北师大版八年级上册1.1 探索勾股定理　同步练习（含答案）

北师大版八上 1.1 探索勾股定理
一、选择题（共13小题）
1. 如图，在 中，，分别以 ，， 为边向外作正方形面积分别记为 ，，．若 ，．则面积为 的正方形的边长为
A. B. C. D.
2. 在 中，若 ，则
A. B.
C. D.
3. 如图，在 中，． 中 边上的高等于 的长度， 中 边上的高等于 的长度． 中 边上的高等于 的长度，且 ， 的面积分别是 和 ，则 的面积是
A. B. C. D.
4. 如图，小方格都是边长为 的正方形，则 中 边上的高是
A. B. C. D.
5. 如图，所有阴影部分四边形都是正方形，所有三角形都是直角三角形，已知正方形 ，， 的面积依次为 ，，，则正方形 的面积为
A. B. C. D.
6. 在 中，已知其两直角边长 ，，那么斜边 的长为
A. B. C. D.
7. 已知直角平面内点 ，，那么线段 的长等于
A. B. C. D.
8. 如图，直线 上有三个正方形，若 ， 的面积分别为 和 ，则 的面积为
A. B. C. D.
9. 已知直角三角形的两边长分别为 和 ，则斜边长为
A. B. C. 或 D. 或
10. 一个直角三角形的斜边长比一条直角边长多 ，另一条直角边长 ，那么这个直角三角形的斜边长
A. B. C. D.
11. 如图，在 中，，，， 是 的平分线．若 ， 分别是 和 上的动点，则 的最小值是
A. B. C. D.
12. 图 是第七届国际数学教育大会（）的会徽图案，它是由一串有公共顶点 的直角三角形（如图 所示）演化而成的．如果图 中的 ，那么 的长为
A. B. C. D.
13. 在 中，， 是 上异于 ， 的一点，则 的值是
A. B. C. D.
二、填空题（共10小题）
14. 已知 ，， 是 中 ，， 的对边，下列说法：
①若 ，则 ；②若 ，则 ；③若 则 ；④总有 ．其中正确的有 （填序号）．
15. 如图，在 中，，点 在边 上，， 平分 交 于点 ．若 ，，则 的长为 ．
16. 一直角三角形有两边长分别为 和 ，则第三边长为 ．
17. 如图所示的正方形网格中，每个小正方形的面积均为 ，正方形 ，， 的顶点都在格点上，则正方形 的面积为 ．
18. 如图所示，，，，，则 ．
19. 直角坐标平面内的两点 ， 的距离为 ．
20. 如图，已知 是等边三角形，边长为 ， 是三角形的重心，那么 ．
21. 如图，在一次游园活动中，数学小组制作了一面“赵爽弦图锣”，其中 ，，，小明蒙上眼睛用棍子敲击锣面，他击中阴影部分的概率是 ．
22. 在 中，，若 ，，则 的长是 ．
23. 七巧板是我们祖先的一项卓越创造，被誉为“东方魔板”，小明利用七巧板（如图①所示）中各板块的边长之间的关系拼成一个凸六边形（如图②所示），则该凸六边形的周长是 ．
三、解答题（共6小题）
24. 如图，在四边形 中，，，，．分别以点 ， 为圆心，大于 的长为半径作弧，两弧交于点 ，作射线 交 于点 ，交 于点 ，点 是 的中点．
（1）求证：；
（2）求 的长．
25. 如图，以直角三角形的三边分别作正方形．证明：．
26. 如图，在 中，，，，求 的长及 的面积．
27. 如图，在 中，，，，求 的长．
28. 已知 的面积为 ，斜边长为 ，两直角边长分别为 ，．求代数式 的值．
29. 勾股定理神秘而美妙，它的证法多样，且巧妙各有不同，其中的“面积法”给了小聪以灵感．他惊喜地发现：当两个全等的直角三角形如图 或图 摆放时，都可以用“面积法”来证明勾股定理．下面是小聪利用图 证明勾股定理的过程：
将两个全等的直角三角形按如图 所示摆放，其中 ．求证：．
证明：连接 ，过点 作 边上的高 ，则 ．
，，
．
．
将两个全等的直角三角形按如图 所示摆放，其中 ．请参照上述证法，证明：．
答案
1. B
【解析】 中，，
，
，
，，，
．
则 边长为 ．
故选：B．
2. D
【解析】 在 中，若 ，
，
，
故选：D．
3. A
【解析】过点 作 于点 ，过点 作 于点 ，过点 作 延长线于 ，
，
又 ，
，
，
又 ，
，
，
又 ，
，
为直角三角形，
，
4. B
【解析】，
，
中 边上的高 ．
5. A
【解析】设中间正方形为 ，
正方形 ，， 的面积依次为 ，，，
由勾股定理得 ， 的面积和等于 的面积，， 的面积和等于 的面积，
故 的面积为 ．
6. D
7. B
8. C
9. C
【解析】当 为直角边时，斜边 ，
当 为斜边时，另一条直角边 ．
10. C
11. C
【解析】如图，过点 作 于点 ，交 于点 ，过点 作 于点 ，
是 的平分线，
，这时 有最小值，即 的长度，
，，，
，
，
，
即 的最小值为 ．
12. A
【解析】因为 ，
所以由勾股定理可得 ，
，
，
所以 ，
所以 ．
13. B
【解析】过点 作 于 ．
，，
，，，
故选：B．
14. ①②③
15.
【解析】在 中，，，，
由勾股定理，得 ，
．
， 平分 交 于点 ．
．
16. 或
【解析】第三边可能是直角边或斜边，若是直角边，其长为 ；若是斜边，其长为 ．
17.
18.
【解析】，，，，
；
；
．
19.
20.
【解析】延长 交 于 ，
是三角形的重心，
，，
由勾股定理得，，
．
故答案：．
21.
【解析】，，，
由勾股定理得 ，
，
小明蒙上眼晴用棍子敲击锣面，他击中阴影部分的概率是 ．
22.
【解析】 在 中，，
，
又 ，，
，
解得 ．
故答案为 ．
23.
24. （1） ，
，
，，
，
．
（2） 连接 ，
易证 垂直平分 ，
，
由（）知 ，
，．
在 中，
，
，
，
．
25. 由题知 ，，，
又 ，
．
26. ，
．
27. ．
28. 的面积为 ，
，
解得 ，
根据勾股定理得：，
．
29. 如图，连接 ，过点 作 边上的高 ，
则 ．
，，
，
．