八年级数学下12.2二次根式的乘除教案（4课时）

数学教学设计
教　　材：义务教育教科书·数学（八年级下册）
作 者：王兆群（盐城市初级中学）
12.2　二次根式的乘除（4）
教学目标 1．使学生能运用法则 HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" ＝ HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" （a≥0，b＞0）化去被开方数的分母或分母中的根号；使学生能进一步明确二次根式化简结果中的被开方数应不含有能开得尽方的因数或因式，也不含有分母．根式运算的结果中分母不含有根号．2．在解问题的过程中培养学生的探究意识、合作意识．
教学重点 商的算术平方根的性质及二次根式的除法法则的应用．
教学难点 商的算术平方根的性质的理解与运用．
教学过程（教师） 学生活动 设计思路
情境创设：想一想． HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" ＝？（a__，b__）， HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" ＝？（a__，b__）． 学生独立思考，回答问题．学生： HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" ＝ HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" （a≥0，b＞0）， HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" ＝ HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" （a≥0，b＞0）． 通过两个问题激发学生的学习探究欲．
探索活动：活动一问题1　如何化去 HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" 的被开方数中的分母呢？问题2　如何化去 HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" 的被开方数中的分母呢？问题3　如何化去 HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" （a＞0）的被开方数中的分母呢？对于更一般的情况：问题4　如何化去 HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" （a≥0，b＞0）的被开方数中的分母呢？由此你能得到一般的结论吗？ 学生分小组讨论后交流．问题1　板书： HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" ＝ HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" ＝ HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" ；问题2　 HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" ＝ HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" ＝ HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" ＝ HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" ＝ HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" ；问题3　当a＞0时， HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" ＝ HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" ＝ HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" ＝ HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" ＝ HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" ；问题4　当a≥0，b＞0时， HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" ＝ HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" ＝ HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" ＝ HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" ＝ HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" ． HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" ＝ HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" ＝ HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" ＝ HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" ． 设计自主探究由具体的数 HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" 、 HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" 到一般的 HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" 、 HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" 的化简，便于学生理解公式产生的过程．同时，通过学生相互讨论，提高学生的观察分析能力，培养学生善于思考的良好习惯．
活动二例1　化去根号内的分母：（1） HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" ；（2） HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" ；（3） HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" （x＞0，y≥0）．问题1　如何化去根号下的分母？问题2　带分数如何化去根号下的分母？能否转化？问题3　 HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" 化去根号下的分母的方法与（1）、（2）相同吗？练习：化简．（1） HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" ；（2） HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" ；（3） HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" （a＞0，b≥0）． 学生互相讨论，踊跃回答．例1　解：（1） HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" ＝ HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" ＝ HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" ＝ HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" ＝ HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" ；（2） HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" ＝ HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" ＝ HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" ＝ HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" ＝ HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" ＝ HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" ；（3）当x＞0，y≥0时， HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" ＝ HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" ＝ HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" ．练习部分，独立思考，解决问题，部分同学板演．练习：（1） HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" ；（2） HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" ；（3） HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" ． 通过例1和练习巩固对公式的理解和应用．
活动三想一想：如果上面 HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" 首先化成 HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" ，那么该怎样化去分母中的根号呢？对于 HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" 该怎样化去分母中的根号呢？ HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" ＝ HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" ＝ HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" ＝ HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" ， HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" ．当一个式子的分母中有根号时，只要分子、分母都乘适当的数或式，就可以使分母中不含有根号．例如，当a≥0，b＞0时， HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" ＝ HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" ＝ HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" ．例2　化简下列各式，使分母中不含根号．（1） HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" ； （2） HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" （x＞0）；（3） HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" （x＞0，y≥0）．问题1　 HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" 分母最少乘以多少能化去分母中的根号？练习：计算．（1） HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" ；（2） HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" ；（3） HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" （a＞0，b≥0）．问题2　观察例1 例2中各小题结果，你发现这些结果中的二次根式有什么特点？ 学生互相讨论，踊跃回答．例2　解：（1） HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" ＝ HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" ＝ HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" ；（2）当x＞0时， HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" ＝ HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" ＝ HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" ；（3）当x＞0，y≥0时， HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" ＝ HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" ＝ HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" ．有学生直接乘以 HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" ，经过讨论比较后，学生都赞成乘以 HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" ． 练习部分，独立思考，解决问题，部分同学板演．练习：（1） HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" ；（2） HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" ；（3） HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" ．问题2　由学生归纳教师板书：（1）被开方数不含分母；（2）被开方数中不含能开得尽方的因数或因式；（3）分母中不含根号．这样化简后得到的二次根式叫做最简二次根式． 由具体的数的化简过渡到一般的字母、式子的化简，便于学生理解公式产生的过程．通过例2和练习巩固对公式的理解和应用．
小结与作业： 一般地，二次根式运算的结果中，被开方数中应不含有分母，分母中应不含有根号．那么应该怎样进行这两类二次根式的化简呢？最简二次根式满足什么形式？课后作业：课本P160-161第7、8、9题． 学生讨论后共同小结．问题1　当（a≥0，b＞0）时， HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" ＝ HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" ＝ HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" ＝ HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" ＝ HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" ；当（a≥0，b＞0）时， HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" ＝ HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" ＝ HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" ．问题2　化简二次根式实际上就是使二次根式满足：（1）被开方数中不含能开得尽方的因数或因式；（2）被开方数中不含有分母；（3）分母中不含有根号． 通过学生相互讨论，提高学生的观察分析能力，培养学生善于思考的良好习惯．师生互动，锻炼学生的口头表达能力，培养学生勇于发表自己看法的能力．数学教学设计
教　　材：义务教育教科书·数学（八年级下册）
作 者：周咏梅（盐城市初级中学）
12.2　二次根式的乘除（2）
教学目标 1．进一步理解二次根式的乘法法则，能熟练地进行二次根式的乘法运算；2．能熟练地进行二次根式的化简及变形；3．在讨论、交流、总结方法的过程中，让学生学会尊重和理解他人的见解，敢于发表自己的观点．
教学重点 熟练地进行二次根式的乘法运算．
教学难点 熟练地进行二次根式的化简及变形．
教学过程（教师） 学生活动 设计思路
情景创设：同学们，上节课我们学习了二次根式的乘法，你能用式子表示出乘法运算的法则吗？运用这个法则可以进行乘法运算，还可以对结果进行化简，请同学们完成知识回顾中的三小题．1．·＝ ； 2．＝ ；3．＝ （x≥0，y≥0)．问题1　如何对二次根式进行化简？问题2　本组题中化简结果有何要求？ 学生：二次根式乘法运算的法则： ·＝（≥0，b≥0）；＝·（≥0，b≥0）．学生独立思考，回答问题（本问题比较简单，学生都能解决）．学生：1．9； 2．；3． HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" ．问题1、2由学生讨论后回答，教师点拨，归纳总结．问题1参考答案：逆用乘法法则将被开方数分解为能开方的因数、因式和不能开方的因数、因式的积，再进行开方．问题2参考答案：运算结果中，被开方数应不含能开得尽方的因数或因式． 本节课是二次根式乘法法则的第二节课，是上节课内容的拓展加深，选择复习引入，即复习巩固旧知，又为新知的学习作好铺垫．这三题是上节课学习的主要题型，由学生熟悉的题型入手，给学生一个展示才华的机会，增强学生学习数学的兴趣．
探索活动：活动一刚才的问题说明同学上节课的知识掌握的很好，复杂一点的化简你能解决吗？例1　化简．（1） HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" （≥0，b≥0）；问题1　本题与上题有何区别？问题2　解决本题的方法是什么？方法有变化吗？（2） HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" （≥0，b≥0）；（3） HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" （≥0，b≥0）．问题1　 对于（3）如何解决？遇到不熟悉的问题我们怎么办？问题2　尝试解决（3）题，并说说这样做的理由．问题3　用刚才的方法尝试解决以下问题．化简：（1） HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" （x≥0，x－y≥0）；（2） HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" （x≥0，y≥0）． 第一个问题难度不是很大，大部分学生能解决．学生：解：（1）当≥0，b≥0时， HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" ＝ HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" · HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" ＝a（b＋c)．学生进过回答、补充、完善后答案．问题1参考答案：本题中出现 ( http: / / www.21cnjy.com )了多项式乘法，上题为单项式，解决问题方法不变，逆用乘法法则将被开方数分解为能开方的因数、因式与不能开方的因数、因式的积，进行开方．注意：被开方数为字母、式子时，化简要先考虑字母取值范围．独立思考，解决问题．学生：方法不变（2）当≥0，b≥0时， HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" ＝ HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" · HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" ＝a HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" ．学生：转化（3）当≥0，b≥0时， HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" ＝ HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" ＝ HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" · HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" ＝a HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" ．学生：被开方数是多项式，先进行因式分解转化为几个因式积的形式，才能进行开方．不熟悉的形式转化为熟悉的形式．学生练习：（1） HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" ； （2） HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" ．再次小结方法． 例1在这里起到承上启下的作用，让学生在计算过程中感受转化的思想，体会方法的不变性，加深对二次根式化简的理解．通过学生相互讨论，提高学生的观察分析能力，培养学生善于思考的良好习惯．
活动二例2　计算：（1） HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" × HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" ；（2） HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" × HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" ；（3）·（≥0，b≥0）；（4） HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" × HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" ．问题1　这些问题相对前面二次根式乘法有何变化？问题2　结果要换成何种形式？问题3　（4）小题中根号外有系数如何处理？ 由学生经过尝试后，教师进行点拨得出结果．解：（1） HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" × HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" ＝ HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" ＝ HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" ＝ HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" × HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" ＝ HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" ；（2） HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" × HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" ＝ HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" ＝ HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" × HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" ＝2× HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" ＝ HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" ；（3）当≥0，b≥0时， ·＝ HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" ＝ HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" ＝；（4） HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" × HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" ＝3×2× HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" ＝6× HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" ＝ HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" ． 问题1　学生：方法不变，运用·＝（≥0，b≥0）．问题2　学生：运算结果中，被开方数应不含能开得尽方的因数或因式．问题3　学生：系数相乘作为结果的系数，被开方数相乘，化简． 师生互动，锻炼学生的口头表达能力，培养学生勇于发表自己看法的能力．
活动三例3　计算：（1）（－ HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" )×（－ HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" )；（2） HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" × HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" × HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" ．问题1　如何计算（1）？问题2　三个根式进行乘法如何计算？二次根式乘法法则推广： HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" × HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" × HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" （≥0，b≥0，c≥0）． 学生尝试独立解决，在此基础上讨论交流，形成解法．学生：（1）（－ HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" )×（－ HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" ) ＝（－3)×（－2) HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" ＝6 HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" × HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" ＝ HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" ；学生：（2） HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" × HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" × HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" ＝ HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" ＝ HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" ＝ HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" ． 通过学生相互讨论，提高学生的观察分析能力，培养学生善于思考的良好习惯．
活动四例4　如图，在△ABC中，∠B＝90°，AB＝10cm，BC＝20cm，求AC． ( http: / / www.21cnjy.com ) 由学生先尝试解决，教师进行点拨，得出结果．学生：在△ABC中，∠B＝90°，AB2＋BC2＝AC2，AC＝ HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" ，当AB＝10 cm，BC＝20 cm时，AC＝cm． 让学生感受二次根式的广泛应用．
课堂小结：本节课我们继续学习二次根式的乘法法则和二次根式的化简，我们是如何进行化简的？你还有哪些困惑？ 学生：逆用乘法法则将被开方数分解为能开方的因数、因式与不能开方的因数、因式的积，进行开方．学生：运算结果中，被开方数应不含能开得尽方的因数或因式． 师生互动，锻炼学生的口头表达能力，培养学生勇于发表自己看法的能力．
课后作业：课本P160第2、3、4题．数学教学设计
教　　材：义务教育教科书·数学（八年级下册）
作 者：王太广（盐城市初级中学）
12.2　二次根式的乘除（3）
教学目标 1．能运用除法法则 HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" ＝ HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" （a≥0，b＞0），进行二次根式的除法运算；2．能逆用二次根式的除法运算法则，对简单的二次根式进行化简；3．在解问题的过程中培养学生探究意识、合作意识．
教学重点 二次根式的除法法则及商的算术平方根的性质的应用．
教学难点 商的算术平方根的性质的理解与运用．
教学过程（教师） 学生活动 设计思路
情境创设： （1） HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" ， HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" ＝ ；（2） HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" ， HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" ＝ ；（3） HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" ， HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" ＝ ；（4） HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" ， HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" ＝ ．比较上述各式，你猜想到什么结论？ 独立思考，回答问题．（1） HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" ， HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" ＝ HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" ；（2） HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" ， HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" ＝ HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" ；（3） HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" ， HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" ＝ HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" ；（4） HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" ， HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" ＝ HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" ．小组交流讨论：由上面计算结果归纳得到，一般地，有（a≥0，b＞0），这就是二次根式的除法运算法则． 通过问题情境，培养学生的提出问题、解决问题的能力，让学生学会观察归纳，引导学生总结出除法运算法则．
探索活动：活动一 运用二次根式的除法运算法则进行计算．计算：（1） HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" （2） HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" （3） HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" ÷ HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" （4） HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" ÷ HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" 学生练习：（1） HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" ＝ ；（2） HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" ＝ ；（3） HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" ÷ HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" ＝ ；（4） HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" ÷ HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" ＝ ． 学生认真听讲，积极发言．计算：（1） HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" ＝ HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" ； （2） HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" ＝ HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" ； （3） HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" ÷ HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" ＝3；（4） HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" ÷ HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" ＝5．通过例题的讲解让学生体会到如何进行二次根式的除法运算．学生练习．独立思考，解决问题（学生板演）：（1） HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" ＝ 2 ；（2） HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" ＝ 3 ；（3） HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" ÷ HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" ＝ HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" ；（4） HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" ÷ HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" ＝ HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" ． 通过例题的讲解和学生练习相结合，加深对除法法则 HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" ＝ HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" （a≥0，b＞0）的理解，提高计算的熟练程度．同时，通过学生相互讨论，提高学生的观察分析能力，增强运算能力，培养学生善于思考的良好习惯．
由（a≥0，b＞0），可以得到，（a≥0，b＞0）．利用商的算术平方根的性质可以化简一些二次根式．活动二　商的算术平方根的性质进行化简．化简：（1） HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" ； （2） HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" ； （3） HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" ； （4） HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" （a≥0，b＞0）．学生练习： 化简：（1） HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" ＝ ；（2） HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" ＝ ；（3） HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" ＝ ；（4） HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" （y＞0）＝ ． 学生认真听讲，积极发言：化简：（1） HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" ＝ HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" ； （2） HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" ＝ HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" ；（3） HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" ＝ HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" ；（4） HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" （a≥0，b＞0）＝ HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" ．学生练习． 独立思考，解决问题（学生板演）：化简　（1） HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" ＝ HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" ；（2） HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" ＝ HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" ；（3） HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" ＝ HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" ；（4） HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" （y＞0）＝ HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" ． 通过例题的讲解和学生练习相结合，加深对商的算术平方根的性质的理解，会化简一些二次根式．同时，提高学生的观察分析能力，增强运算能力，培养学生的逆向思维能力．
活动三二次根式的除法运算法则的意义．等式 HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" 成立的条件是 ．练习　等式 HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" 成立的条件是 ． 互相讨论，踊跃回答（教师点拨、讲解、总结）：等式 HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" 成立的条件是x＞2．学生练习． 独立思考，回答问题：等式 HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" 成立的条件是－1≤x＜2． 进一步加深对除法法则 HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" ＝ HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" （a≥0，b＞0）的理解，特别对括号中成立的条件加以解释，使学生认识到这里a≥0，b＞0的条件的必要性，有利于学生在学习数学的过程中养成严谨的习惯，激发学生探究问题的兴趣．
拓展提高：1．计算　 HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" ÷ HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" ；2．已知一个长方形的面积为 HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" ，其中一边长为 HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" ，求长方形的对角线的长． 互相讨论，踊跃回答（教师点拨、讲解、总结）：1．计算： HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" ÷ HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" ＝ HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" ；2．已知一个长方形的面积为 HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" ，其中一边长为 HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" ，求长方形的对角线的长．解： HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" ÷ HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" ＝ HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" ，（ HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" ）2＋（ HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" ）2＝ HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" cm．答：长方形的对角线的长为 HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" cm． 通过提高题，使学生的思维得到进一步的锻炼，特别对一些学有余力的学生，显得更为必要，有利于培养学生的应用意识和创新意识．
课堂小结：你能总结一下，我们这节课学习的公式吗？ 讨论后共同小结：1．能运用法则 HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" ＝ HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" （a≥0，b＞0），进行二次根式的除法运算；2．能逆用二次根式的除法运算法则，对简单的二次根式进行化简． 师生互动，锻炼学生的口头表达能力，培养学生勇于发表自己看法的能力．
课后作业：课本P160第5、6题．数学教学设计
教　　材：义务教育教科书·数学（八年级下册）
作 者：刘玲玲（盐城市初级中学）
12.2　二次根式的乘除（1）
教学目标 【知识与技能】理解 HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" · HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" ＝ HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" （a≥0，b≥0）， HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" ＝ HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" · HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" （a≥0，b≥0），并利用它们进行计算和化简；【过程与方法】经历二次根式乘法法则的探究过程，进一步理解乘法法则；【情感、态度与价值观】在具体的计算过程中讨论交流，总结公式，体会“数学知识来源于实践”的理念．
教学重点 二次根式的乘法法则与积的算术平方根的性质．
教学难点 二次根式的乘法法则与积的算术平方根的性质的理解与运用．
教学过程（教师） 学生活动 设计思路
一、情境创设开场白：同学们，上节课我 ( http: / / www.21cnjy.com )们了解了二次根式的概念，掌握了二次根式的性质，并能运用这些性质进行一些简单的计算，那么对于二次根式更为复杂的运算我们还能解决吗？数学来源于生活，下面我们就一起走进数学实验室，看看生活中的数学给我们带来了怎样新的问题？ 进入状态，兴趣浓厚，跃跃欲试． 帮助学生回忆上节课内容，同时提出新的待解决的问题，激发学生学习数学的欲望．
二、数学实验室（1）在图中，小正方形的边长为1，AB＝ HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" ，BC＝ HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" ，画出矩形ABCD的面积是多少？ ( http: / / www.21cnjy.com )（2）在图中，小正方形的边长为1．画出矩形EFGH，使EF＝ HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" ，FG＝ HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" ．矩形EFGH的面积是多少？ ( http: / / www.21cnjy.com ) 动手实践，小组活动，在实验中交流： 由学生熟悉的情景入手，在网格图中动手画一画 ( http: / / www.21cnjy.com )，算一算，借助图形解决二次根式的乘法问题，体现了数形结合的数学思想方法，给学生一个展示才华的机会，增强学生学习数学的兴趣．
活动一：计算：（1） HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" × HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" ＝ ， HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" ＝ ；（2） HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" × HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" ＝ ， HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" ＝ ；（3） HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" × HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" ＝ ， HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" ＝ ．你有什么发现？请与同学交流． 独立思考，归纳猜想，积极发言：参考答案：（1）10；10． （2）12；12； （3） HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" ， HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" ．每一组的两个式子的计算结果一样．猜想： HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" · HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" ＝ HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" （a≥0，b≥0）． 引导学生计算，并进行比较，自觉得到结论．同时，能让学生自己列举更多的例子进行探索、归纳，提出自己的猜想．
活动二：验证公式： HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" · HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" ＝ HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" （a≥0，b≥0）的正确性． 小组讨论，老师点拨：一般地，当a≥0，b≥0时，（ HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" · HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" ）2＝（ HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" ）2·（ HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" ）2＝ab，（ HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" ）2＝ab．由此可见， HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" · HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" 与 HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" 都是ab的算术平方根．于是，我们得到： HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" · HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" ＝ HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" （a≥0，b≥0）． 通过学生相互讨论，提高学生分析问题的能力，培养学生善于思考的良好习惯．经历知识的形成过程，让学生对知识的认识由感性上升到理性．
计算：（1） HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" × HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" ； （2） HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" × HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" ； （3） HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" · HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" （a≥0）． 解：（1） HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" × HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" ＝ HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" ＝ HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" ＝4；（2） HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" × HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" ＝ HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" ＝ HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" ＝2；（3）当a≥0时， HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" · HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" ＝ HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" ＝ HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" ＝4a． 本例主要是二次根式乘法的简单运算，且结果为直接开方、不需要化简的情形．
知识积累，练习巩固：教材第154页练习第1题． 学生独立解决问题，个别学生板演． 本环节练习主要是学生自己动手解决，教师适时点评．
活动三：了解了二次根式的乘法公式，请同学们逆向思考，你又有什么新发现呢？ HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" · HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" ＝ HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" （a≥0，b≥0）． 给出二次根式的乘法公式的逆运算目的在于化简被开方数中含有二次或二次以上的因数或因式．
例2　化简：（1） HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" ； 　（2） HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" （a≥0）；（3） HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" （a≥0，b≥0）． 解：（1） HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" ＝ HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" ＝ HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" × HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" ＝ HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" ×2＝ HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" ；（2）当a≥0时， HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" ＝ HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" ＝ HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" · HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" ＝a HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" ； （3）当a≥0，b≥0时， HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" ＝ HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" ＝ HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" · HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" ＝ HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" ． 本例主要是让学生感受方法，通过这些题目，使学生体会到：“一般地，二次根式运算的结果中，被开方数应不含有能开方开得尽的因数或因式”的意义．
知识积累，练习巩固： 教材第154页练习第2题． 学生独立解决问题，个别学生板演． 本环节练习主要是学生自己动手解决，教师适时点评．
知识拓展，能力提高．观察： HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" · HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" ＝ HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" （a≥0，b≥0）思考： HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" × HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" × HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" ？ 例题 计算：（1） HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" · HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" · HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" ；（2） HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" × HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" × HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" ． 老师引导，小组交流讨论，并能利用结论解决问题． 本环节主要是拓宽学生的思维，提高学生的能力，照顾了优等生的学习需求．
三、小结与作业 1．我们的收获：一路走来，我们结识了很多新知识，你能谈谈自己的收获吗？说一说让大家一起来分享．2．作业：教材第160页习题12.2第1、2题． 同学们畅所欲言，说出自己的想法，积极反思一节课的收获，充满成就感． 例如：今天你对自己的评价？你从其他同学的表现中学到了什么？你还有哪些困惑？ 把总结评价的主动权充分地交给学生，同时给学 ( http: / / www.21cnjy.com )生一个开放的思维空间，培养学生的知识整理与语言表达能力，情绪会被再度调动起来，从而起到认知升华的作用．