【解析版】辽宁省抚顺市六校联合体2014届高三上学期期中考试数学试题(理)

辽宁省抚顺市六校联合体2014届高三上学期期中考试
理科数学
第Ⅰ卷（共60分）
一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项
是符合题目要求的.
1.已知集合，则( )
　 B.
2.复数满足（为虚数单位），则的共轭复数为( )
　　　 　　　 　
3.已知双曲线的一个焦点与抛物线的焦点重合，且双曲线的离心率等于，
则该双曲线的方程为( )

4.某程序框图如图1所示，若该程序运行后输出的值是,则( )
　 　
5.△ABC所在平面上一点Ｐ满足＋ ＋＝,则△PAB的面积与△ABC的面积比为( )
2:3 1:3 1:4 1:6
6.已知等差数列错误！不能通过编辑域代码创建对象。前项和为，且+=13，=35，则=( )
8 　 　 9 10 11
7.一个几何体的三视图如图所示，其中正视图是一个正三角形，则这个几何体的体积为( )
1
8.给出下列四个结论：
①若命题，则；
②“”是“”的充分而不必要条件；
③命题“若，则方程有实数根”的逆否命题为：“若方程没有实数根，则0”；
④若，则的最小值为．
其中正确结论的个数为( )
　　　 　　　
9.函数的最小正周期是，若其图象向右平移个单位后得
到的函数为奇函数，则函数的图象( )
关于点对称 关于直线对称
关于点对称 关于直线对称
【答案】D
【解析】
试题分析：由函数的最小正周期是可知，，所以有，向右平移个单位后有是奇函数，所以，因为，所以.所以，关于点对称，关于直线对称.
考点：1.求三角函数的解析式；2.三角函数的图像与性质
10.设的展开式的常数项为，则直线与曲线围成图形的面积为( )
９　
11.已知的对称中心为，记函数的导函数为，的导函数为，则有.若函数= –，则可求得+++=( )
–4025 –8050 8050
12.已知函数的定义域为，且对于任意的都有，若在区间上函数恰有四个不同零点，则实数的取值范围为( )

第Ⅱ卷（共90分）
二、填空题（每题4分，满分20分，将答案填在答题纸上）
13.函数，则_______________.
【答案】
【解析】
试题分析： .
考点：分段函数的解析式
14.为等比数列，若和是方程＋＋＝的两个根，则＝________.
15.若实数满足,则关于的方程有实数根的概率是_______________.
考点：1.连续型随机变量及其应用；2.数形结合思想；3.方程根的个数与判别式的关系；4.几何概型
16.设半径为2的球面上四点，且满足=,=,=,则的最大值是_______________.
三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）
17.(本小题共12分)在△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c， q=（，1），p=（， ）且．
(1)求的值；
(2)求三角函数式的取值范围?
【答案】(1) ；(2) .
【解析】
(2)由已知得，
，
∵，∴，
∴，
∴，
∴三角函数式的取值范围是：. ……………………12分
考点：1.向量平行的坐标表示；2.特殊角的三角函数值；3.正弦定理；4.三角函数的图像与性质；5.二倍角公式
18.(本小题共12分)某市为增强市民的环境保护意识，面向全市征召义务宣传志愿者．把符合条件的1000名志愿者按年龄分组：第1组[20,25)、第2组[25,30)、第3组[30,35)、第4组[35,40)、第5组[40,45]，得到的频率分布直方图如图所示：
(1)若从第3、4、5组中用分层抽样的方法抽取12名志愿者参加广场的宣传活动，应从第3、4、5组各抽
取多少名志愿者？
(2)在(1)的条件下，该市决定在这12名志愿者中随机抽取3名志愿者介绍宣传经验，求第4组至少有一名
志愿者被抽中的概率；
(3)在(2)的条件下，若ξ表示抽出的3名志愿者中第3组的人数，求ξ的分布列和数学期望．
【答案】(1) 人、人、人；(2) ；(3)分布列见解析，.
【解析】
(2)从名志愿者中抽取名共有种可能，
第组至少有一位志愿者被抽中有种可能，
所以第组至少有一位志愿者被抽中的概率为. …………………7分
(3)的可能取值为，
，，
19.(本小题共12分)如图，是等边三角形， ，，将沿折叠到的位置，使得．
(1)求证：；
(2)若，分别是,的中点，求二面角的余弦值．
【答案】(1)见解析；(2) .
【解析】
试题分析：(1)根据已知条件可得以及，有直线与平面垂直的判定定理可得，再根据直线与平面垂直的性质定理可得；(2)有边的关系，设，则，再由线段，，互相垂直，以三边所在直线为轴建立空间直角坐标系，然后求出平面的法向量为
则有，，，，，，
∴，.
设平面的法向量为，
20.(本小题共12分)已知函数（）．
(1)求的单调区间；
⑵如果是曲线上的任意一点，若以为切点的切线的斜率恒成立，求实数的最小值；
⑶讨论关于的方程的实根情况．
(2)由题意，以为切点的切线的斜率满足：
，
所以对恒成立．
又当时， ，
所以的最小值为. ………………………7分．
(3)由题意，方程化简得：
.
令，则．
当时，；当时，.
所以在区间上单调递增，在区间上单调递减．
21.(本小题满分12分)已知椭圆C:的离心率为，以原点为圆心，椭圆的短半轴长为半径的圆与直线相切．
(1)求椭圆的方程；
(2)若过点(2，0)的直线与椭圆相交于两点，设为椭圆上一点，且满足（为坐标原点），当 时，求实数取值范围．
，结合两点间的距离公式以及根与系数的关系求得，解得，.
∵点在椭圆上，∴，
∴. …………………………..7分
∵，∴，
请考生在第22、23、24三题中任选一题做答，如果多做．则按所做的第一题记分．做答时用2B铅笔在答题卡上把所选题目对应对应下面的方框涂黑.
22.(本小题满分10分)选修4一1 ：几何证明选讲
如图，C是以AB为直径的半圆O上的一点，过C的直线交直线AB于E，交过A点的切线于D，BC∥OD .
(Ⅰ)求证：DE是圆O的切线；
(Ⅱ)如果AD =AB = 2，求EB .
(Ⅱ)因为，
所以，，
则有，
所以，那么，
23.(本小题满分10分）选修4—4：坐标系与参数方程
平面直角坐标系中，直线的参数方程是（为参数），以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，已知曲线的极坐标方程为．
(Ⅰ)求直线的极坐标方程；
(Ⅱ)若直线与曲线相交于两点，求．
解得.
24.(本小题满分10分）选修4—5：不等式选讲
设函数．
(I)解不等式；
(II)求函数的最小值．
则作出函数的图像如下：
辽宁省抚顺市六校联合体2014届高三上学期期中考试
理科数学
第Ⅰ卷（共60分）
一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项
是符合题目要求的.
1.已知集合，则( )
　 B.
2.复数满足（为虚数单位），则的共轭复数为( )
　　　 　　　 　
3.已知双曲线的一个焦点与抛物线的焦点重合，且双曲线的离心率等于，
则该双曲线的方程为( )

4.某程序框图如图1所示，若该程序运行后输出的值是,则( )
　 　
5.△ABC所在平面上一点Ｐ满足＋ ＋＝,则△PAB的面积与△ABC的面积比为( )
2:3 1:3 1:4 1:6
6.已知等差数列错误！不能通过编辑域代码创建对象。前项和为，且+=13，=35，则=( )
8 　 　 9 10 11
7.一个几何体的三视图如图所示，其中正视图是一个正三角形，则这个几何体的体积为( )
1
8.给出下列四个结论：
①若命题，则；
②“”是“”的充分而不必要条件；
③命题“若，则方程有实数根”的逆否命题为：“若方程没有实数根，则0”；
④若，则的最小值为．
其中正确结论的个数为( )
　　　 　　　
9.函数的最小正周期是，若其图象向右平移个单位后得
到的函数为奇函数，则函数的图象( )
关于点对称 关于直线对称
关于点对称 关于直线对称
【答案】D
【解析】
试题分析：由函数的最小正周期是可知，，所以有，向右平移个单位后有是奇函数，所以，因为，所以.所以，关于点对称，关于直线对称.
考点：1.求三角函数的解析式；2.三角函数的图像与性质
10.设的展开式的常数项为，则直线与曲线围成图形的面积为( )
９　
11.已知的对称中心为，记函数的导函数为，的导函数为，则有.若函数= –，则可求得+++=( )
–4025 –8050 8050
12.已知函数的定义域为，且对于任意的都有，若在区间上函数恰有四个不同零点，则实数的取值范围为( )

第Ⅱ卷（共90分）
二、填空题（每题4分，满分20分，将答案填在答题纸上）
13.函数，则_______________.
【答案】
【解析】
试题分析： .
考点：分段函数的解析式
14.为等比数列，若和是方程＋＋＝的两个根，则＝________.
15.若实数满足,则关于的方程有实数根的概率是_______________.
考点：1.连续型随机变量及其应用；2.数形结合思想；3.方程根的个数与判别式的关系；4.几何概型
16.设半径为2的球面上四点，且满足=,=,=,则的最大值是_______________.
三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）
17.(本小题共12分)在△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c， q=（，1），p=（， ）且．
(1)求的值；
(2)求三角函数式的取值范围?
【答案】(1) ；(2) .
【解析】
(2)由已知得，
，
∵，∴，
∴，
∴，
∴三角函数式的取值范围是：. ……………………12分
考点：1.向量平行的坐标表示；2.特殊角的三角函数值；3.正弦定理；4.三角函数的图像与性质；5.二倍角公式
18.(本小题共12分)某市为增强市民的环境保护意识，面向全市征召义务宣传志愿者．把符合条件的1000名志愿者按年龄分组：第1组[20,25)、第2组[25,30)、第3组[30,35)、第4组[35,40)、第5组[40,45]，得到的频率分布直方图如图所示：
(1)若从第3、4、5组中用分层抽样的方法抽取12名志愿者参加广场的宣传活动，应从第3、4、5组各抽
取多少名志愿者？
(2)在(1)的条件下，该市决定在这12名志愿者中随机抽取3名志愿者介绍宣传经验，求第4组至少有一名
志愿者被抽中的概率；
(3)在(2)的条件下，若ξ表示抽出的3名志愿者中第3组的人数，求ξ的分布列和数学期望．
【答案】(1) 人、人、人；(2) ；(3)分布列见解析，.
【解析】
(2)从名志愿者中抽取名共有种可能，
第组至少有一位志愿者被抽中有种可能，
所以第组至少有一位志愿者被抽中的概率为. …………………7分
(3)的可能取值为，
，，
19.(本小题共12分)如图，是等边三角形， ，，将沿折叠到的位置，使得．
(1)求证：；
(2)若，分别是,的中点，求二面角的余弦值．
【答案】(1)见解析；(2) .
【解析】
试题分析：(1)根据已知条件可得以及，有直线与平面垂直的判定定理可得，再根据直线与平面垂直的性质定理可得；(2)有边的关系，设，则，再由线段，，互相垂直，以三边所在直线为轴建立空间直角坐标系，然后求出平面的法向量为
则有，，，，，，
∴，.
设平面的法向量为，
20.(本小题共12分)已知函数（）．
(1)求的单调区间；
⑵如果是曲线上的任意一点，若以为切点的切线的斜率恒成立，求实数的最小值；
⑶讨论关于的方程的实根情况．
(2)由题意，以为切点的切线的斜率满足：
，
所以对恒成立．
又当时， ，
所以的最小值为. ………………………7分．
(3)由题意，方程化简得：
.
令，则．
当时，；当时，.
所以在区间上单调递增，在区间上单调递减．
21.(本小题满分12分)已知椭圆C:的离心率为，以原点为圆心，椭圆的短半轴长为半径的圆与直线相切．
(1)求椭圆的方程；
(2)若过点(2，0)的直线与椭圆相交于两点，设为椭圆上一点，且满足（为坐标原点），当 时，求实数取值范围．
，结合两点间的距离公式以及根与系数的关系求得，解得，.
∵点在椭圆上，∴，
∴. …………………………..7分
∵，∴，
请考生在第22、23、24三题中任选一题做答，如果多做．则按所做的第一题记分．做答时用2B铅笔在答题卡上把所选题目对应对应下面的方框涂黑.
22.(本小题满分10分)选修4一1 ：几何证明选讲
如图，C是以AB为直径的半圆O上的一点，过C的直线交直线AB于E，交过A点的切线于D，BC∥OD .
(Ⅰ)求证：DE是圆O的切线；
(Ⅱ)如果AD =AB = 2，求EB .
(Ⅱ)因为，
所以，，
则有，
所以，那么，
23.(本小题满分10分）选修4—4：坐标系与参数方程
平面直角坐标系中，直线的参数方程是（为参数），以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，已知曲线的极坐标方程为．
(Ⅰ)求直线的极坐标方程；
(Ⅱ)若直线与曲线相交于两点，求．
解得.
24.(本小题满分10分）选修4—5：不等式选讲
设函数．
(I)解不等式；
(II)求函数的最小值．
则作出函数的图像如下：