【解析版】湖北省部分重点中学2014届高三第一次联考数学（理）试题

湖北省部分重点中学2014届高三第一次联考数学
理科试题
一、选择题：本大题共有10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。请把它选出后在答题卡上规定的位置上用铅笔涂黑.
1.已知两个集合，，则（ ）.
A. B. C. D.
2.若是纯虚数，则=（ ）
A. B. C. D.
3.已知命题:所有素数都是偶数，则是（ ）
A.所有的素数都不是偶数 B.有些素数是偶数
C.存在一个素数不是偶数 D. 存在一个素数是偶数
4.设，函数的导函数为，且是奇函数，则（ ）
A. 0 B. 1 C. 2 D.
5.三个实数成等差数列，首项是9，若将第二项加2、第三项加20可使得这三个数依次构成等比数列，则的所有取值中的最小值是（ ）
A. 1 B. 4 C. 36 D. 49
6.已知函数的定义域为，值域为.下列关于函数的说法：①当时，；②将的图像补上点，得到的图像必定是一条连续的曲线；③ 是上的单调函数；④的图象与坐标轴只有一个交点.其中正确命题的个数为（ ）
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
7.等比数列的前项和为，若，，成等差数列，则其公比为 （ ）
A. B. C. D.
8. 已知函数是定义在上的偶函数，当时，，则函数的零点个数为（ ）
A. 4 B. 6 C. 8 D. 10
9.设的内角A，B，C所对的边分别为，若三边的长为连续的三个正整数，且，，则为（ ）
A．4:3:2 B．5:4:3 C．6:5:4 D．7:6:5
【答案】C
【解析】
试题分析：，，又、、为连续的三个正整数，设，，，
（),由于，则，即，
，解得，，，
，由正弦定理得，选C.
考点：正弦定理、余弦定理、二倍角的正弦公式.
10.在所在的平面内，点满足，，且对于任意实数，恒有， 则 （ ）
A. B. C. D.
，
，
故需要，
，即，
为的中点，又是边上的高，
是等腰三角形，故有,选C.
考点：共线向量，向量的数量积.
二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，满分25分.
11.设球的半径为时间的函数，若球的体积以均匀速度增长，则球的表面积的增长速度与球半径的乘积为 .
12. 在△ABC中，边 角，过作，且，则 .
【答案】
【解析】
试题分析：依题意， ，由余弦定理得，，由三角形的面积公式得
13.已知两个实数满足且，则三个数从小到大的关系是
（用“”表示）.
考点：函数、与、及的图象性质.
14.已知，各项均为正数的数列满足，若，则 .
15.已知函数.如果存在实数，使函数，在处取得最小值，则实数的最大值为 .
【答案】
【解析】
试题分析：依题意，，
令，在区间上恒成立，
即 ①
三、解答题 （本大题共6小题，共74分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）
16.（本小题满分12分）已知函数.
（1）求的最小正周期和最小值；
（2）若不等式对任意恒成立，求实数的取值范围.
17.（本小题满分12分）如图，在四棱锥中，底面为菱形，
，为的中点.
（1）若，求证：平面平面；
（2）点在线段上，，若平面平面，且，求二面角的大小.
，
18.（本小题满分12分）设等差数列的前项和为．且．
（1）求数列的通项公式；
（2）若，数列满足：，求数列的前项和．
19.（本小题满分12分）已知某音响设备由五个部件组成，A电视机，B影碟机，C线路，D左声道和E右声道，其中每个部件工作的概率如图所示，能听到声音，当且仅当A与B中有一个工作，C工作，D与E中有一个工作；且若D和E同时工作则有立体声效果.
（1）求能听到立体声效果的概率；
（2）求听不到声音的概率.（结果精确到0.01）
20.（本小题满分13分）已知椭圆：（）的右焦点，右顶点,右准线且．
(1)求椭圆的标准方程；
（2）动直线：与椭圆有且只有一个交点，且与右准线相交于点，试探究在平面直角坐标系内是否存在点，使得以为直径的圆恒过定点？若存在，求出点坐标；若不存在，说明理由．
21.（本小题满分14分）设．
（1）若，求最大值；
（2）已知正数，满足.求证：；
（3）已知，正数满足.证明: ．
（2）构造函数，利用导数法证明在在上递增，在上递减.由于函数的极大值为，时，
（3）利用数学归纳法证明如下：
当时，命题显然成立；
假设当时，命题成立，即当时，
.
则当，即当时，
，
又假设