第七章 复数-高一年级数学人教版（2019）必修二单元练习（含解析）

复数
1. 若复数为纯虚数，，则( )
A. B. C. D. 或
2. 设的实部与虚部相等，其中a为实数，则a等于( )
A. B. C. 2 D. 3
3. 设i为虚数单位，R，“复数是纯虚数”是“”的( )
A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件
C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件
4. 据记载，欧拉公式是由瑞士著名数学家欧拉发现的，该公式被誉为“数学中的天桥”．特别是当时，得到一个令人着迷的优美恒等式，将数学中五个重要的数自然对数的底e，圆周率，虚数单位i，自然数的单位1和零元联系到了一起，有些数学家评价它是“最完美的数学公式”．根据欧拉公式，若复数的共轭复数为，则( )
A. B. C. D.
5. 若是虚数单位，则z的共轭复数为( )
A. B. C. D.
6. 在复平面内，已知复数z对应的点与复数对应的点关于实轴对称，则( )
A. B. C. D.
7. 已知A，B分别是复数，在复平面内对应的点，O是坐标原点．若｜，则一定是( )
A. 等腰三角形 B. 直角三角形 C. 等边三角形 D. 等腰直角三角形
8. 在实数集R中，我们定义的大小关系“>”为全体实数排了一个“序”．类似地，我们在复数集C上也可以定义一个称为“序”的关系，记为“>”．定义如下：对于任意两个复数，，当且仅当“”或“且”时，按上述定义的关系“>”，给出如下四个命题：
①若，则；
②若，，则；
③若，则对于任意，；
④对于复数，若，则
其中所有真命题的个数为( )
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
9. 已知复数，则以下说法正确的是( )
A. 复数z的虚部为 B. z的共轭复数
C. D. 在复平面内与z对应的点在第二象限
10. 在复数范围内，有下列命题，则其中是真命题的是( )
A. 若是两个复数，则一定是实数
B. “”是“”的充分非必要条件
C. 方程的根是
D.
11. 1748年，瑞士数学家欧拉发现了复指数函数和三角函数的关系，并写出以下公式，这个公式在复变论中占有非常重要的地位，被誉为“数学中的天桥”.根据此公式，有下列四个结论，其中所有正确结论的编号是( )
A. B.
C. D.
12. 已知集合，其中i为虚数单位，则下列元素属于集合M的是( )
A. B.
C. D.
13. i表示虚数单位，则__________ .
14. 已知｜，｜，，则｜__________.
15. 设复数z满足，且使得关于x的方程有实根，则这样的复数z的和为__________.
16. 设复数，其中i为虚数单位，则的虚部是__________，__________.
17. 在①，②z为虚数，③z为纯虚数，这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并解答．
已知复数：
若________，求实数m的值；
若复数的模为，求m的值．
18. 设复数其中，
若是实数，求的值；
若是纯虚数，求
19. 已知，求；
已知是关于x的一元二次实系数方程的一个根，求实数p，q的值．
20. 求的值；
若关于x的一元二次方程的一个根是，其中m，，i是虚数单位，求的值．
21. 已知关于x的方程的两根为、
若，求p的值；
若，求实数p的值.
22. 定义：复数是的转置复数，记为，显然，即z与互为转置复数．
结合共轭复数的一些运算性质，如等，还有一些常用结论，如等，尝试发现两个有关转置复数的运算性质如：或其他结论；
对任意的两个复数，，定义运算“*”：，设，求复平面上的点集所围成区域的面积．
答案和解析
1.B
【解析】
【分析】
本题考查复数的基本概念，考查由已知三角函数值求角，是基础题．
由纯虚数实部等于0且虚部不为0联立求解．
【解答】
解：由题意得，得，
又，
故选：

2.A
【解析】
【分析】
本题考查复数的概念及复数的乘法的运算法则，考查计算能力，属于基础题．
利用复数的乘法运算法则，根据复数的概念求解即可．
【解答】
解：的实部与虚部相等，
可得：，
解得
故选：

3.B
【解析】
【分析】
本题考查复数的运算和基本概念，充分条件和必要条件的判断，属于基础题．
先利用复数的运算法则，化简复数z，然后利用复数的基本概念以及充分条件和必要条件的定义判断即可.
【解答】
解：复数是纯虚数，
则，，
是的必要不充分条件，
“复数是纯虚数”是“”的必要而不充分条件，
故选

4.D
【解析】
【分析】
本题考查复数的三角表示，共轭复数，
先根据题意化简，再求出即可.
【解答】
解：，
所以
故选

5.C
【解析】
【分析】
本题考查复数的运算和共轭复数，属基础题.
根据四则运算法则化简为标准形式，写出共轭复数即可.
【解答】
解：，
，
故选

6.C
【解析】
【分析】
本题考查复数代数形式的乘除运算，属于基础题．
由已知求得z，代入，再由复数代数形式的乘除运算化简得答案．
【解答】
解：由题意，，
则，
故选：

7.B
【解析】
【分析】
本题主要考查复数几何意义，根据条件转化为向量是解决本题的关键．
利用复数的几何意义，结合向量的性质进行判断即可．
【解答】
解：，
由复数加减运算的几何意义知：以 OA、 OB为邻边的平行四边形是矩形．
是直角三角形．
故选

8.B
【解析】
【分析】
本题考查有关复数的新定义题，考查复数的基本概念与四则计算，其中适当的举反例是关键，属中档题.
根据“>”的定义，结合复数的概念与计算逐项判断即可.
【解答】
解：对于复数，，
显然满足，但，，不满足，故①为假命题；
设，，，
由，可得“”或“且”，即，故②为真命题；
设，，，
由可得“”或“且”，
显然有“”或“且”，从而，故③为真命题；
对于复数，，显然满足，
令，则，，显然不满足，故④为假命题．
故选

9.CD
【解析】
【分析】
本题考查了复数的基本知识，需掌握复数的概念、共轭复数的概念、复数的四则运算、复数的模以及复数的几何意义，属于基础题.
利用复数的乘除运算可得，根据复数的概念可判断A；根据共轭复数的概念可判断B；根据复数的模可判断C；根据复数的几何意义可判断
【解答】
解：，
复数z的虚部为，排除A选项；
z的共轭复数，排除B选项；
，C选项正确；
复平面内与z对应的点的坐标为，在第二象限，D选项正确.
故选

10.ABC
【解析】
【分析】
本题考查复数的基本的概念以及运算，充分必要条件的应用，属于中档题.
根据复数的基本的概念以及运算，充分必要条件的定义对各选项逐一判断，即可得到答案.
【解答】
解：设，，
则一定为实数，故A正确；
B.设，
则
，
则，所以或，
而，
所以“”是“”的充分非必要条件，故B正确；
C.方程，可化为，则方程的根是，故C正确；
D.设，则是一个复数，
而是一个实数，与不一定相等，故D不正确.
故选

11.ABC
【解析】
【分析】
本题考查了复数的四则运算问题，属于基础题.
根据题意将题中公式代入A、C、D选项即可判断，B选项则通过复数的运算得出即可.
【解答】
解：将题中代入A、C、D选项得：
A选项 ，正确；
C选项，正确；
D选项，错误；
B选项通过复数运算得：
，因为，所以得，正确；
得出答案

12.BC
【解析】
【分析】
此题考查复数的基本运算，涉及复数的乘方和乘法除法运算，元素与集合的关系，属中档题.
根据集合求出集合内部的元素，再对四个选项依次化简即可得出选项.
【解答】
解：根据题意，中，
时，；
时，
时，；
时，，
所以
选项A中，；
选项B中，；
选项C中，；
选项D中，
故选：

13.1
【解析】
【分析】
本题考查了复数的运算，解题的关键是看出这些复数的和具有周期性，属于基础题.
由，再结合周期性，可得答案.
【解答】解：因为，
所以…
故答案为
14.1
【解析】
【分析】
本题考查复数的运算法则和模的计算公式，属于基础题.
利用复数的运算法则和模的计算公式即可得出．
【解答】
解：，
可设，，，
，
故答案为

15.
【解析】
【分析】
本题考查了复数的运算，考查分类讨论思想，属于较难题．
设，得到①，②，通过讨论求出a，b的值，求出满足条件的所有z，相加即可．
【解答】
解：设，且，
则原方程变为，
所以，①且，②；
若，则解得，当时①无实数解，舍去；
从而， 此时或，故满足条件；
若，由②知，或，显然不满足，故，代入①得，，所以
综上满足条件的所有复数的和为
，
故答案为：

16.1

【解析】
【分析】
本题主要考查了复数的概念，复数的模，复数的四则运算法则，虚数单位i的幂运算的周期性，属于基础题.
先由虚数单位i的幂运算的周期性化简复数z，进而求得结果.
【解答】
解：
，
，
，
则的虚部为1，
故答案为

17.解：选择①，则，解得，
选择②z为虚数，则，解得，
选择③z为纯虚数，则，，解得
由可知，
复数
依题意，解得因此

【解析】本题考查复数概念及运算，属基础题目.
结合复数相关概念，列方程组求解；
根据复数模长运算公式，求m的值.
18.解：其中，，
，
由是实数，得
，，
则；
由是纯虚数，
得，即，

【解析】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数模的求法，是中等题．
由已知求得a，再由复数代数形式的乘除运算求的值；
利用复数代数形式的乘除运算化简，由实部为0且虚部不为0求得a，则可求．
19.解：由，
得；
把代入方程中，
得到
即且，
解得，
【解析】本题考查了复数代数形式的混合运算，考查了复数的基本概念，是基础题．
利用复数代数形式的乘除运算化简复数z，再由复数求模公式计算得答案；
把代入方程中，求解即可得答案．
20.解：
；
由题得，
因为，
所以，解得，
所以

【解析】本题考查复数相等的充要条件，虚数单位i的幂运算的周期性，复数的四则运算，复数范围内方程的根，考查运算化简的能力，属于中档题.
根据虚数单位i的幂运算的周期性，复数的四则运算化简可得；
将代入方程，利用复数的四则运算，复数相等的充要条件，解得m，n可得结论.
21.解：已知关于x的方程的一根为，
所以，，
所以，，解得
，由题意得，
若，即，
则，
解得，
若，即，由，
可得，
解得，，
则，解得，
综上所述，或

【解析】本题考查复数范围内方程的根及一元二次方程的根与系数的关系，属于拔高题.
将代入方程，将复数化为标准形式，利用复数相等可求得实数p的值；
分类讨论判别式，利用韦达定理，由可得出关于p的等式，由此可解得实数p的值.
22.解：有关转置复数的运算性质：
①；②
，x，，
由运算“*”的定义得
，
即，表示半径为2的圆，
所以点集M所围成区域的面积

【解析】本题考查新定义题目，考查复数的四则运算以及共轭复数，属于拔高题.
根据题干新定义可得运算性质；
由定义得，可得解.
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