2022-2023学年人教版数学八年级下册16.1 二次根式 第1课时 二次根式的概念 课件 (共43张PPT)

(共43张PPT)
16.1 二根次式
第十六章 二次根式
第1课时 二次根式的概念
学习目标
1.理解二次根式的概念.（重点）
2.掌握二次根式有意义的条件.（重点）
3.会利用二次根式的非负性解决相关问题.（难点）
导入新课
情景引入
里约奥运会上，哪位奥运健儿给你留下了深刻的印象？你能猜出下面表情包是谁吗？
你们是根据哪些特征猜出的呢？
通过表情包来辨别人物，最重要的是根据个人的特征，那么数学的特征是什么呢？
“数学根本上是玩概念的，不是玩技巧，技巧不足道也.”
----中科院数学与系统科学研究院
李邦河
本章知识结构图
回顾知识
填空，并回忆相关的知识：
(1) 9 的平方根是_____, 9 的算术平方根是_____,
(2) 7 的平方根是_____,7 的算术平方根是_____
(3) 0 算术平方根吗？负数有算术平方根吗？
(4) 什么叫做平方根？什么叫做算术平方根吗？
复习引入
问题1 什么叫做平方根
一般地，如果一个数的平方等于a，那么这个数叫做a的平方根.
问题2 什么叫做算术平方根
如果 x2 = a（x≥0），那么 x 称为 a 的算术平方根.用 表示.
问题3 什么数有算术平方根
我们知道,负数没有平方根.因此，在实数范围内开平方时，被开方数只能是正数或0.
思考 用带根号的式子填空，看看写出的结果有什么特点：
(1) 如图①的海报为正方形，
若面积为 3 m2，则边长为_____m；若面积为 S m2，则边长为_____m．
图①
知识点1：二次根式的概念及有意义的条件
正方形的面积 3 = 边长(x)×边长(x) (x＞0)
解析：
x2 = 3
同理：正方形的面积 S
边长
探究新知
(2) 如图②的海报为长方形，若长是宽的 2 倍，面积为 130 m2，则它的宽为_____m．
图②
解析：
长方形的面积 130 = 长(2x)×宽(x) (x＞0)
2x2 = 130
x2 = 65
(3) 一个物体从高处自由落下，落到地面所用的时间 t (单位：s) 与开始落下的高度 h (单位：m) 满足关系 h = 5t2，如果用含有 h 的式子表示 t ，那么 t 为 ．
开始落下的高度 h = 5t2 (t＞0)
解析：
h = 5t2
问题1 这些式子分别表示什么意义？
分别表示2，S，3， 的算术平方根．
上面问题中，得到的结果分别是： ， ， ， ．
讲授新课
二次根式的概念及有意义的条件
一
①根指数都为2;
②被开方数为非负数.
问题2 这些式子有什么共同特征？
归纳总结
一般地，我们把形如 的式子叫做二次根式. “ ”称为二次根号.
两个必备特征
①外貌特征：含有“ ”
②内在特征：被开方数a ≥0
注意：a可以是数，也可以是式.
例1 下列各式中，哪些是二次根式？哪些不是？
解：
(1)(4)(6)均是二次根式，其中a2+1属于“非负数+正数”的形式一定大于零.(3)(5)(7)均不是二次根式.
是否含二次根号
被开方数是不是非负数
二次根式
不是二次根式
是
是
否
否
分析：
典例精析
例2 当x是怎样的实数时, 在实数范围内有
意义
解：由x-2≥0，得
x≥2.
当x≥2时， 在实数范围内有意义.
解：由题意得x-1＞0，
∴x＞1.
【变式题1】当 x 是怎样的实数时，下列各式在实数范围内有意义？
(1) 答案：x≤5.
总结
(1) 单个二次根式如 有意义的条件：A≥0；
答案：2≤x≤3.
多个二次根式相加如 有意义的
条件：
总结
答案：x＞1.
二次根式要求：
x - 1＞0
二次根式作为分式的分母如 有意义的条件：
A＞0.
分式要求：
总结
x - 1≥0
分式要求：x - 1≠0
二次根式要求：x + 3≥0
二次根式与分式的和如 有意义的条件：
A≥0 且 B≠0.
总结
x≥-3 且 x≠1
归纳知识
要代数式有意义，必需满足所含式子的每个式子有意义.
1. 分式+二次根式
分母≠0 并且 二次根式被开数≥0
A ≥0 且 B ≠0
A >0
当x 取怎样的实数时，下列各式在实数范围内有意义？
解题秘方：紧扣“求使含有字母的式子有意义的字母取值范围的方法”求解.
练习
解：(1)欲使 +(x+5)0 有意义，
则必有 ∴ x ≤－3 且x ≠－5.
(2)欲使 有意义，则必有
∴ x ＞ .
(3)欲使 有意义，则必有
∴ 2 ≤ x ≤ 5.
(4)欲使 有意义，则必有
∴ x ≥ －4 且x ≠ 2.
典例讲解
变式练习2 当 x 是怎样的实数时，下列各式在实数范围内有意义
解：(1)由题意得
∴ x＞1.
x - 2≥0 ，
(2)由题意得
∴ 2 ≤ x ≤ 3.
x -2 ≥0 ①，
3 -x ≥0 ②，
解不等式①得 x ≥ 2
解不等式②得 x ≤ 3
(3)由题意得
∴ x = 3.
x - 3≥0 ①，
3 -x ≥0 ②，
解不等式①得 x ≥ 3
解不等式②得 x ≤ 3
归纳知识
要代数式有意义，必需满足所含式子的每个式子有意义.
1. 多个二次根式
每个二次根式被开数 ≥0
x= a
解不等式组
典例讲解
变式练习3 当 x 是怎样的实数时，下列各式在实数范围内有意义
解：(1)由题意得
∵ 无论 x 为任何实数
x 2≥0
(2)由题意得
(3)由题意得
∴ x 为任何实数.
x 2+2x+1
= (x+1 ) 2
∴ x 为任何实数.
-x2-2x-3
=-(x2+2x+3) ，
=-(x2+2x+1)-2，
=-(x+1)2-2，
∵ 无论 x 为任何实数
(x+1 ) 2≥0
∵ 无论 x 为任何实数
-(x+1)2-2≤ 0
∴ x 无解.
归纳知识
判断代数式大小通常变形含有完全平方式来确定其正负
1. (……)2+正数
原式 >0
2. -(……)2-正数
原式<0
典例讲解
例3 已知 y = ，求 3x + 2y 的算术平方根.
解：由题意得
∴ x = 3.
∴ y = 8.
∴ 3x + 2y = 25.
∵ 25 的算术平方根为 5，
∴ 3x + 2y 的算术平方根为 5．
归纳知识
y= b
x= a
解：由题意得
∴a=3，
∴b=4.
当a为腰长时，三角形的周长为3+3+4=10；
当b为腰长时，三角形的周长为4+4+3=11．
若 ，则根据被开方数大于等于0，可得a=0.
归纳
典例讲解
变式练习2
若 x，y 是实数，且 y＜ ，求 的值.
解：根据题意得
∴ x = 1.
∵ y＜ ，
∴ y＜
∴ .
1.下列各式： .
一定是二次根式的个数有 （ ）
A.3个 B.4个 C.5个 D.6个
B
2.(1)若式子 在实数范围内有意义，则x的取值
范围是_______;
(2)若式子 在实数范围内有意义，则x的
取值范围是___________.
x ≥1
x ≥0且x≠2
练一练
课堂小结
定义
带有二次根号
建立不等式求出其解集
被开方数为非负数
算术平方根
分式
有意义
重要结论
多个二次根式
二次根式+分式
分母≠0 并且 被开数≥0
y= b
x= a
2. (……)2+正数
0.5
3. -(……)2-正数
原式<0
原式<0
二次根式
问题1 当x是怎样的实数时， 在实数范围内有意义？ 呢？
前者x为全体实数；后者x为正数和0.
当a＞0时， 表示a的算术平方根，因此 ＞0；当a=0时， 表示0的算术平方根，因此 =0.这就是说，当a≥0时， ≥0.
问题2 二次根式 的被开方数a的取值范围是什么？它本身的取值范围又是什么？
二次根式的双重非负性
二
二次根式的实质是表示一个非负数（或式）的算术平方根.对于任意一个二次根式 ，我们知道：
（1）a为被开方数，为保证其有意义，可知a≥0；
（2） 表示一个数或式的算术平方根，可知 ≥0.
二次根式的被开方数非负
二次根式的值非负
二次根式的双重非负性
归纳总结
例3 若 ，求a -b+c的值.
解：
由题意可知a-2=0,b-3=0,c-4=0,
解得a=2,b=3,c=4.
所以a-b+c=2-3+4=3.
多个非负数的和为零，则可得每个非负数均为零.初中阶段学过的非负数主要有绝对值、偶次幂及二次根式.
归纳
典例精析
已知|3x-y-1|和 互为相反数，求x+4y的平方根．
解：由题意得3x-y-1=0且2x+y-4=0．
解得x=1，y=2．
∴x+4y=1+2×4=9，
∴x+4y的平方根为±3.
练一练
(2)实数a，b 满足 +4a2+4ab+b2=0，则ba 的值为( )
A. 2 B. C. －2 D. －
B
当堂练习
2.式子 有意义的条件是 （ ）
A.x＞2 B.x≥2 C.x＜2 D.x≤2
3.当x=____时，二次根式 取最小值，其最小值
为______．
1. 下列式子中，不属于二次根式的是（ ）
C
A
-1
0
4.当a是怎样的实数时，下列各式在实数范围内有
意义？
5.(1)若二次根式 有意义，求m的取值范围．
解：由题意得m-2≥0且m2-m-2≠0，
解得m≥2且m≠-1，m≠2，
∴m＞2．
(2)无论x取任何实数，代数式 都有意义，求m的取值范围．
解：由题意得x2+6x+m≥0，
即(x+3)2+m-9≥0.
∵(x+3)2≥0，
∴m-9≥0，即m≥9.
6.先阅读，后回答问题：
当x为何值时， 有意义？
解：由题意得x(x-1)≥0
由乘法法则得
解得x≥1 或x≤0
即当x≥1 或x≤0时， 有意义.
能力提升：
体会解题思想后，试着解答：当x为何值时，
有意义？
解：由题意得
则
解得x≥2或x＜ ，
即当x≥2或x＜ 时， 有意义．
课堂小结
二次根式
定义
带有二次根号
在有意义条件下求字母的取值范围
抓住被开方数必须为非负数，从而建立不等式求出其解集.
被开方数为非负数
二次根式的双重非负性
二次根式 中,a≥0且
≥0