众望高中2022-2023学年高一下学期开学检测
数学试题
满分：150分 考试时间：120分钟
一、单项选择题(本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．设集合A＝{－2,2,4}，B＝{x|x2＝4}，则A∩B＝( )
A．{4} B．{2} C．{2,4} D．{－2,2}
2.的值为( )
A. B. C. D.
3．已知sinα+cosα＝，则sin2α＝（ ）
A． B． C． D．
4．已知，为非零实数，且，则下列命题成立的是（ ）
A． B． C． D．
5.当时，函数的值域是( )
A. B. C. D.
6．函数为奇函数，为偶函数，下列结论一定正确的是（ ）
A．为奇函数 B．为偶函数
C．为奇函数 D．为偶函数
7．已知幂函数的图象过点，则（ ）
A． B． C． D．
8若函数f（x）＝的值域为R，则a的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
二、多项选择题(本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多个选项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分)
9．下列说法正确的是( )
A．“a>1”是“<1”的充分不必要条件
B．命题“若x<1，则x2<1”的否定是“存在x<1，x2≥1”
C．设x，y∈R，则“x≥2且y≥2”是“x2＋y2≥4”的必要不充分条件
D．设a，b∈R，则“a≠0”是“ab≠0”的必要不充分条件
10．已知函数，则（ ）
A．函数的最大值为 B．函数的最大值为
C．函数的最小值为 D．函数的最小值为
11．已知函数则下列结论中正确的是（ ）
A． B．若，则
C．是奇函数 D．在上单调递减
12．下列说法中正确的是（ ）
A．若是第二象限角，则点在第三象限
B．圆心角为，半径为2的扇形面积为2
C．利用二分法求方程的近似解，可以取的一个区间是
D．若，且，则
三、填空题(本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分．请把正确答案填在题中横线上)
13. 不等式的解集是 ．
14．已知是奇函数，且当时，.若，则__________.
15．函数的图象是两条线段（如图），它的定义域为，则不等式
的解集为________．
（15题） （16题）
16．如图是古希腊数学家希波克拉底研究的几何图形，此图由三个半圆构成，直径分别为直角三角形的斜边，直角边、，点在以为直径的半圆上．已知以直角边、为直径的两个半圆的面积之比为3，，则______．
四、解答题(共70分）
17．（10分）已知，，其中，都是锐角，求：
(1)的值； (2)的值．
18（12分）已知函数.
（1）若，求实数的值；
（2）画出函数的图象并写出函数在区间上的值域；
（3）若函数，求函数在上最大值.
19（12分）．已知函数.
（1）求的周期和单调区间；
（2）若，，求的值.
20（12分）．函数，
求函数的定义域；
求函数的零点；
若函数的最小值为，求的值
21（12分）．
(1)若，求的值；
(2)若当时，关于的不等式有解，求实数的取值范围.
22（12分） 如图，有一块以点O为圆心的半圆形空地，要在这块空地上划出一个内接矩形ABCD开辟为绿地，使其一边AD落在半圆的直径上，另两点B，C落在半圆的圆周上．已知半圆的半径长为20 m.
(1)如何选择关于点O对称的点A，D的位置，可以使矩形ABCD的面积最大，最大值是多少？
(2)沿着AB，BC，CD修一条步行小路从A到D，如何选择A，D位置，使步行小路的距离最远？众望高中高一年级开学检测数学答案
一单选题
-8 DAAB CCDB
二多选题：9 ABD 10 AC 11 CD 12 ABC
三填空题：13 (1,2) 14 -3
15 16
四 解答题
17（1）由于已知，，且，都是锐角，
所以，，
则．
（2）由（1）得，，
所以.
18（1）当时，得，
当时，得，
由上知或.
（2）图象如下图：
，
由图象知函数的值域为.
（3）当时，，
配方得,
当，即时，，
当，即时，，
综上，.
19（1），
所以，函数的周期为，
令，解得；
令，解得.
因此，函数的增区间为，减区间为；
（2），，
，，，
.
20解：（1）
要使函数有意义，则，解得：
所以函数的定义域为：
（2）解：
令，得：
即
解得：
因为
所以函数的零点为.
（3）解：
且函数的最小值为
即，得
即.
21（1）
若，即
则.
（2）由题意可知，不等式有解，即，
因为，所以，
因为在上单调递增，在上单调递减，
故当，即时取得最大值，且最大值
∴.
即实数的取值范围为.
22解 (1)连接OB，如图所示，设∠AOB＝θ，
则AB＝OBsin θ＝20sin θ，OA＝OBcos θ＝20cos θ，且θ∈.
因为A，D关于原点对称，
所以AD＝2OA＝40cos θ.
设矩形ABCD的面积为S，则
S＝AD·AB＝40cos θ·20sin θ＝400sin 2θ.
因为θ∈，所以当sin 2θ＝1，
即θ＝时，Smax＝400(m2)．
此时AO＝DO＝10(m)．
故当A，D距离圆心O为10 m时，矩形ABCD的面积最大，其最大面积是400 m2.
(2)由(1)知AB＝20sin θ，
AD＝40cos θ，
∴AB＋BC＋CD＝40sin θ＋40cos θ＝40sin，
又θ∈，
∴θ＋∈，
当θ＋＝，即θ＝时，(AB＋BC＋CD)max＝40，
此时AO＝DO＝10，
即当A，D距离圆心O为10 m时，步行小路的距离最远．
