第二章 相交线与平行线 专项训练题（含解析）

七年级下册第二章 相交线与平行线
一、单选题
1．下列说法正确的是（　　）
A．同位角相等
B．在同一平面内，如果a⊥b，b⊥c，则a⊥c
C．相等的角是对顶角
D．在同一平面内，如果a∥b，b∥c，则a∥c
2．下列说法正确的有（ ）
①两点之间的所有连线中，线段最短；
②相等的角叫对顶角；
③过一点有且只有一条直线与已知直线平行；
④过一点有且只有一条直线与已知直线垂直；
⑤两点之间的距离是两点间的线段；
⑥在同一平面内的两直线位置关系只有两种：平行或相交．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
3．如图，一条公路修到湖边时，需拐弯绕道而过，如果第一次拐的，第二次拐的，第三次拐的，这时的道路恰好和第一次拐弯之前的道路平行，则是（ ）
A． B． C． D．
4．一副直角三角板如图放置，点C在FD的延长线上，AB//CF，∠F=∠ACB=90°，则∠DBC的度数为( )
A．10° B．15° C．18° D．30°
5．如果一个角的度数比它的补角的度数2倍多30°，那么这个角的度数是（ ）
A．50° B．70° C．130° D．160°
6．如图，直线，将一个直角三角尺按如图所示的位置摆放，若∠1=58°，则∠2的度数为（ ）
A．30° B．32° C．42° D．58°
7．两条直线被第三条直线所截，就第三条直线上的两个交点而言形成了“三线八角”，为了便于记忆，同学们可仿照图用双手表示“三线八角”（两大拇指代表被截直线，食指代表截线），下列三幅图依次表示（ ）
A．同位角、同旁内角、内错角 B．同位角、内错角、同旁内角
C．同位角、对顶角、同旁内角 D．同位角、内错角、对顶角
8．如图所示，是平角，是射线，、分别是、的角平分线，若，则的度数为（ ）
A．56° B．62° C．72° D．124°
9．如图，已知直线，则∠α、∠β、∠γ之间的关系是（ ）
A． B．
C． D．
10．如图，，，垂足分别为C、D，线段的长度是（ ）
A．点A到的距离 B．点B到的距离
C．点C到的距离 D．点D到的距离
二、填空题
11．如果一个角的补角是150°，那么这个角的余角的度数是__________．
12．一个角的余角比它的补角的还少2°，则这个角的度数是_______．
13．在同一平面内，与的两边一边平行，另一边垂直，且比的3倍少10°．则______．
14．已知两个角的两边分别平行，其中一个角为40°，则另一个角的度数是_____．
15．一大门的栏杆如图所示，BA垂直地面AE于点A，CD平行于地面AE，则∠ABC＋∠BCD＝_____．
16．如图，已知ABCD，，，则____．
17．如图，，的平分线与的平分线交于点，则_____．
18．如图所示，是我们生活中经常接触的小刀，刀柄外形是一个直角梯形（挖去一小半圆），刀片上下是平行的，转动刀片时会形成∠1、∠2，则__________．
19．如图，把一张长方形纸条ABCD沿EF折叠，若∠1=62°，则∠AEG=_____°．
20．如图，有一块含30°角的直角三角板，两个顶点放在直尺的对边上，如果，______．
三、解答题
21．如图，点D、E在AB上，点F、G分别在BC、CA上，且DG∥BC，∠1＝∠2．
（1）求证：DC∥EF；
（2）若EF⊥AB，∠1＝55°，求∠ADG的度数．
22．已知直线AB和CD相交于O点，射线OE⊥AB于O，射线OF⊥CD于O，且∠BOF＝25°，求∠AOC与∠EOD的度数．
23．将一幅三角板拼成如图所示的图形，过点C作CF平分∠DCE交DE于点F，
（1）求证：CF∥AB，
（2）求∠DFC的度数．
24．如图，直线AB、CD相交于点O，OA平分∠EOC．
(1)若∠EOC=70°，求∠BOD的度数；
(2)若∠EOC=∠EOD，求∠BOD的度数．
25．已知AB//CD ，求证：∠B＝∠E＋∠D
26．如图，已知直线AB，CD相交于点O，射线OE把∠AOC分成两部分．
（1）写出图中∠AOC的对顶角　 　，∠COE的补角是　 　；
（2）已知∠AOC＝60°，且∠COE：∠AOE＝1：2，求∠DOE的度数．
27．已知：如图，D，E，F分别是AB，AC，BC上的点，DE∥BC，∠ADE=∠EFC，求证：∠1=∠2．
28．如图，直线AB、CD、MN相交于点O，FO⊥BO，OM平分∠DOF
（1）请直接写出图中所有与∠AON互余的角：．
（2）若∠AOC=∠FOM，求∠MOD与∠AON的度数．
29．如图，CD⊥AB于D，点F是BC上任意一点，FE⊥AB于E，且∠1=∠2，∠B=60°．试求∠ADG的度数．
30．如图，纸片三角形中，，，，将纸片的一角沿折叠，使点落在内的点上，求和的度数．
31．如图，直线AB，CD相交于点O，OF⊥CD，OE平分∠BOC．
（1）若∠BOE＝65°，求∠DOE的度数；
（2）若∠BOD：∠BOE＝2：3，求∠AOF的度数．
32．如图，已知A、O、B三点共线，∠AOD=42°，∠COB=90°．
（1）求∠BOD的度数；
（2）若OE平分∠BOD，求∠COE的度数．
33．已知：如图，AB∥CD，∠1=∠2，∠3=∠4．
（1）求证：AD∥BE；
（2）若∠B=∠3=2∠2，求∠D的度数．
34．如图，已知点A、O、B在一条直线上，∠COD＝90°，OE平分∠AOC，OF平分∠BOD，求∠EOF的度数．
35．已知点O为直线AB上一点，将直角三角板MON的直角顶点放在点O处，并在∠MON内部作射线OC．
（1）将三角板放置到如图所示位置，使OC恰好平分∠MOB，且∠BON＝2∠NOC，求∠AOM的度数；
（2）若仍将三角板按照如图所示的方式放置，仅满足OC平分∠MOB，试猜想∠AOM与∠NOC之间的数量关系，并说明理由．
36．如图，直线、相交于点，为锐角，，平分
（1）图中与互余的角为__________；
（2）若，求的度数；
（3）图中与锐角互补角的个数随的度数变化而变化，直接写出与互补的角的个数及对应的的度数
37．已知如图，AB∥CD，试解决下列问题：
（1）∠1+∠2=　　；
（2）∠1+∠2+∠3=　　；
（3）∠1+∠2+∠3+∠4=　　；
（4）试探究∠1+∠2+∠3+∠4+…+∠n=　　．
38．问题情境：如图1，，，．求 度数．
小明的思路是：如图2，过 作，通过平行线性质，可得 ．
问题迁移：
（1）如图3，，点 在射线 上运动，当点 在 、 两点之间运动时，，． 、 、 之间有何数量关系 请说明理由；
（2）在（1）的条件下，如果点 在 、 两点外侧运动时（点 与点 、 、 三点不重合），请你直接写出 、 、 间的数量关系．
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参考答案：
1．D
【分析】根据同位角的定义、垂线的性质、对顶角的性质、平行公理依次判断．
【详解】解：A. 同位角不一定相等，故该项不符合题意；
B. 在同一平面内，如果a⊥b，b⊥c，则a//c，故该项不符合题意；
C. 相等的角不一定是对顶角，故该项不符合题意；
D. 在同一平面内，如果a//b，b//c，则a//c，故该项符合题意；
故选：D．
【点睛】此题考查了语句的判断，正确掌握同位角的定义、垂线的性质、对顶角的性质、平行公理是解题的关键．
2．B
【分析】根据所学的相关知识,逐一判断即可．
【详解】解：①两点之间的所有连线中，线段最短，故①说法正确．
②相等的角不一定是对顶角，故②说法错误．
③经过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行，故③说法错误．
④同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直，故④说法错误．
⑤两点之间的距离是两点间的线段的长度，故⑤说法错误．
⑥在同一平面内，两不重合的直线的位置关系只有两种：相交和平行，故⑥说法正确．
综上所述，正确的结论有2个．
故选：．
【点睛】本题主要考查对平行线的定义，两点间的距离，相交线等知识点的理解和掌握，能熟练地运用性质进行说理是解此题的关键．
3．D
【分析】过点B作直线BD与第一次拐弯的道路平行，由题意可得，进而可得，然后问题可求解．
【详解】解：过点B作直线BD与第一次拐弯的道路平行，如图所示：
∵第三次拐的，这时的道路恰好和第一次拐弯之前的道路平行，
∴直线BD与第三次拐弯的道路也平行，
∵，
∴，，
∵，
∴，
∴；
故选D．
【点睛】本题主要考查平行线的性质，熟练掌握平行线的性质是解题的关键．
4．B
【分析】直接利用三角板的特点，结合平行线的性质得出∠ABD=45°，进而得出答案．
【详解】解：由题意可得：∠EDF=45°，∠ABC=30°，
∵AB∥CF，
∴∠ABD=∠EDF=45°，
∴∠DBC=45°﹣30°=15°．
故选：B．
【点睛】本题考查的是平行线的性质，解题的关键是熟练掌握平行线的性质．
5．C
【分析】根据互为补角的定义结合已知条件列方程求解即可．
【详解】解：设这个角是，则它的补角是：，
根据题意，得：
，
解得：，
即这个角的度数为．
故选：C．
【点睛】此题考查了补角的知识，熟悉相关性质定义是解题的关键．
6．B
【详解】解：如图，过点A作，
∴∠3=∠1=58°，
∵∠3+∠4=90°，
∴∠4=90°﹣∠3=32°，
∵
∴，
∴∠2=∠4=32°，
故选B．
7．B
【分析】两条线a、b被第三条直线c所截，在截线的同旁，被截两直线的同一方，把这种位置关系的角称为同位角；两个角分别在截线的异侧，且夹在两条被截线之间，具有这样位置关系的一对角互为内错角；两个角都在截线的同一侧，且在两条被截线之间，具有这样位置关系的一对角互为同旁内角，据此作答即可．
【详解】解:根据同位角、内错角、同旁内角的概念，可知
第一个图是同位角，第二个图是内错角，第三个图是同旁内角．
所以B选项是正确的，
故选B．
【点睛】本题考查了同位角、内错角、同旁内角的识别，属于简单题，解题的关键是掌握同位角、内错角、同旁内角，并能区别它们．
8．B
【分析】根据OE平分可求得∠BOC的度数，由∠AOC与∠BOC互补即可得到∠AOC的度数，由OD平分∠AOC， 即可求得∠AOD的度数．
【详解】∵平分
∴∠BOC=2∠COE=2×28°=56°
∵∠AOC+∠BOC=180°
∴∠AOC=180° ∠BOC=124°
∵平分
∴
故选：B
【点睛】本题考查了角平分线的性质、互补等知识，角平分线的性质熟练掌握相关知识点是关键．
9．D
【分析】过∠β顶点作AB的平行线，把∠β分成∠1和∠2，然后根据平行线的性质即可得到解答 ．
【详解】解：如图，过∠β顶点作AB的平行线，把∠β分成∠1和∠2，
则∠1=∠α，∠2+∠γ=180°，∠1+∠2=∠β，
∴∠β+∠γ ∠α=180°，
故选D．
【点睛】本题考查平行线的应用，熟练掌握平行线的性质是解题关键 ．
10．C
【分析】根据点到直线的距离等于垂线段的长度即可求解．
【详解】解：依题意，，，
点A到的距离是线段的长度,
点B到的距离是线段的长度,
点C到的距离是线段的长度
点D到的距离图中没有标出，
故选C
【点睛】本题考查了点到直线的距离的定义，数形结合以及理解定义是解题的关键．点到直线的距离的等于垂线段的长度．
11．60°##60度
【分析】首先根据补角的定义求得这个角的度数，然后根据余角的定义即可求出这个角的余角．
【详解】解：∵一个角的补角是150°，
∴这个角是180° 150°＝30°，
∴这个角的余角是90° 30°＝60°．
故答案是：60°．
【点睛】此题主要考查的是补角和余角的定义，属于基础题，较简单，主要记住互为余角的两个角的和为90°；互为补角的两个角的和为180°．
12．70°
【分析】设这个角的度数为x,由题意列出方程，解方程即可．
【详解】解：设这个角的度数为x,
根据题意得：90°-x=（180°-x）-2°，
解得：x=70°．
所以这个角的度数为70°．
故答案为：70°
【点睛】本题考查了余角和补角以及一元一次方程的应用；由题意列出方程是解题的关键．
13．25°或50°
【分析】根据平行线的性质以及垂直的定义即可求解．
【详解】解：∵与的两边一边平行，另一边垂直，
∴有两种情况，
如下图所示：
由题意得，AC∥BD，∠A＝3∠B-10°，BC⊥AD
∵AC∥BD
∴∠C＝∠B
∵BC⊥AD
∴∠A+∠C＝90°
∴3∠B-10°+∠B＝90°，
∴∠B=25°
如下图所示：
由题意得，AN∥BM，∠A＝3∠B-10°，BH⊥AM
∵AN∥BM
∴∠A+∠M＝180°，
∵BH⊥AM
∴∠B+∠M＝90°
∴∠A-∠B＝90°
∵∠A＝3∠B-10°
3∠B﹣10°﹣∠B=90°，
∴∠B＝50°，
综上所述，∠B的度数为25°或50°，
故答案：25°或50°．
【点睛】本题考查了平行线的性质，解题的关键是根据平行线的性质找出图中角度之间的关系．
14．40°或140°##140°或40°
【分析】由两角的两边互相平行可得这两个角相等或互补，再由其中一个角为 ，即可得出答案．
【详解】解：因为两个角的两边互相平行，
所以这两个角相等或互补，
若这两个角相等，因为其中一个角为，所以另一个角的度数为；
若这两个角互补，则另一个角的度数为 ；
故答案为或 ．
【点睛】此题考查了平行线的性质和补角的定义，属于基本题型，正确分类，熟练掌握平行线的性质是关键．
15．270°
【分析】过B作BF∥AE，则CD∥BF∥AE．根据平行线的性质即可求解．
【详解】过B作BF∥AE，
∵CD∥ AE，
则CD∥BF∥AE，
∴∠BCD+∠1=180°，
又∵AB⊥AE，
∴AB⊥BF，
∴∠ABF=90°，
∴∠ABC+∠BCD=90°+180°=270°．
故答案为：270．
【点睛】本题主要考查了平行线的性质，两直线平行，同旁内角互补．正确作出辅助线是解题的关键．
16．95°
【分析】过点E作EF∥AB，可得∠BEF+∠ABE=180°，从而得到∠BEF=60°，再由AB//CD，可得∠FEC=∠DCE，从而得到∠FEC=35°，即可求解．
【详解】解：如图，过点E作EF∥AB，
∵EF//AB，
∴∠BEF+∠ABE=180°，
∵∠ABE=120°，
∴∠BEF=180°-∠ABE=180°-120°=60°，
∵EF//AB，AB//CD，
∴EF//CD，
∴∠FEC=∠DCE，
∵∠DCE=35°，
∴∠FEC=35°，
∴∠BEC=∠BEF+∠FEC=60°+35°=95°．
故答案为：95°
【点睛】本题主要考查了平行线的性质，熟练掌握两直线平行，同旁内角互补；两直线平行，内错角相等是解题的关键．
17．90°
【分析】根据平行线的性质可得，再根据角平分线的定义即可得出答案．
【详解】解：∵，∴，
∵是的平分线，∴，
∵是的平分线，∴，
∴，
故答案为．
【点睛】此题主要考查了平行线的性质，关键是掌握两直线平行，同旁内角互补．
18．
【分析】如图，过点O作OP∥AB，则AB∥OP∥CD．所以根据平行线的性质将（∠1+∠2）转化为（∠AOP+∠POC）来解答即可．
【详解】解：如图，过点O作OP∥AB，则∠1=∠AOP．
∵AB∥CD，
∴OP∥CD，
∴∠2=∠POC，
∵刀柄外形是一个直角梯形，
∴∠AOP+∠POC=90°，
∴∠1+∠2=90°．
【点睛】本题考查了平行线的性质和判定．平行线性质定理：两直线平行，同位角相等．两直线平行，同旁内角互补．两直线平行，内错角相等．
19．56
【分析】根据长方形的对边平行知AD∥BC，据此得∠DEF＝∠EFB＝62°，∠EGF＝∠AEG再根据折叠变换的性质知∠GEF＝∠DEF＝62°，继而由∠AEG＝180° ∠DEF ∠GEF可得答案．
【详解】解：由题意知AD∥BC，∠1＝62°，
∴∠DEF＝∠EFB＝62°，∠EGF＝∠AEG
根据折叠变换的性质知∠GEF＝∠DEF＝62°，
则∠AEG＝180° ∠DEF ∠G′EF＝56°，
∴∠EGF＝56°
故答案为：56
【点睛】本题主要考查平行线的性质，解题的关键是掌握两直线平行内错角相等的性质、翻折变换的性质．
20．##35度
【分析】根据两直线平行内错角相等和含角的直角三角板的特点即可求解．
【详解】如图，根据题意可知，
∴，
∴．
故答案为：．
【点睛】本题主要考查平行线的性质．掌握两直线平行内错角相等是解题关键．
21．（1）见解析（2）35°
【分析】（1）由知∠1=∠DCF，则∠2=∠DCF，即可证明；
（2）由得∠B=90°-∠2=35°，再根据（1）可知的度数.
【详解】∵
∴∠1=∠DCF，
∵
∴∠2=∠DCF，
∴；
（2）∵，∴∠BEF=90°，
∴∠B=90°-∠2=35°，
又∵
∴=∠B=35°.
【点睛】此题主要考查平行线的性质与判定.
22．∠AOC＝115°，∠EOD＝25°
【分析】由OF⊥CD，得∠DOF =90°，根据条件可求出∠BOD的度数，即可得到∠AOC的度数；由OE⊥AB，得∠BOE =90°，可以推出∠EOF和∠EOD的度数．
【详解】解：∵OF⊥CD，
∴∠DOF＝90°，
又∵∠BOF＝25°，
∴∠BOD＝∠DOF+∠BOF=90°+25°＝115°，
∴∠AOC＝∠BOD＝115°，
又∵OE⊥AB，
∴∠BOE＝90°，
∵∠BOF＝25°，
∴∠EOF＝∠BOE -∠BOF =65°，
∴∠EOD＝∠DOF﹣∠EOF＝90°－65°=25°．
【点睛】此题考查的知识点是垂线、角的计算及对顶角知识，关键是根据垂线的定义得出所求角与已知角的关系．
23．（1）证明见解析；（2）105°
【分析】（1）首先根据角平分线的性质可得∠1=45°，再有∠3=45°，再根据内错角相等两直线平行可判定出AB∥CF；
（2）利用三角形内角和定理进行计算即可．
【详解】解：（1）证明：∵CF平分∠DCE，
∴∠1=∠2=∠DCE．
∵∠DCE=90°，
∴∠1=45°．
∵∠3=45°，
∴∠1=∠3．
∴AB∥CF．
（2）∵∠D=30°，∠1=45°，
∴∠DFC=180°﹣30°﹣45°=105°．
【点睛】本题考查平行线的判定，角平分线的定义及三角形内角和定理，熟练掌握相关性质定理是本题的解题关键．
24．(1)35°；
(2)36°；
【分析】（1）根据角平分线的定义和对顶角相等计算求值即可；
（2）由∠EOC+∠EOD=180°和∠EOC=∠EOD求得∠EOC，再结合（1）解答计算求值即可；
【详解】（1）解： ∵OA平分∠EOC，
∴∠AOC=∠EOC，
∵∠EOC=70°，
∴∠AOC=×70°=35°，
∵直线AB、CD相交于点O，
∴∠BOD=∠AOC=35°；
（2）解：∵∠EOC=∠EOD，∠EOC+∠EOD=180°，
∴∠EOD +∠EOD=180°，
∴∠EOD =180°，
∴∠EOD =108°，
∴∠EOC=×108°=72°，
∵OA平分∠EOC，
∴∠AOC=∠EOC=×72°=36°，
∵直线AB、CD相交于点O，
∴∠BOD=∠AOC=36°；
【点睛】本题考查了相交线，与角平分线有关的角的计算，补角的定义；掌握对顶角的性质是解题关键．
25．见解析
【分析】过点E作EF∥CD，根据平行线的性质即可得出∠B=∠BOD，根据平行线的性质即可得出∠BOD=∠BEF、∠D=∠DEF，结合角之间的关系即可得出结论．
【详解】证明：过点E作EF∥CD，如图
∵AB∥CD，
∴∠B=∠BOD，
∵EF∥CD（辅助线），
∴∠BOD=∠BEF（两直线平行，同位角相等）；∠D=∠DEF（两直线平行，内错角相等）；
∴∠BEF=∠BED+∠DEF=∠BED+∠D（等量代换），
∴∠BOD=∠E+∠D（等量代换）， 即∠B=∠E+∠D．
【点睛】本题考查了平行线的性质以及角的计算，解题的关键是根据平行线的性质找出相等或互补的角．
26．（1）∠BOD，∠DOE；（2）160°
【分析】（1）分析图形，根据对顶角和补角的定义可以求出答案；
（2）先设∠COE＝x求得∠COE和∠AOE的度数，再根据邻补角的定义求得∠AOD的度数，然后将∠AOE与∠AOD的度数相加即可．
【详解】解：（1）由图形可知，∠AOC的对顶角是∠BOD，∠COE的补角是∠DOE；
（2）设∠COE＝x，则∠AOE＝2x，
∵∠AOC＝60°，
∴x+2x＝60，
解得x＝20，
即∠COE＝20°，∠AOE＝40°，
∵∠AOC+∠AOD＝180°，
∴∠AOD＝120°，
∴∠DOE＝∠AOE+∠AOD＝40°+120°＝160°．
【点睛】本题考查角的运算，解题的关键是正确找出图中的角的等量关系，本题属于基础题型．
27．见解析
【分析】先利用平行线的性质与已知，说明∠ABC与∠EFC的关系，再利用平行线的判定方法说明AB与EF的关系，最后利用平行线的性质得结论．
【详解】证明：∵DE∥BC，
∴∠ADE＝∠ABC．
∵∠ADE＝∠EFC，
∴∠ABC＝∠EFC．
∴AB∥EF．
∴∠1＝∠2．
【点睛】本题考查了平行线的性质和判定，掌握“两直线平行，同位（内错）角相等”“同位角相等，两直线平行”是解决本题的关键．
28．（1）∠FOM，∠MOD，∠CON；（2）20°，70°
【分析】（1）根据垂直的定义可得∠BOF=∠AOF=90°，由角平分线的定义和对顶角相等可得与∠AON互余的角有：∠FOM，∠MOD，∠CON；
（2）设∠MOD的度数为x°，用含x的式子表示出∠FOD和∠AOC的度数，然后由∠AOC=∠BOD，得出∠FOD+∠AOC=90°，据此列方程求解，再由（1）中∠MOD与∠AON互余可得出∠AON的度数．
【详解】解：（1）∵FO⊥BO，∴∠BOF=∠AOF=90°，
∴∠BOM+∠FOM=90°，
又∠BOM=∠AON，∴∠AON+∠FOM=90°．
∵OM平分∠DOF，∴∠DOM=∠FOM，
又∵∠DOM=∠CON，
∴与∠AON互余的角有：∠FOM，∠MOD，∠CON；
（2）设∠MOD的度数为x°，
∵OM平分∠FOD，
∴∠MOD=∠FOM=x°，
∴∠FOD=2x°，∠AOC=∠FOM=°，
又∵FO⊥BO，∠AOC=∠BOD，
∴∠FOD+∠AOC=90°，
即2x+=90，
解得：x=20．
即∠MOD=20°，
由（1）可知∠MOD与∠AON互余，
∴∠AON=90°-∠MOD=90°-20°=70°．
故∠MOD的度数为20°，∠AON的度数为70°．
【点睛】本题考查了垂直的定义，角的平分线的定义，余角的定义与性质以及对顶角相等，正确理解相关概念是关键．
29．60°
【分析】由CD⊥AB，FE⊥AB，则，则∠2＝∠4，从而证得，得∠B＝∠ADG，则答案可解．
【详解】解：CD⊥AB于D，FE⊥AB于E，
∴，
∴∠2＝∠4，
又∵∠1=∠2，
∴∠1＝∠4，
∴，
∴．
【点睛】本题考查了平行线的判定和性质，解答此题的关键是注意平行线的性质和判定定理的综合运用．
30．
【分析】根据题意，已知，，可结合平行线性质以及平角的定义即可求解．
【详解】解： ∵，，，
∴，
由折叠可知：，
∴．
【点睛】本题主要是考查了折叠的性质、平角的定义、平行线的性质；掌握以上知识点是解题的关键．
31．（1）115°；（2）45°
【分析】（1）根据角平分线的定义，得出∠EOC＝∠BOE＝65°，利用邻补角定义求出∠DOE即可；
（2）根据角平分线的定义，∠BOD：∠BOE＝2：3，求出∠BOD，再根据对顶角可求出∠AOC，利用垂直，求出∠AOF．
【详解】（1）∵OE平分∠BOC，∠BOE=65°，
∴∠EOC=∠BOE=65°，
∴∠DOE=180°-∠EOC=180°-65°=115°；
（2）∵OE平分∠BOC，
∴∠EOC=∠BOE，
∵∠BOD:∠BOE=2:3，
设∠BOD=x，则∠COE=∠BOE=，
∵∠COE+∠BOE+∠BOD=180°，
∴，
∴x=45°，
∵OF⊥CD，∠BOD=∠AOC，
∴∠BOD=∠AOC=45°，
∴∠COF=90°，
∴∠AOF=∠COF-∠AOC=90°-45°=45°.
【点睛】本题考查了角平分线定义，邻补角定义，对顶角性质，垂直定义，角的计算等；正确找出各个角之间的关系是正确计算的关键．
32．（1）∠BOD =138°；（2）∠COE=21°．
【分析】（1）根据平角的定义即可得到结论；
（2）根据余角的性质得到∠COD=48°，根据角平分线的定义即可得到结论．
【详解】（1）∵A、O、B三点共线，∠AOD=42°，
∴∠BOD=180°﹣∠AOD=138°；
（2）∵∠COB=90°，
∴∠AOC=90°，
∵∠AOD=42°，
∴∠COD=48°，
∵OE平分∠BOD，
∴∠DOE=∠BOD=69°，
∴∠COE=69°﹣48°=21°．
【点睛】本题考查了余角和补角的知识，属于基础题，互余的两角之和为90°，互补的两角之和为180°是需要同学们熟练掌握的内容．
33．（1）证明见解析；（2）72°.
【分析】根据平行线的性质推出∠1=∠ACD，求出∠2=∠ACD，根据∠2+∠CAF=∠ACD+∠CAF推出∠DAC=∠4，求出∠DAC=∠3，根据平行线的判定得出即可．根据平行线性质可求得∠D=∠DCE.
【详解】（1）证明：∵AB∥CD，
∴∠1=∠ACD，
∵∠BCD=∠4+∠E，
∵∠3=∠4，
∴∠1=∠E，
∵∠1=∠2，
∴∠2=∠E，
∴AD∥BE；
（2）解：∵∠B=∠3=2∠2，∠1=∠2，
∴∠B=∠3=2∠1，
∵∠B+∠3+∠1=180°，
即2∠1+2∠1+∠1=180°，解得∠1=36°，
∴∠B=2∠1=72°，
∵AB∥CD，
∴∠DCE=∠B=72°，
∵AD∥BE，
∴∠D=∠DCE=72°．
【点睛】本题考查了平行线的性质和判定，三角形的外角性质的应用，能推出∠4=∠DAC=∠3是解此题的关键，注意：平行线的性质有：①两直线平行，同位角相等，②两直线平行，内错角相等，③两直线平行，同旁内角互补，反之亦然．
34．135°
【分析】直接利用角平分线的定义得出，进而得出答案．
【详解】解：∵点A、O、B在一条直线上，∠COD＝90°，
∴∠AOC＋∠BOD＝90°，
∵OE平分∠AOC，OF平分∠BOD，
∴∠AOE＝∠COE＝∠AOC，
∠DOF＝∠BOF＝∠DOB，
∴∠COE＋∠DOF＝×90°＝45°，
∴∠EOF的度数为：90°＋45°＝135°．
【点睛】此题主要考查了角的计算以及角平分线的定义，正确得出∠COE＋∠DOF＝45°是解题关键．
35．（1）∠AOM＝45°；（2）∠AOM＝2∠NOC．理由见解析．
【分析】（1）根据互余、互补、角平分线的意义，得出各个角之间的关系，从而求出答案；
（2）设未知数，表示图中的各个角，再利用互补得出结论．
【详解】解：（1），平分，
，
，
，
，
，
；
（2）．
令为，为，，
，
，
，即，
．
【点睛】考查角平分线的意义、互补、互余的意义，正确表示各个角，理清各个角之间的关系是得出正确结论的关键．
36．（1）、；（2）；（3）见解析.
【分析】（1）根据余角的定义可解答；
（2）根据补角的定义列方程可解答；
（3）设出∠AOE的度数，依次表达图中的补角，可解．
【详解】（1）由题意可得于∠AOE互余的角为：、
（2）设.
∵，
∴，
.
∵，
∴.
又∵，
∴，即.
∴.
（3）设∠AOE=α，且0°＜α＜90°由（1）可知，∠AOD=∠BOC=90°-α，∠BOE=180°-α，
∴∠BOD=180°-∠AOD=180°-（90°-α）=90°+α，
∵OF平分∠BOD，
∴∠BOF=∠DOF=45°+，
∴∠AOF=∠AOD+∠DOF=90°-α+45°+=135°-，
∠EOF=∠AOF+∠AOE=135°+，
∠COF=∠BOC+∠BOF=90°-α+45°+=135°-=∠AOF，
①当∠AOF+∠AOE=180°时，即135°-+α=180°，解得α=90°，不符合题意；
②当∠EOF+∠AOE=180°时，即135°++α=180°，解得α=30°，符合题意；
③当∠BOD+∠AOE=180°时，即90°+α+α=180°，解得α=45°，符合题意；
综上可知，
当锐角时，互补角有2个，为、．
当锐角时，互补角有3个，为、、．
当锐角不等于和时，互补角有1个，为．
【点睛】本题主要考查补角的定义，角平分线的定义，熟练掌握补角的定义是解题关键．
37．（1）180°；（2）360°；（3）540°；（4）（n﹣1）180°
【详解】（1）
故答案为：180°，
（2）作
故答案为：360°；
（3）过E作EM∥AB，过F作FN∥AB，
∵AB∥CD，
∴AB∥EM∥FN∥CD，
∴∠1+∠AEM=180°，∠MEF+∠EFN=180°，∠NFC+∠4=180°，
∴∠1+∠AEF+∠EFC+∠4=3×180°=540°，
故答案为：540°；
（4）根据（1）（2）（3）的结果可知：∠1+∠2+∠3+∠4+…+∠n=180（n-1）°，
故答案为：180（n-1）°．
38．（1）∠CPD=∠α+∠β，理由见解析；（2）①当点P在A、M两点之间时，∠CPD=∠β ∠α；②当点P在B、O两点之间时，∠CPD=∠α ∠β
【分析】（1）过点P作PE∥AD交CD于点E，根据题意得出AD∥PE∥BC，从而利用平行线性质可知=∠DPE，=∠CPE，据此进一步证明即可；
（2）根据题意分当点P在A、M两点之间时以及当点P在B、O两点之间时两种情况逐一分析讨论即可.
【详解】（1）∠CPD=，理由如下：
如图3，过点P作PEAD交CD于点E，
∵ADBC，PEAD
∴ADPEBC
∴=∠DPE，=∠CPE
∴∠CPD=∠DPE+∠CPE=；
（2）①当点P在A、M两点之间时，∠CPD=，理由如下：
如图4，过点P作PEAD交CD于点E
∵ADBC，PEAD
∴ADPEBC
∴=∠EPD，=∠CPE
∴∠CPD=∠CPE ∠EPD=；
②当点P在B、O两点之间时，∠CPD=，理由如下：
如图5，过点P作PEAD交CD于点E
∵ADBC，PEAD
∴ADPEBC
∴=∠DPE，=∠CPE
∴∠CPD=∠DPE ∠CPE=
综上所述，当点P在A、M两点之间时，∠CPD=∠β ∠α；当点P在B、O两点之间时，∠CPD=∠α ∠β.
【点睛】本题主要考查了在平行线性质及判定的综合运用，熟练掌握相关概念是解题关键.