中小学教育资源及组卷应用平台
5.1导数的概念及其意义
第1课时 变化率问题和导数的概念
学习目标 把握航向 目的明确
1.了解导数概念的实际背景.
2.会求函数在某一点附近的平均变化率.
3.会利用导数的定义求函数在某点处的导数．
知识梳理 回顾教材 夯实基础
知识点一 瞬时速度
(1)物体在某一时刻的速度称为瞬时速度．
(2)一般地，设物体的运动规律是s＝s(t)，则物体在t0到t0＋Δt这段时间内的平均速度为＝.如果Δt无限趋近于0时，无限趋近于某个常数v，我们就说当Δt无限趋近于0时，的极限是v，这时v就是物体在时刻t＝t0时的瞬时速度，即瞬时速度v＝＝.
知识点二 函数的平均变化率
对于函数y＝f(x)，给定自变量的两个值x1和x2，当自变量x从x1变为x2时，函数值从f(x1)变为f(x2)，我们把式子称为函数y＝f(x)从x1到x2的平均变化率．
习惯上用Δx表示x2－x1，即Δx＝x2－x1，可把Δx看作是相对于x1的一个“增量”，可用x1＋Δx代替x2；类似地，Δy＝f(x2)－f(x1)．于是，平均变化率可表示为．
知识点三 函数在某点处的导数
如果当Δx→0时，平均变化率无限趋近于一个确定的值，即有极限，则称y＝f(x)在x＝x0处可导，并把这个确定的值叫做y＝f(x)在x＝x0处的导数(也称为瞬时变化率)，记作f (x0)或y ′|x＝x0，即f ′(x0)＝＝.
典例讲解 题型探究 重点突破
题型一 函数的平均变化率
例1已知函数f(x)＝3x2＋5，求f(x)：
(1)从0.1到0.2的平均变化率；
(2)在区间[x0，x0＋Δx]上的平均变化率．
解：(1) ∵f(x)＝3x2＋5，
所以从0.1到0.2的平均变化率为＝0.9.
(2)f(x0＋Δx)－f(x0)＝3(x0＋Δx)2＋5－(3x＋5)＝3x＋6x0Δx＋3(Δx)2＋5－3x－5
＝6x0Δx＋3(Δx)2.
函数f(x)在区间[x0，x0＋Δx]上的平均变化率为＝6x0＋3Δx.
反思感悟：求平均变化率的主要步骤:(1)先计算函数值的改变量Δy＝f(x2)－f(x1)；(2)再计算自变量的改变量Δx＝x2－x1；(3)得平均变化率＝.
跟踪训练1 (1)函数y＝从x＝1到x＝2的平均变化率为( )
A.－1 B.－ C.－2 D.2
答案：B
解析：平均变化率为＝＝－.
(2)已知函数y＝3x－x2在x0＝2处的增量为Δx＝0.1，则的值为( )
A.－0.11 B.－1.1 C.3.89 D.0.29
答案：B
解析：∵Δy＝f(2＋0.1)－f(2)＝(3×2.1－2.12)－(3×2－22)＝－0.11，∴＝＝－1.1.
(3)已知函数f(x)＝x＋，分别计算f(x)在自变量x从1变到2和从3变到5时的平均变化率，并判断在哪个区间上函数值变化得较快．
解：自变量x从1变到2时，函数f(x)的平均变化率为＝＝；
自变量x从3变到5时，函数f(x)的平均变化率为＝＝.
∵<，∴函数f(x)＝x＋在自变量x从3变到5时函数值变化得较快．
题型二 求瞬时速度
例2 一作直线运动的物体，其位移s与时间t的关系是s(t)＝3t－t2(s的单位是：m，t的单位是：s)．
(1)求此物体的初速度；
(2)求此物体在t＝2 s时的瞬时速度；
(3)求t＝0 s到t＝2 s时的平均速度.
解：(1)＝＝3－Δt.
当Δt→0时，→3，所以v0＝3.
(2)＝＝－Δt－1.
当Δt→0时，→－1，∴t＝2时的瞬时速度为－1.
(3)＝＝＝1.
反思感悟：求运动物体瞬时速度的三个步骤：(1)求位移改变量Δs＝s(t0＋Δt)－s(t0)；(2)求平均速度＝；(3)求瞬时速度，当Δt无限趋近于0时，无限趋近于的常数v即为瞬时速度，即v＝.
跟踪训练2 (1)一物体的运动方程为s＝7t2－13t＋8，且在t＝t0时的瞬时速度为1，则t0＝________.
答案：1
解析：∵Δs＝7(t0＋Δt)2－13(t0＋Δt)＋8－7t＋13t0－8＝14t0·Δt－13Δt＋7(Δt)2，
∴＝(14t0－13＋7Δt)＝14t0－13＝1，
∴t0＝1.
(2)一质点M按运动方程s(t)＝at2＋1做直线运动(位移单位：m，时间单位：s)，若质点M在t＝2 s时的瞬时速度为8 m/s，求常数a的值．
解：质点M在t＝2 s时的瞬时速度即为函数在t＝2处的瞬时变化率．
∵质点M在t＝2附近的平均变化率为＝＝＝4a＋aΔt，
∴＝4a＝8，即a＝2.
题型三 求曲线在某点处切线的斜率或方程
例3 (1)求函数y＝x－在x＝1处的导数．
解：∵Δy＝(1＋Δx)－－＝Δx＋，
∴＝＝1＋，
∴＝＝2.
从而y ′|x＝1＝2.
(2)求抛物线f(x)＝x2－2x＋3在点(1，2)处的切线方程.
解：由＝＝Δx，可得切线的斜率为k＝Δx＝0.
∴切线的方程为y－2＝0×(x－1)，即y＝2.
反思感悟：用导数定义求函数在某一点处的导数或方程的步骤：(1)求函数的增量Δy＝f(x0＋Δx)－f(x0)；(2)求平均变化率k＝＝；(3)求极限；(4)利用点斜式y－f(x0)＝k(x－x0)写方程；(5)将点斜式方程化为一般式方程.
跟踪训练3 (1)f(x)＝x2在x＝1处的导数为( )
A.2x B.2 C.2＋Δx D.1
答案：B
解析：＝＝＝(2＋Δx)＝2.
(2)已知f(x)＝，且f ′(m)＝－，则m的值等于( )
A.－4 B.2 C.－2 D.±2
答案：D
解析：∵＝＝＝，∴f ′(m)＝ ＝－，∴－＝－，m2＝4，解得m＝±2.
(3)求曲线f(x)＝x2－x在点(2，2)处的切线方程.
解：∵＝＝3＋Δx
∴切线的斜率k＝＝＝(3＋Δx)＝3.
则切线方程为y－2＝3(x－2)，即3x－y－4＝0.
习题精练 基础落实 强化落实
选择题
1.函数y＝1在[2,2＋Δx]上的平均变化率是( )
A.0 B.1 C.2 D.Δx
答案：A
解析：＝＝0.
2.已知函数f(x)＝2x2－4的图象上两点A，B，且xA＝1，xB＝1.1，则函数f(x)从A点到B点的平均变化率为( )
A.4 B.4x C.4.2 D.4.02
答案：C
解析：＝＝＝4.2.
3.物体运动方程为s(t)＝3t2(位移单位：m，时间单位：s)，若v＝＝18 m/s，则下列说法中正确的是( )
A.18 m/s是物体从开始到3 s这段时间内的平均速度
B.18 m/s是物体从3 s到(3＋Δt)s这段时间内的速度
C.18 m/s是物体在3 s这一时刻的瞬时速度
D.18 m/s是物体从3 s到(3＋Δt)s这段时间内的平均速度
答案：C
4.一物体做直线运动，其运动方程为s(t)＝－t2＋2t，则t＝0时，其速度为( )
A.－2 B.－1 C.0 D.2
答案：D
解析：∵＝＝(－2t＋2－Δt)＝－2t＋2，∴当t＝0时，其速度为2.
5.函数y＝x2在x0到x0＋Δx之间的平均变化率为k1，在x0－Δx到x0之间的平均变化率为k2，则k1与k2的大小关系为( )
A.k1>k2 B.k2答案：D
解析：k1＝＝＝2x0＋Δx；
k2＝＝＝2x0－Δx.
∵Δx可正也可负，∴k1与k2的大小关系不确定．
6. (多选)设f(x)＝t2x，若f ′(1)＝4，则t的值是( )
A.－2 B.－1 C.1 D.2
答案：AD
解析：∵ f ′(1)＝＝t2＝4，∴t＝±2.
7.(多选)一做直线运动的物体，其位移s(单位：m)与时间t(单位：s)的关系是s＝3t－t2.则下列正确的是( )
A.此物体的初速度是3 m/s
B.此物体在t＝2时的瞬时速度大小为1 m/s，方向与初速度相反
C.t＝0到t＝2时平均速度1 m/s
D.t＝3 s时的瞬时速度为0 m/s
答案：ABC
解析：A中，初速度v0＝＝＝(3－Δt)＝3(m/s).即物体的初速度为3 m/s.即A正确.
B中，v＝＝＝＝(－Δt－1)＝－1(m/s).即此物体在t＝2时的瞬时速度为1 m/s，方向与初速度相反，即B正确.
C中，v＝＝＝1(m/s).即t＝0到t＝2时的平均速度为1 m/s.即C正确.
D中，v＝＝(－3－Δt)＝－3.故D错误，故应选ABC.
8.(多选)如图显示物体甲、乙在时间0到t1范围内，路程的变化情况，下列说法正确的是( )
A.在0到t0范围内，甲的平均速度大于乙的平均速度
B.在0到t0范围内，甲的平均速度等于乙的平均速度
C.在t0到t1范围内，甲的平均速度大于乙的平均速度
D.在t0到t1范围内，甲的平均速度小于乙的平均速度
答案：BC
解析：在0到t0范围内，甲、乙的平均速度都为＝，故A错误，B正确；在t0到t1范围内，甲的平均速度为，乙的平均速度为.∵s2－s0>s1－s0，t1－t0>0，∴>，故C正确，D错误．
9.A，B两机关开展节能活动，活动开始后两机关的用电量W1(t)，W2(t)与时间t(天)的关系如图所示，则一定有( )
A.两机关节能效果一样好
B.A机关比B机关节能效果好
C.A机关的用电量在[0，t0]上的平均变化率比B机关的用电量在[0，t0]上的平均变化率大
D.A机关与B机关自节能以来用电量总是一样大
答案：B
解析：由题图可知，A，B两机关用电量在[0，t0]上的平均变化率都小于0，由平均变化率的几何意义知，A机关用电量在[0，t0]上的平均变化率小于B机关的平均变化率，从而A机关比B机关节能效果好．
10.设函数f(x)可导，则等于( )
A.f ′(1) B.3f ′(1) C. f ′(1) D.f ′(3)
答案：C
解析：＝＝ f ′(1)．
二、填空题
11.函数f(x)＝x2－x在区间[－2，t]上的平均变化率是2，则t＝________.
答案：5
解析：∵函数f(x)＝x2－x在区间[－2，t]上的平均变化率是2，∴＝＝2，即t2－t－6＝2t＋4，从而t2－3t－10＝0，解得t＝5或t＝－2(舍去)．
12.设函数f(x)＝ax＋3，若f ′(1)＝3，则a＝________.
答案：3
解析：∵f ′(1)＝＝＝a.又∵f ′(1)＝3，∴a＝3.
13.若可导函数f(x)的图象过原点，且满足＝－1，则f ′(0)＝__________.
答案：－1
解析：∵f(x)的图象过原点，∴f(0)＝0，∴f ′(0)＝＝＝－1.
14.抛物线f(x)＝x2－4x在(－1，5)处的切线方程为________.
答案：6x＋y＋1＝0
解析：∵k＝＝－6，∴切线方程为y－5＝－6(x＋1)，即6x＋y＋1＝0.
15.若抛物线f(x)＝4x2在点(x0，f(x0))处切线的斜率为8，则x0＝________.
答案：1
解析：k＝＝(4Δx＋8x0)＝8x0＝8，解得x0＝1.
三、解答题
16.若函数f(x)＝ax2＋c，且f ′(1)＝2，求a的值．
解：∵f(1＋Δx)－f(1)＝a(1＋Δx)2＋c－a－c＝a(Δx)2＋2aΔx，
∴f ′(1)＝＝＝(aΔx＋2a)＝2a，即2a＝2，
∴a＝1.
17.曲线f(x)＝x2上哪一点处的切线满足下列条件？
(1)平行于直线y＝4x－5；
(2)垂直于直线2x－6y＋5＝0；
(3)倾斜角为135°.
解：设P(x0，y0)是满足条件的点，
曲线f(x)＝x2在点P(x0，y0)处切线的斜率为k＝＝2x0，
(1)∵切线与直线y＝4x－5平行，
∴2x0＝4，x0＝2，y0＝4，
即P(2，4)是满足条件的点.
(2)∵切线与直线2x－6y＋5＝0垂直，∴2x0×＝－1，
得x0＝－，y0＝，即P是满足条件的点.
(3) ∵切线的倾斜角为135°，∴其斜率为－1，
即2x0＝－1，得x0＝－，y0＝，
即P是满足条件的点.
18.某物体按照s(t)＝3t2＋2t＋4(s的单位：m)的规律做直线运动，求自运动开始到4 s时物体的运动的平均速度和4 s时的瞬时速度．
解：自运动开始到t s时，物体运动的平均速度(t)＝＝3t＋2＋，
故前4 s物体的平均速度为(4)＝3×4＋2＋＝15(m/s)．
由于Δs＝3(t＋Δt)2＋2(t＋Δt)＋4－(3t2＋2t＋4)＝(2＋6t)Δt＋3(Δt)2.
＝2＋6t＋3·Δt，＝2＋6t，
当t＝4时，＝2＋6×4＝26，
∴4 s时物体的瞬时速度为26m/s.
19.若一物体运动方程如下：(位移单位：m，时间单位：s)
s＝f(t)＝
求：(1)物体在t∈[3，5]内的平均速度；
(2)物体的初速度v0；
(3)物体在t＝1时的瞬时速度.
解：(1)∵物体在t∈[3，5]上的时间变化量为Δt＝5－3＝2，
物体在t∈[3，5]上的位移变化量为Δs＝3×52＋2－(3×32＋2)＝3×(52－32)＝48，
∴物体在t∈[3，5]上的平均速度为＝＝24，
∴物体在t∈[3，5]上的平均速度为24 m/s.
(2)求物体的初速度v0，即求物体在t＝0时的瞬时速度.
∵＝＝＝3Δt－18，
∴物体的初速度v0＝＝ (3Δt－18)＝－18(m/s).
(3)∵＝＝3Δt－12，
∴物体在t＝1时的瞬时速度为(3Δt－12)＝－12 (m/s).
21世纪教育网(www.21cnjy.com)
高中数学(新RJ·A)选择性必修第二册5.1 第1课时 变化率问题和导数的概念 1/1中小学教育资源及组卷应用平台
5.1导数的概念及其意义
第1课时 变化率问题和导数的概念
学习目标 把握航向 目的明确
1.了解导数概念的实际背景.
2.会求函数在某一点附近的平均变化率.
3.会利用导数的定义求函数在某点处的导数．
知识梳理 回顾教材 夯实基础
知识点一 瞬时速度
(1)物体在某一时刻的速度称为瞬时速度．
(2)一般地，设物体的运动规律是s＝s(t)，则物体在t0到t0＋Δt这段时间内的平均速度为＝.如果Δt无限趋近于0时，无限趋近于某个常数v，我们就说当Δt无限趋近于0时，的极限是v，这时v就是物体在时刻t＝t0时的瞬时速度，即瞬时速度v＝＝.
知识点二 函数的平均变化率
对于函数y＝f(x)，给定自变量的两个值x1和x2，当自变量x从x1变为x2时，函数值从f(x1)变为f(x2)，我们把式子称为函数y＝f(x)从x1到x2的平均变化率．
习惯上用Δx表示x2－x1，即Δx＝x2－x1，可把Δx看作是相对于x1的一个“增量”，可用x1＋Δx代替x2；类似地，Δy＝f(x2)－f(x1)．于是，平均变化率可表示为．
知识点三 函数在某点处的导数
如果当Δx→0时，平均变化率无限趋近于一个确定的值，即有极限，则称y＝f(x)在x＝x0处可导，并把这个确定的值叫做y＝f(x)在x＝x0处的导数(也称为瞬时变化率)，记作f (x0)或y ′|x＝x0，即f ′(x0)＝＝.
典例讲解 题型探究 重点突破
题型一 函数的平均变化率
例1已知函数f(x)＝3x2＋5，求f(x)：
(1)从0.1到0.2的平均变化率；
(2)在区间[x0，x0＋Δx]上的平均变化率．
解：
反思感悟：求平均变化率的主要步骤:(1)先计算函数值的改变量Δy＝f(x2)－f(x1)；(2)再计算自变量的改变量Δx＝x2－x1；(3)得平均变化率＝.
跟踪训练1 (1)函数y＝从x＝1到x＝2的平均变化率为( )
A.－1 B.－ C.－2 D.2
(2)已知函数y＝3x－x2在x0＝2处的增量为Δx＝0.1，则的值为( )
A.－0.11 B.－1.1 C.3.89 D.0.29
(3)已知函数f(x)＝x＋，分别计算f(x)在自变量x从1变到2和从3变到5时的平均变化率，并判断在哪个区间上函数值变化得较快．
解：
题型二 求瞬时速度
例2 一作直线运动的物体，其位移s与时间t的关系是s(t)＝3t－t2(s的单位是：m，t的单位是：s)．
(1)求此物体的初速度；
(2)求此物体在t＝2 s时的瞬时速度；
(3)求t＝0 s到t＝2 s时的平均速度.
解：
反思感悟：求运动物体瞬时速度的三个步骤：(1)求位移改变量Δs＝s(t0＋Δt)－s(t0)；(2)求平均速度＝；(3)求瞬时速度，当Δt无限趋近于0时，无限趋近于的常数v即为瞬时速度，即v＝.
跟踪训练2 (1)一物体的运动方程为s＝7t2－13t＋8，且在t＝t0时的瞬时速度为1，则t0＝________.
(2)一质点M按运动方程s(t)＝at2＋1做直线运动(位移单位：m，时间单位：s)，若质点M在t＝2 s时的瞬时速度为8 m/s，求常数a的值．
解：
题型三 求曲线在某点处切线的斜率或方程
例3 (1)求函数y＝x－在x＝1处的导数．
解：
(2)求抛物线f(x)＝x2－2x＋3在点(1，2)处的切线方程.
解：
反思感悟：用导数定义求函数在某一点处的导数或方程的步骤：(1)求函数的增量Δy＝f(x0＋Δx)－f(x0)；(2)求平均变化率k＝＝；(3)求极限；(4)利用点斜式y－f(x0)＝k(x－x0)写方程；(5)将点斜式方程化为一般式方程.
跟踪训练3 (1)f(x)＝x2在x＝1处的导数为( )
A.2x B.2 C.2＋Δx D.1
(2)已知f(x)＝，且f ′(m)＝－，则m的值等于( )
A.－4 B.2 C.－2 D.±2
(3)求曲线f(x)＝x2－x在点(2，2)处的切线方程.
解：
习题精练 基础落实 强化落实
选择题
1.函数y＝1在[2,2＋Δx]上的平均变化率是( )
A.0 B.1 C.2 D.Δx
2.已知函数f(x)＝2x2－4的图象上两点A，B，且xA＝1，xB＝1.1，则函数f(x)从A点到B点的平均变化率为( )
A.4 B.4x C.4.2 D.4.02
3.物体运动方程为s(t)＝3t2(位移单位：m，时间单位：s)，若v＝＝18 m/s，则下列说法中正确的是( )
A.18 m/s是物体从开始到3 s这段时间内的平均速度
B.18 m/s是物体从3 s到(3＋Δt)s这段时间内的速度
C.18 m/s是物体在3 s这一时刻的瞬时速度
D.18 m/s是物体从3 s到(3＋Δt)s这段时间内的平均速度
4.一物体做直线运动，其运动方程为s(t)＝－t2＋2t，则t＝0时，其速度为( )
A.－2 B.－1 C.0 D.2
5.函数y＝x2在x0到x0＋Δx之间的平均变化率为k1，在x0－Δx到x0之间的平均变化率为k2，则k1与k2的大小关系为( )
A.k1>k2 B.k26. (多选)设f(x)＝t2x，若f ′(1)＝4，则t的值是( )
A.－2 B.－1 C.1 D.2
7.(多选)一做直线运动的物体，其位移s(单位：m)与时间t(单位：s)的关系是s＝3t－t2.则下列正确的是( )
A.此物体的初速度是3 m/s
B.此物体在t＝2时的瞬时速度大小为1 m/s，方向与初速度相反
C.t＝0到t＝2时平均速度1 m/s
D.t＝3 s时的瞬时速度为0 m/s
8.(多选)如图显示物体甲、乙在时间0到t1范围内，路程的变化情况，下列说法正确的是( )
A.在0到t0范围内，甲的平均速度大于乙的平均速度
B.在0到t0范围内，甲的平均速度等于乙的平均速度
C.在t0到t1范围内，甲的平均速度大于乙的平均速度
D.在t0到t1范围内，甲的平均速度小于乙的平均速度
9.A，B两机关开展节能活动，活动开始后两机关的用电量W1(t)，W2(t)与时间t(天)的关系如图所示，则一定有( )
A.两机关节能效果一样好
B.A机关比B机关节能效果好
C.A机关的用电量在[0，t0]上的平均变化率比B机关的用电量在[0，t0]上的平均变化率大
D.A机关与B机关自节能以来用电量总是一样大
10.设函数f(x)可导，则等于( )
A.f ′(1) B.3f ′(1) C. f ′(1) D.f ′(3)
二、填空题
11.函数f(x)＝x2－x在区间[－2，t]上的平均变化率是2，则t＝________.
12.设函数f(x)＝ax＋3，若f ′(1)＝3，则a＝________.
13.若可导函数f(x)的图象过原点，且满足＝－1，则f ′(0)＝__________.
14.抛物线f(x)＝x2－4x在(－1，5)处的切线方程为________.
15.若抛物线f(x)＝4x2在点(x0，f(x0))处切线的斜率为8，则x0＝________.
三、解答题
16.若函数f(x)＝ax2＋c，且f ′(1)＝2，求a的值．
解：
17.曲线f(x)＝x2上哪一点处的切线满足下列条件？
(1)平行于直线y＝4x－5；
(2)垂直于直线2x－6y＋5＝0；
(3)倾斜角为135°.
解：
18.某物体按照s(t)＝3t2＋2t＋4(s的单位：m)的规律做直线运动，求自运动开始到4 s时物体的运动的平均速度和4 s时的瞬时速度．
解：
19.若一物体运动方程如下：(位移单位：m，时间单位：s)
s＝f(t)＝
求：(1)物体在t∈[3，5]内的平均速度；
(2)物体的初速度v0；
(3)物体在t＝1时的瞬时速度.
解：
21世纪教育网(www.21cnjy.com)
高中数学(新RJ·A)选择性必修第二册5.1 第1课时 变化率问题和导数的概念 1/1
