7.1.1条件概率 课件（共31张PPT）

(共31张PPT)
第七章 随机变量及其分布
章前导入
概率是随机事件发生可能性大小的度量。在必修课程的概率的学习中，我们结合课古典概型，研究了简单随机事件及其概率的计算方法，并讨论了概率的一些性质。
本章将在此的基础上，结合古典概型，研究随机事件的条件概率，建立概率的乘法公式，并用它们计算较为复杂事件的概率。
章前导入
为了利用数学工具，并以简洁、统一的形式研究随机试验的规律，本章，我们还将把随机事件的结果数量化，引入随机变量的概念。对离散型随机变量，我们主要研究其分布列及数字特征，并对二项分布、超几何分布进行重点研究。
对于连续型随机变量，我们只研究服从正态分布的情况。并通过用随机变量藐视和分析随机试验，解决一些简单的实际问题，进一步体会概率模型的作用及概率思想和方法的特点。
第七章 随机变量及其分布
7.1条件概率与全概率公式
7.1.1条件概率
课程标准
（1）结合古典概型，了解条件概率，能计算简单随机事件的条件概率；
（2）结合古典概型，了解条件概率与独立性之间的关系；
（3）结合古典概型，会利用全概率公式计算概率。了解贝叶斯公式；
复习回顾
回顾1 什么是古典概型？我们是怎么计算古典概型的概率？
一般地，设试验E是古典概型，样本空间Ω包含n个样本点，事件A包含其中的k个样本点，则定义事件A的概率
其中，n(A)和n(Ω)分别表示事件A和样本空间Ω包含的样本点个数.
古典概型满足：有限性、等可能性
新课导入
在必修“概率”一章的学习中，我们遇到过求同一试验中两个事件与同时发生(积事件)的概率的问题.
当事件与相互独立时，有。
如果事件与不独立，如何表示积事件的概率呢？
下面我们从具体问题入手.
一
二
三
教学目标
了解条件概率的概念，区分与
理解并掌握条件概率公式
能利用条件概率公式计算相关问题
教学目标
难点
重点
新知探究
探究一：条件概率的概念及公式
新知讲解
实例1 在班级里随机选择一人做代表：
(1)选到男生的概率是多少？
(2)如果已知选到的是团员, 那么选到的是男生的概率是多少？
团员 非团员 合计
男生 16 9 25
女生 14 6 20
合计 30 15 45
随机选择一人做代表, 则样本空间包含45个等可能的样本点 .
用表示事件“选到团员”, 表示事件“选到男生”, 根据表中的数据可以得出：
n(Ω)=45, n (A)=30, n(B)=25.
(1)根据古典概型知识可知，选到男生的概率
新知讲解
(2)如果已知选到的是团员, 那么选到的是男生的概率是多少？
团员 非团员 合计
男生 16 9 25
女生 14 6 20
合计 30 15 45
(2)“在选到团员的条件下，
选到男生”的概率就是“在事件发生的条件下，事件发生”的概率，记为.
此时相当于以为样本空间来考虑事件发生的概率，而在新的样本空间中事件就是积事件，包含的样本点数 .
根据古典概型知识可知，.
由表格可以看出数据！
新知讲解
实例2：假定生男孩和生女孩是等可能的，现考虑有两个小孩的家庭 . 随机选择一个家庭 , 那么：
(1)该家庭中两个小孩都是女孩的概率是多大？
(2)如果已经知道这个家庭有女孩，那么两个小孩都是女孩的概率又是多大？
观察两个小孩的性别, 用表示男孩, 表示女孩, 则样本空间 , 且所有样本点是等可能的.
用表示事件“选择的家庭中有女孩”,表示事件“选择的家庭中两个孩子都是女孩”, 则.
(1)根据古典概型知识可知，该家庭中两个小孩都是女孩的概率
新知讲解
实例2: (2)如果已经知道这个家庭有女孩，那么两个小孩都是女孩的概率又是多大？
则样本空间, 用表示事件“选择的家庭中有女孩”,表示事件“选择的家庭中两个孩子都是女孩”, 则.
(2)“在选择的家庭有女孩的条件下 , 两个小孩都是女孩”的概率就是“在事件发生的条件下 , 事件发生”的概率 , 记为 .
此时成为样本空间 , 事件就是积事件.
根据古典概型知识可知，
实例1，实例2说明了什么呢？
新知讲解
在上面两个问题中，在事件发生的条件下，事件发生的概率都是。这个结论对于一般的古典概型仍然成立.
事实上, 如下图所示, 若已知事件发生, 则成为样本空间.
此时, 事件发生的概率是包含的样本点数与包含的样本点数的比值, 即。
AB
A
B
Ω
概念生成
一般地, 设为两个随机事件, 且,
我们称为在事件发生的条件下, 事件发生的条件概率，简称条件概率.
AB
A
B
Ω
新知讲解
在实例1和实例2中, 都有.
一般地，与不一定相等.
问题1 如果与相等，那么事件与应满足什么条件？
直观上看, 当事件与相互独立时, 事件发生与否不影响事件发生的概率，这等价于成立.
事实上, 若事件与相互独立,
即，且
新知讲解
即 当事件相互独立时, 事件发生与否不影响事件发生的概率，这等价于成立：
反之，若，且，则：
所以，即事件A与B相互独立
新知讲解
问题2 对于任意两个事件与, 如果已知与, 如何计算呢？
，我们称为概率的乘法公式 .
新知探究
探究二：条件概率公式的应用
例题讲解
例1 在5道试题中有3道代数题和2道几何题, 每次从中随机抽出1道题，抽出的题不再放回. 求:
(1)第1次抽到代数题且第2次抽到几何题的概率；
(2)在第1次抽到代数题的条件下, 第2次抽到几何题的概率.
分析 : 如果把“第1次抽到代数题”和“第2次抽到几何题”作为两个事件, 那么问题(1)就是积事件的概率, 问题(2)就是条件概率.
可以先求积事件的概率, 再用条件概率公式求条件概率; 也可以先求条件概率, 再用乘法公式求积事件的概率.
新知讲解
问题3 与，它们相同吗？为什么？
为在事件发生的条件下, 事件发生的条件概率
为在事件发生的条件下, 事件发生的条件概率
AB
A
B
Ω
例题讲解
设=“第1次抽到代数题”, =“第2次抽到几何题”.
(1)第1次抽到代数题且第2次抽到几何题”就是事件. 从5道试题中每次不放回地随机抽取2道（抽2题，分先后；即带有顺序），试验的样本空间包含20个等可能的样本点，
即
又
例题讲解
(2)“在第1次抽到代数题的条件下, 第2次抽到几何题”的概率就是事件发生的条件下，事件发生的概率.
因为（古典概型公式）
利用条件概率公式，得
判断概型，
选对概率公式
新知讲解
方法1：一种是基于样本空间，先计算 和 ，再利用条件概率公式求；
求条件概率有两种方法：
方法2：另一种是根据条件概率的直观意义，增加了“发生”的条件后，样本空间缩小为，求就是以为样本空间计算的概率。
新知讲解
条件概率只是缩小了样本空间, 因此条件概率同样具有概率的性质. 设，则
(1)；
(2)如果和是两个互斥事件
则 ；
(3)设B和互为对立事件，则
新知讲解
例2 已知3张奖券中只有1张有奖，甲、乙、丙3名同学依次不放回地各随机抽取1张 . 他们中奖的概率与抽奖的次序有关吗？
分析：要知道中奖概率是否与抽奖次序有关，只要考察甲、乙、丙3名同学的中奖概率是否相等 .
因为只有1张有奖, 所以“乙中奖”等价于“甲没中奖且乙中奖”,
“丙中奖”等价于“甲和乙都没中奖”，利用乘法公式可求出乙、丙中奖的概率.
例题讲解
解: 用分别表示甲、乙、丙中奖的事件，则
因为，“乙中奖”等价于“甲没中奖且乙中奖”，即
“丙中奖”等价于“甲和乙都没中奖”,
因为, 所以中奖的概率与抽奖的次序无关.
抽签是公平的
新知讲解
例3 银行储蓄卡的密码由6位数字组成 . 某人在银行自助取款机上取钱时，忘记了码的最后1位数字. 求：
(1)任意按最后1位数字，不超过2次就按对的概率；
(2)若记得密码的最后1位是偶数, 不超过2次就按对的概率.
分析: 最后1位密码“不超过2次就按对”等价于“第1次按对，或者第1次按错第2次按对”.
因此，可以先把复杂事件用简单事件表示，再利用概率性质求解.
例题讲解
解: (1)设=“第次按对密码”，则事件“不超过2次就按对密码”可表示为
事件与事件互斥, 由概率的加法公式及乘法公式, 得
=
因此, 任意按最后1位数字, 不超过2次就按对的概率为
(2)设B=“最后1位密码为偶数”
则=
因此, 如果记得密码的最后1位是偶数, 不超过2次就按对的概率为 .
小结
一般地, 设为两个随机事件, 且,
我们称为在事件发生的条件下, 事件发生的条件概率，简称条件概率.
条件概率的定义：
小结
条件概率的性质
(1)；
(2)如果和是两个互斥事件
则 ；
(3)设B和互为对立事件，则