8.6.3平面与平面垂直 配套练习（含解析）

8.6.3平面与平面垂直
一、单选题
1. 已知，是两条不同的直线，，是两个不同的平面．且满足，，则下列说法一定正确的是( )
A. B.
C. 若，则 D. 若，则
2. 已知直线、与平面，，给出下列三个命题：
若，，则；
若，，则；
若，，则．
其中真命题的个数是( )
A. B. C. D.
3. 如图，以等腰直角三角形的斜边上的高为折痕，把和折成互相垂直的两个平面后，某学生得出下列四个结论：
；
是等边三角形；
三棱锥是正三棱锥；
平面平面
其中正确的是( )
A. B. C. D.
4. 若平面平面，且，则下列命题中正确的个数是．( )
平面内的直线必垂直于平面内的任意一条直线．
平面内的已知直线必垂直于平面内的无数条直线．
平面内的任一条直线必垂直于平面．
过平面内任意一点作交线的垂线，则此垂线必垂直于平面．
A. B. C. D.
5. 如图，点在正方体的面对角线上运动，则下列四个结论：
三棱锥的体积不变；
平面；
；
平面平面．
其中正确的结论的个数是( )
A. 个 B. 个 C. 个 D. 个
6. 九章算术中，将四个面都为直角三角形的四面体称之为鳖臑如图，在鳖臑中，面，，，，则下列选项中，不正确的是( )
A. 平面平面 B. 二面角的余弦值为
C. 与平面所成角为 D. 三棱锥外接球的表面积为
7. 如图，在四棱锥中，底面为菱形，，侧面为正三角形，且平面平面，则下列说法正确的是( )
A. 平面平面
B. 异面直线与所成的角为
C. 二面角的大小为
D. 在棱上存在点使得平面
二、多选题
8. 已知菱形的边长为，，现将沿折起形成四面体设，则下列选项正确的是( )
A. 当时，二面角的大小为
B. 当时，平面平面
C. 无论为何值，直线与都不垂直
D. 存在两个不同的值，使得四面体的体积为
9. 在正方体中，则( )
A. 平面 B. 平面
C. D. 平面平面
10. 如图，在长方体中，，，，分别为棱，的中点，则下列说法正确的是( )
A. A、、、四点共面 B. 平面平面
C. 直线与所成角的为 D. 平面
11. 如图，在平面四边形中，，，，分别为，的中点，为与交点，与，分别交于，，将图形沿虚线，，折叠，使得，，三点重合为，得到一个三棱锥在三棱锥中，下列说法正确的是．( )
A. 直线平面
B. 直线平面
C. 二面角的平面角的正切值为
D. 直线与平面所成角的正弦值为
12. 如图，在三棱锥中，平面，，以为直径的圆经过点，，则下列结论正确的是( )
A. 平面平面
B. 三棱锥的体积为
C. 二面角的正切值为
D. 三棱锥外接球的表面积为
三、填空题
13. 在正四面体中，、、分别是、、的中点，下面四个结论中成立的 ．
面；面；面面；面面．
14. 已知，是直线，，是平面，给出下列命题：
若垂直于内的两条相交直线，则丄；
若平行于，则平行内所有直线；
若，，且，则丄；
若，且丄，则丄；
若，，且，则 ，
其中正确命题的序号是 把你认为正确的命题的序号都填上．
15. 已知，是两条不同的直线，，为两个不同的平面，有下列四个命题：
若，，，则；
若，，，则；
若，，，则；
若，，，则．
其中所有正确命题的序号是 ．
16. 如图，已知四棱锥，底面为正方形，平面给出下列命题：
； 平面与平面的交线与平行；平面平面；为锐角三角形．其中正确命题的序号是
四、解答题
17. 如图，已知正三棱柱，点，分别是棱，中点，且．
求证：平面平面；
求三棱锥的体积．
18. 如图，在三棱柱中，平面平面，，，是的中点，为线段上的动点。
证明：平面平面；
若的最小值为，求过，，三点的截面将该三棱柱分得的两部分的体积．
答案和解析
1.【答案】
解：若，则内存在直线，使得，又，，则，故A正确，B错误；
若，则与内的直线有两种位置关系，平行或异面，而，则或与异面，故C错误；
由，，得，而，则或或与相交，相交也不一定垂直，故D错误．
故选：．

2.【答案】
解：，时，与可能平行、可能异面也可能相交，故错误；
，时，存在直线，使，则，必有，故正确；
，时，存在直线，使，则，则，故正确；
故选C．

3.【答案】
解：设等腰直角三角形的腰为，则斜边，
为的中点，，
又平面平面，平面平面，，平面，
平面，
又平面，
，故正确；
由知，平面，平面，
，
又，
由勾股定理得：，
又，
是等边三角形，故正确；
是等边三角形，，
三棱锥是正三棱锥，故正确．
为等腰直角三角形，取斜边的中点，则，
又为等边三角形，连接，则，
为平面与平面的二面角的平面角，
由平面可知，为直角，不是直角，
故平面与平面不垂直，故错误；
综上所述，正确的结论是．
故选B．

4.【答案】
解：由平面平面，且，得：
在中，平面内的直线和平面内的直线可能相交、平行或异面，故错误；
在中，由面面垂直的性质定理得：
平面内的直线一定垂直于平面内的无数条直线，故正确；
在中，平面内的任意一条直线与平面相交、平行或包含于平面，故错误；
在中，平面内任意一点作交线的垂线，若这点在交线上，则无法满足垂线必垂直于另一个平面，故错误．
故选C．

5.【答案】
解：对于，由题意知，
，
从而平面，
故上任意一点到平面的距离均相等，
所以以为顶点，平面为底面，则三棱锥的体积不变，故正确；
对于，连接，，，由知：，
，
，
所以平面平面，，平面，故正确；
对于，由，
可得为的中点，与为动点矛盾，故错误；
对于，连接，在正方体中易得且，
，
可得面，，
可得平面平面，故正确．
故选：．

6.【答案】
解：对于，平面，平面，平面，所以，，
可得，，
则有，．
平面，平面，，
又，平面，
平面，又平面，
平面平面，故A正确；
对于，平面，平面，平面，
，，
就是二面角的平面角，
又，，，
，，
在直角三角形中，
，故B正确；
对于，平面，与平面所成角为，
在直角三角形中，，，所以，所以，
故C正确；
对于，取的中点为，则，
所以三棱锥外接球的半径为，其表面积，故D错误．
故选D．

7.【答案】
解：对于，取的中点，连，，侧面为正三角形，
，
又底面是的菱形，
三角形是等边三角形，
，
，平面，平面，
平面，故正确，
对于，平面，平面，
，即异面直线与所成的角为，故错误，
对于，底面为菱形，，平面平面，
平面，，平面，
又平面，平面，
，，
则是二面角的平面角，
设，则，，
在直角三角形中，，
即，故二面角的大小为，故错误，
对于，平面，，
所以平面，平面，
所以平面平面，显然平面与平面不垂直，故A错误；
故选：．

8.【答案】
解：对于、选项，取中点，连接，，
则，，，为二面角所成的平面角．
当时，为等边三角形，所以，所以A正确．
当时，，所以，即平面平面，所以B正确．
对于选项，当时，四面体为正四面体，与垂直，所以C错误．
对于选项，翻折过程中，点的轨迹为半圆弧，当平面平面时，四面体的体积最大，为，
因为，所以在翻折的过程中，存在两个点，使得四面体的体积为，即存在两个，所以D正确．
故本题选ABD．

9.【答案】
解：对于：如图，由于，平面，
平面，故AC平面，A正确；
对于：由于与所成角即为与所成角为，故B错误；
对于：与所成角即为与所成角为，故C错误；
对于：由于，，且，是平面内两条相交直线，
故A平面，又平面，故平面平面，故D正确．
故选AD．

10.【答案】
解：对于，点、、在平面内，在平面外，
故 A、、、四点不共面，故A错误
对于，由题意平面，平面，
故平面平面，故B正确；
对于，取的中点，连接、，即，
则直线与所成角为直线与所成角，即，
易知三角形为等边三角形，故，故C正确；
对于，若平面，又平面，，，平面，
则平面平面，
而平面平面，矛盾，故D错误．
故选BC

11.【答案】
解：如下图，
因为，所以，，且，所以平面，故A正确
若直线平面，由线面平行的性质应有，
设，，
与有共同的外接圆，又
所以与关于对称，有垂直平分，
所以，，，
，，
所以不是的中点，因为，分别为，的中点，所以，所以也不是的中点，所以不平行，故B错误
因为垂直平分，，分别为，的中点，
所以，，
即，，所以即为二面角的平面角，
因为平面，所以，
因为，，为的中点，
所以，，，
，
又，所以，故C正确
作于，又，，，
所以平面，平面，所以，
，所以平面，所以为直线与平面所成角
所以，故D正确．
故选：．

12.【答案】
解：由题意，平面，平面，，
点在以为直径的圆上，，
又，，平面，平面，
又平面，平面平面，故A正确；
在中，且为圆的直径，，
，，
，
，故B错误；
取的中点为，连接，，
在中，，，为等边三角形，
，，
，，
二面角为，可知，，
二面角和二面角互为补角，
二面角的正切值为，故C正确；
取的中点为，连接，
为直角三角形，，
又为的中点，，
平面，平面，
可知为的外心，
，，即为三棱锥外接球球心，
故三棱锥外接球半径为，表面积为，故D正确；
故选ACD．

13.【答案】
解：
如图所示，，在平面外，平面正确；
由，，平面，平面，又，平面，正确；
因为在底面上的射影是正三角形的中心，而不经过中心，所以面不与面垂直，错误．
平面，面，平面平面，正确．
故答案为．

14.【答案】
对于：若垂直于平面内两条相交直线，则由直线与平面垂直的判定定理知，故正确；
对于：若，则与平面内的直线平行或异面，故错误；
对于：若，，且，则与也可能平行或相交，故错误；
对于：若，且，根据面面垂直的判定定理可得，故正确；
对于：若，，且，则与平行或异面，故错误．
综上可得，正确的命题是．
故答案为．

15.【答案】
解： 对于，当两个平面互相垂直时，分别位于这两个平面内的两条直线可能平行，相交或异面，因此不正确
对于，依据结论“由空间一点向一个二面角的两个半平面或半平面所在平面引垂线，这两条垂线所成的角与这个二面角的平面角相等或互补”，可知正确
对于，分别与两条平行直线平行的两个平面可能相交、可能平行，因此不正确
对于，由得，在平面内必存在直线平行于直线；由，得，；又，因此，正确．
综上所述，所有正确命题的序号是．
故答案为：．

16.【答案】
解：如图，
、设，若，
，，、平面，
则平面，
又平面，，
又平面，平面，则，
在平面内过有两条直线与垂直，与在同一平面内过一点有且只有一条直线与已知直线垂直矛盾．错误；
、，平面，平面，
则平面，又平面，
平面与平面的交线与平行．正确；
、
又正确；
、因为平面，平面，
所以，
又，，，平面，
所以平面，平面，
所以，即三角形是直角三角形，错误，
故答案为．

17.【答案】证明：因为三棱柱为正三棱柱，
所以是等边三角形且平面
因为平面，所以
又因为为中点，所以
因为平面，平面， ，
所以平面
又平面，所以平面平面
解：因为平面，
所以

18.【答案】证明：在三棱柱中，取的中点，连接，，C.
因为、分别为，的中点，所以，所以，所以平面即为平面D.
因为，，所以为正三角形，即
又平面平面，平面平面，平面，
所以平面，所以
在中，，，
由余弦定理可得，所以，
即，因为，所以，
因为，平面，平面，所以平面，
又平面，所以平面平面，
即平面平面C.
解：将平面与平面展平，由得展平后
所以的最小值为，
得，，
因为，分别为，的中点，且，
所以是三棱台．
因为中，，，，
所以，
所以，
又平面，且，所以
三棱台是的体积所以剩余几何体的体积
所以过，，三点的截面将该三棱柱分得的两部分的体积分别为和．
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