8.3.2圆柱、圆锥、圆台、球的表面积和体积 配套练习（含解析）

8.3.2圆柱、圆锥、圆台、球的表面积和体积
一、单选题
1. 若棱长为的正方体的顶点都在同一球面上，则该球的表面积为( )
A. B. C. D.
2. 已知三棱锥，是直角三角形，其斜边，平面，，则三棱锥的外接球的表面积为( )
A. B. C. D.
3. 已知直三棱柱的个顶点都在球的球面上，若，，，，则球的表面积为．( )
A. B. C. D.
4. 若一个圆锥和一个圆柱的轴截面分别是边长为的正三角形和边长为正方形，则这两个旋转体的侧面积之比为( )
A. B. C. D.
5. “牟合方盖”是我国古代数学家刘徽在研究球的体积过程中构造的一个和谐优美的几何模型如图，正方体的棱长为，用一个底面直径为的圆柱面去截该正方体，沿着正方体的前后方向和左右方向各截一次，截得的公共部分即是一个牟合方盖如图已知这个牟合方盖与正方体内切球的体积之比为，则正方体除去牟合方盖后剩余部分的体积为( )
A. B. C. D.
6. 如图所示，在平面四边形中，，，，现将沿折起，并连接，如图，则当三棱锥的体积最大时，其外接球的体积为( )
A. B. C. D.
7. 在三棱锥中，平面平面，，，则该三棱锥外接球的表面积为( )
A. B. C. D.
8. 正八面体是每个面都是正三角形的八面体如图所示，若此正八面体的棱长为，则它的内切球的表面积为( )
A. B. C. D.
二、多选题
9. 九章算术是我国古代的数学名著，它在几何学中的研究比西方早一千多年，其中有很多对几何体体积的研究．已知某囤积粮食的容器是由同底等高的一个圆锥和一个圆柱组成，若圆锥的底面面积为、高为，则下列结论正确的是( )
A. 该容器的高为 B. 该容器外接球的半径为
C. 该容器外接球的表面积为 D. 该容器的体积为
10. 如图所示，的三边长分别是，，，过点作，垂足为下列说法正确的是( )
A. 以所在直线为轴，将此三角形旋转一周，所得旋转体的侧面积为
B. 以所在直线为轴，将此三角形旋转一周，所得旋转体的体积为
C. 以所在直线为轴，将此三角形旋转一周，所得旋转体的侧面积为
D. 以所在直线为轴，将此三角形旋转一周，所得旋转体的体积为
11. 如图，一个盛满溶液的玻璃杯，其形状为一个倒置的圆锥，现放入一个球状物体，使其完全浸没于杯中，球面与圆锥侧面相切，且与玻璃杯口所在平面相切，则( )
A. 此圆锥的侧面积为 B. 球的表面积为
C. 原玻璃杯中溶液的体积为 D. 溢出溶液的体积为
12. 已知正方体的棱长为，，分别是，的中点，过，的平面与该正方体的每条棱所成的角均相等，以平面截该正方体得到的截面为底面，以为顶点的棱锥记为棱锥，则下列选项中正确的是( )
A. 正方体的外接球的体积为
B. 正方体的内切球的表面积为
C. 棱锥的体积为
D. 棱锥的体积为
三、填空题
13. 已知高为的圆柱内接于一个直径为的球内，则该圆柱的体积为 ．
14. 已知某圆柱的轴截面是一个正方形，且该圆柱表面积底面和侧面面积之和为，其外接球的表面积为，则该圆柱的表面积与其外接球的表面积的比值 ．
15. 设三棱柱的侧棱垂直于底面，，，且三棱柱的所有顶点都在同一球面上，则该球的表面积是 ．
16. 钻石是以矿物金刚石为材料的宝石，“钻石恒久远，一颗永流传”也早已深人人心，这么多年来，钻石依然是很多美好场合的见证者天然钻石原矿，最基本的单晶结晶形态之一是等轴晶系里的八面体为了研究结构特点，我校某兴趣小组研制了一个教具，由六个黑点代表顶点，十二条黄棍代表棱，制作成了正八面体模型，若该正八面体的棱长为，则该正八面体的外接球体积是 ．
四、解答题
17. 如图，几何体为一个圆柱和圆锥的组合体，圆锥的底面和圆柱的一个底面重合，圆锥的顶点为，圆柱的上、下底面的圆心分别为、，且该几何体有半径为的外接球即圆锥的顶点与底面圆周在球面上，且圆柱的底面圆周也在球面上，外接球球心为．
若圆柱的底面圆半径为，求几何体的表面积
若，求几何体的体积．
18. 据说伟大的阿基米德逝世后，敌军将领马塞拉斯给他建了块墓碑，在墓碑上刻了一个如图所示的图案，图案中球的直径、圆柱底面的直径和圆柱的高相等，圆锥的顶点为圆柱上底面的圆心，圆锥的底面是圆柱的下底面．
试计算出图案中圆柱与球的体积比；
假设球半径，试计算出图案中圆锥的体积和表面积．
答案和解析
1.【答案】
解：由题意，正方体的体对角线就是球的直径，
所以，
所以，．
故选：．

2.【答案】
解：由题意将此三棱锥放在长方体中，可得长方体的对角线为外接球的直径，设外接球的半径为，
则由题意可得，所以，
所以外接球的表面积．
故选：．

3.【答案】
解：由题意，三棱柱为直三棱柱，底面为直角三角形，把直三棱柱补成直四棱柱，
则四棱柱的体对角线是其外接球的直径，所以外接球半径为．
则直三棱柱外接球的表面积是．
故选：．

4.【答案】
解：因为圆锥的轴截面是边长为的正三角形，
所以其侧面积为，
又圆柱的轴截面是边长为正方形，
所以其侧面积为，
则这两个旋转体的侧面积之比为．
故答案选：．

5.【答案】
解：正方体的体积为，其内切球的体积为，
由条件可知牟合方盖的体积为，
故正方体除去牟合方盖后剩余的部分体积为．
故选：．

6.【答案】
解：因为的面积不变，要使体积最大，需到平面的距离最大，
即当平面平面时，体积最大，
因为是等腰直角三角形，取中点，
则平面，高为最大，，
则中，，，
所以，
故中，
所以中，
即得
即为外接球的直径，即，
所以外接球的体积为．

7.【答案】
解：，所以的外接圆的圆心为斜边的中点，
，为等边三角形，
连接，，平面平面，平面平面，面，
面，则球心一定在直线上，
为等边三角形，可知为的外心，
则为该三棱锥外接球的球心．
因为，所以，
则该三棱锥外接球的半径为．
故该三棱锥外接球的表面积为，
故选：．

8.【答案】
解：以内切球的球心为顶点、正八面体的八个面为底面，可将正八面体分为个全等的正三棱锥，设内切球的半径为，则，
且正四棱锥的高为图中，易得，
所以
解得：，
所以内切球的表面积为，
故选C．

9.【答案】
解：设圆锥的底面半径为，根据已知条件，得，解得，由题意知外接球的球心是圆柱上下底面中心连线的中点，设外接球的半径为，则，解得，，外接球的表面积；容器的高为，容器的体积为，所以选项A，C正确．
故选AC．

10.【答案】
解：以所在直线为轴旋转时，所得旋转体是底面半径为，母线长为，高为的圆锥，
侧面积为，体积为，故A正确，B错误；
以所在直线为轴旋转时，所得旋转体是底面半径为，母线长为，高为的圆锥，
侧面积为，体积为，故C错误，D正确．
故选AD．

11.【答案】
解：如图，
球心为圆锥轴截面三角形的中心，设圆锥的底面圆半径为，高为，母线长为，球的半径为，
则由题意得，，，
对于，圆锥的侧面积为，故A正确；
原玻璃杯中溶液的体积等于圆锥的体积为，故C错误．
对于，圆锥轴截面为正三角形，且边长为，则球的半径为，
球的表面积为 ，溢出溶液的体积等于球的体积为
，故BD正确．
故选：．

12.【答案】
解：因为正方体的棱长为，所以正方体的外接球的直径为，所以正方体的外接球的体积为，故A正确
因为正方体的棱长为，所以正方体的内切球的半径，内切球表面积为，故B错误．
如图，，，，分别是棱，，，的中点．
因为在同一个平面内，并且该平面与正方体的各条棱所成的角均相等，
所以平面被此正方体所截得的截面图形为正六边形，其边长为，
因为正六边形的面积．
正方体中，平面，在平面内，所以，
底面为正方形，，，所以，
，平面，平面，所以平面，
平面，所以，同理，，
平面，平面，，所以平面，
以为顶点以正六边形为底面的正六棱锥与以为顶点以正六边形为底面的正六棱锥是全等的， 它们的高均为的长度的一半，
即到平面的距离为，所以棱锥的体积为，
故C正确， D错误．
故选：．

13.【答案】
解：设圆柱底面圆的直径为，
则，则，
所以该圆柱的体积为：
，
故答案为．

14.【答案】
解：如图，
设，，
则圆周的表面积，
其外接球的半径为，则其外接球的表面积为．
．
故答案为：．

15.【答案】
解：由题意知底面外接圆的圆心为点，设外接圆的半径为，
三棱柱的外接球的半径为，
，，由余弦定理得
，
由正弦定理得，
所以，
过做垂直于底面的直线交中截面于点，则为外接球的球心，
由题意得：，
所以外接球的表面积．

16.【答案】
解：如图：
正八面体的棱长为，连接，，设，则为和的中点，
且平面，可得，
在中，，
所以，
所以点为正八面体外接球的球心，且外接球的半径为，
所以正八面体的外接球体积是．
故答案为．

17.【答案】解：由题意得，
则，
所以，
由对称性可得，
所以几何体的表面积为：
由：：，，可得，
所以，
因为，
所以，
所以几何体的体积为：
．
18.【答案】解：球的直径、圆柱底面的直径和圆柱的高相等，设为，
则圆柱的体积，
球的体积，
图案中圆柱与球的体积比为：．
假设球半径，
图案中圆锥的体积为：．
圆锥的表面积为：．
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