【解析版】湖北省武汉市2014届高三2月调研测试数学（理）试题

第Ⅰ卷（共50分）
一、选择题：本大题共10个小题,每小题5分,共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项
是符合题目要求的.
1.复数（，为虚数单位）在复平面内对应的点不可能位于( )
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
2.以下茎叶图记录了甲、乙两组各五名学生在一次英语听力测试中的成绩（单位：分）．

已知甲组数据的平均数为17，乙组数据的中位数为17，则x，y的值分别为( )
A．2，6 B．2，7 C．3，6 D．3，7
由茎叶图知乙组数据的中位数为，所以，故选D.
考点： 1、茎叶图；2、平均数、中位数概念.
3.已知e1，e2是夹角为60°的两个单位向量，若a＝e1＋e2，b＝－4e1＋2e2，则a与b的夹角为( )
A．30° B．60° C．120° D．150°
5.阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序．若输入某个正整数n后，输出的S∈(31，72)，则n的值为( )
A．5
B．6
C．7
D．8
6.若(9x－)n（n∈N*）的展开式的第3项的二项式系数为36，则其展开式中的常数项为( )
A．252 B．－252 C．84 D．－84
7.设a，b∈R，则“a＋b＝1”是“a2＋b2＝1”的( )
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
8.如图，在长方体ABCD-A1B1C1D1中，E，H分别是棱A1B1，D1C1上的点（点E与B1不重合），且EH∥A1D1，过EH的平面与棱BB1，CC1相交，交点分别为F，G．设AB＝2AA1＝2a．在长方体ABCD-A1B1C1D1内随机选取一点，记该点取自于几何体A1ABFE-D1DCGH内的概率为P，当点E，F分别在棱A1B1，BB1上运动且满足EF＝a时，则P的最小值为( )
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】
所以当时，恒成立，所以，函数在区间上为减函数，而
所以在区间上恒成立，即有，
综上 ，当时 ，所以 ，故选 A。
考点：1、定积分；2、导数的应用.
10.如图，半径为2的半圆有一内接梯形ABCD，它的下底AB是⊙O的直径，上底CD的端点在圆周上．若双曲线以A，B为焦点，且过C，D两点，则当梯形ABCD的周长最大时，双曲线的实轴长为( )
A．＋1 B．2＋2 C．－1 D．2－2
第Ⅱ卷（共100分）
二、填空题（本大题共6小题，考生共需作答5小题，每小题5分，共25分．请将答案填在答题卡对应题号的位置上．答错位置，书写不清，模棱两可均不得分．）
11.已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为 ．
12.曲线y＝在点M(π，0)处的切线与两坐标轴围成的三角形区域为D（包含三角形内部与边界）．若点P(x，y)是区域D内的任意一点，则x＋4y的最大值为 ．
13.如下图①②③④所示，它们都是由小正方形组成的图案．现按同样的排列规则进行排列，记第n个图形包含的小正方形个数为f(n)，则
（Ⅰ）f(5)＝ ；
（Ⅱ）f(n)＝ ．
14.已知函数f(x)＝sin2x＋2cos2x＋m在区间[0，]上的最大值为3，则
（Ⅰ）m＝ ；
（Ⅱ）对任意a∈R，f(x)在[a，a＋20π]上的零点个数为 ．
15.（选修4-1：几何证明选讲）
如图，⊙O的直径AB的延长线与弦CD的延长线相交于点P，E为⊙O上一点，＝，DE交AB于点F．若AB＝4，BP＝3，则PF＝ ．
【答案】
【解析】
试题分析：
16.（选修4-4：坐标系与参数方程）
在直角坐标系xOy中，以原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系．已知直线ρ(cosθ－sinθ)－a＝0与曲线（θ为参数）有两个不同的交点，则实数a的取值范围为 ．
三、解答题 （本大题共6小题，共75分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）
17.（本小题满分12分）
在锐角△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c．已知sin(A－B)＝cosC．
（Ⅰ）若a＝3，b＝，求c；
（Ⅱ）求的取值范围．
18.（本小题满分12分）
已知数列{an}满足a1＞0，an＋1＝2－|an|，n∈N*．
（Ⅰ）若a1，a2，a3成等比数列，求a1的值；
（Ⅱ）是否存在a1，使数列{an}为等差数列？若存在，求出所有这样的a1；若不存在，说明理由．
当a1＞2时，a1－2＝3a1－2，解得a1＝0，与a1＞2矛盾；
19.（本小题满分12分）
如图，在三棱柱ABC-A1B1C1中，AA1C1C是边长为4的正方形，平面ABC⊥平面AA1C1C，AB＝3，BC＝5．
（Ⅰ）求直线B1C1与平面A1BC1所成角的正弦值；
（Ⅱ）在线段BC1上确定一点D，使得AD⊥A1B，并求的值．
此时＝λ＝．…………………………………………………………………12分
考点：1、直线与平面所成角的概念；2、空间直角坐标系；3、空间向量的夹角公式的应用.
20.（本小题满分12分）
甲、乙、丙三人进行乒乓球练习赛，其中两人比赛，另一人当裁判，每局比赛结束时，负的一方在下一局当裁判．设各局中双方获胜的概率均为，各局比赛的结果相互独立，第1局甲当裁判．
（Ⅰ）求第4局甲当裁判的概率；
（Ⅱ）用X表示前4局中乙当裁判的次数，求X的分布列和数学期望．
21.（本小题满分13分）
如图，矩形ABCD中，|AB|＝2，|BC|＝2．E，F，G，H分别是矩形四条边的中点，分别以HF，EG所在的直线为x轴，y轴建立平面直角坐标系，已知＝λ，＝λ，其中0＜λ＜1．
（Ⅰ）求证：直线ER与GR′的交点M在椭圆Γ：＋y2＝1上；
（Ⅱ）若点N是直线l：y＝x＋2上且不在坐标轴上的任意一点，F1、F2分别为椭圆Γ的左、右焦点，直线NF1和NF2与椭圆Γ的交点分别为P、Q和S、T．是否存在点N，使得直线OP、OQ、OS、OT的斜率kOP、kOQ、kOS、kOT满足kOP＋kOQ＋kOS＋kOT＝0？若存在，求出点N的坐标；若不存在，请说明理由．
22.（本小题满分14分）
（Ⅰ）已知函数f(x)＝ex－1－tx，?x0∈R，使f(x0)≤0，求实数t的取值范围；
（Ⅱ）证明：＜ln＜，其中0＜a＜b；
（Ⅲ）设[x]表示不超过x的最大整数，证明：[ln(1＋n)]≤[1＋＋…＋]≤1＋[lnn]（n∈N*）．
当分别取时有：