《名师学典·数学》学案：新人教八下18.2.2菱形的判定例题+中考题训练+课时自测（答案详细）

《名题学典·数学》人教版八年级系列第十八章
18.2.2 菱形的判定

1.回顾：
菱形的定义：
菱形的性质：
菱形的面积公式：
2.判定菱形的两个定理：
3.请写出判定菱形的两种思路：
4.（1）请判断下列哪些条件能判定四边形ABCD是菱形的有 .
①AC⊥BD，AC与BD互相平分
②AB=BC=CD=DA
③AB=BC，AD=CD，AC⊥BD
④AB=CD，AD=BC，AC⊥BD
（2）请判断下列哪些条件能判定□ABCD是菱形的有 .
①AC⊥BD
②∠BAD=90°
③AB=BC
④AC=BD
用菱形的定义判定
学会运用菱形的定义判定菱形.
【例1】如图，四边形ABCD为平行四边形，BD为对角线，点E在AB边的延长线上，作EF∥BD，交BC边于点F，BE=BF．求证：四边形ABCD是菱形．

分析：根据平行线性质和等腰三角形性质推出∠DBC=∠DBA，推出DC=BC，根据菱形的判定推出即可．
证明：∵EF∥BD，
∴∠E=∠ABD，∠EFB=∠DBC，
∵BE=BF，
∴∠E=∠EFB，
∴∠DBC=∠DBA，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴DC∥AB，
∴∠CDB=∠DBA，
∴∠CDB=∠CBD，
∴DC=BC，
∴平行四边形ABCD是菱形．
练习1
如图，在□ABCD中，EF∥BD，分别交BC，CD于点P，Q，交AB，AD的延长线于点E，F．已知BE=BP．
求证：（1）∠E=∠F；
（2）□ABCD是菱形．

菱形的判定定理
学会用定理来判定菱形.
【例2】如图，过平行四边形ABCD对角线的交点O作两条互相垂直的直线EF、GH分别交平行四边形ABCD四边于E、G、F、H，求证：四边形EGFH是菱形．
分析：根据对角线互相垂直的平行四边形是菱形．由已知条件证明OH=OG，同理OE=OF，所以四边形EFGH是平行四边形，又因为EF⊥GH，所以四边形EGFH是菱形．
证明：如图，顺次连接点E、G、F、H．
在平行四边形ABCD中，OD=OB，OA=OC，AD∥CB，
∴∠OBG=∠HDO．
∴在△OBG与△ODE中， ∠OBG＝∠ODH OB＝OD ∠BOG＝∠DOH ，
∴△OBG≌△ODE（ASA），
∴OH=OG．
同理OE=OF，
∴四边形EFH是平行四边形，
又∵EF⊥HG，
∴平行四边形EGFH是菱形．
练习2
如图，在△ABC中，AB=AC，AD是角平分线，E为AD延长线上一点，CF∥BE交AD于点F，连接BF、CE．四边形BECF是菱形吗？请说明理由．

【例3】如图，点E，F分别是锐角∠A两边上的点，AE=AF，分别以点E，F为圆心，以AE的长为半径画弧，两弧相交于点D，连接DE，DF．
（1）请你判断所画四边形的形状，并说明理由；
（2）连接EF，若AE=8厘米，∠A=60°，求线段EF的长．
分析：（1）由AE=AF=ED=DF，根据四条边都相等的四边形是菱形，即可证得：四边形AEDF是菱形；
（2）首先连接EF，由AE=AF，∠A=60°，可证得△EAF是等边三角形，则可求得线段EF的长．
解：（1）菱形．
理由：∵根据题意得：AE=AF=ED=DF，
∴四边形AEDF是菱形；
（2）连接EF，
∵AE=AF，∠A=60°，
∴△EAF是等边三角形，
∴EF=AE=8厘米．
练习3
已知：如图所示，在△ABC中，AB=AC，D、E、F分别是AB、BC、AC边上的中点．
求证：四边形ADEF是菱形．

菱形的判定与性质
通过判定得到菱形，既而能用菱形的性质来求解问题.
【例4】如图，在□ABCD中，∠ABC=5∠A，过点B作BE⊥DC交AD的延长线于点E，O是垂足，且DE=DA=4cm，
求：四边形BDEC的周长和面积（结果可保留根号）
分析：根据题意可判定四边形BDEC是菱形，则可得其周长，求出AB和BE，即可求得面积.
解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB//CD，AD//BC，AD=BC，
又BE⊥CD，
∴AB⊥BE，
又AD=DE，
∴BD=DE=4cm.
∵DE=BC，DE//BC,
∴四边形BCDE是平行四边形，
∵BD=DE，
∴□BCDE是菱形.
其周长为16cm.
∵5∠A=∠ABC，∠A+∠ABC=180°，
∴∠A=30°.∴在Rt△ABE中，
BE=AE=4cm，
由勾股定理得AB=4cm，
则菱形BDEC的面积为：
CD·BE=cm2.
练习4
如图，将平行四边形ABCD纸片沿EF折叠，使点C与点A重合，点D落在点G处．
（1）求证：△ABE≌△AGF；
（2）连接AC，若平行四边形ABCD的面积为8，，求AC?EF的值．

菱形的判定方法总结：
若已知某四边形，求证其为菱形：
首先看是否能用“四条边相等的四边形是菱形”来判定，如果不行，那么采用如下思路：根据已知条件先证明该四边形是平行四边形，然后再根据“一组邻边相等的平行四边形是菱形”或“对角线互相垂直的平行四边形是菱形”求证“有一组邻边相等”或“对角线互相垂直”即可请得.
1.（2013?海南）如图，将△ABC沿BC方向平移得到△DCE，连接AD，下列条件能够判定四边形ACED为菱形的是（　　）
　 A．AB=BC
B．AC=BC
C．∠B=60°
D．∠ACB=60°
2．（2012?威海）如图，在?ABCD中，AE，CF分别是∠BAD和∠BCD的平分线，添加一个条件，仍无法判断四边形AECF为菱形的是（　　）
　 A．AE=AF
B．EF⊥AC
C．∠B=60°
D．AC是∠EAF的平分线
3．（2011?甘孜州）如图，四边形ABCD的对角线AC、BD互相垂直，则下列条件能判定四边形ABCD为菱形的是（　　）
A． AC、BD互相平分
B． BA=BC
C． AC=BD
D． AB∥CD
4.（2013?潍坊）如图，ABCD是对角线互相垂直的四边形，且OB=OD，请你添加一个适当的条件　_________，使ABCD成为菱形（只需添加一个即可）
5.．（2011?内江）如图，点E、F、G、H分别是任意四边形ABCD中AD、BD、BC、CA的中点，当四边形ABCD的边至少满足　_________　条件时，四边形EFGH是菱形．
6.（2013?临沂）如图，在△ABC中，AD是BC边上的中线，E是AD的中点，过点A作BC的平行线交BE的延长线于点F，连接CF．
（1）求证：AF=DC；
（2）若AB⊥AC，试判断四边形ADCF的形状，并证明你的结论．
用时 分数
一、填空题（每题4分，共32分）
1.（2010?雅安）如图，要使□ABCD成为菱形，下列添加条件正确的是（　　）
　 A．AB⊥BC B．AC⊥BD
C．AC=BD D．∠ABC=∠CDA
2．能判定一个四边形是菱形的条件是（　　）
　 A． 对角线互相平分且相等
　 B． 对角线互相垂直且相等
　 C． 对角线互相垂直且对角相等
　 D． 对角线互相垂直，且一条对角线平分一组对角
3．如图，将三角形纸片ABC沿DE折叠，使点A落在BC边上的点F处，且DE∥BC，下列结论：①△BDF是等腰三角形；②DE=BC；③四边形ADFE是菱形；④∠BDF+∠FEC=2∠A，其中一定正确的是（　　）
　 A．①③④ B．②③④
C．①②④ D．①②③
4．已知□ABCD，添加下列一个条件：①AC⊥BD ②∠BAD=90° ③AB=BC ④AC=BD，其中能使□ABCD是菱形的为（　　）
　 A．①③ B．②③
C．③④ D．①②③
5．（2013?滨州）如图，等边△ABC沿射线BC向右平移到△DCE的位置，连接AD、BD，则下列结论：
①AD=BC；②BD、AC互相平分；③四边形ACED是菱形．
其中正确的个数是（　　）
　 A． 0 B． 1 C． 2 D． 3
6．如图，O是菱形ABCD的对角线AC、BD的交点，E、F分别是OA、OC的中点．下列结论：①S△ADE=S△EOD；②四边形BFDE也是菱形；③四边形ABCD的面积为EF×BD；④∠ADE=∠EDO；⑤△DEF是轴对称图形．其中正确的结论有（　　）
　 A． 5个 B． 4个 C． 3个 D． 2个
7．如图，已知四边形ABCD的四边都相等，等边△AEF的顶点E、F分别在BC、CD上，且AE=AB，则∠C=（　　）
　 A．100° B．105°
C．110° D．120°
8．（2013?曲靖）如图，在?ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，过点O作EF⊥AC交BC于点E，交AD于点F，连接AE、CF．则四边形AECF是（　　）
　 A．梯形 B．矩形
C．菱形 D．正方形
二、填空题（每题3分，共18分）
9.（2008?南充）如图，四边形ABCD中，E，F，G，H分别是边AB，BC，CD，DA的中点．请你添加一个条件，使四边形EFGH为菱形，应添加的条件是　 　．
10．在□ABCD中，若一条对角线平分
一个内角，则四边形ABCD为 　形．
11．四边形的四条边长分别为a，b，c，d，满足条件a2+b2+c2=ab+bc+cd+da，则此四边形一定是　______　．
12．如图，以△ABC的三边为边在BC的同一侧分别作三个等边三角形，即△ABD、△BCE、△ACF．
（1）四边形ADEF是　_________　；
（2）当△ABC满足条件　_________　时，四边形ADEF为菱形；
（3）当△ABC满足条件　_________　时，四边形ADEF不存在．
　
13．如图，两张宽度均为3cm的纸条交错叠放在一起，相交成锐角α，且两张纸片中重叠部分的面积为9cm2，则锐角α的度数　_________　．
　 14．已知如图，在平行四边形ABCD中，E、F分别为边AB、CD的中点，BD是对角线，AG∥DB，交CB的延长线于G，连接GF，若AD⊥BD．下列结论：
①DE∥BF；②四边形BEDF是菱形；③FG⊥AB；④S△BFG=S四边形ABCD
其中正确的是　_________　．
三、解答题（共40分）
15．（6分）（2002?咸宁）如图所示，已
知AD是△ABC的角平分线，DE∥AC交AB于点E，DF∥AB交AC于点F，
求证：AD⊥EF．
　
　
　
16．（6分）（2013?遂宁）如图，已知四边形ABCD是平行四边形，DE⊥AB，DF⊥BC，垂足分别是E、F，并且DE=DF．求证：
（1）△ADE≌△CDF；
（2）四边形ABCD是菱形．
17．（6分）（2013?盐城）如图，在平行四边形ABCD中，E为BC边上的一点，连结AE、BD且AE=AB．
（1）求证：∠ABE=∠EAD；
（2）若∠AEB=2∠ADB，求证：四边形ABCD是菱形．
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18．（6分）（2010?沈阳）如图，菱形ABCD的对角线AC与BD相交于点O，点E，F分别为边AB，AD的中点，连接EF，OE，OF，求证：四边形AEOF是菱形．
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19.（8分）（2013?安顺）如图，在△ABC中，
D、E分别是AB、AC的中点，BE=2DE，延长DE到点F，使得EF=BE，连接CF．
（1）求证：四边形BCFE是菱形；
（2）若CE=4，∠BCF=120°，求菱形BCFE的面积．
　
20．（8分）（2012?建宁县质检）如图：△ABC中，AD是边BC上的中线，过点A作AE∥BC，过点D作DE∥AB与AC、AE分别交于点O、E，连接EC．
（1）求证：AD=EC；
（2）当∠BAC=90°时，求证：四边形ADCE是菱形；
（3）在（2）的条件下，若AB=AO，且OD=a，求菱形ADCE的周长．
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参考答案
基础为本、掌握新知
1.有一组邻边相等的平行四边形是菱形.
（1）边：四条边相等；两组对边平行且相等；
（2）角：两组对角相等；邻角互补；
（3）对角线：对角线互相平分且垂直；每一条对角线平分一组对角.
两条对角线之积的一半
2.有四条边相等的四边形是菱形；对角线互相垂直的平行四边形是菱形
3.（1）由四边形，证四条边相等，得菱形；（2）由四边形，先请其为平行四边形，再证其为菱形.
4.（1）①②④ （2）①③
一例一练、活用数学
练习1 证明：（1）∵BE=BP，∴∠E=∠BPE，∵BC∥AF，∴∠BPE=∠F，∴∠E=∠F． （2）∵EF∥BD，∴∠E=∠ABD，∠F=∠ADB，∴∠ABD=∠ADB，
∴AB=AD，∵四边形ABCD是平行四边形，∴□ABCD是菱形．
练习2 证明：∵AB=AC，AD是角平分线，∴BD=CD，∵CF∥BE，∴∠DBE=∠FCD，在△CDF和△BDE中，∠DBE＝∠FCD，DB＝CD，∠BDE＝∠CDF，
∴△BDE≌△CDF（ASA），∴CF=BE，又∵CF∥BE，∴四边形BFCE是平行四边形；
∵AB=AC，D是BC的中点，∴AD⊥BC，又∵四边形BFCE是平行四边形，
∴四边形BFCE是菱形．
（2）解：连接CF，∵△ABE≌△AGF，∴AE=AF，根据翻折的性质EC=AE，∴EC=AE=AF，又∵AF∥EC，∴四边形AECF是平行四边形，根据翻折后点A、C重合，∴AC⊥EF，
∴□AECF是菱形，∴AC?EF=2×菱形AECF的面积，
∵□ABCD的面积=8，，∴△AEC的面积=×8×=，
∴菱形AECF的面积等于，∴AC?EF=2×菱形AECF的面积=．
全真考题、能力拓展
1.B 【解析】∵将△ABC沿BC方向平移得到△DCE，∴ABCD，∴四边形ABCD为平行四边形，当AC=BC时，平行四边形ACED是菱形．
2.C
3.A 【解析】A、∵AC、BD互相平分，∴四边形ABCD是平行四边形，
∵AC⊥BD（已知），∴平行四边形ABCD是菱形，故本选项正确；B、根据已知AC⊥BD和BA=BC不能推出四边形ABCD是平行四边形，即更不是菱形，故本选项错误；
C、根据已知AC⊥BD和AC=BD不能推出四边形ABCD是平行四边形，即更不是菱形，故本选项错误；D、根据已知AC⊥BD和AB∥DC不能推出四边形ABCD是平行四边形，即更不是菱形，故本选项错误.
4.OA=OC（答案不唯一）
（2）四边形ADCF是菱形，证明：AF∥BC，AF=DC，∴四边形ADCF是平行四边形，
∵AC⊥AB，AD是斜边BC的中线，∴AD=DC，∴平行四边形ADCF是菱形.
课时自测、认清自我
1.B 【解析】A、添加AB⊥BC，可以证明?ABCD是矩形，故此选项错误；
B、添加AC⊥BD，可以证明?ABCD是菱形，故此选项正确；
C、添加AC=BD，可以证明?ABCD是矩形，故此选项错误；
D、添加∠ABC=∠CDA不能证明?ABCD是菱形形，故此选项错误；
故选：B．
2.C 【解析】∵对角线互相垂直平分的四边形是菱形．∴A、B、D都不正确．
∵对角相等的四边形是平行四边形，而对角线互相垂直的平行四边形是菱形．
3.C 【解析】分别过点D、E作BC的垂线DG、EH；连接AF，∵折叠是轴对称图形，∴AF⊥DE，∵DE∥BC，∴AF⊥BC，且AM=MF，∴D、E分别是AB、AC的中点，
即；②DE=BC，正确．∵AD=DF，AE=EF，∴DA=DB=DF，∴①△BDF是等腰三角形，正确．∵DG∥AF∥EH，∴∠BDG=∠DAM，又∵DG是等腰三角形BDF的高，
∴∠BDF=2∠DAM，同理∠CEF=2∠EAM，∴④∠BDF+∠FEC=2∠A；如图显然③四边形ADFE是菱形是错误的．故选C．
4.A 【解析】∵四边形ABCD是平行四边形，①若AC⊥BD，则可得其为菱形，故①选项正确，②中∠BAD=90°，得到一矩形，不是菱形，所以②错误，③中一组邻边相等，也可得到一菱形，所以③成立，④中并不能得到其为矩形，菱形或正方形等，所以④不成立，
故A选项中①③都正确，B中②不成立，C中④错误，而D中多一个选项②也不对，
则能使□ABCD是菱形的有①或③．
5.D 【解析】△ABC、△DCE是等边三角形，∴∠ACB=∠DCE=60°，AC=CD，
∴∠ACD=180°﹣∠ACB﹣∠DCE=60°，∴△ACD是等边三角形，∴AD=AC=BC，故①正确；由①可得AD=BC，∵AB=CD，∴四边形ABCD是平行四边形，∴BD、AC互相平分，故②正确；由①可得AD=AC=CE=DE，故四边形ACED是菱形，即③正确．
6.B 【解析】①正确：∵E、F分别是OA、OC的中点．∴AE=OE．∵S△ADE=×AE×OD=×OE×OD=S△EOD∴S△ADE=S△EOD．②正确：∵四边形ABCD是菱形，E，F分别是OA，OC的中点．∴EF⊥OD，OE=OF．∵OD=OD．∴DE=DF．同理：BE=BF∴四边形BFDE是菱形．③正确：∵菱形ABCD的面积=AC×BD．∵E、F分别是OA、OC的中点．∴EF=AC．∴菱形ABCD的面积=EF×BD．④不正确：由已知可求得∠FDO=∠EDO，而无法求得∠ADE=∠EDO．⑤正确：∵EF⊥OD，OE=OF，OD=OD．
∴△DEO≌△DFO．∴△DEF是轴对称图形．∴正确的结论有四个，分别是①②③⑤．
7.A 【解析】∵四边形ABCD的四边都相等，∴四边形ABCD是菱形，∴∠B=∠D，∠A=∠C，AD∥BC，∴∠DAB+∠B=180°，∵△AEF是等边三角形，AE=AB，∴∠AEF=∠AFE=60°，AF=AD，∴∠B=∠AEB，∠D=∠AFD，由三角形的内角和定理得：∠BAE=∠FAD，设∠BAE=∠FAD=x，则∠D=∠AFD=180°﹣60°﹣2x，∵∠FAD+∠D+∠AFD=180°，
∴x+2（180°﹣60°﹣2x）=180°，解得：x=20°，∴∠C=∠BAD=2×20°+60°=100°，故选A．
8.C 【解析】四边形AECF是菱形，理由：∵在□ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，∴AO=CO，∠AFO=∠CEO，∴在△AFO和△CEO中
，∴△AFO≌△CEO（AAS），∴FO=EO，∴四边形AECF平行四边形，
∵EF⊥AC，∴平行四边形AECF是菱形．
9.AC=BD（答案不唯一）
10.菱形 【解析】一条对角线平分一个内角，根据两直线平行内错角相等，等角对等边可求得此对角线和一组邻边组成的是等腰三角形，有一组邻边相等的平行四边形是菱形．故四边形ABCD是菱形．
11.菱形 【解析】∵a2+b2+c2+d2=ab+bc+cd+da∴2（a2+b2+c2+d2）﹣2ab﹣2bc﹣2cd﹣2da=0
∴（a﹣b）2+（b﹣c）2+（c﹣d）2+（d﹣a）2=0由非负数的性质可知：（a﹣b）=0，（b﹣c）=0，（c﹣d）=0，（a﹣d）=0，∴a=b=c=d，∴四边形为菱形．
12.（1）平行四边形 （2）AB=AC≠BC （3）AB=AC=BC 【解析】（1）四边形ADEF
∴DE=AC=AF，FE=AB=AD，∴四边形ADEF是个平行四边形；（2）当△ABC为等腰三角形并且不是等边三角形时，即AB=AC时，由第（1）题中可知四边形ADEF的四边都相等，此时四边形ADEF是菱形；（3）当△ABC为等边三角形时，即AB=AC=BC时，四边形ADEF中的A点与E点重合，此时以A、D、E、F为顶点的四边形不存在．
13.45° 【解析】过点D作DE⊥BC于E，过点B作BF⊥CD于F，∴∠DEC=∠BFC=90°，∵两张宽度均为3cm的纸条交错叠放在一起，∴AD∥BC，AB∥CD，BF=DE=3，∴四边形ABCD是平行四边形，∵∠DCE=∠BCF，∴△DEC≌△BFC（AAS），∴BC=DC，∴四边形ABCD是菱形，∵两张纸片中重叠部分的面积为9cm2，∴BC?DE=9，∴BC=CD=3（cm），
∵∠DCE=∠α，由勾股定理得CE=DE=3，∴∠α=45°．
14.①②④ 【解析】①∵在平行四边形ABCD中，E、F分别为边AB、CD的中点
∴四边形DEBF为平行四边形，∴DE∥BF故①正确．②由①知四边形DEBF为平行四边形，
∵AD⊥BD，E为边AB的中点，∴DE=BE=AE，∴四边形BEDF是菱形故②正确．
③∵AG∥DB AD∥BG AD⊥BD∴AGBD为矩形，∴AD=BG=BC，要使FG⊥AB，则BF=BC=BG，不能证明BF=BC，即FG⊥AB不恒成立，故③不正确．
④由③知BC=BG，∴S△BFG=S△FCG，∵F为CD中点∴S△FCG=S平行四边形ABCD，∴S△BFG=故④正确．
15.证明：∵DE∥AC，DF∥AB，∴四边形AEDF为平行四边形．又∵∠1=∠2，而∠2=∠3，
∴∠1=∠3，∴AE=DE．∴=□AEDF为菱形．∴AD⊥EF．
17.证明：（1）在平行四边形ABCD中，AD∥BC，∴∠AEB=∠EAD，∵AE=AB，∴∠ABE=∠AEB，∴∠ABE=∠EAD；
（2）∵AD∥BC，∴∠ADB=∠DBE，∵∠ABE=∠AEB，∠AEB=2∠ADB，
∴∠ABE=2∠ADB，∴∠ABD=∠ABE﹣∠DBE=2∠ADB﹣∠ADB=∠ADB，
∴AB=AD，又∵四边形ABCD是平行四边形，∴四边形ABCD是菱形
18.证明：∵点E，F分别为AB，AD的中点∴AE=AB，AF=AD，又∵四边形ABCD是菱形，∴AB=AD，∴AE=AF，又∵菱形ABCD的对角线AC与BD相交于点O∴O为BD的中点，∴OE，OF是△ABD的中位线． ∴OE∥AD，OF∥AB，∴四边形AEOF是平行四边形，∵AE=AF，∴四边形AEOF是菱形．
19.（1）证明：∵D、E分别是AB、AC的中点，∴DE∥BC且2DE=BC，又∵BE=2DE，EF=BE，∴EF=BC，EF∥BC，∴四边形BCFE是平行四边形，又∵BE=FE，∴四边形BCFE是菱形；（2）解：∵∠BCF=120°，∴∠EBC=60°，∴△EBC是等边三角形，∴菱形的边长为4，高为2，∴菱形的面积为4×2=8．
20.证明：（1）∵AE∥BC，DE∥AB，∴四边形ABDE是平行四边形，∴AE=BD，∵D是BC中点，∴DC=DB，∴AE=DC，AE∥DC，∴四边形ADCE是平行四边形，∴AD=EC；
（2）∵当∠BAC=90°时，AD是Rt△ABC斜边上的中线，∴AD=BC=CD，
∴四边形ADCE是菱形；（3）∵四边形ADCE是菱形，∴对角线AC⊥DE且O是DE中点，∵ABDE是平行四边形，∴AB=DE，又已知AB=AO∴AO=DE=2DO=2a，
在Rt△AOD中，可求出AD=，∴菱形ADCE的周长为4．