律判断C、D；
【解答】
解：因为，，
对于A：，故A正确；
对于B：，故B错误；
对于C：，则，故C正确：
对于D：，即，故D错误；
故选：

10.AB
【解析】
【分析】
本题考查向量垂直和向量平行的坐标运算，向量的数量积的坐标运算，考查利用基本不等式求解最值问题，属于中档题.
根据向量的坐标运算，求得，结合向量平行和垂直的坐标运算以及基本不等式，对每个选项进行逐一分析，即可判断和选择.
【解答】
解：，，
对A：若，，则，
当且仅当，即，时取得等号，故选项A正确；
对B：若，，则，
当且仅当，时取得等号，故选项B正确；
对C：若，则，即，，，当且仅当时取得等号，
则，故选项C错误；
对D：，则，又因为，
所以这样的a，b不存在，故选项D错误.
故选

11.ABD
【解析】
【分析】
本题重点考查解三角形和三角恒等变换，涉及三角函数的性质，属于中档题.
利用正弦函数的性质可判断A，由正弦定理可判断B，由特殊值法可判断C，利用正、余弦定理，结合正切函数的性质可判断
【解答】
解：对于A、由题意，因为，
则或，
则舍或，
则，则为钝角三角形，故A正确;
对于B、由题意得，
又，则符合条件的有两个，故B正确;
对于C、取，，
则，但此时为直角三角形，故C错误；
对于D、因为，
则，
故，
又A为的内角，则，
则，故D正确.
故选：

12.ABD
【解析】
【分析】
本题考查了三角函数与向量的综合．
建立平面直角坐标系，表示出相关点的坐标，设，可得，由，结合题中条件可判断A，B；表示出相关向量的坐标，利用数量积的运算律，结合三角函数的性质，可判断C，
【解答】
解：如图，作，分别以OC，OE为x，y轴建立平面直角坐标系，
则，
设，则，
由可得，且，，
若，则，
解得，负值舍去，故，A正确；
若，则，故B正确；
由于，故，故，故C错误；
由于，
故，
而，
故，故D正确，
故选

13.1
【解析】
【分析】
本题考查单位向量的基本概念以及两个向量减法运算后模的求法，属于基础题．
算出两个向量减法运算后模的平方的值，就能算出结果．
【解答】
解：由题意可知，
故答案为：

14.
【解析】
【分析】
本题主要考查平面向量的线性运算、共线定理，平面向量基本定理的运用，属于中档题.
解法1：先根据得到，从而可得，再根据三点共线定理，即可得到m的值.
解法2：根据图形和向量的转化用去表示，根据图形可得：，设，通过向量线性运算可得：，从而根据平面向量基本定理列方程组，解方程组得m的值.
【解答】
解法1：因为，所以，
又，
所以
因为点三点共线，
所以，
解得：
解法2：
因为，设，
所以，
因为，所以，
又，
所以，
所以，
又，
所以 解得： ，
所以
故答案为

15.
【解析】
【分析】
本题考查了正弦定理和二倍角公式及其应用 ，属于中档题.
由正弦定理及二倍角公式可求得角A的余弦值，进而求得角A的正弦值以及外接圆半径，故可得解.
【解答】
解：在中，由正弦定理得，则，
，，
，
因为，
，
设外接圆的半径为R，
由正弦定理得，，
故外接圆的面积为
故答案为

16.1

【解析】
【分析】
本题考查向量的数量积的定义，向量的运算法则，二次函数求最值，属于中档题．
设，表示出，，，利用数量积的定义与性质，分别表示出与即可求出．
【解答】
解：如图，设，
是边长为1等边三角形，，
，，，，
，
是边长为等边三角形，，
，
则，
，，
的最小值为
故答案为：1，

17.解：由已知，得
设与的夹角为
则，
与的夹角的余弦值为
【解析】本题考查向量的数量积，向量的模和向量的夹角，考查了计算能力，属于基础题.
根据向量的数量积进行求解即可；再利用向量的模的公式，根据，代入求解即可；
设与的夹角为，然后根据，将数值代入即可得到答案．
18.解：由，，有
由，可得，有；
由和正弦定理可知，
可得，
又由为锐角三角形，可得
由，有，可得，有
故周长的取值范围为

【解析】本题考查解三角形的综合运用，属于中档题.
19.解：
；
令，，
，
，
，解得：，
，，

【解析】本题考查了向量的加减与数乘混合运算和向量的数量积，属于中档题.
由向量加法和减法的三角形法则可得结果；
令，，由和，可得x、y的值，再由向量的数量积计算可得.
20.解：由题意可知，，
在中，由余弦定理得
由正弦定理得，解得，所以
故刚发现走私船时，走私船距缉私艇海里，在缉私艇的南偏西方向上.
如图，设t小时后缉私艇在D处追上走私船，则，
在中，由正弦定理得
解得，则，所以是等腰三角形
，即
故缉私艇至少需要小时追上走私船.

【解析】本题考查解三角形的实际应用，属于中档题.
利用余弦定理求BC，利用正弦定理求即可;
利用正弦定理判断出是等腰三角形，即可求出所需的最少时间.
21.解：由及正弦定理，
得，
因为，且，
所以，即，
因为，所以
由余弦定理，得，
将代入，整理，得，
因为，所以的周长为，
当且仅当，即时取等号，
所以当的周长最小时，
由的面积为，得，
所以①，
又，所以，，
由正弦定理，得②，
由①②可得，，
因为，所以，
在中，由余弦定理，得，
所以
【解析】 本题重点考查正弦定理与余弦定理解三角形，基本不等式的应用，简单的三角变换，考查逻辑推理，转化与化归及运算能力，属稍难题.
利用正弦定理，两角和的正弦公式及辅助角公式化简求解即可.
利用余弦定理及基本不等式即可，注意取等号时的条件.
利用正余弦定理及三角形的面积公式等计算即可求解.
22.解：；
当时，
①
设，由条件知，，
，，
；
②设，则，
，
由可得，，
即，整理得，
，
即
而
令，
当时，；
当时，，利用单调性定义可证明函数在和都是递减的，
设，且，则
则，故，所以在上单调递减，
由于是奇函数，则在和单调递减，
因此，或，
函数值域是
【解析】本题考查平面向量的数量积运算，考查了三角函数值域的求法，训练了利用配方法和函数单调性求函数的值域，考查学生的逻辑思维能力和运算能力，属于困难题．
直接利用平面向量的数量积把用表示；
①利用向量的数量积运算结合向量的加减法运算把用表示，化简整理后由得范围求得的取值范围；
②设，则，，由可得，，整理得，然后把转化为含有t的代数式，换元后借助于函数单调性求得函数的值域．
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