第三章 图形的平移与旋转同步练习题（含答案）

2022-2023学年度八年级数学
第三章 图形的平移与旋转
一、解答题
1．如图，在边长为的正方形组成的网格中建立直角坐标系，的顶点均在格点上，点为原点，点、的坐标分别是、．
(1)将向下平移个单位，则点的对应点坐标为　 　；
(2)将绕点逆时针旋转后得到，请在图中作出；
(3)求的面积．
2．在中，，直线经过点C，且于D，于E．
(1)当直线绕点C旋转到图1的位置时，求证：
①；
②．
(2)当直线绕点C旋转到图2的位置时，求证：；
(3)当直线绕点C旋转到图3的位置时，试问具有怎样的等量关系？请写出这个等量关系，并加以证明．
3．如图，点O是等边三角形内一点，，．将 绕点C按顺时针方向旋转60°得到，连结．
(1)求证：是等边三角形．
(2)当时，判断的形状，并说明理由．
(3)当是等腰三角形时，直接写出的度数．
4．如图点O是等边内一点，，∠ACD=∠BCO，OC=CD，
（1）试说明：是等边三角形；
（2）当时，试判断的形状，并说明理由；
（3）当为多少度时，是等腰三角形
5．如图，正方形ABCD内有一点P，若PA=1，PB=2，PC=3．
(1)画出△ABP绕点B顺时针旋转90°得到的△CBE；
(2)求∠APB度数；
(3)求正方形ABCD的面积．
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参考答案：
1．(1)图见解析；
(2)图见解析
(3)
【分析】（1）利用平移变换的性质作出图形，可得结论；
（2）利用旋转变换的性质作出图形即可；
（3）把三角形的面积看成矩形的面积减去周围的三个三角形面积即可．
【详解】（1）解：如图，即为所求，．
故答案为：．
（2）解：如图，即为所求．
（3）解：．
【点睛】本题考查了图形的平移和旋转的画法，及在网格图中求三角形的面积，确定旋转中心、旋转角度、旋转方向是解答本题的关键．
2．(1)①见解析；②见解析
(2)见解析
(3)，证明见解析
【分析】（1）①由垂直关系可得，则由即可证明；
②由的性质及线段和的关系即可证得结论；
（2）由垂直可得，则由可证明，由全等三角形的性质及线段差的关系即可证得结论；
（3）由垂直可得，则由可证得，由全等三角形的性质及线段的和差关系即可得到三线段间的关系．
【详解】（1）解：如图
①∵，
∴，
∴．
又∵，，
∴．
②∵，
∴，，
∴．
（2）∵，
∴，
∴．
又∵，
∴，
∴，
∴．
（3）当旋转到图3的位置时，所满足的等量关系是（或等）．
∵，
∴，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∴．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，互余的性质等知识，证明两个三角形全等是问题的关键．
3．(1)证明见详解
(2)是直角三角形；理由见详解
(3)110°或125°或140°
【分析】（1）先求出，再由旋转得出，即可得出结论；
（2）先求出 ，再求出，即可得出结论；
（3）先表示出，进而求出，再分三种情况，建立方程求解，即可得出结论．
【详解】（1）∵是等边三角形，
∴，
由旋转，得，
∴，
∴，
∴是等边三角形；
（2）当时，是直角三角形，
理由：由旋转，得，
由（1）知，为等边三角形，
∴，
∴，
∴是直角三角形．
（3）解：由（1）知，为等边三角形，
∴，
∴ ，
，
∴，
∵是等腰三角形，
①当时，即，
解得：；
②当时，则，
解得：；
③当时，即，
解得：；
即α的度数为110°或125°或140°．
【点睛】此题是几何变换综合题，主要考查了等边三角形的判定和性质，旋转的性质，直角三角形的判定，等腰三角形的性质，用分类讨论和方程的思想解决问题是解本题的关键．
4．(1)见解析；(2)△AOD是直角三角形，理由见解析；(3) 110°或125°或140°时，△AOD是等腰三角形.
【分析】（1）根据CO=CD，∠OCD=60°，然后根据等边三角形的判定方法即可得到△COD是等边三角形；
（2）先求得∠ADC=∠BOC=α=150°，再利用△COD是等边三角形得∠CDO=60°，于是可计算出∠ADO=90°，由此可判断△AOD是直角三角形；
（3）先利用α表示出∠ADO=α-60°，∠AOD=190°-α，再进行分类讨论：当∠AOD=∠ADO时，△AOD是等腰三角形，即190°-α=α-60°；当∠AOD=∠DAO时，△AOD是等腰三角形，即2（190°-α）+α-60°=180°；当∠ADO=∠DAO时，△AOD是等腰三角形，即190°-α+2（α-60°）=180°，然后分别解方程求出对应的α的值即可．
【详解】(1)∵∠ACD=∠BCO
∴∠ACD+∠ACO=∠BCO+∠ACO=60°
又∵CO=CD
∴△COD是等边三角形；
(2)∵△COD是等边三角形
∴CO=CD
又∵∠ACD=∠BCO，AC=BC
∴△ACD≌△BCO（SAS）
∴∠ADC=∠BOC=α=150°，
∵△COD是等边三角形，
∴∠ADC=∠BOC=α=150°，
∵△COD是等边三角形，
∴∠CDO=60°，
∴∠ADO=∠ADC ∠CDO=90°，
∴△AOD是直角三角形；
(3)∵△COD是等边三角形，
∴∠CDO=∠COD=60°，
∴∠ADO=α 60°,∠AOD=360° 60° 110° α=190° α，
当∠AOD=∠ADO时,△AOD是等腰三角形,即190° α=α 60°,解得α=125°；
当∠AOD=∠DAO时,△AOD是等腰三角形,即2(190° α)+α 60°=180°,解得α=140°；
当∠ADO=∠DAO时,△AOD是等腰三角形,即190° α+2(α 60°)=180°,解得α=110°，
综上所述,∠BOC的度数为110°或125°或140°时，△AOD是等腰三角形.
【点睛】此题考查等腰三角形的判定，旋转的性质，等边三角形的判定与性质，解题关键在于掌握判定定理.
5．(1)画图见解析；(2)∠APB=135°；(3)正方形ABCD的面积为5+2．
【分析】（1）作∠QBC=∠ABP，BP=BQ=2，连接QC即可得出△BCQ；
（2）先由△BPQ是等腰直角三角形求出∠BQP的度数，再证明∠PQC=90°，即可得出∠BQC的度数，进而得出结论；
（3）如图，作CH⊥BQ交BQ的延长线于H．求出BH，CH，利用勾股定理即可解决问题.
【详解】(1)作∠QBC=∠ABP，BP=BQ=2，连接QC即可得出△BCQ；
(2)连接PQ，
在Rt△PBQ中∵BP=BQ=2，
∴PQ2=BP2+BQ2=22+22=8，
在△PCQ中，
∵PC=3，QC=AP=1，
∴PC2=PQ2+QC2，
∴△PCQ是直角三角形，∠PQC=90°，
∵BP=BQ=2，∠PBQ=90°，
∴△PBQ是等腰直角三角形，
∴∠BQP=45°，
∵∠PQC=90°，
∴∠BQC=∠BQP+∠PQC=45°+90°=135°，
∵△BQC由△BPA旋转而成，
∴∠APB=∠BQC=135°．
(3)如图，作CH⊥BQ交BQ的延长线于H，
∵∠BQC=135°，
∴∠CQH=∠QCH=45°，
∴CH=QH，∵CQ=QP=1，
∴CH=QH=，
∴BH=BQ+QH=2+，
在Rt△BCH中，BC===，
∴正方形ABCD的面积为5+2．
【点睛】本题考查的是作图-旋转变换、勾股定理的逆定理及正方形的性质，熟知图形经过旋转后所得图形与原图形全等是解答此题的关键．