2022-2023学年北师大版数学八年级下册第一章 三角形的证明 单元训练（含答案）

第一章 三角形的证明 单元训练
一、单选题
1．已知等腰三角形的一个角等于40°，则它的底角为（ ）
A． B． C．或 D．或
2．如图，已知．按照以下步骤作图：①以点为圆心，以适当的长为半径作弧，分别交的两边于，两点，连接．②分别以点，为圆心，以大于线段的长为半径作弧，两弧在内交于点，连接，．③连接交于点．下列结论中不正确的是（ ）
A． B．
C． D．
3．在中，，，，的对边分别是a，b，c，下列条件中，不能判断为直角三角形的是（ ）
A．，，， B．
C． D．
4．若a，b为等腰的两边，且，则的周长为（ ）
A．12 B．9 C．12或9 D．12或15
5．如图，在中，，垂直平分，分别交，，于D，E两点，若，，则的长为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
6．如图，在中，CD是AB边上的高，BE平分，交CD于点E，已知，，，则的面积等于（ ）
A．4 B．6 C．8 D．10
7．如图，在中，是的垂直平分线，若，，则的度数是（　　）
A． B． C． D．
8．如图，在中，的垂直平分线交于点D，交于点E，，则的长为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
9．如图，在四边形ABCD中，，M，N分别是BC，DC上的点，当的周长最小时，的度数为（ ）
A． B． C． D．
10．如图，已知等腰的面积为9，底边的长为3，腰的垂直平分线分别交，边于点E，F，点D为边的中点，点M为直线上一动点，则的最小值为（ ）
A．6 B．9 C．10 D．12
二、填空题
11．如图，在中，，平分，于点E，，则的长为_____．
在中，平分，，，，面积为______．
13．如图，在中，，，，则______．
14．如图，在中，，，，、分别是、的中点，连结、交于点，则______．
15．如图，是等腰直角三角形的底边上的中线，以为边向右作等边三角形，则的度数为___________．
16．如图，等腰的底边长为4，面积是12，腰的垂直平分线分别交、边于点E、F．若点D为边的中点，点M为线段上一动点，则的最小值为______．
三、解答题
17．在等腰三角形中，，垂直平分，已知，求．
18．如图，是边上的高，平分交于点E，若，求和的度数．
19．如图，已知射线BE是的外角平分线，，．
(1)若，求的值．
(2)若AC的延长线与射线BE相交于一点F，求的取值范围．
(3)在（2）的条件下，若过点C的直线将分成两个等腰三角形，直接写出的值．
20．以的边、为边向外分别作等边、等边，连接、，与交于O，连接．
(1)求证：；
(2)求证：平分；
21．如图，在中，，点D在BC上点E是AC延长线上一点，且
(1)求证：
(2)若，求的度数
22．如图1，在中，，点D是内一点，且满足，点E悬BD延长线上的一点，．
(1)求的度数；
(2)求证：；
(3)如图2，平分，垂足为F，若，求的长．
参考答案：
一、选择1．D2．C3．D4．A5．C6．C7．C8．B9．B10．A
二、填空11．412．13．814．15．16．6
三、解答
17．∵垂直平分，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴．
18．解：证明：
是边上的高
平分
19．（1）∵平分，
∴，
即：
（2）由AC的延长线与射线BE相交于一点F知与不平行，
∵是的外角，
∴，
∵平分,
∴
∵
∴
又
∴
∴
（3）设过点C的直线交于点G，此时，均为等腰三角形，
①当时，则有，，，
又，
②当时，，
，
，
，
③当时，
，
故此情况不存在，
④当，时，，，
，
，
又且
，
；
⑤当时，则，，
又,
∴
又
∴
解得，
故此情况不存在，
综上，的值为，或
20．（1）证明：∵ 和 都是等边三角形，
∴，，，
∴，即．
在△ABE 和△ADC 中
，
∴，
∴．
（2）证明：过点 A 分别作 ，，垂足为点 M，N．
∵由（1）知：，
∴
∴
∴
∴点 A 在的平分线上， 即 平分．
21．（1）∵
在与中
∴
（2）∵
∴
∵，
∴
∴
∴
∴
22．（1）解：∵，，
∴；
（2）如图1，在线段上截取，连接，
∵，，
∴是等边三角形，
∴
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴；
（3）延长交的延长线于点N，
由（2）及图1得，是等边三角形，
，
，
，
∴， 又，
∴，
∴，
∵既是的角平分线又是高，
，
∴是的中线，
即：，
．