【解析版】北京市朝阳区2014届高三上学期期末考试 数学（理）试题

（考试时间120分钟 满分150分）
本试卷分为选择题（共40分）和非选择题（共110分）两部分
第一部分（选择题 共40分）
一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个项中，选出符合题目要求的一项.
1．函数的定义域为（ ）
A． B． C． D．
2．如果点在以点为焦点的抛物线上，则（ ）
A． B． C． D．
3．命题：；命题：，，则下列命题中为真命题的是（ ）
A． B．
C． D．
4．在△中，，，，则△的面积等于（ ）
A． B．
C．或 D．或
5．执行如图所示的程序框图，输出结果是．若，则所有可能的取值为（ ）
A． B．
C． D．
6．已知正方形的四个顶点分别为，，，，点分别在线段上运动，且，设与交于点，则点的轨迹方程是（ ）
A． B．
C． D．
7．已知平面向量，的夹角为，且，则的最小值为（ ）
A． B． C． D． 1
8．已知数列满足下面说法正确的是（ ）
①当时，数列为递减数列；
②当时，数列不一定有最大项；
③当时，数列为递减数列；
④当为正整数时，数列必有两项相等的最大项.
A. ①② B. ②④ C. ③④ D. ②③
第二部分（非选择题 共110分）
二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.把答案填在答题卡上．
9．某校为了解高一学生寒假期间的阅读情况，抽查并统计了100名同学的某一周阅读时间，绘制了频率分布直方图（如图所示），那么这100名学生中阅读时间在小时内的人数为_____．
10．在各项均为正数的等比数列中，若，则 ．
11．直线与圆相交于,两点，若，则实数的值
是_____．
12．一个三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的体积是 ；表面积是 ．
13．实数满足若恒成立，则实数的最大值是 ．
【答案】
14．所有真约数（除本身之外的正约数）的和等于它本身的正整数叫做完全数．
如：；
；
．
已经证明：若是质数，则是完全数，.请写出一个四位完全数 ；又，所以的所有正约数之和可表示为；
，所以的所有正约数之和可表示为；
按此规律，的所有正约数之和可表示为 ．
三、解答题：本大题共6小题，共80分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程.
15．（本题满分13分）
已知函数．
（Ⅰ）求函数的最小值；
（Ⅱ）若，求的值．
16．（本题满分13分）
甲、乙两名同学参加“汉字听写大赛”选拔测试，在相同测试条件下，两人5次测试的成绩（单位：分）如下表：
（Ⅰ）请画出甲、乙两人成绩的茎叶图. 你认为选派谁参赛更好？说明理由（不用计算）；
（Ⅱ）若从甲、乙两人5次的成绩中各随机抽取一个成绩进行分析，设抽到的两个成绩中，90分以上的个数为，求随机变量的分布列和期望．
17．（本题满分14分）
如图，在三棱锥中，平面，.
（Ⅰ）求证：；
（Ⅱ）设分别为的中点，点为△内一点，且满足，
求证：∥面；
（Ⅲ）若，，求二面角的余弦值．

即
不妨设，则有，所以．
因为，
（Ⅲ）由（Ⅱ）可知平面的一个法向量．
18．（本题满分13分）
已知函数，．
（Ⅰ）当时，求函数的极小值；
（Ⅱ）若函数在上为增函数，求的取值范围．
19. 已知椭圆两焦点坐标分别为,，且经过点．
（Ⅰ）求椭圆的标准方程；
（Ⅱ）已知点，直线与椭圆交于两点．若△是以为直角顶点的等腰直角三角形，试求直线的方程．
，
20．（本题满分13分）
已知是正数， ，，．
（Ⅰ）若成等差数列，比较与的大小；
（Ⅱ）若，则三个数中，哪个数最大，请说明理由；
（Ⅲ）若，，（），且，，的整数部分分别是求所有的值．
所以．