8.3.1棱柱、棱锥、棱台的表面积和体积 配套练习（含解析）

8.3.1棱柱、棱锥、棱台的表面积和体积
一、单选题
1. 如图、在四棱锥中，底面为矩形，底面，若，，则该四棱锥的体积为( )
A.
B.
C.
D.
2. 三棱柱的侧棱和上各有一动点，满足，过、、三点的截面把棱柱分成两部分，则其体积比为( )
A. ：
B. ：
C. ：
D.
3. 如图，在直三棱柱中，是等腰直角三角形．若，则该直三棱柱的体积为( )
A.
B.
C.
D.
4. 已知正方体，为棱上任意一点，则四棱锥的体积与正方体的体积之比为( )
A. B. C. D.
5. 斗拱是中国古典建筑最富装饰性的构件之一，并为中国所持有，图一图二是北京故宫太和殿斗拱实物图，图三是斗拱构件之一的“斗”的几何体，本图中的斗是由棱台与长方体形凹槽长方体去掉一个长相等，宽和高分别为原长方体一半的小长方体组成若棱台两底面面积分别是，，高为，长方体形凹槽的高为那么这个斗的体积是( )
A. B. C. D.
6. 三棱台中，：：，则三棱锥，，的体积之比为( )
A. ：： B. ：： C. ：： D. ：：
7. 若正三棱台上、下底面边长分别是和，棱台的高为，则此正三棱台的侧面积为( )
A. B. C. D.
8. 我国南北朝名著张邱建算经中记载：“今有方亭，下方三丈，上方一丈，高二丈五尺，预接筑为方锥，问：接筑高几何？”大致意思是：有一个正四棱台的上下底面边长分别为一丈三丈，高为二丈五尺，现从上面补上一段，使之成为正四棱锥，则所补的小四棱锥的高是多少？那么，此高和原四棱台的体积分别是注：丈等于尺( )
A. 尺立方尺 B. 尺立方尺
C. 尺立方尺 D. 尺立方尺
二、多选题
9. 如图正方体的棱长为，线段上有两个动点、，且，则下列结论中正确的是( )
A. B. 平面
C. 三棱锥的体积为定值 D. 的面积与的面积相等
10. 中国古代数学专著九章算术商功有这样的记载：“斜解立方，得两堑堵，斜解堑堵，其一为阳马，一为鳖臑”“堑堵”，即底面为直角三角形，且侧棱垂直于底面的三棱柱“阳马”，即底面为矩形，且有一侧棱垂直于底面的四棱锥“鳖臑”，即三面均为直角三角形的四面体现有一“堑堵”，如图所示，，，，则下面有关“阳马”，“堑堵”与“鳖臑”的说法正确的是( )
A. 若，则“阳马”的体积为
B. 若，则“鳖臑”的体积为
C. “阳马”与“堑堵”的体积之比为
D. “鳖臑”与“堑堵”的体积之比为
三、填空题
11. 正三棱锥的底面边长为，侧棱长为，则它的体积为 ．
12. 一个正四棱台，其上、下底面均为正方形，边长分别为和，侧棱长为，则其表面积为 ．
13. 如图，设正方体的棱长为，点为线段的中点，设点在线段上包括端点，则三棱锥的体积的取值范围是 ．
14. 有一个封闭的正三棱柱容器，高为，内装水若干如图，底面处于水平状态，将容器放倒如图，一个侧面处于水平状态，这时水面与各棱交点、、、分别为所在棱的中点，则图中水面的高度为 ．
15. 如图，三棱柱的高为，点，分别在线段，上，，，点，，所确定的平面把三棱柱切割成体积不相等的两部分，若底面的面积为，则较大部分的体积为 ．
16. 如图，在棱长为的正方体中，为的中点，点在线段上，分别记四棱锥，的体积为，，则的最小值为 ．
四、解答题
17. 如图，四棱台，上、下底面均是正方形，且侧面是全等的等腰梯形，且，，．
求四棱台的侧面积；
求四棱台的体积．
18. 正棱锥的底面边长为，高为．
求：棱锥的侧棱长和侧面的高；
棱锥的表面积与体积．
答案和解析
1.【答案】
解：四棱锥中，底面矩形的面积为，
因为底面，所以四棱锥的高为，
所以该四棱锥的体积为．
故选：．

2.【答案】
解：设三棱柱的体积为
侧棱和上各有一动点，满足，
四边形与四边形的面积相等，
故四棱椎的体积等于三棱锥的体积等于，
则过、、三点的截面把棱柱分成两部分，
其中上半部分的体积等于，下半部分的体积等于，
故过、、三点的截面把棱柱分成两部分，则其体积比为：，
故选B．

3.【答案】
解：因为在直三棱柱中，是等腰直角三角形，
，则为直角，
故．
故选：．

4.【答案】
解：设正方体棱长，由题设得面，
，
正方体的体积为，
所以四棱锥的体积与正方体的体积之比为．
故选A．

5.【答案】
解：由题意得棱台的体积；
长方体形凹槽是指长方体去掉一个长相等，宽和高分别为原长方体一半的小长方体，
长方体凹槽的体积是原长方体体积的，则长方体凹槽的体积
这个斗的体积是．
故选：．

6.【答案】
解：设点到底面的距离为，
则三棱锥的体积，
三棱锥的体积，
三棱锥的体积，
所以三棱锥，，的体积之比为：：．
故选D．

7.【答案】
解：如图，，分别为上、下底面的中心，，分别是，的中点，
过作于点在直角梯形中，
，，
在中，，
则
．
．
故选C．

8.【答案】
解：如图所示，得正四棱台，且上底边长为尺，
正四棱台的高二丈五，即尺
从上面补上一个小四棱锥后得到正四棱锥，小四棱锥的高为，
正四棱锥的下底边长为三丈，即尺，
所以，
解得，
所以该正四棱台的体积是
立方尺．
故选：．

9.【答案】
解：连接，
A.如图，正方体中，平面，平面，
，
又，，，平面，
平面，
又平面，
，故A正确
B.正方体的棱长为，线段上有两个动点、，
，平面，平面，
平面，故A正确
C.，
，
设，则平面，，
三棱锥体积，
三棱锥体积为定值，故C正确
D.点、到直线的距离不相等，
的面积与的面积不相等，故D错误．
故选：．

10.【答案】
解：设，由“堑堵”的定义可知，，且平面，
“堑堵”的体积为，
由“阳马”的定义及可知，
四边形是矩形，平面，
“阳马”的体积为，故A错误
由知，“鳖臑”的体积为，当时，体积为，故B正确
“阳马”一与“堑堵”的体积之比为，故C错误
“鳖臑”与“堑堵”的体积之比为，故D正确．
故选BD．

11.【答案】
解：正三棱锥的底面边长为，
正三棱锥底面正三角形的面积，
正三棱锥侧棱长为，
则其侧面的高为，
可得正三棱锥的高为
所以正三棱锥的体积
．
故答案为
12.【答案】
解：如图：
正四棱台，其上、下底面均为正方形，
边长分别为，，侧棱长为，
其表面积为，
故答案为．

13.【答案】
解：当点与点重合时，三棱锥的体积最小，
此时点到平面的距离等于点到平面的距离，
此距离为正方体体对角线长度的，即，
此时三棱锥的体积为；
当点与重合时，点到平面的距离为正方体体对角线长度的，
即，此时三棱锥的体积最大，
为，
故三棱锥的体积的取值范围是．
故答案为．

14.【答案】
解：设正三棱柱的底面边长为，则，
在图中，设水面的高度为，则水的体积为，
在图中，易知几何体为直棱柱，
因为为等边三角形，且、分别为、的中点，
则，且，则是边长为的等边三角形，
且，
则水的体积为，解得．
故答案为：．

15.【答案】
解：如图，延长与的延长线交于点，
连接与交于点，延长交于点，
与平面交于点，并得到截面．
不妨设三棱柱是直三棱柱，且，令，
由的面积为，可得，则．
根据题意，可知，棱柱的体积．
又因为，则．
因为，
所以，则，
解得．
过点作交于点，
则，可得，
又因为，可得．
所以为中点．
又，
可得．
因为，，
，
所以，
所以，即为中点，
所以下部分体积，
下部分体积为
，，
故．
故答案为．

16.【答案】
解：作平面，为垂足，设，
由题意，，，，
，，到得距离记为
当且仅当时，故最小值为：．
故答案为：．

17.【答案】解：设棱台是由棱锥截出的，如图，
棱台的侧面是全等的等腰梯形，则棱锥的侧面是全等的等腰三角形，显然侧棱都相等，
设是底面上与的交点，则是的中点也是中点，
所以，，
因为，，平面，
则平面，正方形中心，
因此是正棱锥，棱台是正棱台，
在侧面内过作于点，
则，
棱台的侧面积为；
设是的中心，显然，
是直角梯形，，，
高，
棱台的体积为．

18.【答案】解：设为正四棱锥的高，则，
作，则为中点，
连结，，则，，，，
则，
在中，，
在中，，
棱锥的侧棱长为，侧面的高为．
棱锥的表面积：
，
几何体的体积为：．
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