【解析版】江苏省南京市2013-2014学年高二上学期期末调研数学（理）试题

一、填空题：本大题共14小题，每小题3分，共42分.
1.命题“(x∈N，x2≠x”的否定是 ．
4.记函数f(x)＝的导函数为f ((x)，则 f ((1)的值为 ．
【答案】－1
【解析】
试题分析：根据商的导数运算法则得，所以解此类问题要注意顺序，不能将题目做成求的导数
考点：商的导数运算法则
5.已知实数x，y满足约束条件则z＝x＋2y的最大值为 ．
8.如图，已知四棱柱ABCD－A1B1C1D1的底面ABCD是矩形，AB＝4，AA1＝3，
(BAA1＝60(，E为棱C1D1的中点，则(＝ ．

11.已知圆柱的体积为16( cm3，则当底面半径r＝ cm时，圆柱的表面积最小．
【答案】2
【解析】
试题分析：圆柱的体积为，圆柱的表面积，由得，
极小值，也是最小值
当底面半径r＝时，圆柱的表面积最小．
考点：利用导数求最值，
12.在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆＋＝1的左焦点为F，直线x－y－1＝0，x－y＋1＝0与椭圆分别相交于点A，B，C，D，则AF＋BF＋CF＋DF＝ ．
13.定义在R上的函数y＝f(x)的图像经过坐标原点O，且它的导函数y＝f ((x)
的图像是如图所示的一条直线，则y＝f(x)的图像一定不经过第 象限．

【答案】一
【解析】
试题分析：设导函数y＝f ((x)的零点为，所以当时，单调增；当时，单调减，又，则由图像知一定不经过第一象限.

考点：导函数与原函数的关系
14.已知A是曲线C1：y＝ (a＞0)与曲线C2：x2＋y2＝5的一个公共点．若C1在A处的切线与C2在A处的切线互相垂直，则实数a的值是 ．
二、解答题：本大题共6小题，共58分.
15.（本题满分8分）
已知m∈R，设p：复数z1＝(m－1)＋(m＋3)i (i是虚数单位)在复平面内对应的点在第二象限，
q：复数z2＝1＋(m－2)i的模不超过．
（1）当p为真命题时，求m的取值范围；
（2）若命题“p且q”为假命题，“p或q”为真命题，求m的取值范围．
【答案】（1）(－3，1) （2）(－3，－1)∪[1，5]
【解析】
试题分析：（1）复数对应的点为，所以有 从而可解得m的取值范围为(－3，1)，（2）因为命题“p且q”一假就假，所以p，q中至少有一个为假；因为命题“p或q”一真就真，所以p，q中至少有一个为真；综合得p，q中一真一假.若q为真，则q为假；或若q为假，则q为真.先求命题为真时参数范围，再根据集合的补集求命题为假时参数范围.
试题解析：解（1）因为复数z1＝(m－1)＋(m＋3)i在复平面内对应的点在第二象限，
所以
解得－3＜m＜1，即m的取值范围为(－3，1)． ……………… 3分
16.（本题满分10分）
在平面直角坐标系xOy中，曲线y＝x2－2x－3与坐标轴的交点都在圆C上．
（1）求圆C的方程；
（2）若直线x＋y＋a＝0与圆C交于A，B两点，且AB＝2，求实数a的值．

17.（本题满分10分）
在长方体ABCD－A1B1C1D1中，AB＝AD＝2，AA1＝a，E，F分别为AD，CD的中点.
（1）若AC1⊥D1F，求a的值；
（2）若a＝2，求二面角E－FD1－D的余弦值.

试题解析：

18.（本题满分10分）
已知某商品的进货单价为1元/件，商户甲往年以单价2元/件销售该商品时，年销量为1万件，今年拟下调销售单价以提高销量，增加收益．据测算，若今年的实际销售单价为x元/件(1≤x≤2)，今年新增的年销量(单位：万件)与(2－x)2成正比，比例系数为4．
（1）写出今年商户甲的收益y(单位：万元)与今年的实际销售单价x间的函数关系式；
（2）商户甲今年采取降低单价，提高销量的营销策略是否能获得比往年更大的收益(即比往年收益更多)？说明理由．
【答案】（1）y＝4x3－20x2＋33x－17，(1≤x≤2)（2）不能
【解析】
（2）由（1）知y＝4x3－20x2＋33x－17，1≤x≤2， 从而y′＝12x2－40x＋33＝(2x－3)(6x－11)．
令y′＝0，解得x＝，或x＝．列表如下：
x
(1，)

(，)

(，2)
f ′(x)
＋
0
－
0
＋
f(x)
递增
极大值
递减
极小值
递增
……………… 7分
又f()＝1，f(2)＝1，所以f(x)在区间[1，2]上的最大值为1(万元)．
而往年的收益为(2－1)1＝1(万元)，
所以，商户甲采取降低单价，提高销量的营销策略不能获得比往年更大的收益．
……………… 10分
考点：函数解析式，利用导数求函数最值
19.（本题满分10分）
已知函数f(x)＝ax2－(4a＋2)x＋4lnx，其中a≥0．
（1）若a＝0，求曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线方程；
（2）讨论函数f(x)的单调性．
【答案】（1）2x－y－4＝0，（2）当a＝0时，f(x)的单调增区间是(0，2)，单调减区间是(2，＋∞)；
当0＜a＜时，f(x)的单调增区间是(0，2)和(，＋∞)，减区间为(2，)；当a＝时，f(x)的单调增区间是(0，＋∞)；当a＞时，f(x)的单调增区间是(0，)和(2，＋∞)，减区间为(，2)
（2）因为f(x)＝ax2－(4a＋2)x＋4lnx，
所以f ′(x)＝2ax－(4a＋2)＋＝＝，其中x＞0．
①当a＝0时，f ′(x)＝－，x＞0．
由f ′(x)＞0得，0＜x＜2，所以函数f(x)的单调增区间是(0，2)；单调减区间是(2，＋∞)；
……………… 6分
②当0＜a＜时，因为＞2，由f ′(x)＞0，得x＜2或x＞．
所以函数f(x)的单调增区间是(0，2)和(，＋∞)；单调减区间为(2，)；
……………… 8分
③当a＝时，f ′ (x)＝≥0，且仅在x＝2时，f ′(x)＝0，
所以函数f(x)的单调增区间是(0，＋∞)；
④当a＞时，因0＜＜2，由f ′(x)＞0，得0＜x＜或x＞2，
20.（本题满分10分）
在平面直角坐标系xOy中，△ABC的顶点B、C的坐标为B(－2，0)，C(2，0)，直线AB，AC的斜率乘积为－，设顶点A的轨迹为曲线E．
（1）求曲线E的方程；
（2）设曲线E与y轴负半轴的交点为D，过点D作两条互相垂直的直线l1，l2，这两条直线与曲线E的另一个交点分别为M，N．设l1的斜率为k(k≠0)，△DMN的面积为S，试求的取值范围．
【答案】（1）＋y2＝1（x≠±2)（2）(0，)∪(，)∪(，8)
试题解析：解（1）设顶点A的坐标为(x，y)，则kAB＝，kAC＝，………… 2分
因为kAB(kAC＝－，所以( ＝－， 即＋y2＝1．（或x2＋4y2＝4）.
所以曲线E的方程为＋y2＝1（x≠±2) ． ……………… 4分