6.2.3&6.2.4组合的综合应用 课件（共20张PPT）

(共20张PPT)
直线
6.2.3&6.2.4
组合的综合应用
练习
题型一：有限制条件的组合问题
例1.课外活动小组共13人，其中男生8人，女生5人，并且男、女生各有一名队长，现从中选5人主持某项活动，依下列条件各有多少种选法？
(1)至少有一名队长当选；
(2)至多有两名女生当选；
解：(1)[法一]至少有一名队长当选含两种情况：有一名队长和两队队长，
故有共有(种).
[法二]采用排除法，有(种).
(2)至多有两名女生含有3种情况：有两名女生、只有一名女生、没有女生，
故共有(种).
练习
例1.课外活动小组共13人，其中男生8人，女生5人，并且男、女生各有一名队长，现从中选5人主持某项活动，依下列条件各有多少种选法？
(3)既要有队长，又要有女生当选.
解：(3)分两种情况：
第一类：女队长当选，有(种)；
第二类：女队长不当选，有(种).
故共有(种).
练习
方法技巧：
解决有限制条件的组合应用题的策略
(1)“含”与“不含”问题：这类问题的解题思路是将限质条件视为特殊元素和特殊位置，一般来讲，特殊要先满足，其余则“一视同仁”.若正面入手不易，则从反面入手，寻找问题的突破口，即采用排除法.解题时要注意分清“有且仅有”“至多”“至少”“全是”“都不是”“不都是”等词语的确切含义，准确把握分类标准.
(2)几何中的计算问题：在处理几何问题中的组合应用题时，应先明确平面图形和立体图形中的点、线、面之间的关系，将几何问题抽象成组合问题来解决.
练习
变1.课外活动小组共13人，其中男生8人，女生5人，并且男、女生各有一名队长，现从中选5人主持某项活动，若至多有1名队长被选上的方法有多少种？
解：分两类情况：
第一类：没有队长被选上，从除去两名队长之外的11名学生中选取5人有
种选法.
第二类：一名队长被选上，分女队长被选上和男队长被选上，有
种选法.
所以至多有1名队长被选上的方法有种.
练习
题型二：分组、分配问题
例2.6本不同的书，按下列要求各有多少种不同的选法？
(1)分给甲、乙、丙三人，每人两本；(2)分为三份，每份两本；
解：(1)先从6本书中选出2本给甲，有种选法；再从其余的4本书中选2本给乙，有种选法；最后从余下的2本书中选2本给丙，有种选法.所以分给甲乙丙三人，每人2本，共有种方法.
解：(2)分给甲、乙、丙三人，每人两本有种方法，这个过程可以分两步完成：第一步分为三份，每份两本，设有种方法；第二步再将这三份分给甲、乙、丙三名同学有种方法.根据分步乘法计数原理可得：，
所以.
练习
(3)分为三份，一份一本，一份两本，一份三本；
(4)分给甲、乙、丙三人，一人一本，一人两本，一人三本；
(5)分给甲、乙、丙三人，每人至少一本.
解：(3)这是“不均匀分组”问题，一共有(种)方法.
解：(4)在(3)的基础上再进行全排列，所以一共有种方法.
解：(5)可以分为三类情况：
①“2、2、2型”即(1)中的分配情况，有种方法；
②“1、2、3型”即(4)中的分配情况，有种方法；
③“1、1、4型”，有种方法，
所以一共有(种)方法.
练习
方法技巧：
1.“分组”与“分配”问题的解法
(1)本例中的每一个小题都提出了一种类型的问题，搞清楚类型的归属对解题大有裨益.要分清是分组问题还是分配问题，这个是很关键的.
(2)分组问题属于“组合”问题，常见的分组问题有三种：
①完全均匀分组，每组的元素个数均相等，最后必须除以组数的阶乘；
②部分均匀分组，应注意不要重复，有组均匀，最后必须除以；
③完全非均匀分组，这种分组不考虑重复现象.
(3)分配问题属于“排列”问题，分配问题可以按要求逐个分配，也可以分组后再分配.
练习
方法技巧：
2.相同元素分配问题的处理策略
(1)隔板法：如果将有放有小球的盒子紧挨成一行放置，便可看作排成一行的小球的空隙中插入了若干隔板，相邻两块隔板形成一个“盒”.每一种插入隔板的方法对应着小球放入盒子的一种方法，此法称之为隔板法.隔板法专门解决相同元素的分配问题.
(2)将个相同的元素分给个不同的对象()，有种方法.可描述为个空中插入块板.
练习
变2.6个相同的小球放入4个编号为1，2，3，4的盒子，求下列方法的种数.[可不讲]
(1)每个盒子都不空；(2)恰有一个空盒子；(3)恰有两个空盒子.
解：(1)先把6个相同的小球排成一行，在首尾两球外侧放置一块隔板，然后在小球之间的5个空隙中任选3个空隙各插一块隔板，有种.
解：(2)恰有一个空盒子，插板分两步进行.先在首尾两球外侧放置一块隔板，并在5个空隙中任选2个空隙各插一块隔板，如|0|000|00，有种插法；然后将剩下的一块隔板与前面任意一块并放形成空盒，如|0|000||00|，有插法，
故共有(种).
练习
变2.6个相同的小球放入4个编号为1，2，3，4的盒子，求下列方法的种数.
(1)每个盒子都不空；(2)恰有一个空盒子；(3)恰有两个空盒子.
解：(3)恰有两个空盒子，插板分两步进行.先在首尾两球外侧放置一块隔板，并在5个空隙中任选1个空隙插一块隔板，有种插法，如|00|0000|；然后将剩下的两块隔板插入形成空盒.
①这两块板与前面三块板形成不相邻的两个盒子，如||0||000||00|，有插法；
②将这两块板与前面三块板之一并放，如|00|||0000|，有种插法.
故共有(种).
练习
题型三：涂色与种植问题
例3.从五种不同的颜色中选出若干种涂在如图所示的各部分，若要求相邻的部分颜色不同，则不同的涂色方法共有多少种？
解：依题意，可分两类情况：①④不同色；①④同色.
第一类：①④不同色，则①②③④所涂的颜色各不相同，我们可将这件事情分成4步来完成.
第一步涂①，从5种颜色中任选一种，有种涂法；
第二步涂②，从余下的4种颜色中任选一种，有种涂法；
第三步涂③与第四步涂④时，分别有种涂法和种涂法.
于是由分步乘法计数原理可得不同的涂法为种.
练习
例3.从五种不同的颜色中选出若干种涂在如图所示的各部分，若要求相邻的部分颜色不同，则不同的涂色方法共有多少种？
解：第二类：①④同色，则①②③不同色，我们可将这件事情分成3步来完成.
第一步涂①④，从5种颜色中任选一种，有种涂法；
第二步涂②，从余下的4种颜色中任选一种，有种涂法；
第三步涂③，分别有种涂法.
于是由分步乘法计数原理可得不同的涂法为种.
综上可知，所求的涂色方法共有种.
练习
方法技巧：
解决涂色(种植)问题的一般思路
涂色问题一般是综合利用两个计数原理求解，有几种常用方法：
(1)按区域的不同，以区域为主分步计数，用分步乘法计数原理分析.
(2)以颜色为主分类讨论，适用于“区域、点、线段”等问题，用分类加法计数原理分析.
(3)将空间问题平面化，转化为平面区域的涂色问题.
[提醒]种植问题按种植的顺序分步进行，用分步乘法计数原理计数.或按种植品种恰当选取情况分类，用分类加法计数原理计数.
练习
变3.将3种作物全部种植在如图所示的5块试验田中，每块种植一种作物，且相邻的试验田不能种同一种作物，求有多少种不同的种植方法.
解：分别用代表3种作物，先安排第一块田，有种方法，不妨设放入，再安排第二块田，有两种方法或，不妨设放入，第三块田也有种方法，或.
(1)若第三块田放：第四、五块田分别有种方法，
共有(种)方法.
(2)若第三块田放：
第四块有或两种方法：
练习
变3.将3种作物全部种植在如图所示的5块试验田中，每块种植一种作物，且相邻的试验田不能种同一种作物，求有多少种不同的种植方法.
解：第四块有或两种方法：
①若第四块放：
第五块有2种方法；
②若第四块放：
第五块只能种作物，共1种方法.
综上，共有(种)方法.
练习
题型四：排列、组合的综合问题
例4.有5个男生和3个女生，从中选出5人担任5门不同学科的课代表，求分别符合下列条件的选法数：
(1)有女生但人数必须少于男生；
(2)某女生一定担任语文课代表；
解：(1)先选后排，先选可以是2女3男，也可以是1女4男，
先选有种，后排有种，共()(种)选法.
(2)除去该女生后，先排后选有(种)选法.
练习
题型四：排列、组合的综合问题
例4.有5个男生和3个女生，从中选出5人担任5门不同学科的课代表，求分别符合下列条件的选法数：
(3)某男生必须包括在内，但不担任数学课代表；
(4)某女生一定要担任语文课代表，某男生必须担任课代表，但不担任数学课代表.
解：(3)先选后排，但先安排该男生有(种)选法.
(4)先从除去该男生该女生的6人中选3人有种，再安排该男生有种，其余3人全排列有种，共(种)选法.
练习
方法技巧：
解决排列、组合综合问题要遵循的原则及途径
1.按事情发生的过程进行分步：
2.按元素的性质进行分类.解决时通常从三个途径考虑：
(1)以元素为主考虑，即先满足特殊元素的要求，再考虑其他元素；
(2)以位置为主考虑，即先满足特殊位置的要求，再考虑其他位置；
(3)先不考虑附加条件，计算出排列或组合数，再减去不合要求的排列或组合数.
练习
变4.4名同学到3个小区参加垃圾分类宣传活动，每名同学只去1个小区，每个小区至少安排1名同学，则不同的安排方法共有多少种？
解：∵4名同学到3个小区参加垃圾分类宣传活动，每名同学只去1个小区，每个小区至少安排1名同学，
∴先取2名同学看成一组，选法有种，现在可看成是3组同学分配到3个小区，分法有种，根据分步乘法计数原理，可得不同的安排方法共有种.