第五章 一元函数的导数及其应用-高二年级数学人教版（2019）选择性必修二单元练习（含解析）

一元函数的导数及其应用
1. 已知函数，则( )
A. B. 12 C. D. 26
2. 曲线在点处的切线与直线垂直，则( )
A. B. 0 C. 1 D. 2
3. 函数的单调递增区间是( )
A. B.
C. D. 和
4. 已知函数，则的大致图像为( )
A. B.
C. D.
5. 已知函数在处取得极大值，则m的值为( )
A. 1 B. 3 C. 1或3 D. 2或
6. 已知函数的图象分别与直线交于两点，则的最小值为( )
A. 2 B. C. D.
7. 设，，，则下列关系正确的是( )
A. B. C. D.
8. 设函数，若关于x的方程恰好有4个不相等的实数解，则实数m的取值范围是( )
A. B. C. D.
9. 已知函数在上是单调函数，则实数a的值可以是( )
A. B. C. D. 2
10. 已知函数的极值点为，则( )
A. B. C. D.
11. 函数有两个极值点、，则下列结论正确的是( )
A. 若，则有3个零点
B. 过上任一点至少可作两条直线与相切
C. 若，则只有一个零点
D.
12. 已知函数有两个零点和，且，则下列说法正确的是( )
A. B.
C. D. 有极大值点，且
13. 若函数满足，则__________.
14. 已知函数，若，则的最小值为__________，若在上为单调函数，则a的取值范围为__________.
15. 已知函数有两个极值点，则实数a的取值范围是__________.
16. 关于x的不等式在上恒成立，则实数的取值范围是__________.
17. 已知函数
求导函数；
若曲线在点处的切线方程为，求a，b的值.
18. 已知是函数的一个极值点.
求的单调区间；
求在区间上的最大值.
19. 已知为自然对数的底数
求函数的最大值；
设，若对任意总存在使得，求实数a的取值范围．
20. 已知函数
求的极值；
若函数在定义域内有三个零点，求实数a的取值范围．
21. 已知函数，其中
当时，求函数的单调区间；
若恒成立，求a的最小值；
证明：，其中
22. 已知函数
讨论的单调性；
当时，证明：
答案和解析
1.【答案】A
【解析】
【分析】
本题考查导数运算，属基础题.
求导代入可得，进而求得即可
【解答】
解：，故，
解得，
故，
故，
故选：

2.【答案】D
【解析】
【分析】
本题考查导数的几何意义，以及两直线垂直的条件，考查方程思想和运算能力，属于基础题．
求得的导数，可得切线的斜率，由两直线垂直的条件，可得a的方程，解方程可得所求值．
【解答】
解：的导数为，
可得在点处的切线的斜率为，
由切线与直线垂直，可得，
解得，
故选：

3.【答案】B
【解析】
【分析】
本题主要考查了函数的导数与函数的单调性关系及应用，导数法是求函数的单调区间的基本方法，一定要熟练掌握．
先对函数求导，然后由可得x的范围，从而可得函数的单调递增区间．
【解答】
解：，，
令，解得：，
故在单调递增.
故选

4.【答案】C
【解析】
【分析】
本题考查利用导数研究函数的单调性和极值，考查数形结合思想，属于中档题.
根据函数的特殊值，，排除A，D选项，对函数求导，结合函数和的图像交点研究的单调性，从而可得结果.
【解答】
解：由，得，，，故排除A，
由函数知，
在同一坐标系作出函数和的图像，如图所示，
可知函数和的图像有两个交点，
设交点的横坐标为，，，则，，
当时，，此时，单调递增；
当时，，此时，单调递减；
当时，，此时，单调递增；
所以函数在处取得极大值点，在处取得极小值点，且，，
排除B，
故选

5.【答案】B
【解析】
【分析】
本题考查了利用导数研究函数的单调性极值、方程的解法，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．
函数，，根据函数在处取得极大值，可得，解得m，并且验证即可得出．
【解答】
解：函数，
，
函数在处取得极大值，
，解得或3，
时，，
可得是函数的极小值点，舍去；
时，，
可得是函数的极大值点．
则
故答案选：

6.【答案】C
【解析】
【分析】
本题考查利用导数研究函数的单调性和最值，由题意，，其中且，表示，构造函数，确定函数的单调性，即可求出的最小值.
【解答】
解：由题意，，，且
所以，令，则，
令，则，当时，当时，
所以在单调递减，在单调递增，
所以时，
故选

7.【答案】D
【解析】
【分析】
本题考查利用导数比较大小，属于拔高题.
构造函数，利用导数，进行求解即可.
【解答】
解：记，，
因为，
当时，，所以在上单调递增，
当时，，即，
所以，
记，，
因为，所以在上单调递减，
当时，，所以，，
则，
所以，
记，，
因为，
所以当时，，所以在上单调递增，
所以当时，，即，，
所以
所以
综上所述：

8.【答案】B
【解析】
【分析】
本题考查考查函数零点与方程根的关系，利用导数研究函数的单调性，属于较难题.
由题意可得恰好有4个不相等的实数解，所以或共有4个解，作出函数的图象，结合图象即可得解.
【解答】
解：因为恰好有4个不相等的实数解，
所以恰好有4个不相等的实数解，
所以或共有4个解，
设，，则，
所以时，，单调递增，
时，，单调递减，
且，，
当时，，所以
设，，
则，为单调减函数，
且时，，，
作出函数的图象如图所示：
由图可知只有一解，
要恰好有4个不相等的实数解，
即要恰有3解，
所以，
即，
故选：

9.【答案】ABC
【解析】
【分析】
本题主要考查利用导数由函数的单调性求参，以及一元二次不等式恒成立问题，属于中档题．
先求函数的导数，因为函数在上是单调函数，可得在上恒成立，即可得解.
【解答】
解：的导函数为，
函数在上是单调函数，且导函数是开口向下的二次函数，
函数在单调递减，
在上恒成立，
即在上恒成立，
，
解得
实数a的取值范围是
故选

10.【答案】AD
【解析】
【分析】
本题考查利用导数研究函数的极值，属于基础题.
先求导，再令，得到，把代入计算即可求得
【解答】
解：，令，则，
，
故选AD项．

11.【答案】ACD
【解析】
【分析】
本题主要考查利用导数研究函数的极值以及导数的几何意义，属于较难题.
根据有两个极值点、，对其求导可得，再根据极值的性质与导数的几何意义，即可判断.
【解答】
解：因为，所以，
又因为函数有两个极值点、，
所以当时，函数在上单调递增，在上单调递减；
此时，为极大值，为极小值；
当时，函数在上单调递增，在上单调递减；
此时，为极小值，为极大值；
对于选项A：若，则或，
在各有一个零点.
故A正确；
对于选项B：在极值点、处，函数的切线只有一条，故B错误；
对于选项C：若，当时，，此时只有一个零点；
当时，，此时只有一个零点，故C正确；
对于选项D：令，
则，为的平均数，
又因为函数为中心对称图形，故，故D正确.
故选

12.【答案】ACD
【解析】
【分析】
本题主要考查了利用导数研究函数的单调性、极值及函数零点问题，属于较难题.
利用导数研究函数的单调性、极值及函数零点问题进而求出答案.
【解答】
解：，，，
当时，，在上单调递增，不可能有两个零点，
当时，得到，得到，
在上单调递增，在上单调递减，
是函数的极大值点，，
由题意知，，，正确；
对于B、D，由上可得的极大值为，，
设，其中可得，
可得，
可得
，
易得当时，，当时，，
故，，
故，，
因为，在上单调递减，
可得，即，即，
即有极大值点，且，故D正确，B不正确；
对于C，由函数有两个零点，，可得，，
可得，，可得，
由前面可得，，
可得，故C正确.
故选

13.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查导数的运算，根据函数的奇偶性求值，属于基础题.
求函数的导函数，判断得为奇函数，进而结合已知可得所求函数值.
【解答】
解：，易知，则为奇函数，则

14.【答案】1

【解析】
【分析】
本题考查利用导数研究函数的单调性与最值，属于中档题.
当，求导，利用导数确定函数的单调性，从而确定函数的最小值;
先求导函数，再分类讨论：当时，在上恒大于零，即，符合题意;当时，令，在上只能恒小于或等于零，求解即可.
【解答】
解：当时，，，
当时，，当时，，
在上单调递减，在上单调递增，
；
若在上为单调函数，则
当时，在上恒大于零，即，符合题意;
当时，令，则在上只能恒小于或等于零，
故或，解得：，
的取值范围是
故答案为1；

15.【答案】
【解析】
【分析】
本题主要考查导数的应用，由导数的极值个数求参数的问题，利用参数分离法，结合函数图象是解决本题的关键.
函数有两个极值点，转化为方程有两不等实根，利用参数分离法进行转化求解即可.
【解答】
解：已知函数 有两个极值点，
有两个不同的根，
设 ，所以，
当时，当时故时取得极大值，同时也是最大值.
，，
当，，当时，；
作出函数的简图如下：
因为与直线有两不同交点，
所以，即，
故实数a的取值范围为
故答案为

16.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查利用导数研究恒成立与存在性问题 ，难度较大，由不等式可构造函数，，判断得在上单调递增，故可分离得在上恒成立，再设，利用导数研究函数的最值，故可得实数的取值范围
【解答】
解：
不等式即，
构造函数，，则， ，
设，，
，
当时，，当时，
，所以在上单调递增，
得，，在上恒成立，设，，
当时，，单调递增， 当时，，单调递减，
，所以
故答案为

17.【答案】解：由，
得
；
切点既在曲线上，又在切线上，
将代入切线方程，得，
将代入曲线方程，得，则，
将代入导函数，
可得，即
，
【解析】直接利用导数的运算法则及基本初等函数的导函数求解；
由切点既在曲线上，又在切线上，将代入切线方程，得到，可得b值，再把代入导函数求得a的值．
本题考查利用导数研究在曲线上某点处的切线方程，关键是熟记基本初等函数的导函数，考查运算求解能力，是中档题．
18.【答案】解：，
是函数的一个极值点
，
，
，
令，解得或；令，解得
所以函数的减区间为，增区间为
由，
又在上单调递减，在上单调递增，在上单调递减
函数在的极大值为，又，
函数在区间上的最大值为
【解析】本题主要考查导数与函数的极值之间的关系，利用导数研究函数单调区间，最值问题，属于基础题.
求导后根据极值点的定义得，求得a的值，由导数判断函数的单调性；
分析区间内的极大值点与左端点再判断大小即可.
19.【答案】解：的导数为，
当时，，单调递增；
当时，，单调递减；
故；
对任意总存在
使得等价于
由可知
问题转化为在恒成立．
参变量分离得：，
令，
，由时，，得，
即在上单增．
故
综上：，
即a的取值范围为
【解析】本题考查导数的运用：求单调区间和最值，属于中档题．
求得的导数，判断函数的单调性，得到函数的最大值；
由题意可得由可得问题转化为在恒成立．运用参数分离得：，求得不等式右边函数的最大值，即可得到所求a的范围．
20.【答案】解：由题意可知函数的定义域为
因为
所以，
由，得，，
当时，，函数单调递增，当时，，函数单调递减，当时，，函数单调递增，
因此，当时，有极大值，并且极大值为；
当时，有极小值，并且极小值为
因为，
所以为一个零点．
所以“函数，在定义域内有三个零点”可以转化为“方程有两个非零实根”．
令，则，
所以，当时，，在上单调递减；
当时，，在上单调递增；
当时，有最小值
若方程有两个非零实根，则，即
若，方程只有一个非零实根，
所以
综上，
【解析】先对函数求导，然后结合导数可分析函数的单调性，进而可求函数的极值；
“函数，在定义域内有三个零点”可以转化为“方程有两个非零实根”．构造函数，对其求导，然后结合导数及函数的性质可求．
本题主要考查了利用导数求解函数的极值及由函数的零点求解参数范围，体现了转化思想的应用．
21.【答案】解：由已知条件得，其中的定义域为，
则，
当时，，当时，，
可知：的单调递增区间为，单调递减区间为；
①由恒成立，即恒成立，
令，则，
当时，，当时，，
在上单调递增，上单调递减，
，，
的最小值为
②由知：当时，，即恒成立，
即，时取“=”，
令，得，
，
当时，
【解析】本题考查了利用导数求函数的单调区间，利用导数研究恒成立问题，利用导数证明不等式，属于较难题.
对求导，利用导数和单调性关系，即可得解；
①由恒成立，即恒成立，令，对其求导，即可得；
②由知：当时，，即恒成立，即，时取“=”，然后继续证明即可得．
22.【答案】解：因为，且的定义域为，
所以
，
①当时，恒成立，此时函数在上单调递增；
②当，由于，所以恒成立，此时函数在上单调递增；
③当时，令，解得：或舍，
当时；当时，，
所以函数在上单调递增，在上单调递减；
综上可知：当时，在上单调递增；
当时，在上单调递增，在上单调递减；
证明：由可知：当时，在上单调递增，在上单调递减，
所以当时，函数取最大值，，
从而要证，即证，
即证，即证；
令，则，即证：，
令，，
则，
令，可知，
则当时，，当时，，
所以在上单调递增，在上单调递减，
即，则式成立，
所以当时，成立．
【解析】本题考查利用导数研究函数的单调性、最值，考查分类讨论的思想，属于较难题．
可知，分、、三种情况讨论，可得结论；
通过可知，将问题转化为，令，，构造函数，只需证明即可.
第18页，共18页