8.2立体图形的直观图 课件（共16张PPT）

8.2 立体图形的直观图
【观察】如图成块的农田在无人机的垂直视角之下，是什么形状?站在地面眺望远处成块的农田，矩形的农田在我们眼里又是什么形状?
“横看成岭侧成峰，远近高低各不同”，
这说明从不同的角度看同一物体视觉的效果可能不同，要比较真实反映出物体，我们可从多角度观看物体.
前面我们认识了柱体、锥体、台体、球以及简单组合体的结构特征。为了将这些空间几何体画在纸上，用平面图形表示出来，使我们能够根据平面图形想象空间几何体的形状和结构，这就需要学习直观图的有关知识。
直观图是观察者站在某一点观察一个空间几何体获得的图形。画立体图形的直观图，实际上是把不完全在同一平面内的点的集合，用同一平面内的点表示，因此，直观图往往与立体图形的真实形状不完全相同。在立体几何中，立体图形的直观图通常是在平行投影下得到的平面图形。
首先学习水平放置的平面图形画法
平行投影的定义 在一束平行光线的照射下形成的投影叫做平行投影，平行投影的投影线是平行的．
投影的定义：由于光的照射，在不透明物体后面的屏幕上可以留下这个物体的影子，这种现象叫做投影，其中光线叫做投影线，留下物体影子的屏幕叫做投影面．
上面的手影戏的投影方式就是平行投影．
初中学过的三视图的投影方式也是平行投影.
斜投影：投影线不是正对着投影面的，叫斜投影.
正投影：投影线是正对着投影面的，叫正投影.
平行投影
平行投影的分类：
按投影线与投影面的位置关系的不同
平形投影的定义及特点
平行投影的投影图形的特点：
在平行投影下，与投影面平行的平面图形留下的影子，与这个平面图形的形状和大小是完全相同的.
利用平行投影，人们获得了画直观图的斜二测画法．利用这种画法画水平放置的平面图形的直观图，其步骤是：
①在已知图形中取互相垂直的x轴和y轴，两轴相交于点O．画直观图时，把它们画成对应的x'轴与y'轴，两轴相交两轴交于点O'，且使∠x'O'y'＝45?(或135?)，它们确定的平面表示水平面．
②已知图形中平行于x轴或y轴的线段，在直观图中分别画成平行于x'轴或y'轴的线段．
③已知图形中平行于x轴的线段，在直观图中保持原长度不变；平行于y轴的线段，在直观图中长度为原来的一半．
简记为：横（轴）不变纵（轴）减半
例1，在练习本上自主作出水平放置的正六边形的直观图．
答　画法：(1)如图1，在正六边形ABCDEF中，取AD所在直线为x轴，对称轴MN所在直线为y轴，两轴相交于点O.在图2中，画相应的x′和y′轴，两轴相交于点O′，使∠x′O′y′＝45°.
水平放置的平面图形的画法
(2)在图2中，以O′为中点，在x′轴上取A′D′＝AD，在y′轴上取
M′N′＝12MN.以点N′为中点，画B′C′平行于x′轴，并且等于BC；
再以M′为中点，画E′F′平行于x′轴，并且等于EF.
?
(3)连接A′B′，C′D′，D′E′，F′A′，并擦去辅助线x′轴和y′轴，
便获得正六边形ABCDEF水平放置的直观图A′B′C′D′E′F′(图3)．
A
B
C
D
练习1：用斜二测画法画水平放置的正方形的直观图
y
x
O
y′
x′
O′
D′
C′
B′
A′
练习2　斜二测画法可以画任意多边形水平放置的直观图，如果把一个圆水平放置，看起来像什么图形？画出水平放置的圆的直观图．
答　看起来像椭圆．画法如下图：
练习3　用斜二测画法画边长为4 cm的水平放置的正三 角形的直观图．
空间几何体的直观图的画法
例2 如下图，这个几何体是一个简单组合体，它的下部是一个圆柱，上部是一个圆锥，并且圆锥的底面与圆柱的上底面重合．请用斜二测画法画出它的直观图．
解　我们可以先画出下部的圆柱，再画出上部的圆锥．
画法：①画轴；②画圆柱的下底面；
③画圆柱的上底面；④画圆锥的顶点；⑤成图．
例3　如图，一个平面图形的水平放置的斜二测直观图是一个等腰梯形，它的底角为45°，两腰和上底边长均为1，求这个平面图形的面积.
斜二测画法画直观图的逆问题
解　根据斜二测画法，直观图中等腰梯形的高为22，∠BAD=45°，AB＝1＋2×22＝1＋2，CD=1，AD=1，所以在原平面图形中，AB的长度不变，CD的长不变，AD的长变为2，∠BAD=90°，所以这个平面图形的面积为12(1＋1＋2)×2＝2＋2.
?
1
1
1
(1)由原图形求直观图的面积，关键是掌握斜二测画法，明确原来实际图形中的高，在直观图中变为与水平直线成45°角且长度为原来一半的线段，这样可得出所求图形相应的高.
(2)若一个平面多边形的面积为S，它的直观图面积为S′，则S′＝ S.
反思与感悟
1．已知一个正方形的直观图是一个平行四边形，其中有一边长为4，则此正方形的面积为 (　　)
A．16 B．64 C．16或64 D．无法确定
C
2．利用斜二测画法画出边长为3 cm的正方形的直观图，正确的是图中的 (　　)
C
练习 斜二测画法画直观图的综合应用
3.若一个三角形采用斜二测画法，得到的直观图的面积是原三角形面积的
A
4.如图，水平放置的△ABC的斜二测直观图是图中的△A′B′C′，已知A′C′＝6，B′C′＝4，则AB边的实际长度是___.
解析　在原图中，AC＝6，BC＝4×2＝8，∠AOB＝90°，
1.画水平放置的平面图形的直观图，关键是确定直观图的顶点.确定点的位置，可采用直角坐标系.建立恰当的坐标系是迅速作出直观图的关键，常利用图形的对称性，并让顶点尽量多地落在坐标轴上或与坐标轴平行的直线上.
2.用斜二测画法画图时要紧紧把握住：“一斜”、“二测”两点：
(1)一斜：平面图形中互相垂直的Ox、Oy轴，在直观图中画成O′x′、O′y′轴，使∠x′O′y′＝45°或135°.
(2)二测：在直观图中平行于x轴的长度不变，平行于y轴的长度取一半，记为“横不变，纵折半”.