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北师大版七年级数学下册课件
第三章 变量之间的关系
第3课时 用图象表示的变量间关系
学习目标
1.经历从图象中分析变量之间关系的过程,进一步体会变量之间的关系.
2.结合具体情境理解图象上的点所表示的意义.
3.能从图象中获取变量之间关系的信息,感受几何直观的作用,并能用语言进行描述.
知识要点
知识点一:用图象表示两个变量间的关系
(1)用图象表示两个变量之间关系的方法叫做图象法.
(2)在用图象表示变量之间的关系时,通常用水平方向的数轴(称为横轴)上的点表示自变量,用竖直方向的数轴(称为纵轴)上的点表示因变量.
(3)从图象中获取信息:
理解图象上某一个点的意义,一要看横轴、纵轴分别表示哪个变量;二要看该点所在的水平方向、竖直方向的位置,这样才能得到该点的正确意义.
1.如图是一台自动测温记录仪的图象,它反映了某市冬季某天气温T随时间t变化而变化的关系,观察图象得到下列信息,其中错误的是( )
A.凌晨4时气温最低为－3 ℃
B.14时气温最高为8 ℃
C.从0时至14时,气温随时间增长而上升
D.从14时至24时,气温随时间增长而下降
C
对点训练
知识点二:用图象表示行程问题之间的关系
(1)用图象表示速度与时间的关系:
在如图1的速度与时间的关系图象中:
①代表物体从0开始加速运动;
②代表物体匀速运动;
③代表物体减速运动到停止.
(2)用图象表示距离与时间的关系:
在如图2的距离与时间的关系图象中:
①代表物体匀速运动;
②代表物体停止;
③代表物体反向运动直至回到原地.
2.某天早晨,王老师从家出发步行前往学校,途中在路边一小吃店用早餐,王老师从家到学校这一过程中所走路程s(米)与时间t(分)之间的关系如图所示.
(1)他家与学校的距离为 米,
从家出发到学校,王老师共用了 分钟;
(2)王老师从家出发 分钟后开始用早餐,用早餐花了
分钟;
(3)王老师用早餐前步行的速度是 米/分,
用完早餐后步行的速度是 米/分.
100
50
10
10
25
1 000
精典范例
3.【例1】如图是清远市某地某一天的气温随时间变化的图象,根据图象回答:在这一天中,
(1)12时的气温大约是多少
(2)什么时候气温最高,最高是多少
什么时候气温最低,最低是多少
(3)什么时候气温大约是4 ℃
(4)在什么时间范围内温度在上升 在什么时间范围内温度在下降
解:(1)12时的气温大约是8 ℃.
(2)14时气温最高,最高气温是10 ℃;4时气温最低,最低气温是零下2 ℃.(3)8时和20时气温大约是4 ℃.(4)4时到14时温度在上升,0时到4时、14时到24时温度在下降.
变式练习
6.一天之中,海水的水深是不同的.如图是某港口从0时到12时的水深情况,结合图象回答下列问题:
(1)如图描述了哪两个变量之间的关系
其中自变量是什么 因变量是什么
(2)大约什么时刻港口的水最深 深度约是多少
(3)图中A点表示的是什么
(4)在什么时间范围内,水深在增加 什么时间范围内,水深在减少
解:(1)描述了港口的水深和时间之间的关系,其中时间是自变量,港口的水深是因变量.
(2)3时港口的水最深,深度约是7米.
(3)图中A点表示的是6时港口的水深约是5米.
(4)从0时到3时、9时到12时水深在增加,从3时到9时水深在减少.
4.【例2】小华某天上午9时骑自行车离开家,17时回到家,他有意描绘了离家的距离与时间的变化情况,如图.
(1)图象表示了哪两个变量的关系
哪个是自变量 哪个是因变量
(2)10时和11时,他分别离家多远
(3)他最初到达离家最远的地方是什么时间 离家多远
(4)11时到13时,他行驶了多少千米
解:(1)图象表示离家距离与时间之间的关系,时间是自变量,离家距离是因变量.
(2)15千米和20千米.
(3)13时,离家30千米.
(4)30－20＝10(千米).即11时到13时,他行驶了10千米.
7.假日里,小亮和爸爸骑自行车郊游,上午8时从家出发,16时返回家中,他们离家的距离与时间的关系可用图中的折线表示.
(1)他们何时到达离家最远的地方
(2)他们何时开始第一次休息
(3)10时到13时,他们骑行了多少千米
(4)返回时,他们的平均速度是多少
解:(1)14时.
(2)10时.
(3)5 千米.
(4)返回时,他们匀速运动,路程为30千米,所用时间是 2小时,故平均速度为15千米/时.
5.【例3】均匀地向一个容器内注水,在注满水的过程中,水面的高度h与时间t之间的关系如图所示,则该容器可能是下列四个中的( )
D
★8.(创新题)如图1,在长方形ABCD中,动点P从A出发,以相同的速度,沿A→B→C→D→A方向运动到点A处停止.设点P运动的路程为x,三角形PAB的面积为y,如果y与x的关系图象如图2所示,则长方形ABCD的面积为 .
24
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第三章 变量之间的关系
第2节 用关系式表示的变量间关系
学习目标
1.能根据具体情况,用关系式表示某些变量之间的关系,初步感受模型思想.
2.能根据关系式求值,初步体会自变量和因变量的数值对应关系.
知识要点
知识点一:用关系式表示两个变量之间的关系
(1)两个变量之间的关系有时可以用一个含有两个变量及数学运算符号的等式来表示,这种表示变量之间关系的方法叫做关系式法.
(2)关系式是我们表示变量之间关系的另一种方法.关系式法能准确反映整个变化过程中因变量与自变量之间的相互关系.
(3)方法点拨:写关系式的关键是写出一个含有自变量和因变量的等式,将表示因变量的字母单独写在等号的左边,右边为用自变量表示因变量的代数式.
(2)一名老师带领x名学生到动物园参观,已知成人票每张30元,学生票每张10元.设门票的总费用为y元,则y与x的关系式为( )
A.y＝10x+30 B.y＝40x
C.y＝10+30x D.y＝20x
1.(1)若三角形的底边长为x cm,底边上的高为1 cm,则三角形的面积y(cm2)可以表示为 .
A
对点训练
(3)小彬用40元钱购买5元/件的某种商品,他剩余的钱数为y元,购买的商品件数为x件,y随x的变化而变化.在这个问题中,
为自变量, 为因变量,y随x变化的关系式为 .
y＝40－5x
剩余钱数y
购买商品件数x
知识点二:根据关系式求值
(1)利用关系式,我们可以根据任何一个自变量的值求出相应因变量的值,也可以根据因变量的值求出相应自变量的值.例如,如图,给出一个x的值,利用关系式y＝2x－1可求出相应y的值;反之,给出一个y的值,利用关系式可求出相应x的值.
(2)方法点拨:已知自变量的值,利用关系式求因变量的值实质是求代数式的值;已知因变量的值,利用关系式求自变量的值实质是解方程.
2.(1)在关系式y＝2x+5中,当自变量x＝6时,因变量y的值为( )
A.7 B.14
C.17 D.21
(2)若一个长方体底面积是20 cm2,高为h cm,则体积 V (cm3)与h (cm)的关系式为 ;
当h＝5时,体积V＝ cm3.
100
V＝20h
C
(3)(北师7下P68改编)根据如图所示的程序,当输入x＝3时,输出的结果y＝ .
2
3.【例1】(百色中考)黄老师某次加油时,加油站的加油表显示屏的部分读数如图所示,则加油金额y(元)与加油量x(0≤x≤60)(L)的关系式为 .
精典范例
y＝6x
按照表中呈现的规律,树苗的高度h与栽后年数n的关系式为
,栽后 年,树苗能长到280 cm.
8
6.一种树苗栽种时的高度为80 cm,为研究它们的生长情况,测得数据如下表:
h＝25n+80
变式练习
栽后年数n/年 1 2 3 4 …
高度h/cm 105 130 155 180 …
4.【例2】有一种粗细均匀的电线,为了确定其长度,从一捆上剪下1 m,称得它的质量是0.06 kg.
(1)写出这种电线长度l(m)与质量m(kg)之间的关系式;
(2)如果一捆电线剪下1 m后的质量为b kg,请写出这捆电线的总长度.
7.声音在空气中的传播速度v(m/s)与温度t(℃)的关系如下表:
t(℃) 1 2 3 4 5
v(m/s) 331+0.6 331+1.2 331+1.8 331+2.4 331+3.0
(1)写出速度v(m/s)与温度t(℃)之间的关系式;
(2)当t＝2.5 ℃时,求声音的传播速度.
解:(1)根据表格可得,v＝331+0.6t.
故速度v与温度t之间的关系式为v＝331+0.6t.
(2)当t＝2.5 ℃时,v＝331+0.6×2.5＝332.5(m/s).
故当t＝2.5 ℃时,声音的传播速度为332.5 m/s.
5.【例3】(北师7下P68改编)如图,梯形ABCD上底的长是4,下底的长是x,高是6.
(1)求梯形ABCD的面积y与下底长x之间的关系式;
(2)用表格表示当x从10变到16时(每次增加1),y的相应值;
(3)x每增加1时,y如何变化 说明你的理由.
x 10 11 12 13 14 15 16
y 42 45 48 51 54 57 60
(3)由上表可得x每增加1时,y增加3.理由如下:
y1＝12+3x,y2＝12+3(x+1)＝12+3x+3＝15+3x,
y2－y1＝15+3x－(12+3x)＝3,即x每增加1时,y增加3.
白纸张数 1 2 3 4 5 …
纸条长度/cm 40 110 145 …
180
75
★8.将长为40 cm、宽为15 cm的长方形白纸,按如图所示的方法黏合起来,黏合部分宽为5 cm.
(1)根据上图,将表格补充完整:
(2)设x张白纸黏合后的总长度为y cm,则y与x之间的关系式是什么
(3)你认为白纸黏合起来总长度可能为2 021 cm吗 为什么
解:(2)y＝40x－5(x－1)＝35x+5.
(3)不可能.理由如下:
根据题意,得2 021＝35x+5,解得x＝57.6.
因为x为整数,所以总长度不可能为2 021 cm.
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第三章 变量之间的关系
第1课时 用表格表示的变量间关系
学习目标
1.(课标)探索简单实例中的数量关系和变化规律,了解常量、变量的意义.
2.能从表格中获得变量之间关系的信息,能用表格表示两个变量之间的关系,并根据表格中的数据尝试对变化趋势进行初步的预测.
知识点一:变量与常量
在某一变化过程中,可以取不同数值的量叫做 ,数值始终不变的量叫做 .
注意:变量与常量往往是相对的,是相对某个变化过程而言的.
常量
知识要点
变量
1.某人要在规定的时间内加工100个零件,如果用n表示工作效率,用t表示规定的时间,下列说法正确的是( )
A.数100和n,t都是常量 B.数100和n都是变量
C.n和t都是变量 D.数100和t都是变量
对点训练
C
知识点二:自变量与因变量
(1)在某一变化过程中,其中一个变量随另一个变量的变化而变化,那么,通常把后一个变量叫做 ,前一个变量叫做
.
(2)自变量与因变量的联系与区别:
因变量
自变量
联系 两者都是某一变化过程中的变量,两者因研究的侧重点或先后顺序不同可以互相转化
区别 因变量随自变量的变化而变化
2.王老师开车去加油站加油,发现加油表如图所示.加油时,单价的数值固定不变,表示“数量”和“金额”的量一直在变化,在这三个量中, 是常量, 是自变量, 是因变量.
金额
数量
单价
知识点三:用表格法表示变量间的关系
借助表格,可以表示因变量随自变量的变化而变化的情况.表示两个变量之间的关系的表格,一般第一栏表示自变量,第二栏表示因变量.从表格中可以发现因变量随自变量的变化存在一定规律——或增加或减少或呈规律性的起伏变化,从而利用变化趋势对结果作出预测.
照此规律可以发现,当气温为 时,声速到达346 m/s.
3.(跨学科融合)声音在空气中传播的速度y(m/s)(简称声速)与气温x(℃)的关系如下表所示:
25 ℃
气温x/℃ 0 5 10 15 20
声速y/(m/s) 331 334 337 340 343
4.【例1】移动公司有一种手机资费套餐,月租费16元,免费市话通话时间40分钟,超出部分每分钟0.25元,设该套餐每月市话话费为y元,月市话通话时间为x(x>40)分钟,则y＝_________
(用含x的代数式表示).其中常量是 ,变量是 .
x,y
0.25,6
精典范例
0.25x+6
7.(创新题)某种树木的分枝生长规律如下图表所示,则预计到第6年时,树木的分枝数为 ,其中自变量是 ,因变量是 .
分枝数
年份
变式练习
8
年份 第1年 第2年 第3年 第4年 第5年
分枝数 1 1 2 3 5
(3)距离地面6 km的高空气温是 ℃.
5.【例2】父亲告诉小明:“距离地面越高,气温越低.”并给小明出示了下面的表格:
根据上表,父亲还给小明出了下面几个问题,请你和小明一起回答:
(1)上表反映了变量 和 之间的关系,其中自变量是 ,因变量是 ;
(2)如果用h表示距离地面的高度,用t表示气温,那么随着高度h的增大,气温t逐渐 ;
－16
减小(或降低)
气温
高度
高度
气温
距离地面高度/km 0 1 2 3 4 5
气温/℃ 20 14 8 2 －4 －10
(1)在这个变化过程中, 是自变量,
是因变量;
(2)观察表中数据可知,每月乘客量达到 人以上时,该公交车才不会亏损;
(3)当每月乘车人数为3 500人时,每月利润大约为 元.
3 000
2 000
每月的利润y
8.某公交车每月的支出费用为4 000元,每月的乘车人数x(人)与每月利润(利润＝收入费用－支出费用)y(元)的变化关系如下表所示(每位乘客的公交票价是固定不变的):
每月的乘车人数x
x(人) 500 1 000 1 500 2 000 2 500 3 000 …
y(元) －3 000 －2 000 －1 000 0 1 000 2 000 …
6.【例3】在一次实验中,小明把一根弹簧的上端固定,在其下端悬挂物体,下表是测得的弹簧长度y(cm)与所挂物体质量x(kg)的几组对应值:
所挂物体质量x(kg) 0 1 2 3 4 5
弹簧长度y(cm) 18 20 22 24 26 28
(1)上表反映了哪两个变量之间的关系 哪个是自变量 哪个是因变量
(2)当所挂物体质量为3 kg时,弹簧多长 不挂重物时呢
(3)若所挂物体质量为7 kg时(在允许范围内),你能说出此时的弹簧长度吗
解:(1)表中反映了弹簧长度与所挂物体质量之间的关系;其中所挂物体质量是自变量,弹簧长度是因变量.
(2)当所挂物体质量为3 kg时,弹簧长24 cm.不挂重物时,弹簧长18 cm.
(3)32 cm.
(1)如果投资一个4亿元的项目,那么其年利润预计有
;
(2)如果要预计获得0.9千万元的年利润,投资一个项目需要
资金;
7亿元
★9.某公司决定投资开发新项目,确定有6个项目可供选择,各项目所需资金及预计年利润如下表:
0.55千万元
所需资金/ 亿元 1 2 4 6 7 8
预计年利润/ 千万元 0.2 0.35 0.55 0.7 0.9 1
(3)如果该公司可以拿出10亿元进行多个项目的投资,可以有
种投资方案,其中投资方案:
.
预计年利润最大,最大年利润是
(要求资金全部进行投资) .
1.45千万元
(所需资金7亿元)
项目1 (所需资金1亿元)+项目2 (所需资金2亿元)+项目5
3
谢谢大家
