苏科版八年级下册9.5 三角形的中位线课件（共30张PPT）

9.5三角形的中位线
第9章 中心对称图形—平行四边形
教师
xxx
苏科版 八年级下册
三角形的中位线的定义
中点四边形
三角形的中位线定理
01
03
02
CONTANTS
目 录
三角形的中位线的定义
01
若D，E分别是AB，AC的中点，则只需测量出DE的长，就可以求出池塘的宽BC．你知道为什么吗？
A
E
D
C
B
问题引入
任意画一个△ABC，然后分别取AB，AC的中点D，E，连接DE．通过观察、测量等方法，你发现线段DE有哪些性质？你能用命题的形式表述你所发现的性质吗？试一试．
A
C
B
E
D
探究新知
A
C
B
E
D
连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线．
如图，DE就是△ABC的一条中位线．
探究新知
三角形的中位线定理
02
如图，沿△ABC的中位线DE，DF，EF剪出四个小三角形．将它们叠合在一起，能完全重合吗？
能
中位线DE与BC有怎样的位置关系和数量关系？
DE∥BC且DE＝ 12 BC
?
A
E
D
C
B
F
探究新知
三角形的中位线与第三边有什么关系？
猜想：三角形的中位线平行于三角形的第三边，并且等于第三边的一半．
你能证明这个猜想吗？
分析：因为E是AC的中点，可以考虑以点E为中心，把△ADE按顺时针方向旋转180°，得到△CFE，如图．这样就只需证明四边形BCFD是平行四边形．
已知：如图，DE是△ABC的中位线．
求证：DE 12BC．
?
//
A
C
B
F
E
D
探究新知
则D，E，F同在一条直线上，DE＝EF，且△ADE≌△CFE．
∴AB∥CF．
又BD＝AD＝CF，
证明：如图，以点E为旋转中心，把△ADE按顺时针方向旋转180°，得△CFE，
∴∠ADE＝∠F，AD＝CF，
A
C
B
F
E
D
∴四边形BCFD是平行四边形，
∴DF BC，
//
∴DE 12BC．
?
//
探究新知
三角形的中位线定理
三角形的中位线平行于三角形的第三边，并且等于第三边的一半．
符号语言：
∵AD＝BD，AE＝EC，
∴DE 12BC．
?
//
A
C
B
E
D
探究新知
注意：
（1）理解三角形中位线定义的两层含义：
（2）区分三角形的中位线与中线：
中位线是连接三角形两边中点的线段；
中线是连接一个顶点和它的对边中点的线段．
（3）一个三角形共有三条中位线．
A
C
B
E
D
①如果D，E分别是AB，AC的中点，那么DE是△ABC的中位线；
②如果DE是△ABC的中位线，那么D，E分别是AB，AC的中点．
探究新知
例题1 如图，在△ABC中，D、E分别为AC、BC的中点，AF平分∠CAB，交DE于点F.若DF＝3，求AC的长
解：∵D、E分别为AC、BC的中点，
∴DE∥AB，
∴∠2＝∠3.
又∵AF平分∠CAB，
∴∠1＝∠3，
∴∠1＝∠2，
∴AD＝DF＝3，
∴AC＝2AD＝2DF＝6.
1
2
3
典型例题
例题2 如图，在四边形ABCD中，AB=CD，M、N、P分别是AD、BC、BD的中点，∠ABD=20°，∠BDC=70°，求∠PMN的度数．
解：∵M、N、P分别是AD、BC、BD的中点，
∴PN，PM分别是△CDB与△DAB的中位线，
∴PM= AB，PN= DC，PM∥AB，PN∥DC，
∵AB=CD，
∴PM=PN，
∴△PMN是等腰三角形，
∵PM∥AB，PN∥DC，
∴∠MPD=∠ABD=20°，∠BPN=∠BDC=70°，
∴∠MPN=∠MPD+(180°?∠NPB)=130°，
∴∠PMN=(180°?130°)÷ 2 =25°．
典型例题
例题3 如图，在△ABC中，AB＝AC，E为AB的中点，在AB的延长线上取一点D，使BD＝AB，求证：CD＝2CE.
证明：取AC的中点F，连接BF.
∵BD＝AB，
∴BF为△ADC的中位线，∴DC＝2BF.
∵E为AB的中点，AB＝AC，
∴BE＝CF，∠ABC＝∠ACB.
∵BC＝CB，∴△EBC≌△FCB,
∴CE＝BF，
∴CD＝2CE.
F
归纳：恰当地构造三角形中位线是解决线段倍分关系的关键．
典型例题
中点四边形
03
例题4 如图，在四边形ABCD中，E、F、G、H分别是AB、BC、CD、DA中点．
求证：四边形EFGH是平行四边形．
四边形问题
连接对角线
三角形问题
（三角形中位线定理）
分析：
典型例题
证明:连接AC.
∵E,F,G,H分别为各边的中点,
∴ EF∥HG, EF=HG.
∴EF∥AC,
HG∥AC,
∴四边形EFGH是平行四边形.
归纳：顺次连接四边形四条边的中点，所得的四边形是平行四边形.
典型例题
【变式题】如图，E、F、G、H分别为四边形ABCD四边之中点．求证：四边形EFGH为平行四边形.
证明：如图，连接BD.
∵E、F、G、H分别为四边形ABCD四边之中点，
∴EH是△ABD的中位线，
FG是△BCD的中位线，
∴EH∥BD且EH= BD，
FG∥BD且FG= BD，
∴EH∥FG且EH=FG，
∴四边形EFGH为平行四边形.
典型例题
三角形的中位线定理的应用
连接对角线相等的四边形各边中点所得的四边形是菱形.
连接对角线互相垂直的四边形各边中点所得的四边形是矩形.
连接对角线垂直且相等的四边形各边中点所得的四边形是正方形.
归 纳：
实际上，顺次连接四边形各边中点所得到的四边形一定是平行四边形，但它是否特殊的平行四边形取决于原四边形的对角线是否垂直或者是否相等，与是否互相平分无关.
探究新知
1.如图，要测定被池塘隔开的A，B两点的距离，可以在AB外选一点C，连接AC，BC，并分别找出它们的中点D，E，连接ED. 现测得AC＝30 m，BC＝40 m，DE＝24 m，则A，B两点之间的距离为(　　)
A.50 m B.48 m C.45 m D.35 m
B
课堂练习
2.如图，在△ABC中，AB＝AC，E，F分别是BC，AC的中点，以AC为斜边作Rt△ADC，若∠CAD＝∠CAB＝45°，则下列结论不正确的是(　　)
A．∠ECD＝112.5°
B．DE平分∠FDC
C．∠DEC＝30°
D．AB＝ CD
C
课堂练习
3. 顺次连接矩形四边中点所得的四边形是( )
A. 矩形 B. 菱形
C. 正方形 D. 以上都不对
B
课堂练习
4.已知三角形的3条中位线分别为3cm、4cm、6cm，则这个三角形的周长是( )
A. 3cm B. 26cm C. 24cm D. 65cm
B
课堂练习
5.如图，在△ABC中，AB＝3，BC＝4，AC＝2，D，E，F分别为AB，BC，AC的中点，连接DF，FE，则四边形DBEF的周长是(　　)
A.5 B.7 C.9 D.11
B
课堂练习
6．如图，已知 E，F 是四边形 ABCD 的对角线 BD 的三等分点，CE，CF 的延长线分别平分 AB，AD．
求证：四边形 ABCD 是平行四边形．
B
A
D
C
E
F
O
G
H
证明：连接AC交BD于点O，连接AE，AF．
∵点G是AB的中点，BE＝EF,
∴GE是△ABF的一条中位线，
∴GE∥AF，即CE∥AF，
课堂练习
同理可得 CF∥AE，
∴四边形AFCE是平行四边形,
∴OA＝OC，OE＝OF．
又BE＝DF，
∴OB＝OD，
∴四边形ABCD是平行四边形．
B
A
D
C
E
F
O
G
H
课堂练习
三角形中位线
定义
定理
连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线
三角形的中位线平行于三角形的第三边，并且等于第三边的一半
课堂小结
应用
感谢观看