【解析版】江苏省常州市2013-2014学年高二上学期期末考试数学（理）试题

一、填空题（每题5分，满分70分，将答案填在答题纸上）.
1.命题“若错误！不能通过编辑域代码创建对象。，则”的否命题为 ．
2.若直线错误！不能通过编辑域代码创建对象。经过点，且与直线错误！不能通过编辑域代码创建对象。垂直，则直线的方程为 ．
3.“错误！不能通过编辑域代码创建对象。”是“不等式成立”的 条件（在“充分不必要”， “必要不充分”， “充要”， “既不充分又不必要”中选一个填写）.
4.圆心为错误！不能通过编辑域代码创建对象。，且经过点的圆的标准方程为 ．
【答案】错误！不能通过编辑域代码创建对象。.
【解析】
试题分析：由题得半径r=，根据圆的标准方程公式可得圆的标准方程为：错误！不能通过编辑域代码创建对象。.
考点：圆的标准方程.
5.（理科做）已知向量，且错误！不能通过编辑域代码创建对象。∥，则实数错误！不能通过编辑域代码创建对象。的值为
．
6.三棱锥错误！不能通过编辑域代码创建对象。的侧棱两两垂直且长度分别为2cm，3cm，1cm，则该三棱锥的体积是 cm3．
7.若双曲线错误！不能通过编辑域代码创建对象。的渐近线方程为，则它的离心率为 ．
8.已知点P在抛物线错误！不能通过编辑域代码创建对象。上运动，F为抛物线的焦点，点M的坐标为（3,2），当PM+PF取最小值时点P的坐标为 ．
【答案】（1，2）.
【解析】
试题分析：由抛物线的定义可知PF等于P到抛物线准线x=-1的距离记为d，所以PM+PF=PM+d，由三角形两边之和大于第三边可知，但P位于过M向抛物线的准线作垂线与抛物线的交点时PM+PF取最小，此时求的点P（1，2）.
考点：抛物线的定义与标准方程.
9.已知圆C经过直线与坐标轴的两个交点，且经过抛物线错误！不能通过编辑域代码创建对象。的焦点，则圆C的方程为 ．
10.已知动圆C与圆错误！不能通过编辑域代码创建对象。及圆都内切，则动圆圆心C的轨迹方程为 ．
11.(理科做) 如图，在三棱锥错误！不能通过编辑域代码创建对象。中，， 错误！不能通过编辑域代码创建对象。，，错误！不能通过编辑域代码创建对象。，则BC和平面ACD所成角的 正弦值为 ．
【答案】.
【解析】
试题分析：可以以B为原点，以BA，BC，BD所在直线为坐标轴建立空间直角坐标系，求出直线BC的方向向量和平面ACD的法向量，然后运用向量的线面角公式即可.
考点：向量在立体几何中的应用.
12.如图，在正方体错误！不能通过编辑域代码创建对象。中，点在面对角
线错误！不能通过编辑域代码创建对象。上运动，给出下列四个命题：
①∥平面错误！不能通过编辑域代码创建对象。； ② ；
③平面错误！不能通过编辑域代码创建对象。⊥平面；④三棱锥错误！不能通过编辑域代码创建对象。的体
积不变.
则其中所有正确的命题的序号是 ．
13.．若直线错误！不能通过编辑域代码创建对象。与曲线恰有一个公共点，则实数错误！不能通过编辑域代码创建对象。的取值范围为 ．
14.已知椭圆：错误！不能通过编辑域代码创建对象。的短轴长为2，离心率为，设过右焦点的直线与椭圆交于不同的两点A，B，过A，B作直线错误！不能通过编辑域代码创建对象。的垂线AP，BQ，垂足分别为P，Q．记， 若直线l的斜率错误！不能通过编辑域代码创建对象。≥,则错误！不能通过编辑域代码创建对象。的取值范围为 ．
二、解答题 （本大题共6小题，共90分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）
15.（本小题满分14分）
已知错误！不能通过编辑域代码创建对象。为实数，：点错误！不能通过编辑域代码创建对象。在圆的内部； 错误！不能通过编辑域代码创建对象。：都有错误！不能通过编辑域代码创建对象。.
（Ⅰ）若为真命题，求错误！不能通过编辑域代码创建对象。的取值范围；
（Ⅱ）若为假命题，求错误！不能通过编辑域代码创建对象。的取值范围；
（Ⅲ）若“且错误！不能通过编辑域代码创建对象。”为假命题，且“或错误！不能通过编辑域代码创建对象。”为真命题，求的取值范围．
【答案】（Ⅰ） 错误！不能通过编辑域代码创建对象。；（Ⅱ）错误！不能通过编辑域代码创建对象。；（Ⅲ）.
16.（本小题满分14分）
如图，斜四棱柱错误！不能通过编辑域代码创建对象。的底面是矩形，平面错误！不能通过编辑域代码创建对象。⊥平面，错误！不能通过编辑域代码创建对象。分别为的中点. 求证：
（Ⅰ）错误！不能通过编辑域代码创建对象。；（Ⅱ）∥平面错误！不能通过编辑域代码创建对象。.
【答案】（Ⅰ）详见解析；（Ⅱ）详见解析.
17.（本小题满分14分）
已知抛物线错误！不能通过编辑域代码创建对象。的焦点为双曲线的一个焦点，且两条曲线都经过点错误！不能通过编辑域代码创建对象。.
（Ⅰ）求这两条曲线的标准方程；
（Ⅱ）已知点在抛物线上，且它与双曲线的左，右焦点构成的三角形的面积为4，求点错误！不能通过编辑域代码创建对象。 的坐标.
法二：错误！不能通过编辑域代码创建对象。，∵双曲线经过点，∴错误！不能通过编辑域代码创建对象。， ……………5分
解得，错误！不能通过编辑域代码创建对象。.
∴双曲线的标准方程为. ……………………8分
18.（本小题满分16分）
已知圆错误！不能通过编辑域代码创建对象。.
（Ⅰ）若直线过点错误！不能通过编辑域代码创建对象。，且与圆相切，求直线错误！不能通过编辑域代码创建对象。的方程；
（II）若圆的半径为4，圆心错误！不能通过编辑域代码创建对象。在直线：错误！不能通过编辑域代码创建对象。上，且与圆内切，求圆错误！不能通过编辑域代码创建对象。 的方程．
∴ 错误！不能通过编辑域代码创建对象。或. …………………14分
∴圆错误！不能通过编辑域代码创建对象。的方程为 或错误！不能通过编辑域代码创建对象。． ………16分
考点：直线与圆的位置关系.
19.（理科做）如图，四棱锥的底面错误！不能通过编辑域代码创建对象。
是直角梯形，，
错误！不能通过编辑域代码创建对象。，且，顶点错误！不能通过编辑域代码创建对象。在底面内的射影恰好落在错误！不能通过编辑域代码创建对象。的中点上.
（Ⅰ）求证：错误！不能通过编辑域代码创建对象。；
（II）若，求直线错误！不能通过编辑域代码创建对象。与所成角的
余弦值；
（Ⅲ）若平面错误！不能通过编辑域代码创建对象。与平面所成的二面角为
错误！不能通过编辑域代码创建对象。，求的值.
（Ⅲ）求出平面APB与平面PCD的法向量，根据平面APB与平面PCD所成的角为60°，构造关于h的（Ⅲ）设平面PAB的法向量为错误！不能通过编辑域代码创建对象。，可得，
设平面PCD的法向量为错误！不能通过编辑域代码创建对象。，
由题意得，
∵错误！不能通过编辑域代码创建对象。∴令错误！不能通过编辑域代码创建对象。，得到， ………12分
∴错误！不能通过编辑域代码创建对象。， ……………………14分
∵平面与平面错误！不能通过编辑域代码创建对象。所成的二面角为，∴错误！不能通过编辑域代码创建对象。，解得，
即错误！不能通过编辑域代码创建对象。． ……………………16分
考点：(1)直线与平面所成的角；(2)异面直线及其所成的角．
20.已知分别是椭圆错误！不能通过编辑域代码创建对象。的左，右顶点，点在椭圆错误！不能通过编辑域代码创建对象。 上，且直线与直线错误！不能通过编辑域代码创建对象。的斜率之积为．
（Ⅰ）求椭圆错误！不能通过编辑域代码创建对象。的标准方程；
（II）点为椭圆错误！不能通过编辑域代码创建对象。上除长轴端点外的任一点，直线，错误！不能通过编辑域代码创建对象。与椭圆的右准线分别交于点，错误！不能通过编辑域代码创建对象。．
①在轴上是否存在一个定点错误！不能通过编辑域代码创建对象。,使得?若存在，求点错误！不能通过编辑域代码创建对象。的坐标；若不存在,说明理由；
②已知常数，求错误！不能通过编辑域代码创建对象。的取值范围.
【答案】（Ⅰ）；（II）①存在点错误！不能通过编辑域代码创建对象。的坐标为，②错误！不能通过编辑域代码创建对象。.
错误！不能通过编辑域代码创建对象。 ， ……………………2分
由以上两式可解得．
∴椭圆方程为错误！不能通过编辑域代码创建对象。． ……… 4分
②∵错误！不能通过编辑域代码创建对象。， ，
∴错误！不能通过编辑域代码创建对象。．
∵，错误！不能通过编辑域代码创建对象。，∴．
∴错误！不能通过编辑域代码创建对象。 ． …………………13分
设函数错误！不能通过编辑域代码创建对象。，定义域为，
当错误！不能通过编辑域代码创建对象。时，即时，错误！不能通过编辑域代码创建对象。在上单调递减，错误！不能通过编辑域代码创建对象。的取值范围为，
当错误！不能通过编辑域代码创建对象。时，即时，错误！不能通过编辑域代码创建对象。在上单调递减，在错误！不能通过编辑域代码创建对象。上单调递增，的取值范围为错误！不能通过编辑域代码创建对象。 ．
综上，当时，错误！不能通过编辑域代码创建对象。的取值范围为，
当错误！不能通过编辑域代码创建对象。时，的取值范围为错误！不能通过编辑域代码创建对象。． ………………16分
考点：（1）椭圆的标准方程；（2）向量的坐标运算；（3）函数的单调性求值域.