【解析版】湖北省稳派教育2014届高三上学期强化训练（四）数学（理）试题

一、选择题：本大题共有10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。请把它选出后在答题卡上规定的位置上用铅笔涂黑.
1.复数是纯虚数，其中是实数，则（ ）
A. B. C. D.
3.集合，，，，则集合的个数为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
6.等差数列的公差为，随机变量等可能地取，则的标准差为（ ）
A. B. C. D.
9.过抛物线的焦点的直线交抛物线于、两点，若抛物线在点处的切线斜率为1，则线段（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
试题分析：设，，，，可得，又，
直线的方程为，故.
考点：导数的几何意义.
10.设、为正实数，，，则（ ）
A. B. C. D.
12.执行如图所示的程序框图，输出结果 .
14.已知，若对任意，不等式恒成立，则实数的取值范围是 .
【答案】
【解析】
试题分析：由题设知，，则，
因此，原不等式等价于，
在上是增函数，，即，
又，当时，取得最小值，
因此，解得，又，，
故.
考点：分段函数，复合函数，不等式的解法.分离变量法.
（二）选做题（请在夏明两题中任选一题作答，若两题都做，则按第15题计分）.
15.（选修4-1，几何证明选讲）四边形是圆的内接四边形，点在上，已知，，，则圆的半径为 .
【答案】
【解析】
试题分析：延长、交于，四边形是圆的内接四边形，点在上，，在中，，，可得，
在中，，可得，
在中，，，圆的半径为.
考点：圆的性质，圆的内接四边形的性质.
16.（选修4-4，坐标系与参数方程）在极坐标系中，圆上任意一点到点的最大距离为 .
三、解答题 （本大题共6小题，共74分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）
17.（本小题满分12分）已知函数，若的最大值为1.
（1）求的值，并求的单调区间；
（2）在中，角、、所对的边是、、，若，且，试判断三角形的形状.
【答案】（1），（2）直角三角形.
【解析】
试题分析：（1）利用两个角的和与差的正弦公式展开，代入特殊角的三角函数值，在利用两个角的正弦公18.（本小题满分12分）某次网球比赛分四个阶段，只有上一阶段的胜者，才能继续参加下一阶段的比赛，否则就被淘汰，选手每闯过一个阶段，个人积分10分，否则0分.甲乙两个网球选手参加了这次比赛，已知甲每个阶段取胜的概率为，乙每个阶段取胜的概率为.
（1）求甲乙两人最后积分之和为20分的概率；
（2）设甲的最后积分为，求的分布列和数学期望.
【答案】（1），（2）.
【解析】
试题分析：（1）根据条件，设“甲、乙两人最后积分之和为20分”为事件A，“甲得0分，乙得20分”为事件B，“甲得10分，乙得10分”为事件C,“甲得20分，乙得 0分”为事件D.利用独立事件的概率公式，求，，，又事件是互斥事件，再利用求；（2）随机变量的取值可为0,10,20,30,40.求出每个随机变量取值的概率，列成表格，有均值的定义求.
试题解析：（1）设 “甲、乙两人最后积分之和为20分”为事件A，“甲得0分，乙得20分”为事件B，“甲
得10分，乙得10分”为事件C,“甲得20分，乙得 0分”为事件D.又，
，，
.
（2）的取值可为0,10,20,30,40.
，，，
，，
的分布列为：
0
10
20
30
40
数学期望.
考点：独立事件的概率，随机变量的均值.
19.（本小题满分12分）如图，在四棱锥中，底面是等腰梯形，，，是的中点，，且，.

图1
（1）证明：平面；
（2）求二面角的平面角的正切值.
（2）（传统法）过作交的延长线于，连结，图2，
平面，，
为二面角的平面角，
结合图1可知，，从而，
二面角的平面角的正切值为.
（向量法）以为坐标原点，建立空间直角坐标系，如图，
则，，，
，，
设为平面的法向量，则，即，解得，令，
得，由（1）知，为平面的一个法向量，
，
即二面角的平面角的正切值为.
考点：余弦定理，直线与平面垂直的判定定理，二面角的判断方法，用向量法求二面角.
20.（本小题满分12分）已知等差数列满足，，数列 .
（1）求数列的通项公式；
（2）证明：.
【答案】（1），（2）详见解析.
【解析】
试题分析：（1）利用等差数列的性质求，结合条件求出；（2）当时，，，令，利用错位相减法求数列的前项和，要证，需证，
从而有.
试题解析：（1）由，，又，，又，
故.

（1）求直线的方程；
（2）求证：为定值.
【答案】（1），（2）详见解析.
【解析】
22.（本小题满分14分）已知是函数且的零点.
（1）证明：；
（2）证明：.
【答案】（1）详见解析，（2）详见解析.
【解析】
试题分析：（1）求，由得到，从而函数在上是增函数；
（2）要证明成立，可证其等价不等式成立，
再由证明.
便可得，根据等比数列求和公式及不等式的放缩法得出结论.