第七章 复数-高一年级数学人教版（2019）必修二单元提升（含解析）

复数
1. 若是纯虚数，则( )
A. 3 B. 5 C. D.
2. 已知复数z在复平面上对应的点为，则( )
A. B. C. D. 是纯虚数
3. 设复数，若，则实数( )
A. 0 B. 2 C. D.
4. 已知复数，则下列说法正确的是( )
A. z的虚部为4i B. z的共轭复数为
C. D. z在复平面内对应的点在第二象限
5. 已知复数，，则等于( )
A. 8i B. 6 C. D.
6. 复数是虚数单位的共轭复数表示的点在( )
A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限
7. 在复数范围内，多项式可以因式分解为( )
A. B. C. D.
8. 若是关于x的实系数方程的一个复数根，则( )
A. ， B. ，
C. ， D. ，
9. 任何一个复数其中为虚数单位都可以表示成：的形式，通常称之为复数z的三角形式．法国数学家棣莫弗发现：，我们称这个结论为棣莫弗定理．根据以上信息，下列说法正确的是( )
A.
B. 当，时，
C. 当，时，
D. 当，时，若n为偶数，则复数为纯虚数
10. 设，是复数，则下列命题中的真命题是( )
A. 若，则
B. 若，则
C. 若，则
D. 若，则
11. 已知关于x的方程在复数范围内有一个根为，则下列结论正确的是( )
A. B.
C. D.
12. 若复数z满足，则( )
A.
B. 是纯虚数
C. 复数z在复平面内对应的点在第三象限
D. 若复数z在复平面内对应的点在角的终边上，则
13. 设复数，满足，且，其中i为虚数单位，则__________.
14. 如图所示，在复平面内，网格中的每个小正形的边长都为1，点A，B对应的复数分别是，，则__________.
15. 设复数，则复数的共轭复数为__________.
16. 已知复数，，若为纯虚数，则
实数__________；
复数的平方根为__________.
17. 计算：
；
18. m为何实数时，复数满足下列要求：
是纯虚数；
在复平面内对应的点在第二象限；
19. 已知复数，当实数m取什么值时，复数z是零；纯虚数；
20. 已知复数，，i为虚数单位.
若复数在复平面上对应的点在第四象限，求实数a的取值范围；
若，求z的共轭复数.
21. 已知i为虚数单位，复数z满足，
求z；
在复平面内，O为坐标原点，向量，对应的复数分别是z，，若是直角，求实数c的值．
22. 已知复数是虚数单位
若z是纯虚数，求实数m的值；
设是z的共轭复数，复数在复平面上对应的点位于第二象限，求实数m的取值范围.
答案和解析
1.C
【解析】
【分析】
本题考查复数的运算以及复数的概念，复数的模，属于基础题.
由z是纯虚数，得，且，解出，代入模中计算即可.
【解答】
解：由z是纯虚数，得，且，
故，
，
故选

2.D
【解析】
【分析】
本题考查复数的概念，属于基础题.
根据题意，求出复数z，逐项判断即可.
【解答】
解：复数z在复平面上对应的点为，
则，A错；，C错；
，B错；
，则是纯虚数，D对.
故选

3.A
【解析】
【分析】
本题考查了共轭复数以及复数相等的充要条件，属于基础题.
由题意可知，，即可求解.
【解答】
解：由题意可知，，
，则，
解得，
故选

4.B
【解析】
【分析】
本题主要考查了复数的四则运算，复数的概念，共轭复数，复数的模，复数的代数表示及其几何意义，属于基础题．
根据题意由复数的四则运算可得z ，逐项分析求解即可．
【解答】
解：，
A.z的虚部为4，故A错误；
B.z的共轭复数为，故B正确；
C.，故C错误；
D.对应的点为，在第一象限，故D错误；
故选

5.A
【解析】
【分析】
本题考查了复数的减法运算，属于基础题.
直接利用复数的减法运算法则求解即可.
【解答】
解：，，
则，
故选

6.B
【解析】
【分析】
本题考查复数的四则运算、复数的代数表示及其几何意义、虚数单位 i的幂运算的周期性、共轭复数，属于基础题.
由复数的四则运算化简复数z，求出共轭复数，根据几何意义可得答案.
【解答】
解：
，
表示的点为在第二象限.
故选

7.A
【解析】
【分析】
本题考查复数的运算，考查计算能力，属于基础题.
利用进行分解即可.
【解答】
解：
，
故选

8.B
【解析】
【分析】
本题考查了实系数方程的解法，复数的四则运算，属于基础题.
由题意，得也是方程的复数根，由根与系数的关系可得b、c的值.
【解答】
解：因为是关于x的实系数方程的一个复数根，
所以也是方程的复数根，
则，
，
解得，
故选

9.AC
【解析】
【分析】
本题考查了新定义的应用、复数的三角表示、模以及共轭复数，属于中档题.
根据新定义，逐一判定即可得出结论.
【解答】
解：对于A，，，则，，所以，故A正确；
对于B，当，时，，故B错误；
对于C，当，时，，则，故C正确；
对于D，当，时，，当n为偶数时，复数不一定为纯虚数，比如当时，，为实数，故D错误，
故选

10.ABC
【解析】
【分析】
本题考查复数的四则运算，共轭复数以及模的计算，属于拔高题.
设，然后对各选项逐一判断，即可得到答案.
【解答】
解：设，
A.，则，所以，，则故A正确;
B.若，，则，，而，故故B正确;
C.，则，所以，故C正确
D.，则，所以，
而，因为，
所以D不正确，
故选

11.AC
【解析】
【分析】
本题考查了复数相等的充要条件和复数的四则运算，属于中档题.
利用题目条件得，再利用复数的四则运算得，再利用复数相等的充要条件求解即可.
【解答】
解：因为关于x的方程在复数范围内有一个根为，
所以，
即，
因此，即，
所以或，C正确.
因为，所以A正确，B错误；
又因为或，所以D错误.
故选

12.AB
【解析】
【分析】
本题考查复数的几何意义、复数的概念、复数的四则运算，属基础题.
由可得，由共轭复数定义可得A正确；由可判定B；由复数在复平面内对应点的坐标为可判定C；由任意角的三角函数概念可判定
【解答】
解：由题意，复数z满足可得复数，
对于A，由，可得，故选项A正确；
对于B，由，可得是纯虚数，故选项B正确；
对于C，复数在复平面内对应点的坐标为位于第一象限，故选项C错误；
对于D，因为在复平面内对应的点在角的终边上，所以故选项D错误.
故选

13.
【解析】
【分析】
本题主要考查了复数的运算和复数的模长，属于中档题．
设，，，根据题意可得，，，代入即可求出结果．
【解答】
解：设，，，
，，，
，
，，
，
，
故答案为：

14.
【解析】
【分析】
本题考查复数的代数表示及其几何意义，考查复数代数形式的乘除运算及复数模的求法，属于基础题．
由已知求得，，再由复数代数形式的乘除运算化简，代入复数模的公式求解．
【解答】
解：由表格可知，，，
则，
故答案为

15.
【解析】
【分析】
本题考查复数的四则运算，考查复数的共轭复数，属于基础题.
先化简复数，再求共轭复数即可.
【解答】
解：复数，
则复数，
所以复数的共轭复数为
故答案为

16.3
或

【解析】
【分析】
由条件利用两个复数代数形式的除法，求得，由纯虚数，得a的关系式，由此求得a的值．
由可得复数，设的平方根为，a、，则，利用两个复数相等的充要条件，求出a、b的值，可得的平方根．
【解答】
解：复数，，
为纯虚数，
，且，
由可得复数，设的平方根为，a、，
则，，
解得，或，
的平方根为，或

17. 解；

【解析】本题考查了复数的四则运算，虚数单位i的幂运算的周期性，属于基础题.
由复数的四则运算可得答案;
由复数的四则运算、虚数单位i的幂运算的周期性可得答案.
18.解：
由z是纯虚数，可得，解得，
即时，z是纯虚数.
由，得，
即时，z在复平面内对应的点在第二象限．
【解析】本题考查复数的基本概念，考查复数代数形式的坐标表示，考查计算能力，属于基础题．
利用复数的实部为0，虚部不为0，求解即可．
利用复数的对应点在第二象限．列出不等式组求解即可．
19.解：由可得
由可得
由可得
综上，当时，复数z是0；
当时，复数z是纯虚数；
当时，复数

【解析】本题考查复数的概念及复数相等，属于基础题.
由实部、虚部都为0得出关系式求出即可；
由实部为0且虚部不为0得出即可；
利用复数相等得出关系式求出即可.
20.解：因为
，
由题意可得：，
解得，
所以实数a的取值范围为；
由
，
所以

【解析】本题主要考查复数的四则运算及共轭复数的求法，属于基础题.
先求出，再根据在第四象限，即可求出实数a取值范围；
先求得z，再根据共轭复数的概念，求出z的共轭复数
21.解：设R，由，得，
所以解得所以
由题意，A，B，O的坐标分别为，，
所以，，
因为是直角，所以，即，解得

【解析】本题考查复数的四则运算、复数的模、复数的代数表示及其几何意义、复数相等的充要条件、平面向量的坐标表示及向量垂直的判断与证明，属基础题．
运用待定系数法设R，由，根据复数相等的充要条件求解；
根据复数的代数表示及其几何意义可得A，B，O的坐标，最后转化为向量的垂直关系求解．
22.解：，
因为z为纯虚数，所以，解得
因为是z的共轭复数，所以，
所以
因为复数在复平面上对应的点位于第二象限，
所以，
解得
【解析】本题考查复数的概念，共轭复数，复数的四则运算和复数的几何意义，属于中档题．
先化简复数z，再由z为纯虚数得出关系式求出m的值；
由得出复数z的共轭复数，得出，再由复数在复平面上对应的点在第二象限，即可求解m的取值范围.
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