第一章 三角形的证明单元检测试卷B（含答案）

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北师大版2022-2023学年八年级（下）第一章三角形的证明检测试卷B
(时间120分钟，满分120分)
一、选择题（共12小题；每小题3分，共36分）
1. 如图，在 中，， 平分 ， 于 ，如果 厘米，那么 的长等于
A. 厘米 B. 厘米 C. 厘米 D. 厘米
2. 如图，在 中， 的垂直平分线交 于点 ，交 于点 ，若 ，，则 的周长为
A. B. C. D.
3. 为了估计鱼塘中鱼的条数，养鱼者先从鱼塘中捕获 条鱼，在每一条鱼身上做好标记后把这些鱼放归鱼塘，再从鱼塘中打捞鱼．通过多次实验发现捕捞的鱼有标记的频率稳定在 左右，则鱼塘中鱼的条数大约为
A. 条 B. 条 C. 条 D. 条
4. 用反证法证明时，假设结论“点在圆外”不成立，那么点与圆的位置关系只能是
A. 点在圆内 B. 点在圆上
C. 点在圆心上 D. 点在圆上或圆内
5. 在 中，下列 和 的度数，能判定 是等腰三角形的是
A. ， B. ，
C. ， D. ，
6. 如图，直线 ，直线 与 ， 分别交于点 ，，过点 作 于点 ，若 ，则 的度数为
A. B. C. D.
7. 如图，一棵大树在一次强台风中于离地面 米处折断倒下，倒下部分与地面成夹 角，这棵大树在折断前的高度为
A. 米 B. 米 C. 米 D. 米
8. 下列各命题的逆命题成立的是
A. 全等三角形的对应角相等
B. 如果两个数相等，那么它们的绝对值相等
C. 两直线平行，同位角相等
D. 如果两个角都是 ，那么这两个角相等
9. 如图，直线 ，点 在直线 上，点 ， 在直线 上，，， 于 ，那么 等于
A. B. C. D.
10. 如图，在 中，点 是 边上一点， 于点 ， 于点 ，且 ，．若 ，则 的度数是
A. B. C. D.
11. 中，，， 的对边分别记为 ，，，由下列条件不能判定 为直角三角形的是
A. B.
C. D.
12. 如图，在 中，点 ， 分别在 ， 的延长线上， 的平分线 与 的平分线 相交于点 ，连接 ，下列结论正确的是
A. 平分 B. 平分
C. 平分 D.
二、填空题（共6小题；每小题4分，共24分）
13. 如图，在 中，， 是角平分线， 于 ，且 厘米， 厘米，则 厘米．
14. 用反证法证明“若 ，则 ”是真命题，第一步应先假设 ．
15. 经过已知点 和 的圆的圆心轨迹是 ．
16. 数学课上，老师提出问题：任意画两条长度不等的线段 ，，利用尺规作图作 ，使线段 ， 分别为三角形的一条直角边和斜边．
小勇所作之图如图：
请你回答下列问题：
（）在以下作图步骤中，小勇的作图顺序可能是 ；（只填序号）
①以 为圆心， 的长为半径画弧，交射线 于点 ．
②画直线 ．
③分别以点 ， 为圆心，大于线段 的同样长为半径画弧，交于点 ．
④以点 为圆心，线段 的长为半径画弧，交直线 于点 ，连接 ．
⑤画射线 ，并在 上截取线段 ．
（） 的理由是 ．
17. 如图，在 中，，，点 在 的三边上运动，当 为等腰三角形时，它的顶角度数是 ．
18. 如图，，，若 为 ，，则 ．
三、解答题（共7小题；共60分）
19. （8分）如图，， 分别平分 ，，， 分别垂直于 ，，垂足为 ，．求证：点 在 的垂直平分线上．
20. （8分）已知：如图，，，垂足分别是点 ，．，．
求证：，．
21.（8分） 分割等腰三角形．
小高和小丽在看完书上本章的探究活动二之后，对分割等腰三角形产生了浓厚的兴趣，他们首先收集了一些分割等腰三角形的题目，一起和他们尝试一下吧．
（1）分别过下面三个三角形的一个顶点画一条直线，把这些三角形各自分割成两个等腰三角形．
（2）做完这第（）问后，小高猜测：如果一个三角形的两个内角，其中一个内角是另一个内角的两倍或三倍，那么这个三角形可以被分割成两个等腰三角形．请和小高一起说明理由吧．
①如图 ，．
解：设 的度数为 ， 的度数为 ，作 ，交 于点 ，
即 ．
所以 ，
即 是等腰三角形．
因为 ．
且 ，
所以 ．
所以 ，
即 是等腰三角形．
②如图 ，．（请完成说理过程）
（3）小丽看了小高的说理之后，自己画了一个内角为 ， 和 的三角形尝试分割，请问这个三角形能分割成两个等腰三角形吗 如果可以，请画出三角形并分割；如果不能，请说明理由．
（4）经过上述的探究，小丽和小高想找到怎样的等腰三角形可以分割成两个等腰三角形，他们把情况分类成 种，请完成下列表格．
22. （8分）已知：如图， 是 外角 的平分线、 平分 ，，，点 ， 分别为垂足．求证： 平分 ．
23. （8分）如图，从 处观测 处时的仰角 ，从 处观测 处时的仰角 ，求 的度数．
24. （8分）下列各命题都成立，写出它们的逆命题，并判断逆命题的真假．
（1）内错角相等，两直线平行；
（2）对顶角相等；
（3）全等三角形的对应角相等；
（4）如果两个实数相等，那么它们的绝对值相等．
25. （12分）在等边 中，线段 为 边上的中线．当动点 在直线 上时，以 为边在 的下方作等边 ，连接 ．
（1）若点 在线段 上（如图①），则 （填“”“”或“”）， 度；
（2）设直线 与直线 的交点为 ．
（ⅰ）当动点 在线段 的延长线上时（如图②），试判断 与 的数量关示，并说明理由；
（ⅱ）当动点 在射线 上时，试判断 的度数是不是定值．若是，请求出 的度数；若不是，请说明理由．
答案
一 选择题
1. B
2. B
3. B
4. D
【解析】反证法证明时，假设结论“点在圆外”不成立，那么点与圆的位置关系只能是点在圆上或圆内．
5. B
6. C
7. B
【解析】，， 米，
米，
这棵大树在折断前的高度为 米．
故选：B．
8. C
【解析】A 逆命题是三个角对应相等的两个三角形全等，错误；
B 绝对值相等的两个数相等，错误；
C 同位角相等，两条直线平行，正确；
D 相等的两个角都是 ，错误．
9. A
10. D
11. B
【解析】A、因为 ，，
所以 ，
所以 为直角三角形，故此选项不合题意；
B、设 ，，，
，
解得：，
则 ，
所以 不是直角三角形，故此选项符合题意；
C、因为 ，
所以 ，
所以 为直角三角形，故此选项不合题意；
D、因为 ，
设 ，，，
因为 ，
所以能构成直角三角形，故此选项不合题意．
12. B
二 填空题
13. 略
14.
【解析】 的反面是 ，
用反证法证明“若 ，则 ”是真命题时，第一步应先假设 ．
15. 线段 的垂直平分线
16. ⑤①③②④，到线段两个端点距离相等的点在线段的垂直平分线上
17. 或 或
18.
【解析】在 和 中
．
．
又 ，
．
，，
为等边三角形．
．
故答案为：．
三 解答题
19. 略
20. 证 ，
得到 ，．
从而得到 ．
21. （1）
（2） ① ；；等角对等边；；；；三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角之和；；等量代换；；；等角对等边．
②如图 ，
设 的度数为 ， 的度数为 ，作 ，交 于点 ，即 ，
所以 （等角对等边），
即 是等腰三角形．
因为 （三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角之和）．
且 ，
所以 （等量代换）．
所以 （等角对等边），
即 是等腰三角形．
（3） 不能，如图 ，
如果一个三角形中一个内角是另一个内角的两倍，即 ，，那么 ．根据“三角形内角和等于 ”，，则 ，即 ．说明较小的那个角需要小于 ，而小丽画的较小的角为 ，所以不能分割成两个等腰三角形．
（4）
22. 略
23. 因为 ，，
所以 ．
同理 ，
从而 ．
24. （1） 两直线平行，内错角相等，为真命题．
（2） 相等的角是对顶角，为假命题．
（3） 对应角相等的三角形是全等三角形，为假命题．
（4） 如果两个实数的绝对值相等，那么这两个实数相等，为假命题．
25. （1） ；
（2） （ⅰ）．
理由：因为 和 都是等边三角形，
所以 ，，，
因为 ，，
所以 ，
所以 ，
所以 ．
（ⅱ） 的度数是定值，．
理由：当点 在线段 上时，如图，
因为 和 都是等边三角形，
所以 ，，，
所以 ，
所以 ，
在 和 中，
所以 ，
所以 ，
因为 是等边三角形，线段 为 边上的中线，
所以 平分 ，即 ，
所以 ，
又因为 ，
所以 ，
所以 ．
当点 在线段 的延长线上时，如图，
同理可得 ，
所以 ，
因为 ，
所以 ，
又易知 ，
所以 ．
综上， 的度数是定值，．
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