华师大版七年级下册9.3 用正多边形铺设地面同步练习（含答案）

华师大版七下 9.3 用正多边形铺设地面
一、选择题（共10小题）
1. 下列选项中的图形，不是凸多边形的是
A. B.
C. D.
2. 下列图形中，属于五边形的是
A. B.
C. D.
3. 下列多边形中，不能够单独铺满地面的是　　
A. 正三角形 B. 正方形 C. 正五边形 D. 正六边形
4. 【例 】小王到瓷砖店购买一种正多边形瓷砖铺设无缝地板，他购买的瓷砖形状不可以是
A. 正三角形 B. 正四边形 C. 正六边形 D. 正八边形
5. 用正三角形和正六边形密铺成平面，共有 种拼法．
A. B. C. D. 无数
6. 某人到瓷砖商店购买一种多边形形状的瓷砖，用来铺设无缝地板，他购买的瓷砖形状不可以是
A. 三角形 B. 矩形 C. 正八边形 D. 正六边形
7. 现要选用两种不同的正多边形地砖铺地板，若已选择了正四边形，则可以再选择的正多边形是
A. 正七边形 B. 正五边形 C. 正六边形 D. 正八边形
8. 某人到瓷砖商店购买一种多边形形状的瓷砖，用来铺设无缝地板，他购买的瓷砖形状不可以是
A. 正三角形 B. 矩形 C. 正八边形 D. 正六边形
9. 同学们喜欢足球吗 足球一般是用黑白两种颜色的皮块缝制而成的，如图所示，黑色皮块是正五边形、白色皮块是正六边形，若一个球上共有黑白皮块共 块，请你计算一下，黑色皮块和白线皮块的块数依次为
A. 块， 块 B. 块， 块 C. 块， 块 D. 块， 块
10. 一幅美丽的图案，在某个顶点处由四个边长相等的正多边形镶嵌而成，其中的三个分别为正三角形、正方形、正六边形，那么另外一个是
A. 正三角形 B. 正方形 C. 正五边形 D. 正六边形
二、填空题（共6小题）
11. 用两类不同形状的正多边形密铺地面，除了正三角形与正六边形可供选择外，还可以选择 与 来密铺．
12. 若将一个多边形截去一个角后，变成十四边形，则原来的多边形的边数为 ．
13. 已知围绕某一点的 个正三角形和 个正六边形恰好铺满地面，若 ，则 的值为 ．
14. 用相同的正六边形能铺满地面吗 （填“能”或“不能”）
15. 当围绕一点拼在一起的几个多边形的内角加在一起恰好组成一个周角时，就能拼成一个既不留空隙，又不相互重叠的平面图形，我们称之为镶嵌．用一种或几种正多边形镶嵌平面有多种方案，如： 个正三角形，记作 ； 个正六边形，记作 ；又如， 表示 个正三角形和 个正六边形的组合．请你再写出除了以上所举的三例以外的三种方案：
① ；
② ；
③ ．
16. 如图所示，此多边形应记作 ， 边的邻边是 和 ，顶点 处的内角为 ，过顶点 画出这个多边形的对角线，共有 条，它们把多边形分成 个三角形．
三、解答题（共7小题）
17. 在如图所示的两个正方形网格中，每个小正方形的边长均为 ．请你分别在每个网格中画出一个顶点在格点上，且周长为 的形状和大小不同的凸多边形．
18. 试说明正八边形不能铺满平面的理由．
19. 如图，四边形 去掉一个 后，剩下的新图形是几边形 并画出图形．
20. 正三角形、正方形与正六边形相结合能否铺满地面呢 为什么
21. 正三角形、正方形、正六边形（如图 ）是我们熟悉的特殊多边形．
（1）这些图形中的边与角有什么共同特征
一般地，我们把各边相等、各内角也相等的多边形叫做正多边形（）．边数为五的正多边形叫做正五边形（如图 ），边数为六的正多边形叫做正六边形，如图 的两个正多边形分别是正七边形和正八边形．
正多边形有许多优良的性质，匀称美观，常被人们用于图案设计和镶嵌平面（既不留空隙，又不相重叠地拼接）（图 ）．
（2）做一做：分别用若干个全等的正三角形、正方形、正六边形纸片，在桌面上设计镶嵌图．你发现这三种正多边形哪些能单独镶嵌平面，哪些不能 你能说明其中的原因吗
（3）想一想：用若干个全等的正五边形能镶嵌平面吗 为什么
事实上，如果用正多边形来镶嵌平面，那么共顶点的各个角之和必须等于 ．例如，用正六边形镶嵌平面（图 ），共顶点的 个角之和为 ．因此能镶嵌平面的正多边形的内角度数一定能整除 ，所以，能单独镶嵌平面的正多边形只有 种，即正三角形、正方形、正六边形．
如果用多种正多边镶嵌平面，则能镶嵌平面的正多边形就不止上面所说的这 种．
（4）探究：用边长相等的正八边形和正方形能镶嵌平面吗 请说明理由．如果能，画出镶嵌图（只要求画出示意图）．
22. 当围绕一点拼在一起的几个多边形的内角恰好组成一个周角时，就能拼成一个既不留空隙，又不相互重叠的平面图形，我们称之为镶嵌．一块地板由三种正多边形的小木板镶嵌而成，这三种正多边形的边数分别为 ，，，求证：．
23. 我们常用各种多边形地砖铺砌成美丽的图案，也就是说，使用给定的某些多边形，能够拼成一个平面图形，既不留一丝空白，又不互相重叠，这在几何里叫做平面密铺（镶嵌）．我们知道，当围绕一点拼在一起的几个多边形的内角的和为 时，就能够拼成一个平面图形．某校研究性学习小组研究平面密铺的问题，其中在探究用两种边长相等的正多边形做平面密铺的情形时用了以下方法：
如果用 个正三角形、 个正六边形进行平面密铺，可得 ，化简得 ．因为 ， 都是正整数，所以只有当 ， 或 ， 时上式才成立，即 个正三角形和 个正六边形或 个正三角形和 个正六边形可以拼成一个无缝隙、不重叠的平面图形，如图①，②，③．
（1）请你仿照上面的方法研究用边长相等的 个正三角形和 个正方形进行平面密铺的情形，并按图④中给出的正方形和正三角形的大小大致画出密铺后图形的示意图（只要画出一种图形即可）；
（2）如果用形状、大小相同的如图⑤方格纸中的三角形，能进行平面密铺吗 若能，请在方格纸中画出密铺的设计图．
答案
1. A
2. C 【解析】根据多边形的定义判定．
3. C
【解析】【分析】由镶嵌的条件知，在一个顶点处各个内角和为．
【解析】解：用一种正多边形镶嵌，只有正三角形，正方形，正六边形三种正多边形能镶嵌成一个平面图案．
不能铺满地面的是正五边形．
故选：．
【点评】几何图形镶嵌成平面的关键是：围绕一点拼在一起的多边形的内角加在一起恰好组成一个周角．
4. D 【解析】因为用一种正多边形镶嵌，只有正三角形，正四边形，正六边形三种正多边形能镶嵌成一个平面图案，
所以小王到瓷砖店购买一种正多边形瓷砖铺设无缝地板，他购买的瓷砖形状不可以是正八边形．
故选：D．
5. B
6. C
7. D
8. C
9. D
10. B
【解析】因为正三角形、正方形、正六边形的内角分别为 ，，，又因为 ，所以另外一个多边形为正方形．
11. 正方形，正八边形（答案不唯一）
12. 或 或
【解析】如图，
边形 ，
若沿着直线 截去一个角，所得到的多边形比原来的多边形的边数少 ，
若沿着直线 截去一个角，所得到的多边形与原来的多边形的边数相等，
若沿着直线 截去一个角，所得到的多边形比原来的多边形的边数多 ，
因此将一个多边形截去一个角后，变成十四边形，原来的多边形的边数为 或 或 ．
13.
【解析】因为正三角形和正六边形的一个内角分别为 ，，
所以 ，
当 时，．
14. 能
15. ，，（答案不唯一）
16. 五边形 （此空答案不唯一），，，，，
17. 如图所示：
（答案不唯一）
18. 正八边形一个内角的度数是 ， 不能被 整除，两个内角的和小于 ，三个内角的和大于 ，
所以正八边形不能铺满平面．
19. 有三种情况，它们分别是三角形、四边形、五边形，作图如下：
20. 可以铺满地面．正三角形的内角度数为 ，正方形的内角度数为 ，与正六边形的内角度数为 ．
例如：，即绕一点能围成周角．
21. （1） 正三角形、正方形、正六边形的共同特征是各个内角都相等，各条边都相等．
（2） 正三角形、正方形、正六边形都能单独镶嵌平面，因为正三角形的一个内角为 ，将 个正三角形拼在一起，共顶点的 个角之和为 ，刚好拼成一个周角．同理， 个正方形、 个正六边形都能单独拼成周角．
（3） 正五边形不能单独镶嵌平面，因为正五边形的一个内角为 ， 个内角和为 ， 个内角和为 ，不能拼成周角．
（4） 用边长相等的正八边形和正方形能镶嵌平面．因为正八边形的内角为 ，正方形的内角为 ，由于 ，所以两个正八边形和一个正方形能拼成一幅镶嵌图（如图）．
22. 因为 ，
所以 ，
所以 ，
即 ．
23. （1） 据题意，可有
化简得
所以
如图：
（2） 能，如图所示．