第六章 平面向量及其应用-高一年级数学人教版（2019）必修二单元巩固练习（含解析）

平面向量及其应用
1. 平面向量，满足，如果，那么( )
A. B. C. D.
2. 如图，已知，，，用、表示为
A. B.
C. D.
3. 设，是非零向量，则“存在实数，使得”是“”的( )
A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件
C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件
4. 在中，内角A，B，C的对边分别是a，b，c，若，，则( )
A. B. C. D.
5. 在中，D，E分别为BC，AC边上的点，且，若，则( )
A. B. C. D.
6. 设向量，，，其中O为坐标原点，，，若A，B，C三点共线，则的最小值为( )
A. 4 B. 6 C. 8 D. 9
7. 在中，向量与满足，且，则为( )
A. 等边三角形 B. 直角三角形 C. 等腰非等边三角形 D. 等腰直角三角形
8. 梯形ABCD中AB平行于CD，，P为腰AD所在直线上任意一点，则的最小值是( )
A. B. C. 4 D.
9. 已知向量，不共线，则下列各组向量中，能作平面向量的一组基底的有( )
A. B.
C. D.
10. 已知向量，，则( )
A. 若与垂直，则 B. 若，则的值为
C. 若，则 D. 若，则与的夹角为
11. 八卦是中国文化的基本哲学概念，如图1是八卦模型图，其平面图形记为图2中的正八边形ABCDEFGH，其中，则下列结论正确的是( )
A. B.
C. D.
12. 点O为所在平面内一点，且，则下列选项正确的是( )
A.
B. 直线 AO必过 BC边的中点
C.
D. 若，且，则
13. 已知向量，，那么__________.
14. 在四边形ABCD中，已知，，，则四边形ABCD的面积是__________.
15. 如图，在中，，P是BN上的一点，若，则实数m的值为__________.
16. 已知向量则的最大值为__________；若则__________.
17. 已知向量，，且与共线．
求m的值；
若与垂直，求实数的值．
18. 如图，在菱形ABCD中，，
若，求的值；
若，，求
19. 在四边形ABCD中，，，，，
求角A；
求BC的长．
20. 已知平面直角坐标系内三点A，B，C在一条直线上，满足，，，且，其中O为坐标原点．
求实数m， n的值；
设的重心为G，且，求的值．
21. 已知锐角的内角所对的边分别，且若，，且
求角B和边
若点D满足，求的面积．
22. 在平面直角坐标系中，O为坐标原点，A，B，C三点共线，点O不在直线AB上，满足
求的值；
，，，，若的最小值为，求的最大值.
答案和解析
1.D
【解析】
【分析】
本题考查向量的坐标运算，属于基础题.
利用已知条件，代入坐标计算即可.
【解答】
解：因为平面向量，满足，且，
所以
故选

2.D
【解析】
【分析】
本题考查了向量的加减运算和向量的数乘运算，属于基础题．
由向量的三角形法则和向量的加减运算即可求出.
【解答】
解：
，
故选

3.B
【解析】
【分析】
本题主要考查充分条件和必要条件的判断，结合向量平行的应用进行化简是解决本题的关键，属于中档题．
根据向量平行的应用，考查充分条件和必要条件的判断.
【解答】
解：若“”，
则平方得
，
即，
即，，
则，，
即，，即，同向共线，则存在实数，使得，
反之当，时，满足，但，不成立，
即“存在实数，使得”是“”的必要不充分条件，
故选：

4.C
【解析】
【分析】
此题考查了正弦、余弦定理，以及特殊角的三角函数值，属于一般题.
已知第二个等式利用正弦定理化简用b表示出c，代入第一个等式表示出a，利用余弦定理表示出，将表示出的a与c代入求出的值，即可确定出A的度数．
【解答】
解：已知等式，由正弦定理化简得：，
代入得：，即，
，
是的内角，则，
故选：

5.A
【解析】
【分析】
本题考查了向量加法和减法的几何意义，向量的数乘运算，平面向量基本定理，考查了计算能力，属于基础题．
可设，然后根据向量减法、加法的几何意义，以及向量的数乘运算即可得出，从而根据平面向量基本定理即可得出，解出即可．
【解答】
解：如图，
设，且，则：
，
，
，解得
故选：

6.D
【解析】
【分析】
本题主要考查三点共线定理，基本不等式求最值，属于基础题.
【解答】
解：，，，
，
，B，C三点共线，且，，，整理得，
，
当且仅当时等号成立.

7.D
【解析】
【分析】
本题考查向量的数量积的几何应用，考查三角形的判断，注意单位向量的应用，考查计算能力，属于中档题.
利用单位向量的定义及向量的数量积为0时两向量垂直，得到等腰三角形，利用向量的数量积求出三角形边的夹角，得到等腰直角三角形.
【解答】
解：因为，所以的平分线与BC垂直，
所以三角形ABC是等腰三角形，且
又因为，所以，所以三角形ABC是等腰直角三角形．
故选：

8.B
【解析】
【分析】
考查通过建立平面直角坐标系，利用坐标解决向量问题的方法，根据点的坐标可求向量的坐标，向量坐标的加法、数乘和数量积运算．
以A为坐标原点，AB所在的直线为x轴，建立直角坐标系，设，，可求点P，D，C，B的坐标，求出向量，的坐标，根据模的公式，根据二次函数的性质求出最值即可．
【解答】
解：如图，以A为坐标原点，AB所在的直线为x轴，AB的垂线为y轴建立直角坐标系，
设，，，
所以，，，，
则，，
则，
令，
则，
则，
当时，取得最小值
故选：

9.ACD
【解析】
【分析】
本题考查向量的基底，及平面向量共线的充要条件，属于基础题．
由两不共线向量可作为平面向量的基底，进行判定即可.
【解答】
解：已知向量，不共线，
A：无解，故A的两个向量不共线，所以能作为平面向量的一组基底；
CD：同理于A的分析，C、D两组向量可以为平面向量的一组基底；
B：因为，
所以，
所以不能作平面向量的基底.
故选

10.BC
【解析】
【分析】
本题主要考查了平面向量的坐标运算，向量的数量积公式，向量的模长公式，向量垂直的条件，平行的条件，属于较易题.
逐个判断即可得出结果.
【解答】
解：向量，，
A.若与垂直，则，解得，故A错误；
B.若，则，解得，
则，，故B正确；
C.若，则，，则，故C正确；
D.若，则，
，
，，，故D错误.
故选

11.AC
【解析】
【分析】
本题考查数学文化和向量的应用，考查了向量的数量积的应用，向量的夹角的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，直接利用向量的数量积的应用，向量的模和向量的夹角的应用求出结果．
【解答】
解：因八卦图为正八边形，故中心角为，，
，A项正确；
与的夹角为，又因为，
所以，B项错误；
，，
中，由余弦定理可得
，
则，故C项正确、D项错误．
故A、C项正确．
故选

12.ACD
【解析】
【分析】
本题主要考查的是向量的运算及向量的模的求法，属于中档题.
结合向量的加法运算及向量的数量积的运算性质分别判断即可.
【解答】
解：选项A，由，
得，
得，即，所以A正确；
选项B，由，
得，
设BC中点为D，AB中点为E，则，
则，设AO与BC交点为F，如图：
则∽，所以，
则，
所以，故B错误；
选项C，因为，所以，
则，所以C正确；
选项D，因为，所以，
又，且，
则，
所以，所以D正确.
故选

13.5
【解析】
【分析】
本题考查了向量坐标的减法运算，根据向量的坐标求向量的长度的方法，考查了计算能力，属于基础题．
可求出向量的坐标，然后即可求出的值．
【解答】
解：，
故答案为：

14.30
【解析】
【分析】
本题考查了向量的坐标运算和向量的数量积以及向量的模，属于基础题.
根据向量的加减运算和向量的数量积的运算，得到四边形ABCD为矩形，再根据向量的模的计算得到矩形的长和宽，即可求出面积.
【解答】
解：，，，
，，，
，，，
四边形ABCD为矩形，
，，
四边形ABCD的面积为
故答案为

15.
【解析】
【分析】
本题主要考查平面向量的线性运算、共线定理，平面向量基本定理的运用，属于中档题.
解法1：先根据得到，从而可得，再根据三点共线定理，即可得到m的值.
解法2：根据图形和向量的转化用去表示，根据图形可得：，设，通过向量线性运算可得：，从而根据平面向量基本定理列方程组，解方程组得m的值.
【解答】
解法1：因为，所以，
又，
所以
因为点三点共线，
所以，
解得：
解法2：
因为，设，
所以，
因为，所以，
又，
所以，
所以，
又，
所以 解得： ，
所以
故答案为

16.2
0

【解析】
【分析】
本题考查向量的模长、向量的数量积、向量垂直的判定.
求出向量的坐标，求出模长，结合正弦函数的性质，即可求出的最大值；由，得出，得出，由此即可求出结果.
【解答】
解：，，
，
，
的最大值为2；
，
，
，
，
故答案为2；

17.解：由题意，得，
与共线，
，
解得：
由知，
，，
，
由与垂直，
得
，
所以，
解得：
【解析】本题考查共线向量、向量的坐标运算以及向量的数量积，考查了推理能力与计算能力，属基础题.
由题意可得，进而由共线向量可得关于m的方程，解之即可；
根据向量垂直定义得出，进而可求出实数的值．
18.解：因为，，
所以，
而，
所以，，故
，
，
为菱形，，，
，
即

【解析】本题考查了向量数量积的概念与运算，平面向量基本定理的应用，是中档题.
结合平面图形以及平面向量的线性运算即可求出x，y的值，进而求出结果；
根据平面向量的加法运算得到，在结合中，利用平面向量数量积的运算律以及定义即可求解.
19.解：在中，由余弦定理可得，
因为，
所以
因为，
所以
在中，由正弦定理可得，即，
解得，即
因为，所以
在中，由正弦定理可得，即，
解得
【解析】本题考查正余弦定理的应用，属基础题.
在中，由余弦定理可得，再由A的范围可得
由在中，由正弦定理求解，在中，由正弦定理求解
20.解：因为三点A，B，C在一条直线上，所以，
又
，
所以，①
因为，
所以，即，②
由①、②解得或
因为，
所以B为AC的中点，
所以，，
所以，，
因此

【解析】本题考查向量平行与垂直的判定，考查向量的坐标运算，考查向量夹角的求解，注意向量数量积的运算与性质，属于中档题.
根据三点A，B，C在一条直线上，可得，结合，根据向量平行与垂直的条件分别建立关于m，n的方程，联立解得结果；
根据，可得，，进而可知，将转化为向量所成角的余弦值求得结果.
21.解：由，得
即，
由正弦定理，
，
又，
又
由，
代入得，
或2，
当时，，不合题意，舍去；
当时，，符合题意，
所以；
，
，
在BC上，且为靠近C的三等分点，
，

【解析】本题考查正弦定理，余弦定理，三角形面积公式，平面向量的线性运算，两向量垂直的坐标表示，解题关键是由正弦定理化边为角，属于中档题．
由向量垂直得数量积为0，再由正弦定理化边为角，可求得B角，然后由余弦定理求得c，注意取舍．
由向量的线性运算求得D在BC上位置，利用的面积得出结论．
22.解：由题意，因为ABC三点共线，则，
则有，
由题意，不共线，而，
于是，解得，
从而的值为
由题意，知，，
，
，
函数
，
令，因为，所以，
令，
当时，的最小值为，即
当时，的最小值为，即
当时，的最小值为，即
综上所述，，
可得的最大值为1，即的最大值为

【解析】本题考查向量共线定理，平面向量基本定理，向量的坐标运算，向量模长的坐标表示，二次函数最值，分段函数，属于较难题.
由向量共线定理，得到，再由平面向量基本定理，求出的值.
由向量坐标运算，求出的表达式，再由二次函数单调性，求出的最小值，再由分段函数性质求出的最大值.
第4页，共16页