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5.1 第2课时 导数的几何意义
学习目标 把握航向 目的明确
1.了解导函数的概念，理解导数的几何意义.
2.会求简单函数的导函数.
3.根据导数的几何意义，会求曲线上某点处的切线方程．
知识梳理 回顾教材 夯实基础
知识点一 导数的几何意义
1.割线斜率与切线斜率
设函数y＝f(x)的图象如图所示，直线AB是过点A(x0，f(x0))与点B(x0＋Δx，f(x0＋Δx))的一条割线，此割线的斜率是＝.
当点B沿曲线趋近于点A时，割线AB绕点A转动，它的极限位置为直线AD，直线AD叫做此曲线在点A处的切线．于是，当Δx→0时，割线AB的斜率无限趋近于过点A的切线AD的斜率k，即k＝f ′(x0)＝.
2.导数的几何意义
函数y＝f(x)在点x＝x0处的导数的几何意义是曲线y＝f(x)在点P(x0，f(x0))处的切线的斜率．也就是说，曲线y＝f(x)在点P(x0，f(x0))处的切线的斜率是f ′(x0)．相应地，切线方程为y－f(x0)＝f ′(x0)(x－x0)．
知识点二 导函数的定义
从求函数f(x)在x＝x0处导数的过程可以看出，当x＝x0时，f ′(x0)是一个唯一确定的数．这样，当x变化时，y＝f ′(x0)就是x的函数，我们称它为y＝f(x)的导函数(简称导数)．y＝f(x)的导函数记作f ′(x)或y ′，即f ′(x)＝y ′＝.
注意点：
f ′(x0)与f ′(x)的区别与联系：
区别：f ′(x0)是具体的值，是数值；f ′(x)是函数f(x)在某区间I上每一点都存在导数而定义的一个新函数，是函数；
联系：在x＝x0处的导数f ′(x0)是导函数f ′(x)在x＝x0处的函数值，因此求函数在某一点处的导数，一般先求导函数，再计算导函数在这一点的函数值.
典例讲解 题型探究 重点突破
题型一 求切线方程
例1 已知曲线C：y＝f(x)＝x3＋x.
(1)求曲线C在点(1,2)处切线的方程；
(2)设曲线C上任意一点处切线的倾斜角为α，求α的取值范围．
解：因为＝＝3x2＋3x·Δx＋1＋(Δx)2，
所以f ′(x)＝＝[3x2＋3x·Δx＋1＋(Δx)2]＝3x2＋1.
(1)曲线C在点(1,2)处切线的斜率为k＝f ′(1)＝3×12＋1＝4.所以曲线C在点(1,2)处的切线方程为y－2＝4(x－1)，即4x－y－2＝0.
(2)曲线C在任意一点处切线的斜率为k＝f ′(x)＝tan α，
所以tan α＝3x2＋1≥1.
又α∈[0，π)，
所以α∈.
反思感悟：利用导数的几何意义求切线方程的方法：(1)若已知点(x0，y0)是切点，求在点(x0，y0)处的切线方程，先求出函数y＝f(x)在点x0处的导数，然后根据直线的点斜式方程，得切线方程y－y0＝f ′(x0)(x－x0)；(2)若点(x0，y0)不是切点，求过点(x0，y0)的切线方程，首先应设出切点坐标，然后根据导数的几何意义列出等式，求出切点坐标，进而求出切线方程.
跟踪训练1 (1)曲线y＝x2＋1在点P(2,5)处的切线与y轴交点的纵坐标是________．
答案：－3
解析：∵y ′|x＝2＝＝＝(4＋Δx)＝4，
∴k＝y ′|x＝2＝4.
∴曲线y＝x2＋1在点P(2,5)处的切线方程为y－5＝4(x－2)，即y＝4x－3.
∴切线与y轴交点的纵坐标是－3.
(2)已知曲线y＝x3＋.
①求曲线在点P(2,4)处的切线方程；
②求曲线过点P(2,4)的切线方程．
解：①∵P(2,4)在曲线y＝x3＋上，
∴曲线在点P(2,4)处切线的斜率为k＝
＝＝4.
∴曲线在点P(2,4)处的切线方程为y－4＝4(x－2)，
即4x－y－4＝0.
②设曲线y＝x3＋与过点P(2,4)的切线相切于点A，则切线的斜率为
k＝＝x，
∴切线方程为y－＝x(x－x0)，
即y＝x·x－x＋.
∵点P(2,4)在切线上，
∴4＝2x－x＋，即x－3x＋4＝0.
∴x＋x－4x＋4＝0，
∴x(x0＋1)－4(x0＋1)(x0－1)＝0，
∴(x0＋1)(x0－2)2＝0，
解得x0＝－1或x0＝2.
故所求的切线方程为x－y＋2＝0，或4x－y－4＝0.
题型二 求切点坐标或参数值
例2 (1)已知抛物线y＝f(x)＝2x2＋1在某点处的切线的倾斜角为45°，则该切点的坐标为________.
(2)若直线y＝3x＋b与曲线y＝x3相切，则b＝________.
答案：(1) (2)±2
解析：(1)设切点坐标为(x0，y0)，则Δy＝[2(x0＋Δx)2＋1]－(2x＋1)＝4x0·Δx＋2(Δx)2，
∴＝4x0＋2Δx，∴f′(x0)＝＝4x0.
又∵切线的斜率为k＝tan 45°＝1，∴4x0＝1即x0＝.
∴y0＝2×＋1＝，
∴切点坐标为.
(2)设直线y＝3x＋b与曲线y＝x3的切点为P(x0，y0)，
由y＝x3得y′＝＝＝[3x2＋3x·Δx＋(Δx)2]＝3x2，
所以曲线y＝x3在点P(x0，y0)处的切线斜率k＝3x，
又直线y＝3x＋b与曲线y＝x3切于点P，所以3x＝3，
因此x0＝±1，所以P(1，1)或P(－1，－1).
因为点P在直线y＝3x＋b上，所以b＝±2.
反思感悟：解答此类题目时，所给的直线的倾斜角或斜率是解题的关键，由这些信息得知函数在某点处的导数，进而可求此点的横坐标.解题时要注意解析几何知识的应用，如直线的倾斜角与斜率的关系，平行，垂直等.
跟踪训练2 已知曲线f(x)＝x2－1在x＝x0处的切线与曲线g(x)＝1－x3在x＝x0处的切线互相平行，求x0的值.
解：对于曲线f(x)＝x2－1，
k1＝＝＝(2x0＋Δx)＝2x0.
对于曲线g(x)＝1－x3，
k2＝＝＝(－3x0Δx－3x－(Δx)2)＝－3x.
由k1＝k2，得2x0＝－3x，
∴x0＝0或x0＝－.
题型三 利用图象理解导数的几何意义
例3 已知函数f(x)的图象如图所示，则下列不等关系中正确的是( )
A.0
C.0< f ′(3)答案：C
解析：kAB＝＝f(3)－f(2)，f ′(2)为函数f(x)的图象在点B(2，f(2))处的切线的斜率，f ′(3)为函数f(x)的图象在点A(3，f(3))处的切线的斜率，根据图象可知0< f ′(3)反思感悟：导数的几何意义就是切线的斜率，所以比较导数大小的问题可以用数形结合思想来解决．
(1)曲线f(x)在x0附近的变化情况可通过x0处的切线刻画．f ′(x0)>0说明曲线在x0处的切线的斜率为正值，从而得出在x0附近曲线是上升的；f ′(x0)<0说明在x0附近曲线是下降的．
(2)曲线在某点处的切线斜率的大小反映了曲线在相应点处的变化情况，由切线的倾斜程度，可以判断出曲线升降的快慢．
跟踪训练3 若函数y＝f(x)的导函数在区间[a，b]上是增函数，则函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象可能是( )
答案：A
解析：依题意，y＝f ′(x)在[a，b]上是增函数，则在函数f(x)的图象上，各点的切线的斜率随着x的增大而增大，观察四个选项的图象，只有A满足．
习题精练 基础落实 强化落实
选择题
1.已知曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线方程为2x－y＋2＝0，则f ′(1)等于( )
A.4 B.－4 C.－2 D.2
答案：D
解析：由导数的几何意义知f′(1)＝2.
2.(多选)下面说法不正确的是( )
A.若f ′(x0)不存在，则曲线y＝f(x)在点(x0，f(x0))处没有切线
B.若曲线y＝f(x)在点(x0，f(x0))处有切线，则f ′(x0)必存在
C.若f ′(x0)不存在，则曲线y＝f(x)在点(x0，f(x0))处的切线斜率不存在
D.若曲线y＝f(x)在点(x0，f(x0))处没有切线，则f ′(x0)有可能存在
答案：ABD
解析：根据导数的几何意义及切线的定义知曲线在(x0，y0)处有导数，则切线一定存在，但反之不一定成立，故A，B，D错误．
3.曲线f(x)＝在点(3,3)处的切线的倾斜角α等于( )
A.45° B.60° C.135° D.120°
答案：C
解析：f ′(x)＝＝9＝－9＝－，所以f ′(3)＝－1.又切线的倾斜角α的范围为0°≤α<180°，所以所求倾斜角为135°.
4.若曲线f(x)＝x2的一条切线l与直线x＋4y－8＝0垂直，则l的方程为( )
A.4x－y－4＝0 B.x＋4y－5＝0 C.4x－y＋3＝0 D.x＋4y＋3＝0
答案：A
解析：设切点为(x0，y0)，因为f ′(x)＝ ＝(2x＋Δx)＝2x.由题意可知，切线斜率k＝4，即f ′(x0)＝2x0＝4，所以x0＝2.所以切点坐标为(2,4)，切线方程为y－4＝4(x－2)，即4x－y－4＝0，故选A.
5.已知函数f(x)满足f ′(x1)>0，f ′(x2)<0，则在x1和x2附近符合条件的f(x)的图象大致是( )
答案：D
解析：由f ′(x1)>0，f ′(x2)<0可知，f(x)的图象在x1处切线的斜率为正，在x2处切线的斜率为负．
6.(多选)下列各点中，在曲线y＝x3－2x上，且在该点处的切线倾斜角为的是( )
A. (0,0) B. (1，－1) C. (－1,1) D. (1,1)
答案：BC
解析：设切点坐标为(x0，y0)，则＝＝3x－2＝tan ＝1，所以x0＝±1，当x0＝1时，y0＝－1.当x0＝－1时，y0＝1.
7.已知y＝f(x)的图象如图所示，则f ′(xA)与f ′(xB)的大小关系是( )
A.f ′(xA)> f ′(xB) B. f ′(xA)< f ′(xB) C. f ′(xA)＝f ′(xB) D.不能确定
答案：B
解析：由导数的几何意义，f ′(xA)，f ′(xB)分别是切线在点A，B处切线的斜率，由图象可知f ′(xA)< f ′(xB).
8.若函数f(x)的导函数在区间[a，b]上是增函数，则函数f(x)在区间[a，b]上的图象可能是( )
答案：A
解析：函数f(x)的导函数f ′(x)在[a，b]上是增函数，若对任意x1和x2满足a9.已知函数f(x)在R上可导，其部分图象如图所示，设＝a，则下列不等式正确的是( )
A. f ′(1)< f ′(2)答案：B
解析：由图象可知，函数在[0，＋∞)上的增长越来越快，故函数图象在点(x0，f(x0))(x0∈(0，＋∞))的切线的斜率越来越大，∵＝a，∴f ′(1)10.若曲线y＝x＋上任意一点P处的切线斜率为k，则k的取值范围是( )
A. (－∞，－1) B. (－1,1) C. (－∞，1) D. (1，＋∞)
答案：C
解析：y＝x＋上任意一点P(x0，y0)处的切线斜率为k＝＝ ＝＝1－<1.即k<1.
二、填空题
11.已知曲线y＝2x2＋4x在点P处的切线斜率为16，则P点坐标为________．
答案：(3,30)
解析：令f(x)＝2x2＋4x，设点P(x0,2x＋4x0)，则f ′(x0)＝＝＝4x0＋4，令4x0＋4＝16，得x0＝3，∴P(3,30)．
12.已知直线y＝4x＋a(a<0)和曲线y＝x3－2x2＋3相切，则切点坐标为________，实数a的值为________．
答案：(2,3) －5
解析：设直线与曲线相切于点P(x0，y0)，则f ′(x)＝ ＝3x2－4x.由导数的几何意义，得k＝f′(x0)＝3x－4x0＝4，解得x0＝－或x0＝2，∴切点坐标为或(2,3)．当切点为时，有＝4×＋a，∴a＝(舍去)．当切点为(2,3)时，有3＝4×2＋a，∴a＝－5，因此切点坐标为 (2,3)，a的值为－5.
13.已知函数y＝ax2＋b在点(1,3)处的切线斜率为2，则a＝________，b＝________.
答案：1 2
解析：由题意知a＋b＝3，又y ′|x＝1＝＝2a＝2，∴a＝1，b＝2.
14.若点P是抛物线y＝x2上任意一点，则点P到直线y＝x－2的最小距离为________．
答案：
解析：由题意可得，当点P到直线y＝x－2的距离最小时，点P为抛物线y＝x2的一条切线的切点，且该切线平行于直线y＝x－2，设y＝f(x)＝x2，由导数的几何意义知y ′＝f ′(x)＝＝2x＝1，解得x＝，所以P，故点P到直线y＝x－2的最小距离为d＝＝.
15.若抛物线y＝x2－x＋c上一点P的横坐标是－2，在点P处的切线恰好过坐标原点，则实数c的值为________．
答案：4
解析：y ′＝＝2x－1，在点P处的切线斜率为2×(－2)－1＝－5.因为点P的横坐标是－2，所以点P的纵坐标是6＋c，故直线OP的斜率为－，根据题意有－＝－5，解得c＝4.
三、解答题
16.点P在曲线f(x)＝x2＋1上，且曲线在点P处的切线与曲线y＝－2x2－1相切，求点P的坐标．
解：设P(x0，y0)，则y0＝x＋1，f ′(x0)＝＝＝2x0，
所以过点P的切线方程为y－y0＝2x0(x－x0)，即y＝2x0x＋1－x，
而此直线与曲线y＝－2x2－1相切，
所以切线与曲线y＝－2x2－1只有一个公共点，
由
得2x2＋2x0x＋2－x＝0，
则Δ＝4x－8(2－x)＝0，
解得x0＝±，则y0＝，
所以点P的坐标为或.
17.在抛物线y＝x2上哪一点处的切线平行于直线4x－y＋1＝0？哪一点处的切线垂直于这条直线？
解：y ′＝＝(2x＋Δx)＝2x.
设抛物线上点P(x0，y0)处的切线平行于直线4x－y＋1＝0，
则＝2x0＝4，解得x0＝2，
所以y0＝x＝4，即P(2,4)，经检验，符合题意．
设抛物线上点Q(x1，y1)处的切线垂直于直线4x－y＋1＝0，
则＝2x1＝－，解得x1＝－，
所以y1＝x＝，即Q，经检验，符合题意．
故抛物线y＝x2在点(2,4)处的切线平行于直线4x－y＋1＝0，在点处的切线垂直于直线4x－y＋1＝0.
18.已知直线l1为曲线y＝x2＋x－2在点(1,0)处的切线，l2为该曲线的另一条切线，且l1⊥l2，求直线l2的方程．
解：因为y ′＝＝＝2x＋1，
所以y ′|x＝1＝3，
所以直线l1的方程为y＝3(x－1)，即y＝3x－3，
设直线l2过曲线y＝x2＋x－2上的点P(x0，x＋x0－2)，
则直线l2的方程为y－(x＋x0－2)＝(2x0＋1)(x－x0)．
因为l1⊥l2，所以2x0＋1＝－，x0＝－，
所以直线l2的方程为3x＋9y＋22＝0.
19.过曲线y＝x2上某点P的切线满足下列条件，分别求出P点．
(1)平行于直线y＝4x－5；
(2)垂直于直线2x－6y＋5＝0；
(3)与x轴成135°的倾斜角．
解：f ′(x)＝＝＝2x，
设P(x0，y0)是满足条件的点．
(1)∵切线与直线y＝4x－5平行，
∴2x0＝4，x0＝2，y0＝4，
即P(2,4)是满足条件的点．
(2)∵切线与直线2x－6y＋5＝0垂直，
∴2x0·＝－1，得x0＝－，y0＝，
即P是满足条件的点．
(3)∵切线与x轴成135°的倾斜角，
∴其斜率为－1.即2x0＝－1，得x0＝－，y0＝，
即P是满足条件的点．
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高中数学(新RJ·A)选择性必修第二册5.1 第2课时 导数的几何意义 1/1中小学教育资源及组卷应用平台
5.1 第2课时 导数的几何意义
学习目标 把握航向 目的明确
1.了解导函数的概念，理解导数的几何意义.
2.会求简单函数的导函数.
3.根据导数的几何意义，会求曲线上某点处的切线方程．
知识梳理 回顾教材 夯实基础
知识点一 导数的几何意义
1.割线斜率与切线斜率
设函数y＝f(x)的图象如图所示，直线AB是过点A(x0，f(x0))与点B(x0＋Δx，f(x0＋Δx))的一条割线，此割线的斜率是＝.
当点B沿曲线趋近于点A时，割线AB绕点A转动，它的极限位置为直线AD，直线AD叫做此曲线在点A处的切线．于是，当Δx→0时，割线AB的斜率无限趋近于过点A的切线AD的斜率k，即k＝f ′(x0)＝.
2.导数的几何意义
函数y＝f(x)在点x＝x0处的导数的几何意义是曲线y＝f(x)在点P(x0，f(x0))处的切线的斜率．也就是说，曲线y＝f(x)在点P(x0，f(x0))处的切线的斜率是f ′(x0)．相应地，切线方程为y－f(x0)＝f ′(x0)(x－x0)．
知识点二 导函数的定义
从求函数f(x)在x＝x0处导数的过程可以看出，当x＝x0时，f ′(x0)是一个唯一确定的数．这样，当x变化时，y＝f ′(x0)就是x的函数，我们称它为y＝f(x)的导函数(简称导数)．y＝f(x)的导函数记作f ′(x)或y ′，即f ′(x)＝y ′＝.
注意点：
f ′(x0)与f ′(x)的区别与联系：
区别：f ′(x0)是具体的值，是数值；f ′(x)是函数f(x)在某区间I上每一点都存在导数而定义的一个新函数，是函数；
联系：在x＝x0处的导数f ′(x0)是导函数f ′(x)在x＝x0处的函数值，因此求函数在某一点处的导数，一般先求导函数，再计算导函数在这一点的函数值.
典例讲解 题型探究 重点突破
题型一 求切线方程
例1 已知曲线C：y＝f(x)＝x3＋x.
(1)求曲线C在点(1,2)处切线的方程；
(2)设曲线C上任意一点处切线的倾斜角为α，求α的取值范围．
解：
反思感悟：利用导数的几何意义求切线方程的方法：(1)若已知点(x0，y0)是切点，求在点(x0，y0)处的切线方程，先求出函数y＝f(x)在点x0处的导数，然后根据直线的点斜式方程，得切线方程y－y0＝f ′(x0)(x－x0)；(2)若点(x0，y0)不是切点，求过点(x0，y0)的切线方程，首先应设出切点坐标，然后根据导数的几何意义列出等式，求出切点坐标，进而求出切线方程.
跟踪训练1 (1)曲线y＝x2＋1在点P(2,5)处的切线与y轴交点的纵坐标是________．
(2)已知曲线y＝x3＋.
①求曲线在点P(2,4)处的切线方程；
②求曲线过点P(2,4)的切线方程．
解：
题型二 求切点坐标或参数值
例2 (1)已知抛物线y＝f(x)＝2x2＋1在某点处的切线的倾斜角为45°，则该切点的坐标为________.
(2)若直线y＝3x＋b与曲线y＝x3相切，则b＝________.
反思感悟：解答此类题目时，所给的直线的倾斜角或斜率是解题的关键，由这些信息得知函数在某点处的导数，进而可求此点的横坐标.解题时要注意解析几何知识的应用，如直线的倾斜角与斜率的关系，平行，垂直等.
跟踪训练2 已知曲线f(x)＝x2－1在x＝x0处的切线与曲线g(x)＝1－x3在x＝x0处的切线互相平行，求x0的值.
解：
题型三 利用图象理解导数的几何意义
例3 已知函数f(x)的图象如图所示，则下列不等关系中正确的是( )
A.0C.0< f ′(3)反思感悟：导数的几何意义就是切线的斜率，所以比较导数大小的问题可以用数形结合思想来解决．
(1)曲线f(x)在x0附近的变化情况可通过x0处的切线刻画．f ′(x0)>0说明曲线在x0处的切线的斜率为正值，从而得出在x0附近曲线是上升的；f ′(x0)<0说明在x0附近曲线是下降的．
(2)曲线在某点处的切线斜率的大小反映了曲线在相应点处的变化情况，由切线的倾斜程度，可以判断出曲线升降的快慢．
跟踪训练3 若函数y＝f(x)的导函数在区间[a，b]上是增函数，则函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象可能是( )
习题精练 基础落实 强化落实
选择题
1.已知曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线方程为2x－y＋2＝0，则f ′(1)等于( )
A.4 B.－4 C.－2 D.2
2.(多选)下面说法不正确的是( )
A.若f ′(x0)不存在，则曲线y＝f(x)在点(x0，f(x0))处没有切线
B.若曲线y＝f(x)在点(x0，f(x0))处有切线，则f ′(x0)必存在
C.若f ′(x0)不存在，则曲线y＝f(x)在点(x0，f(x0))处的切线斜率不存在
D.若曲线y＝f(x)在点(x0，f(x0))处没有切线，则f ′(x0)有可能存在
3.曲线f(x)＝在点(3,3)处的切线的倾斜角α等于( )
A.45° B.60° C.135° D.120°
4.若曲线f(x)＝x2的一条切线l与直线x＋4y－8＝0垂直，则l的方程为( )
A.4x－y－4＝0 B.x＋4y－5＝0 C.4x－y＋3＝0 D.x＋4y＋3＝0
5.已知函数f(x)满足f ′(x1)>0，f ′(x2)<0，则在x1和x2附近符合条件的f(x)的图象大致是( )
6.(多选)下列各点中，在曲线y＝x3－2x上，且在该点处的切线倾斜角为的是( )
A. (0,0) B. (1，－1) C. (－1,1) D. (1,1)
7.已知y＝f(x)的图象如图所示，则f ′(xA)与f ′(xB)的大小关系是( )
A.f ′(xA)> f ′(xB) B. f ′(xA)< f ′(xB) C. f ′(xA)＝f ′(xB) D.不能确定
8.若函数f(x)的导函数在区间[a，b]上是增函数，则函数f(x)在区间[a，b]上的图象可能是( )
9.已知函数f(x)在R上可导，其部分图象如图所示，设＝a，则下列不等式正确的是( )
A. f ′(1)< f ′(2)10.若曲线y＝x＋上任意一点P处的切线斜率为k，则k的取值范围是( )
A. (－∞，－1) B. (－1,1) C. (－∞，1) D. (1，＋∞)
二、填空题
11.已知曲线y＝2x2＋4x在点P处的切线斜率为16，则P点坐标为________．
12.已知直线y＝4x＋a(a<0)和曲线y＝x3－2x2＋3相切，则切点坐标为________，实数a的值为________．
13.已知函数y＝ax2＋b在点(1,3)处的切线斜率为2，则a＝________，b＝________.
14.若点P是抛物线y＝x2上任意一点，则点P到直线y＝x－2的最小距离为________．
15.若抛物线y＝x2－x＋c上一点P的横坐标是－2，在点P处的切线恰好过坐标原点，则实数c的值为________．
三、解答题
16.点P在曲线f(x)＝x2＋1上，且曲线在点P处的切线与曲线y＝－2x2－1相切，求点P的坐标．
解：
17.在抛物线y＝x2上哪一点处的切线平行于直线4x－y＋1＝0？哪一点处的切线垂直于这条直线？
解：
18.已知直线l1为曲线y＝x2＋x－2在点(1,0)处的切线，l2为该曲线的另一条切线，且l1⊥l2，求直线l2的方程．
解：
19.过曲线y＝x2上某点P的切线满足下列条件，分别求出P点．
(1)平行于直线y＝4x－5；
(2)垂直于直线2x－6y＋5＝0；
(3)与x轴成135°的倾斜角．
解：
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高中数学(新RJ·A)选择性必修第二册5.1 第2课时 导数的几何意义 1/1