初中数学同步训练必刷题（人教版八年级下册 18.1.2 平行四边形的判定）
一、单选题（每题3分，共30分）
1．（2022九上·福州开学考）下面各条件中，能判定四边形是平行四边形的是（ ）
A．对角线互相垂直 B．对角线互相平分
C．一组对角相等 D．一组对边相等
2．（2022八上·莱州期末）如图，四边形的对角线交于点O，下列哪组条件能判断四边形是平行四边形（ ）
A．，
B．，
C．，
D．，
3．（2022八下·陈仓期末）在平面直角坐标系中，以A（-1，0），B（2，0），C（0，1），为顶点构造平行四边形，下列各点中不能作为平行四边形第四个顶点的坐标的是（ ）
A． B． C． D．
4．（2022八上·文峰月考）已知三角形的两边长分别为6 cm和8 cm，则下列长度的四条线段中能作为第三边上的中线是（ ）
A．1cm B．2cm C．12cm D．14cm
5．（2022八下·竞秀期末）如图，点E、F分别是 ABCD边AD、BC的中点，G、H是对角线BD上的两点，且BG=DH．则下列结论中错误的是（ ）
A． B．四边形EGFH是平行四边形
C． D．
6．（2022八下·景谷期末）如图，在一束平行光线中插入一张对边平行的纸板，如果光线与纸板右下方所成的，则光线与纸板左上方所成的的度数是（ ）
A． B． C． D．
7．（2022八下·双台子期末）如图，在中，，，、、分别为、、的中点，连接、，则四边形的周长是（ ）
A．5 B．7 C．9 D．11
8．（2022八下·石家庄期末）如图，在给定的△ABC中，动点D从点B出发沿BC方向向终点C运动，DEAC交AB于点E，DFAB交AC于点F，O是EF的中点，在整个运动过程中，△OBC的面积的大小变化情况是（ ）
A．不变 B．一直增大
C．先增大后减小 D．先减小后增大
9．（2022九上·拱墅期中）如图，点G为的重心，连接并延长分别交于点E，F.连接，若.则的长度为（ ）
A．1.6 B．1.8 C．2.2 D．2.4
10．（2022八上·莱州期末）如图，在平行四边形中，E为上一点，且，，，，则下列结论：①；②平行四边形周长是24；③；④；⑤E为中点．正确的结论有（ ）
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
二、填空题(每题3分，共24分）
11．（2022八下·巴中期末）已知：如图，四边形 中， ，要使四边形 为平行四边形，需添加一个条件是： .(只需填一个你认为正确的条件即可)
12．如图，AD为△ABC的中线，延长AD至点E，使DE=AD，连结BE，CE，则判定四边形ABEC是平行四边形的依据是 .
13．如图所示，AO=OC，BD=16cm，则当OB= cm时，四边形ABCD是平行四边形。
14．（2022九上·郑州开学考）如图在平行四边形ABCD中，E是CD的中点，F是AE的中点，CF交BE于点G，若BE=8，则GE= .
15．（2022九上·杭州开学考）如图两张长相等，宽分别是1和3的矩形纸片上叠合在一起，重叠部分为四边形ABCD，且AB+BC＝6，则四边形ABCD的面积为 ．
16．（2022八下·黄州期中）如图，在ABCD中，点E，F均在AD边上，BE平分∠ABC，CF平分∠BCD，如果BE＝8，CF＝6，EF＝2，那么ABCD的周长等于 ．
17．（2022八上·莱州期末）如图，平行四边形的对角线，相交于点O，点E、F分别是线段、的中点，若，的周长是18，则 ．
18．（2022九上·临汾期中）如图，在中，D是上一点，，，垂足为E，F是的中点，，则的长为 ．
三、解答题（共8题，共66分）
19．（2020八下·广东月考）如图，在平行四边形ABCD中，点E，F分别在AB，CD上，AE＝CF．求证：DE＝BF．
20．（2022九上·秦都开学考）如图所示，在 中，点，是对角线上的两点，且，连接，，，求证：四边形是平行四边形．
21．（2022八下·曲阳期末）如图，在中，，、分别是、的中点，试判断四边形的形状，并证明之．
22．（2021八下·铁东期中）如图，点D、E分别是△ABC的边AB、AC的中点，连接BE，过点C作CF∥BE，交DE的延长线于点F，若DE＝1，求DF的长．
23．（2017·朝阳模拟）如图，点M、N在 ABCD的对角线AC上，且AM=CN，求证：四边形BMDN是平行四边形．
24．（2022九上·建设月考）在 中，，分别为对角线上两点，连接、、、，且．
（1）如图1，求证：四边形是平行四边形；
（2）如图2，若，在不添加任何字母及辅助线的情况下，请直接写出图2中面积是面积的的四个三角形．
25．（2022九上·西和期中）已知，如图，在ABCD中，延长DA到点E，延长BC到点F，使得AE＝CF，连接EF，分别交AB，CD于点M，N，连接DM，BN.
（1）求证：△AEM≌△CFN；
（2）求证：四边形BMDN是平行四边形.
26．（2022九上·淅川期中）【教材呈现】如图是华师九年级上删数学教材第77页的部分内容.
如图，在中，点D、E分别是与的中点，根据画出的图形，可以猜想： ，且 对此，我们可以用演绎推理给出证明.
【定理证明】
（1）请根据材料内容，结合图①，写出证明过程.
（2）【定理应用】
如图②，四边形中，M、N、P分别为、、的中点，边、延长线交于点E，，则的度数是 .
（3）如图③，矩形中，，，点E在边上，且.将线段绕点A旋转一周，得到线段，M是线段的中点，直接写出旋转过程中线段长的最大值和最小值.
答案解析部分
1．【答案】B
【知识点】平行四边形的判定
【解析】【解答】解：根据对角线互相平分的四边形是平行四边形可得B正确．
故答案为：B．
【分析】利用对角线互相平分的四边形是平行四边形，可对A，B作出判断；利用有两组对角分别相等的四边形是平行四边形，可对C作出判断；利用一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，可对D作出判断.
2．【答案】D
【知识点】平行四边形的判定
【解析】【解答】解：A、由，，不能判定四边形是平行四边形，故该选项不符合题意；
B、由，，不能判定四边形是平行四边形，故该选项不符合题意；
C、由，，不能判定四边形是平行四边形，故该选项不符合题意；
D、∵，
∴，
∵，∴，
∴，
∴四边形是平行四边形，故该选项符合题意；
故答案为：D．
【分析】利用平行四边形的判定方法逐项判断即可。
3．【答案】B
【知识点】坐标与图形性质；平行四边形的判定
【解析】【解答】解：如图，
①以AC为对角线，可以画出平行四边形AFCB，这时第四个顶点的F的坐标为 (-3， 1) ；
②以AB为对角线，可以画出平行四边形ACBE，这时第四个顶点的E的坐标为 (1， -1)；
③以BC为对角线，可以画出平行四边形ACDB，这时第四个顶点的F的坐标为D的坐标为 (3， 1)；
故答案为：B.
【分析】根据题意画出图形，分别以AC、BC和AB为对角线画出平行四边形，依此得出第四点的坐标即可.
4．【答案】B
【知识点】三角形三边关系；平行四边形的判定与性质
【解析】【解答】解：如下图所示，△ABC中AB=8cm，BC=6cm
过A、C分别作BC和AB的平行线，则四边形ABCD为平行四边形
∴AD=BC=6cm，AO=OC，BO=OD，
∴OB为△ABC的中线，，
∵在△ABD中，，
∴，
∴，符合题意的只有选项B，
故答案为：B.
【分析】过A、C分别作BC和AB的平行线，则四边形ABCD为平行四边形，利用平行四边形的性质可得到AD=BC=6cm，AO=OC，BO=OD，同时可证得OB为△ABC的中线，可推出，在△ABD中，利用三角形的三边关系定理，可得到BD的取值范围，即可得到OB的取值范围，根据OB的取值范围，可得答案.
5．【答案】D
【知识点】平行四边形的判定与性质
【解析】【解答】解：连接EF交BD于点O，
在平行四边形ABCD中，AD=BC，∠EDH=∠FBG，
∵E、F分别是AD、BC边的中点，
∴DE=BF=BC，∠EDO=∠FBO，∠DOE=∠BOF，
∴△EDO≌△FBO，
∴EO=FO，DO=BO，
∵BG=DH，
∴OH=OG，
∴四边形EGFH是平行四边形，
∴GF=EH，EG=HF，
故答案为：A、B、C不符合题意；
∵∠EHG不一定等于90°，
∴EH⊥BD错误，D符合题意；
故答案为：D．
【分析】利用平行四边形的性质及全等三角形的判定和性质逐项判断即可。
6．【答案】C
【知识点】平行四边形的判定与性质
【解析】【解答】解：光线平行，纸板对边平行，设平行光线标记字母如图，
，，
四边形ABCD是平行四边形，
．
故答案为：C．
【分析】先证明四边形ABCD是平行四边形，再利用平行四边形的性质可得。
7．【答案】A
【知识点】平行四边形的判定与性质
【解析】【解答】解：∵D、E、F分别为AB、BC、AC中点，
∴DF=BC=1，DF∥BC，EF=AB=，EF∥AB，
∴四边形DBEF为平行四边形，
∴四边形DBEF的周长=2（DF+EF）=2×（1+）=5．
故答案为：A．
【分析】先证明四边形DBEF为平行四边形，再利用平行四边形的周长公式计算即可。
8．【答案】A
【知识点】平行四边形的判定与性质；三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：∵DE∥AC，DF∥AB，
∴四边形AEDF是平行四边形，
∵O是EF的中点，
∴O也是AD的中点，
如图，取AB的中点M，AC的中点N，则MN为点O的运动轨迹，
∴在整个运动过程中，O的轨迹是△ABC的中位线，
，
∴点O到线段BC的距离为定值（两条平行线间的距离处处相等），
在整个运动过程中，△OBC的面积始终是以BC为底，两条平行线间的距离为高，
根据同底等高的三角形面积相等可知：△OBC的面积不变，
故答案为：A．
【分析】根据平行四边形的性质得出在整个运动过程中，O的轨迹是△ABC的中位线，到BC的距离相等，根据同底等高的三角形面积相等，即可判断△OBC的面积不变。
9．【答案】A
【知识点】三角形的重心及应用；三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：如图：连接EF，
∵点G为△ABC的重心，
∴点E，F分别为AB、BC的中点，则EF为中位线，
∴，
故答案为：A.
【分析】三角形重心就是三角形三边中线的交点，据此得点E，F分别为AB、BC的中点，则EF为中位线，根据三角形的中位线等于第三边的一半即可得出，代入即可得出答案.
10．【答案】D
【知识点】勾股定理；平行四边形的判定与性质
【解析】【解答】解：①∵四边形是平行四边形，
∴，，，
∵，
∴，
∵，，，
∴是等边三角形，
∴，，
∴，
∴，
∴，故①符合题意；
②∵，
∴，
∴平行四边形的周长，故②符合题意；
③∵，，
∴，
∴，故③符合题意；
④在中，
∵，，
∴，故④符合题意；
⑤∵，
∴E为中点，故⑤符合题意；
综上所述：正确的结论有①②③④⑤，共5个，故D符合题意．
故答案为：D．
【分析】利用平行四边形的判定和性质，勾股定理及等量代换，含30°角的直角三角形的性质逐项判断即可。
11．【答案】BO=OD(答案不唯一)
【知识点】平行四边形的判定
【解析】【解答】解：∵OA=OC，OB=OD，
∴四边形 为平行四边形（对角线互相平分的四边形为平行四边形），
故答案为：BO=OD.
【分析】由于OA=OC，根据对角线互相平分的四边形为平行四边形，则可添加条件BO=OD.
12．【答案】对角线互相平分的四边形是平行四边形
【知识点】三角形的角平分线、中线和高；平行四边形的判定
【解析】【解答】解：∵AD为△ABC的中线，
∴CD=BD，
∵DE=AD，
∴四边形ABEC是平行四边形（对角线互相平分的四边形是平行四边形）.
故答案为：对角线互相平分的四边形是平行四边形
【分析】利用三角形的中线，可证得CD=BD，再利用对角线互相平分的四边形是平行四边形，可证得结论.
13．【答案】8
【知识点】平行四边形的判定
【解析】【解答】解：∵OA=OC，
∴OB=OD=8cm时，
四边形ABCD是平行四边形.
故答案为：8.
【分析】根据对角线互相平分的四边形是平行四边形，即可解答.
14．【答案】2
【知识点】平行四边形的判定与性质；三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：取BE的中点M，连接FM和CM，
∵F是AE的中点，M为BE的中点，
∴FM是△ABE的中位线，
∴FM∥AB，FM=AB，
∵E为CD的中点，即EC=CD，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，CD=AB，
∴FM∥EC，EC=FM，
∴四边形EFMC是平行四边形，
∴EG=EM=EM=BE=2.
故答案为：2.
【分析】取BE的中点M，连接FM和CM，根据中位线定理求出FM∥AB，FM=AB，然后再证明四边形EFMC是平行四边形，得出EG=EM，结合EM=EM，即可解答.
15．【答案】4.5
【知识点】平行四边形的判定与性质
【解析】【解答】解：过点A作AE⊥BC于点E，过点A作AF⊥CD于点F，
∵AB∥CD，AD∥BC，
∴四边形ABCD是平行四边形，
∴AB=CD，
∵两张长相等，宽分别是1和3的矩形纸片上叠合在一起，
∴AE＝1，AF＝3，
∴S平行四边形ABCD=BC·AE＝CD·AF=AB·AF，
∴BC＝3AB；
∵AB＋BC＝6，
∴4AB=6
解之：AB＝1.5，
∴S平行四边形ABCD=AB·AF=1.5×3=4.5.
故答案为：4.5.
【分析】过点A作AE⊥BC于点E，过点A作AF⊥CD于点F，利用有两组对边分别平行的四边形是平行四边形，可证得四边形ABCD是平行四边形，利用平行四边形的性质可证得AB=CD，结合已知可得到AE，AF的长，利用平行四边形的面积公式可证得BC＝3AB，由AB＋BC＝6，可求出AB的长，然后求出平行四边形ABCD的面积.
16．【答案】26
【知识点】平行四边形的判定与性质
【解析】【解答】解：如图，延长BC至点P，使得CP＝EF＝2，
∵
∴四边形EFCP为平行四边形，
∴EP＝CF＝6，EP∥CF，
∵BE平分∠ABC，CF平分∠BCD，
∴∠EBC+∠FCB＝∠ABC+∠DCB＝90°，
∴CF⊥BE，
∴PE⊥BE，
∴BP＝＝10，
∴BC＝8，
∵∠ABE＝∠EBC，∠EBC＝∠AEB，
∴∠ABE＝∠AEB，
∴AB＝AE，
同理可得：CD＝DF，
∴AE＝DF，
∵AD+EF＝AE+DF，
∴AE＝DF＝5，
∴AB＝CD＝5，
∴的周长等于2×（5+8）＝26．
故答案为：26．
【分析】，延长BC至点P，使得CP＝EF，由一组对边平行且相等的四边形是平行四边形可得四边形EFCP为平行四边形，由平行四边形的对边平行且相等可得EP＝CF，EP∥CF，由角平分线定义可得∠EBC=∠EBA=∠ABC，∠BCF=∠FCD=∠BCD，结合平行线的性质可得∠EBC+∠FCB=∠ABC+∠BCD=90°，则CF⊥BE，由平行线的性质可得PE⊥BE，在直角三角形BPE中，用勾股定理可求得BP的值，则BC=BP-CP，由平行线的性质和角平分线定义可得∠ABE=∠AEB，由等角对等边可得AB=AE，同理可得CD=DF，根据平行四边形的对边相等可得AE=DF，由线段的构成AD+EF=AE+DF，于是AE=DF=AB=CD，然后根据平行四边形的周长=2（AB+BC）可求解.
17．【答案】2.5
【知识点】平行四边形的性质；三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：∵平行四边形的对角线，相交于点O，
∴点O是，的中点，
∵，
∴，
∵的周长是18，
∴，
∵平行四边形的对角线，相交于点O，点E、F分别是线段、的中点，
∴，
∴，
故答案为：．
【分析】利用平行四边形的性质可得，再结合的周长为18，可得，再利用中位线的性质可得，再求出EF的长即可。
18．【答案】6
【知识点】三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：，，
是的中点，
F是的中点，
是的中位线，
，
，
，
故答案为：6．
【分析】先证明是的中位线，可得，再结合EF的长，求出即可。
19．【答案】解：∵在平行四边形ABCD中，AB∥CD且AB=CD
又∵AE＝CF
∴AB-AE=CD-CF
∴BE=DF
∴四边形EBFD是平行四边形
∴DE＝BF．
【知识点】平行四边形的判定与性质
【解析】【分析】先证出四边形EBFD是平行四边形，再利用平行四边形的性质可得DE=BF。
20．【答案】证明：连接，交于点，如图．
四边形是平行四边形，
，平行四边形的对角线互相平分．
，，
，即，
四边形是平行四边形对角线互相平分的四边形是平行四边形．
【知识点】平行四边形的判定与性质
【解析】【分析】连接BD，交AC于点O，根据平行四边形的对角线互相平分可得OA=OC，OB=OD，结合AE=CF，根据线段的和差关系可得OE=OF，然后根据平行四边形的判定定理（对角线互相平分的四边形是平行四边形）进行证明.
21．【答案】解：∵四边形ABCD是平行四边形
∴AD＝BC，
又∵AE＝CF，
∴AD﹣AE＝BC﹣CF，即DE＝BF，
∵DE∥BF，
∴四边形BEDF是平行四边形，
∴BE＝DF，
∴M、N分别是BE、DF的中点，
∴EM＝BE＝DF＝NF，
而EM∥NF，
∴四边形MFNE是平行四边形．
【知识点】平行四边形的判定与性质；三角形的中位线定理
【解析】【分析】根据平行四边形的性质可得AD=BC， 易求DE＝BF ，结合DE∥BF可证四边形BEDF是平行四边形，利用平行四边形的性质可得BE＝DF， 利用线段的中点可求出 EM＝NF， 结合EM∥NF，根据平行四边形的判定即证.
22．【答案】解：∵D、E分别是边、的中点
∴ ∥
∵
∴
∵∥
∴四边形为平行四边形
∴
∴．
【知识点】平行四边形的判定与性质
【解析】【分析】根据三角形中位线的性质可得
，DE//BC，再结合CF//BE，可证明四边形BCFE为平行四边形，可得，最后利用DF=DE+EF计算即可。
23．【答案】证明：如图，连结BD，交AC于点O，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OA=OC，OB=OD
∵对角线AC上的两点M、N满足AM=CN，
∴OA﹣AM=OC﹣CN，即OM=ON，
∴四边形BMDN是平行四边形．
【知识点】平行四边形的判定与性质
【解析】【分析】利用“对角线互相平分的四边形是平行四边形”，须连接BD，利用平行四边形的性质和已知条件可证出结论.
24．【答案】（1）证明：四边形是平行四边形，
，，
，
，
，
，
在和中，
，
≌，
，
又，
四边形是平行四边形
（2）解：的面积；的面积；的面积；的面积；面积
【知识点】平行四边形的判定与性质
【解析】【解答】（2）解：、、、，理由如下：
由（1）得：≌，
，
，
：：8，
的面积的面积的面积的面积面积的．
【分析】（1）先利用“AAS”证明≌△CDF，可得AE=CF，再结合AE//CF，即可得到四边形AECF是平行四边形；
（2）利用三角形的面积计算方法和求解即可。
25．【答案】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥DC ，AD∥BC.
∴∠E=∠F，∠DAB=∠BCD.
∴∠EAM=∠FCN.
又∵AE=CF
∴△AEM≌△CFN（ASA）.
（2）证明：∵由（1）△AEM≌△CFN
∴AM=CN.
又∵四边形ABCD是平行四边形
∴ABCD
∴BMDN.
∴四边形BMDN是平行四边形.
【知识点】平行线的性质；平行四边形的判定与性质
【解析】【分析】（1）根据平行四边形的性质可得AB∥DC ，AD∥BC，由平行线的性质可得∠E=∠F，∠DAB=∠BCD，结合邻补角的性质可得∠EAM=∠FCN，由已知条件可知AE=CF，然后根据全等三角形的判定定理进行证明；
（2）根据全等三角形的性质可得AM=CN，由平行四边形的性质可得AB=CD，AB∥DC ，则BM=DN，BM∥DN，然后根据平行四边形的判定定理进行证明.
26．【答案】（1）证明：延长至F，使，连接，
∴，
∵点D、E分别是与的中点，
∴，
在和中，
，
，
，，
，
，
，
又∵，
四边形为平行四边形，
，，
，
∵，
∴；
（2）135°
（3）BM长的最大值为4，最小值为1
【知识点】三角形的外角性质；勾股定理；平行四边形的判定与性质；三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：(2)∵M、N、P分别为、、的中点，
∴是△DAB的中位线，是△BCD的中位线，
∴，，
∴，，
又∵，
∴，
∴；
（3）延长至H，使，连接，，
∴B是线段的中点
∵M是线段的中点，
，
在中，，
当点F在线段的延长线上时，最大，此时最大值为，
当点F在线段上时，最小，此时最小值为，
长的最大值为，最小值为.
【分析】（1）由题意用边角边可证△AED≌△CEF，由全等三角形的对应边（角）相等可得AD=CF，∠A=∠ACF，结合线段中点定义可得BD=CF，然后由有一组对边平行且相等的四边形是平行四边形可得四边形DBCF是平行四边形，则DF∥BC，DF=BC，再结合辅助线可求解；
（2）由三角形中位线定理可得MP∥AB，PN∥CD，由平行线的性质可得∠EBD=∠MPD，∠DPN+∠BDC=180°，结合三角形外角的性质可求得∠MPD=∠BDC-∠E，然后由角的构成∠MPN=∠MPD+∠DPN可求解；
（3）延长CB至H，使BH=CB=3，连接AH，在Rt△ABH中，用勾股定理求得AH的值，
当点F在线段HA的延长线上时，FH最大；
当点F在线段AH上时，FH最小，此时FH最小，然后由线段的构成可求解.
1 / 1初中数学同步训练必刷题（人教版八年级下册 18.1.2 平行四边形的判定）
一、单选题（每题3分，共30分）
1．（2022九上·福州开学考）下面各条件中，能判定四边形是平行四边形的是（ ）
A．对角线互相垂直 B．对角线互相平分
C．一组对角相等 D．一组对边相等
【答案】B
【知识点】平行四边形的判定
【解析】【解答】解：根据对角线互相平分的四边形是平行四边形可得B正确．
故答案为：B．
【分析】利用对角线互相平分的四边形是平行四边形，可对A，B作出判断；利用有两组对角分别相等的四边形是平行四边形，可对C作出判断；利用一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，可对D作出判断.
2．（2022八上·莱州期末）如图，四边形的对角线交于点O，下列哪组条件能判断四边形是平行四边形（ ）
A．，
B．，
C．，
D．，
【答案】D
【知识点】平行四边形的判定
【解析】【解答】解：A、由，，不能判定四边形是平行四边形，故该选项不符合题意；
B、由，，不能判定四边形是平行四边形，故该选项不符合题意；
C、由，，不能判定四边形是平行四边形，故该选项不符合题意；
D、∵，
∴，
∵，∴，
∴，
∴四边形是平行四边形，故该选项符合题意；
故答案为：D．
【分析】利用平行四边形的判定方法逐项判断即可。
3．（2022八下·陈仓期末）在平面直角坐标系中，以A（-1，0），B（2，0），C（0，1），为顶点构造平行四边形，下列各点中不能作为平行四边形第四个顶点的坐标的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】坐标与图形性质；平行四边形的判定
【解析】【解答】解：如图，
①以AC为对角线，可以画出平行四边形AFCB，这时第四个顶点的F的坐标为 (-3， 1) ；
②以AB为对角线，可以画出平行四边形ACBE，这时第四个顶点的E的坐标为 (1， -1)；
③以BC为对角线，可以画出平行四边形ACDB，这时第四个顶点的F的坐标为D的坐标为 (3， 1)；
故答案为：B.
【分析】根据题意画出图形，分别以AC、BC和AB为对角线画出平行四边形，依此得出第四点的坐标即可.
4．（2022八上·文峰月考）已知三角形的两边长分别为6 cm和8 cm，则下列长度的四条线段中能作为第三边上的中线是（ ）
A．1cm B．2cm C．12cm D．14cm
【答案】B
【知识点】三角形三边关系；平行四边形的判定与性质
【解析】【解答】解：如下图所示，△ABC中AB=8cm，BC=6cm
过A、C分别作BC和AB的平行线，则四边形ABCD为平行四边形
∴AD=BC=6cm，AO=OC，BO=OD，
∴OB为△ABC的中线，，
∵在△ABD中，，
∴，
∴，符合题意的只有选项B，
故答案为：B.
【分析】过A、C分别作BC和AB的平行线，则四边形ABCD为平行四边形，利用平行四边形的性质可得到AD=BC=6cm，AO=OC，BO=OD，同时可证得OB为△ABC的中线，可推出，在△ABD中，利用三角形的三边关系定理，可得到BD的取值范围，即可得到OB的取值范围，根据OB的取值范围，可得答案.
5．（2022八下·竞秀期末）如图，点E、F分别是 ABCD边AD、BC的中点，G、H是对角线BD上的两点，且BG=DH．则下列结论中错误的是（ ）
A． B．四边形EGFH是平行四边形
C． D．
【答案】D
【知识点】平行四边形的判定与性质
【解析】【解答】解：连接EF交BD于点O，
在平行四边形ABCD中，AD=BC，∠EDH=∠FBG，
∵E、F分别是AD、BC边的中点，
∴DE=BF=BC，∠EDO=∠FBO，∠DOE=∠BOF，
∴△EDO≌△FBO，
∴EO=FO，DO=BO，
∵BG=DH，
∴OH=OG，
∴四边形EGFH是平行四边形，
∴GF=EH，EG=HF，
故答案为：A、B、C不符合题意；
∵∠EHG不一定等于90°，
∴EH⊥BD错误，D符合题意；
故答案为：D．
【分析】利用平行四边形的性质及全等三角形的判定和性质逐项判断即可。
6．（2022八下·景谷期末）如图，在一束平行光线中插入一张对边平行的纸板，如果光线与纸板右下方所成的，则光线与纸板左上方所成的的度数是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】平行四边形的判定与性质
【解析】【解答】解：光线平行，纸板对边平行，设平行光线标记字母如图，
，，
四边形ABCD是平行四边形，
．
故答案为：C．
【分析】先证明四边形ABCD是平行四边形，再利用平行四边形的性质可得。
7．（2022八下·双台子期末）如图，在中，，，、、分别为、、的中点，连接、，则四边形的周长是（ ）
A．5 B．7 C．9 D．11
【答案】A
【知识点】平行四边形的判定与性质
【解析】【解答】解：∵D、E、F分别为AB、BC、AC中点，
∴DF=BC=1，DF∥BC，EF=AB=，EF∥AB，
∴四边形DBEF为平行四边形，
∴四边形DBEF的周长=2（DF+EF）=2×（1+）=5．
故答案为：A．
【分析】先证明四边形DBEF为平行四边形，再利用平行四边形的周长公式计算即可。
8．（2022八下·石家庄期末）如图，在给定的△ABC中，动点D从点B出发沿BC方向向终点C运动，DEAC交AB于点E，DFAB交AC于点F，O是EF的中点，在整个运动过程中，△OBC的面积的大小变化情况是（ ）
A．不变 B．一直增大
C．先增大后减小 D．先减小后增大
【答案】A
【知识点】平行四边形的判定与性质；三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：∵DE∥AC，DF∥AB，
∴四边形AEDF是平行四边形，
∵O是EF的中点，
∴O也是AD的中点，
如图，取AB的中点M，AC的中点N，则MN为点O的运动轨迹，
∴在整个运动过程中，O的轨迹是△ABC的中位线，
，
∴点O到线段BC的距离为定值（两条平行线间的距离处处相等），
在整个运动过程中，△OBC的面积始终是以BC为底，两条平行线间的距离为高，
根据同底等高的三角形面积相等可知：△OBC的面积不变，
故答案为：A．
【分析】根据平行四边形的性质得出在整个运动过程中，O的轨迹是△ABC的中位线，到BC的距离相等，根据同底等高的三角形面积相等，即可判断△OBC的面积不变。
9．（2022九上·拱墅期中）如图，点G为的重心，连接并延长分别交于点E，F.连接，若.则的长度为（ ）
A．1.6 B．1.8 C．2.2 D．2.4
【答案】A
【知识点】三角形的重心及应用；三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：如图：连接EF，
∵点G为△ABC的重心，
∴点E，F分别为AB、BC的中点，则EF为中位线，
∴，
故答案为：A.
【分析】三角形重心就是三角形三边中线的交点，据此得点E，F分别为AB、BC的中点，则EF为中位线，根据三角形的中位线等于第三边的一半即可得出，代入即可得出答案.
10．（2022八上·莱州期末）如图，在平行四边形中，E为上一点，且，，，，则下列结论：①；②平行四边形周长是24；③；④；⑤E为中点．正确的结论有（ ）
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
【答案】D
【知识点】勾股定理；平行四边形的判定与性质
【解析】【解答】解：①∵四边形是平行四边形，
∴，，，
∵，
∴，
∵，，，
∴是等边三角形，
∴，，
∴，
∴，
∴，故①符合题意；
②∵，
∴，
∴平行四边形的周长，故②符合题意；
③∵，，
∴，
∴，故③符合题意；
④在中，
∵，，
∴，故④符合题意；
⑤∵，
∴E为中点，故⑤符合题意；
综上所述：正确的结论有①②③④⑤，共5个，故D符合题意．
故答案为：D．
【分析】利用平行四边形的判定和性质，勾股定理及等量代换，含30°角的直角三角形的性质逐项判断即可。
二、填空题(每题3分，共24分）
11．（2022八下·巴中期末）已知：如图，四边形 中， ，要使四边形 为平行四边形，需添加一个条件是： .(只需填一个你认为正确的条件即可)
【答案】BO=OD(答案不唯一)
【知识点】平行四边形的判定
【解析】【解答】解：∵OA=OC，OB=OD，
∴四边形 为平行四边形（对角线互相平分的四边形为平行四边形），
故答案为：BO=OD.
【分析】由于OA=OC，根据对角线互相平分的四边形为平行四边形，则可添加条件BO=OD.
12．如图，AD为△ABC的中线，延长AD至点E，使DE=AD，连结BE，CE，则判定四边形ABEC是平行四边形的依据是 .
【答案】对角线互相平分的四边形是平行四边形
【知识点】三角形的角平分线、中线和高；平行四边形的判定
【解析】【解答】解：∵AD为△ABC的中线，
∴CD=BD，
∵DE=AD，
∴四边形ABEC是平行四边形（对角线互相平分的四边形是平行四边形）.
故答案为：对角线互相平分的四边形是平行四边形
【分析】利用三角形的中线，可证得CD=BD，再利用对角线互相平分的四边形是平行四边形，可证得结论.
13．如图所示，AO=OC，BD=16cm，则当OB= cm时，四边形ABCD是平行四边形。
【答案】8
【知识点】平行四边形的判定
【解析】【解答】解：∵OA=OC，
∴OB=OD=8cm时，
四边形ABCD是平行四边形.
故答案为：8.
【分析】根据对角线互相平分的四边形是平行四边形，即可解答.
14．（2022九上·郑州开学考）如图在平行四边形ABCD中，E是CD的中点，F是AE的中点，CF交BE于点G，若BE=8，则GE= .
【答案】2
【知识点】平行四边形的判定与性质；三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：取BE的中点M，连接FM和CM，
∵F是AE的中点，M为BE的中点，
∴FM是△ABE的中位线，
∴FM∥AB，FM=AB，
∵E为CD的中点，即EC=CD，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，CD=AB，
∴FM∥EC，EC=FM，
∴四边形EFMC是平行四边形，
∴EG=EM=EM=BE=2.
故答案为：2.
【分析】取BE的中点M，连接FM和CM，根据中位线定理求出FM∥AB，FM=AB，然后再证明四边形EFMC是平行四边形，得出EG=EM，结合EM=EM，即可解答.
15．（2022九上·杭州开学考）如图两张长相等，宽分别是1和3的矩形纸片上叠合在一起，重叠部分为四边形ABCD，且AB+BC＝6，则四边形ABCD的面积为 ．
【答案】4.5
【知识点】平行四边形的判定与性质
【解析】【解答】解：过点A作AE⊥BC于点E，过点A作AF⊥CD于点F，
∵AB∥CD，AD∥BC，
∴四边形ABCD是平行四边形，
∴AB=CD，
∵两张长相等，宽分别是1和3的矩形纸片上叠合在一起，
∴AE＝1，AF＝3，
∴S平行四边形ABCD=BC·AE＝CD·AF=AB·AF，
∴BC＝3AB；
∵AB＋BC＝6，
∴4AB=6
解之：AB＝1.5，
∴S平行四边形ABCD=AB·AF=1.5×3=4.5.
故答案为：4.5.
【分析】过点A作AE⊥BC于点E，过点A作AF⊥CD于点F，利用有两组对边分别平行的四边形是平行四边形，可证得四边形ABCD是平行四边形，利用平行四边形的性质可证得AB=CD，结合已知可得到AE，AF的长，利用平行四边形的面积公式可证得BC＝3AB，由AB＋BC＝6，可求出AB的长，然后求出平行四边形ABCD的面积.
16．（2022八下·黄州期中）如图，在ABCD中，点E，F均在AD边上，BE平分∠ABC，CF平分∠BCD，如果BE＝8，CF＝6，EF＝2，那么ABCD的周长等于 ．
【答案】26
【知识点】平行四边形的判定与性质
【解析】【解答】解：如图，延长BC至点P，使得CP＝EF＝2，
∵
∴四边形EFCP为平行四边形，
∴EP＝CF＝6，EP∥CF，
∵BE平分∠ABC，CF平分∠BCD，
∴∠EBC+∠FCB＝∠ABC+∠DCB＝90°，
∴CF⊥BE，
∴PE⊥BE，
∴BP＝＝10，
∴BC＝8，
∵∠ABE＝∠EBC，∠EBC＝∠AEB，
∴∠ABE＝∠AEB，
∴AB＝AE，
同理可得：CD＝DF，
∴AE＝DF，
∵AD+EF＝AE+DF，
∴AE＝DF＝5，
∴AB＝CD＝5，
∴的周长等于2×（5+8）＝26．
故答案为：26．
【分析】，延长BC至点P，使得CP＝EF，由一组对边平行且相等的四边形是平行四边形可得四边形EFCP为平行四边形，由平行四边形的对边平行且相等可得EP＝CF，EP∥CF，由角平分线定义可得∠EBC=∠EBA=∠ABC，∠BCF=∠FCD=∠BCD，结合平行线的性质可得∠EBC+∠FCB=∠ABC+∠BCD=90°，则CF⊥BE，由平行线的性质可得PE⊥BE，在直角三角形BPE中，用勾股定理可求得BP的值，则BC=BP-CP，由平行线的性质和角平分线定义可得∠ABE=∠AEB，由等角对等边可得AB=AE，同理可得CD=DF，根据平行四边形的对边相等可得AE=DF，由线段的构成AD+EF=AE+DF，于是AE=DF=AB=CD，然后根据平行四边形的周长=2（AB+BC）可求解.
17．（2022八上·莱州期末）如图，平行四边形的对角线，相交于点O，点E、F分别是线段、的中点，若，的周长是18，则 ．
【答案】2.5
【知识点】平行四边形的性质；三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：∵平行四边形的对角线，相交于点O，
∴点O是，的中点，
∵，
∴，
∵的周长是18，
∴，
∵平行四边形的对角线，相交于点O，点E、F分别是线段、的中点，
∴，
∴，
故答案为：．
【分析】利用平行四边形的性质可得，再结合的周长为18，可得，再利用中位线的性质可得，再求出EF的长即可。
18．（2022九上·临汾期中）如图，在中，D是上一点，，，垂足为E，F是的中点，，则的长为 ．
【答案】6
【知识点】三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：，，
是的中点，
F是的中点，
是的中位线，
，
，
，
故答案为：6．
【分析】先证明是的中位线，可得，再结合EF的长，求出即可。
三、解答题（共8题，共66分）
19．（2020八下·广东月考）如图，在平行四边形ABCD中，点E，F分别在AB，CD上，AE＝CF．求证：DE＝BF．
【答案】解：∵在平行四边形ABCD中，AB∥CD且AB=CD
又∵AE＝CF
∴AB-AE=CD-CF
∴BE=DF
∴四边形EBFD是平行四边形
∴DE＝BF．
【知识点】平行四边形的判定与性质
【解析】【分析】先证出四边形EBFD是平行四边形，再利用平行四边形的性质可得DE=BF。
20．（2022九上·秦都开学考）如图所示，在 中，点，是对角线上的两点，且，连接，，，求证：四边形是平行四边形．
【答案】证明：连接，交于点，如图．
四边形是平行四边形，
，平行四边形的对角线互相平分．
，，
，即，
四边形是平行四边形对角线互相平分的四边形是平行四边形．
【知识点】平行四边形的判定与性质
【解析】【分析】连接BD，交AC于点O，根据平行四边形的对角线互相平分可得OA=OC，OB=OD，结合AE=CF，根据线段的和差关系可得OE=OF，然后根据平行四边形的判定定理（对角线互相平分的四边形是平行四边形）进行证明.
21．（2022八下·曲阳期末）如图，在中，，、分别是、的中点，试判断四边形的形状，并证明之．
【答案】解：∵四边形ABCD是平行四边形
∴AD＝BC，
又∵AE＝CF，
∴AD﹣AE＝BC﹣CF，即DE＝BF，
∵DE∥BF，
∴四边形BEDF是平行四边形，
∴BE＝DF，
∴M、N分别是BE、DF的中点，
∴EM＝BE＝DF＝NF，
而EM∥NF，
∴四边形MFNE是平行四边形．
【知识点】平行四边形的判定与性质；三角形的中位线定理
【解析】【分析】根据平行四边形的性质可得AD=BC， 易求DE＝BF ，结合DE∥BF可证四边形BEDF是平行四边形，利用平行四边形的性质可得BE＝DF， 利用线段的中点可求出 EM＝NF， 结合EM∥NF，根据平行四边形的判定即证.
22．（2021八下·铁东期中）如图，点D、E分别是△ABC的边AB、AC的中点，连接BE，过点C作CF∥BE，交DE的延长线于点F，若DE＝1，求DF的长．
【答案】解：∵D、E分别是边、的中点
∴ ∥
∵
∴
∵∥
∴四边形为平行四边形
∴
∴．
【知识点】平行四边形的判定与性质
【解析】【分析】根据三角形中位线的性质可得
，DE//BC，再结合CF//BE，可证明四边形BCFE为平行四边形，可得，最后利用DF=DE+EF计算即可。
23．（2017·朝阳模拟）如图，点M、N在 ABCD的对角线AC上，且AM=CN，求证：四边形BMDN是平行四边形．
【答案】证明：如图，连结BD，交AC于点O，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OA=OC，OB=OD
∵对角线AC上的两点M、N满足AM=CN，
∴OA﹣AM=OC﹣CN，即OM=ON，
∴四边形BMDN是平行四边形．
【知识点】平行四边形的判定与性质
【解析】【分析】利用“对角线互相平分的四边形是平行四边形”，须连接BD，利用平行四边形的性质和已知条件可证出结论.
24．（2022九上·建设月考）在 中，，分别为对角线上两点，连接、、、，且．
（1）如图1，求证：四边形是平行四边形；
（2）如图2，若，在不添加任何字母及辅助线的情况下，请直接写出图2中面积是面积的的四个三角形．
【答案】（1）证明：四边形是平行四边形，
，，
，
，
，
，
在和中，
，
≌，
，
又，
四边形是平行四边形
（2）解：的面积；的面积；的面积；的面积；面积
【知识点】平行四边形的判定与性质
【解析】【解答】（2）解：、、、，理由如下：
由（1）得：≌，
，
，
：：8，
的面积的面积的面积的面积面积的．
【分析】（1）先利用“AAS”证明≌△CDF，可得AE=CF，再结合AE//CF，即可得到四边形AECF是平行四边形；
（2）利用三角形的面积计算方法和求解即可。
25．（2022九上·西和期中）已知，如图，在ABCD中，延长DA到点E，延长BC到点F，使得AE＝CF，连接EF，分别交AB，CD于点M，N，连接DM，BN.
（1）求证：△AEM≌△CFN；
（2）求证：四边形BMDN是平行四边形.
【答案】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥DC ，AD∥BC.
∴∠E=∠F，∠DAB=∠BCD.
∴∠EAM=∠FCN.
又∵AE=CF
∴△AEM≌△CFN（ASA）.
（2）证明：∵由（1）△AEM≌△CFN
∴AM=CN.
又∵四边形ABCD是平行四边形
∴ABCD
∴BMDN.
∴四边形BMDN是平行四边形.
【知识点】平行线的性质；平行四边形的判定与性质
【解析】【分析】（1）根据平行四边形的性质可得AB∥DC ，AD∥BC，由平行线的性质可得∠E=∠F，∠DAB=∠BCD，结合邻补角的性质可得∠EAM=∠FCN，由已知条件可知AE=CF，然后根据全等三角形的判定定理进行证明；
（2）根据全等三角形的性质可得AM=CN，由平行四边形的性质可得AB=CD，AB∥DC ，则BM=DN，BM∥DN，然后根据平行四边形的判定定理进行证明.
26．（2022九上·淅川期中）【教材呈现】如图是华师九年级上删数学教材第77页的部分内容.
如图，在中，点D、E分别是与的中点，根据画出的图形，可以猜想： ，且 对此，我们可以用演绎推理给出证明.
【定理证明】
（1）请根据材料内容，结合图①，写出证明过程.
（2）【定理应用】
如图②，四边形中，M、N、P分别为、、的中点，边、延长线交于点E，，则的度数是 .
（3）如图③，矩形中，，，点E在边上，且.将线段绕点A旋转一周，得到线段，M是线段的中点，直接写出旋转过程中线段长的最大值和最小值.
【答案】（1）证明：延长至F，使，连接，
∴，
∵点D、E分别是与的中点，
∴，
在和中，
，
，
，，
，
，
，
又∵，
四边形为平行四边形，
，，
，
∵，
∴；
（2）135°
（3）BM长的最大值为4，最小值为1
【知识点】三角形的外角性质；勾股定理；平行四边形的判定与性质；三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：(2)∵M、N、P分别为、、的中点，
∴是△DAB的中位线，是△BCD的中位线，
∴，，
∴，，
又∵，
∴，
∴；
（3）延长至H，使，连接，，
∴B是线段的中点
∵M是线段的中点，
，
在中，，
当点F在线段的延长线上时，最大，此时最大值为，
当点F在线段上时，最小，此时最小值为，
长的最大值为，最小值为.
【分析】（1）由题意用边角边可证△AED≌△CEF，由全等三角形的对应边（角）相等可得AD=CF，∠A=∠ACF，结合线段中点定义可得BD=CF，然后由有一组对边平行且相等的四边形是平行四边形可得四边形DBCF是平行四边形，则DF∥BC，DF=BC，再结合辅助线可求解；
（2）由三角形中位线定理可得MP∥AB，PN∥CD，由平行线的性质可得∠EBD=∠MPD，∠DPN+∠BDC=180°，结合三角形外角的性质可求得∠MPD=∠BDC-∠E，然后由角的构成∠MPN=∠MPD+∠DPN可求解；
（3）延长CB至H，使BH=CB=3，连接AH，在Rt△ABH中，用勾股定理求得AH的值，
当点F在线段HA的延长线上时，FH最大；
当点F在线段AH上时，FH最小，此时FH最小，然后由线段的构成可求解.
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