【解析版】河北省唐山一中2014届高三下学期开学调研考试数学（理）试题

第Ⅰ卷（共60分）
一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.已知复数，是的共轭复数，且 则a、b的值分别为( )
A． B． C． D．
2．已知等差数列中，, 则的值是( )
A． 15 B．30 C．31 D．64
3．实数满足条件,则的最小值为( )
A.16 B．4 C.1 D．
【答案】D
【解析】
4．二项式展开式中的常数项是( )
A．第7项 B．第8项 C．第9项 D．第10项
5．直线的方向向量为且过抛物线的焦点，则直线与抛物线围成的封闭图形面积为( )
A． B． C． D．
.联立直线与抛物线方程,则可知直线与抛物线围
6．已知，则是成立的( )
A 充要条件 B 充分不必要条件 C 必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件
7．设m，n分别是先后抛掷一枚骰子得到的点数，则在先后两次出现的点数中有5的条件下，方程有实根的概率为（ ）
A． B． C． D．
8．右面是“二分法”解方程的流程图．在①~④处应填写的内容分别是( )
A． f(a)f(m)<0 ； a=m； 是； 否
B． f(b)f(m)<0 ； b=m； 是； 否
C． f(b)f(m)<0 ； m=b； 是； 否
D． f(b)f(m)<0 ； b=m； 否； 是
9．定义：，已知数列满足：，若对任意正整数，都有成立，则的值为（ ）
A． B． C． D．
10．如图，正方体的棱长为，以顶点A为球心，2为半径作一个球，则图中球面与正方体的表面相交所得到的两段弧长之和等于( )
A． B． C． D．
11．已知，，规定：当时, ；当时, ，则（ ）
A． 有最小值,最大值1 B． 有最大值1,无最小值
C． 有最小值,无最大值 D． 有最大值,无最小值
12． 已知双曲线上一点，过双曲线中心的直线交双曲线于两点，记直线的斜率分别为，当最小时，双曲线离心率为( )
A ． B． C D
第Ⅱ卷（共90分）
二、填空题（每题4分，满分16分，将答案填在答题纸上）
13．已知函数满足=1 且，则=___________．
14．若，则满足不等式的ｍ的取值范围为　　　．
15．把边长为1的正方形ABCD沿对角线BD折起，形成三棱锥C－ABD，它的主视图与俯视图如右上图所示，则二面角 C－AB－D的正切值为 ．
16．如右图，在直角梯形ABCD中，AB//DC,AD⊥AB , AD=DC=2,AB=3,点是梯形内或边界上的一个动点，点N是DC边的中点，则的最大值是________ .
三、解答题 （本大题共6小题，共74分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）
17．（本题满分12分）若的图像与直线相切，并且切点横坐标依次成公差为的等差数列．
(1)求和的值；
(2) ABC中a、b、c分别是∠A、∠B、∠C的对边．若是函数图象的一个对称中心，且a=4，求ABC面积的最大值．
18． (本小题满分12分)某高校在2012年自主招生考试成绩中随机抽取100名学生的笔试成绩，按成绩分组：第1组[75，80)，第2组[80，85)，第3组[85，90)，第4组[90，95)，第5组[95，100]得到的频率分布直方图如图所示．
(1)分别求第3，4，5组的频率；
(2) 若该校决定在笔试成绩较高的第3，4，5组中用分层抽样抽取6名学生进入第二轮面试，
(ⅰ) 已知学生甲和学生乙的成绩均在第三组，求学生甲和学生乙恰有一人进入第二轮面试的概率；
(ⅱ) 学校决定在这已抽取到的6名学生中随机抽取2名学生接受考官L的面试，设第4组中有名学生被考官L面试，求的分布列和数学期望．
人的情况数和分别有0，1，2人是第四组的情况数，即可得到相应的概率，进而得到分布列，在把三种情
19．（本小题满分12分）如图，四棱锥中，底面为平行四边形，，，⊥底面．
(1)证明：平面平面；
(2)若二面角为，求与平面所成角的正弦值．
【解析】
20. （本小题满分12分）已知圆 ,若椭圆的右顶点为圆的圆心，离心率为．
（1）求椭圆C的方程；
（2）若存在直线，使得直线与椭圆分别交于两点，与圆分别交于两点，点在线段上，且，求圆的半径的取值范围．
【答案】(1) (2)
21．（本小题满分12分）设函数
（1）若关于x的不等式在有实数解，求实数m的取值范围；
（2）设，若关于x的方程至少有一个解，求p的最小值．
（3）证明不等式：

考点：导数 不等式 函数最值
请考生在22、23、24三题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题记分．
22．（本小题满分10分）选修4－1：几何证明选讲．如图，是⊙的直径， 是⊙的切线，与的延长线交于点，为切点．若，，的平分线与和⊙分别交于点、，求的值．
23．（本小题满分10分）选修4－4：坐标系与参数方程选讲．
在极坐标系中, O为极点, 半径为2的圆C的圆心的极坐标为．
求圆C的极坐标方程；
在以极点O为原点，以极轴为x轴正半轴建立的直角坐标系中，直线的参数方程为
（t为参数），直线与圆C相交于A，B两点，已知定点,求|MA|·|MB|．
24．（本小题满分10分）选修4—5：不等式选讲
设函数
（1）若时，解不等式；
（2）若不等式的对一切恒成立，求实数的取值范围