第七章 随机变量及其分布-高二年级数学人教版（2019）选择性必修三单元练习（含解析）

随机变量及其分布
1. 设随机变量服从正态分布，若，则的值为( )
A. 2 B. 1 C. D.
2. 已知事件A、B，设，且，，则的值是( )
A. B. C. D. 1
3. 为了提升全民身体素质，学校十分重视学生体育锻炼．某校篮球运动员进行投篮练习，若他前一球投进则后一球投进的概率为，若他前一球投不进则后一球投进的概率为若他第1球投进的概率为，则他第2球投进的概率为( )
A. B. C. D.
4. 英国数学家贝叶斯在概率论研究方面成就显著，创立了贝叶斯统计理论，对于统计决策函数、统计推断等做出了重要贡献．根据贝叶斯统计理论，事件A，B，的对立事件存在如下关系：若某地区一种疾病的患病率是，现有一种试剂可以检验被检者是否患病，已知该试剂的准确率为，即在被检验者患病的前提下用该试剂检测，有的可能呈现阳性；该试剂的误报率为，即在被检验者未患病的情况下用该试剂检测，有的可能会误报阳性．现随机抽取该地区的一个被检验者，用该试剂来检验，结果呈现阳性的概率为( )
A. B.
C. D.
5. 在20张百元纸币中混有4张假币，从中任意抽取2张，将其中一张在验钞机上检验发现是假币，则这两张都是假币的概率是
A. B. C. D. 以上都不正确
6. 深受广大球迷喜爱的某支足球队在对球员的使用上总是进行数据分析，根据以往的数据统计，乙球员能够胜任前锋、中锋、后卫以及守门员四个位置，且出场率分别为，，，，当乙球员担当前锋、中锋、后卫以及守门员时，球队输球的概率依次为，，，当乙球员参加比赛时，该球队某场比赛不输球的概率为.( )
A. B.
C. D.
7. 为排查新型冠状病毒肺炎患者，需要进行核酸检测.现有两种检测方式：逐份检测；混合检测：将其中k份核酸分别取样混合在一起检测，若检测结果为阴性，则这k份核酸全为阴性，因而这k份核酸只要检一次就够了，如果检测结果为阳性，为了明确这k份核酸样本究竟哪几份为阳性，就需要对这k份核酸再逐份检测，此时，这k份核酸的检测次数总共为次.假设在接受检测的核酸样本中，每份样本的检测结果是阴性还是阳性都是独立的，并且每份样本是阳性的概率都为，若，运用概率统计的知识判断下面哪个p值能使得混合检测方式优于逐份检测方式参考数据：( )
A. B.
C. D.
8. 已知随机变量满足，，其中令随机变量，则( )
A. B. C. D.
9. 甲、乙两类水果的质量单位：分别服从正态分布，，其正态分布的密度曲线如图所示，则下列说法中正确的是( )
A. 甲类水果的平均质量
B. 甲类水果的质量比乙类水果的质量更集中于平均值附近
C. 甲类水果的平均质量比乙类水果的平均质量小
D. 乙类水果的质量比甲类水果的质量更集中于平均值附近
10. 甲罐中有3个红球、2个白球，乙罐中有4个红球、1个白球，先从甲罐中随机取出1个球放入乙罐，分别以，表示由甲罐中取出的球是红球、白球的事件，再从乙罐中随机取出1个球，以B表示从乙罐中取出的球是红球的事件，下列命题正确的是( )
A. B. 事件B与事件相互独立
C. 事件B与事件相互独立 D. ，互斥
11. 游乐场有一个游戏项目，在一轮游戏中游戏者有5次机会向目标射击，最终命中的次数作为该游戏者本轮游戏的积分．某次活动期间，为了回馈顾客，游乐场临时补充新规则如下：①若游戏者在一轮游戏中命中3次或4次，则所得积分为原规则下积分的2倍；②若游戏者在一轮游戏中5次全部命中，则所得积分为原规则下积分的3倍；③若游戏者在一轮游戏中未命中、命中1次或2次，则所得积分为原规则下的积分．已知某人每次射击命中目标的概率为，在一轮游戏中，他在原规则下的积分与新规则下的积分分别为随机变量X，Y，则下列说法正确的是( )
A. X服从二项分布 B. Y服从二项分布 C. D.
12. 骰子通常作为桌上游戏的小道具.最常见的骰子是六面骰，它是一个质地均匀的正方体，六个面上分别写有数字现有一款闯关游戏，共有4关，规则如下：在第n关要抛掷六面骰n次，每次观察向上面的点数并做记录，如果这n次抛掷所出现的点数之和大于，则算闯过第n关，假定每次闯关互不影响，则( )
A. 直接挑战第2关并过关的概率为
B. 连续挑战前两关并过关的概率为
C. 若直接挑战第3关，设“三个点数之和等于15”，“至少出现一个5点”，则
D. 若直接挑战第4关，则过关的概率是
13. 8支步枪中有5支已校准过，3支未校准．一名射手用校准过的枪射击时，中靶的概率为用未校准的枪射击时，中靶的概率为现从8支枪中任取一支用于射击，结果中靶，则所用的枪是校准过的概率为__________.
14. 投掷两枚质地均匀的骰子各一次，当至少一枚5点或6点出现时，就说这次试验成功，则在10次这样的试验中成功次数的均值为__________.
15. 对一个物理量做n次测量，并以测量结果的平均值作为该物理量的最后结果，已知测量结果服从正态分布，为使测量结果在的概率不小于，则至少测量__________次参考数据：若X∽，则
16. 一个袋中共有10个大小相同的黑球、白球和红球．已知从袋中任意摸出1个球，得到黑球的概率是；从袋中任意摸出2个球，至少得到1个白球的概率是，则白球的个数为__________；从袋中任意摸出3个球，记得到白球的个数为，则随机变量的数学期望__________.
17. 为进一步完善公共出行方式，倡导“绿色出行”和“低碳生活”，某市建立了公共自行车服务系统，为了鼓励市民租用公共自行车出行，同时希望市民尽快还车，方便更多的市民使用，公共自行车按每次的租用时间进行收费，具体收费标准如下：①租用时间不超过1小时，免费；②租用时间超出1小时但不超过2小时，收费1元；③租用时间超出2小时，按每小时1元不足1小时按1小时计算收费，一天最高收费10元．甲、乙两人独立出行，每天都需要租用公共自行车一次，且两人租车时间都不会超过3小时，已知甲、乙租用时间不超过一小时的概率分别是，；租用时间超出1小时且不超过2小时的概率分别是，；租用时间超出2小时的概率分别是，
求甲一天内租用公共自行车的费用比乙多的概率；
设甲两天内租用公共自行车的总费用为X，求随机变量X的分布列和数学期望．
18. 某学校为了丰富学生的课余生活，以班级为单位组织学生开展古诗词背诵比赛，随机抽取题目，背诵正确加10分，背诵错误减10分，只有“正确”和“错误”两种结果．已知某班级背诵正确的概率为，记该班级完成n首古诗词的背诵后总得分为
求且的概率；
记，求的分布列．
19. 高铁和航空的飞速发展不仅方便了人们的出行，更带动了我国经济的巨大发展.据统计，在2018年这一年内从A市到B市乘坐高铁或飞机出行的成年人约为50万人次.为了解乘客出行的满意度，现从中随机抽取100人次作为样本，得到下表单位：人次
满意度 老年人 中年人 青年人
乘坐高铁 乘坐飞机 乘坐高铁 乘坐飞机 乘坐高铁 乘坐飞机
10分满意 12 1 20 2 20 1
5分一般 2 3 6 2 4 9
0分不满意 1 0 6 3 4 4
在样本中任取1个，求这个出行人恰好不是青年人的概率;
在2018年从A市到B市乘坐高铁的所有成年人中，随机选取2人次，记其中老年人出行的人次为以频率作为概率，求X的分布列和数学期望;
如果甲将要从A市出发到B市，那么根据表格中的数据，你建议甲是乘坐高铁还是飞机 并说明理由.
20. 第24届冬季奥林匹克运动会，即2022年北京冬季奥运会，于2022年2月4日星期五开幕，2月20日星期日闭幕.北京冬季奥运会设7个大项，15个分项，109个小项.北京赛区承办所有的冰上项目;延庆赛区承办雪车、雪橇及高山滑雪项目;张家口赛区的崇礼区承办除雪车、雪橇及高山滑雪之外的所有雪上项目.某运动队拟派出甲、乙、丙三人去参加自由式滑雪.比赛分为初赛和决赛，其中初赛有两轮，只有两轮都获胜才能进入决赛.已知甲在每轮比赛中获胜的概率均为乙在第一轮和第二轮比赛中获胜的概率分别为和丙在第一轮和第二轮获胜的概率分别是p和，其中
甲、乙、丙三人中，谁进入决赛的可能性最大;
若甲、乙、丙三人都进入决赛的概率为，设进入决赛的人数为，求的分布列.
21. 一兴趣小组为了解5种APP的使用情况，在某社区随机抽取了200人进行调查，得到使用这5种APP的人数及每种APP的满意率，调查数据如表：
APP 第1种 第2种 第3种 第4种 第5种
使用APP的人数 160 90 150 90 80
满意率
从这200人中随机抽取1人，求此人使用第2种APP的概率；
根据调查数据，将使用人数超过的APP称为“优秀APP”．该兴趣小组从这5种APP中随机选取3种，记其中“优秀APP”的个数为X，求X的分布列及数学期望；
假设每种APP被社区居民评价为满意的概率与表格中该种APP的满意率相等，用“”表示居民对第k种APP满意，“”表示居民对第k种APP不满意写出方差，，，，的大小关系．只需写出结论
22. 某市为提升农民的年收入，更好地实现2021年精准扶贫的工作计划，统计了2020年50位农民的年收入并制成频率分布直方图，如图．
根据频率分布直方图，估计这50位农民的年平均收入单位：千元同一数据用该组数据区间的中点值表示；
由频率分布直方图，可以认为该市农民年收入X服从正态分布，其中近似为年平均收入，近似为样本方差，经计算得，利用该正态分布，求：
在扶贫攻坚工作中，若使该市均有占农民人数的的农民的年收入高于本市规定的最低年收入标准，则此最低年收入标准大约为多少千元？
该市为了调研“精准扶贫，不落一人”的政策落实情况，随机走访了1000位农民．若每位农民的年收入互相独立，问：这1000位农民中的年收入不少于千元的人数最有可能是多少？
附：；若，则，，
答案和解析
1.【答案】B
【解析】
【分析】
本题考查正态分布的特点和性质，考查正态曲线关于对称的应用，是一个基础题．
根据随机变量符合正态分布，得到正态曲线关于对称，根据和，得到小于的概率与大于3的概率相等，所以这两个数字关于对称轴对称.
【解答】
解：随机变量服从正态分布，
正态曲线关于对称，
，
又，
，
和3关于对称轴对称，
故选

2.【答案】C
【解析】
【分析】
本题考查了条件概率的概念与计算，属于基础题。
【解答】
解：由，则

3.【答案】B
【解析】
【分析】
本题考查条件概率的计算问题和互斥事件概率问题，属于基础题.
设“第1次投球进”为事件A，“第2次投球进”为事件B，则，然后代入计算即得.
【解答】
解：设“第1次投球进”为事件A，“第2次投球进”为事件B，
则
，
故选
4.【答案】A
【解析】
【分析】
本题主要考查条件概率，互斥事件与对立事件的概率计算，属于基础题.
根据题意可得，，，，代入计算可得.
【解答】
解：设用该试剂检测呈现阳性为事件B，
被检测者患病为事件A，未患病为事件，
则，，，，
故所求概率
故选

5.【答案】A
【解析】
【分析】
本题主要考查条件概率，属基础题.
由题设事件A表示“抽到的两张都是假钞”，事件B表示“抽到的两张至少有一张假钞”，则所求的概率即，根据条件概率的计算公式求解即可.
【解答】
解：设事件A表示“抽到的两张都是假钞”，事件B表示“抽到的两张至少有一张假钞”，则所求的概率即
又，
由公式
故选

6.【答案】C
【解析】
【分析】
本题考查了全概率公式和对立事件，属于基础题.
由全概率公式计算可得当乙球员参加比赛时，球队输球的概率，再由对立事件可得结果
【解答】
解：设表示“乙球员担当前锋”，表示“乙球员担当中锋”，
表示“乙球员担当后卫”，表示“乙球员担当守门员”，
B表示“当乙球员参加比赛时，球队输球”．
则
，
所以当乙球员参加比赛时，该球队某场比赛不输球的概率为
故选：

7.【答案】A
【解析】
【分析】
本题主要考查离散型随机变量期望的计算，考查学生分析推理能力和运算能力，是中档题．
记采用逐份检测方式，样本需要检测的总次数为，采用混合检测方式，样本需要检测的总次数为进而求得其对应期望公式，根据，求出p的范围，进而得出结论.
【解答】
解：记采用逐份检测方式，样本需要检测的总次数为，
采用混合检测方式，样本需要检测的总次数为
因为，由题意，的所有可能取值为1，11，
，
，
，
由已知得，
若混合检测方式优于逐份检测方式，则，
则，，
，
两边取对数，得，，
，解得，故选

8.【答案】D
【解析】
【分析】
本题考查两点分布的期望和方差，考查计算能力，属于中档题.
分别求出，比较即可得答案.
【解答】
解：随机变量满足，，其中
则随机变量的分布列为
0 1
P p
所以，
又，
所以当时，，当时，，
所以随机变量的分布列为
p
P p
则
当，即，解得，即大小与p有关所以A，B错误.
即 ，所以C错误，D正确.
故选

9.【答案】ABC
【解析】
【分析】
本题考查了正态密度曲线的性质，属于中档题．
根据正态密度曲线的性质即可得出结论．
【解答】
解：由图象可知，甲图象关于直线对称，乙图象关于直线对称，
，，
故A正确，C正确，
甲图象比乙图象更“高瘦”，
甲类水果的质量比乙类水果的质量更集中于平均值附近，故B正确，D错误．
故选

10.【答案】AD
【解析】
【分析】
本题考查条件概率，互斥事件与相互独立事件的判断，属于中档题.
根据相互独立事件，互斥事件的概念对选项逐一判断即可.
【解答】
解：对于A，，故A正确；
对于B，事件的发生与否对事件B的发生会影响，两者不是互相独立，故 B错误；
对于C，事件的发生与否对事件B的发生会影响，两者不是互相独立，故 C错误；
对于D，事件发生了，事件就不会发生，两者是互斥事件，故D正确.
故选

11.【答案】ACD
【解析】
【分析】
本题以射击游戏为实际背景，考查了二项分布的概念及期望、方差的计算以及一般离散型随机变量的分布列及其数字特征，属于中档题.
根据随机变量X，Y的取值结合二项分布的定义即可判断A与B，通过求解变量的均值与方差可判断C与
【解答】
X的可能取值为0，1，2，3，4，5，
则，；
Y的可能取值为0，1，2，6，8，15， Y不服从二项分布，故A正确，B不正确；
则，则C正确；
则，则D正确，
故选

12.【答案】ACD
【解析】
【分析】
本题考查古典概型的计算，条件概率的计算，属中档题.
记直接闯过第n关得概率为，分别计算掷色子n次包含的结果总数和出现的点数之和大于包含的结果个数，利用古典概型公式计算即可判定AD；连续挑战前两关并过关则必须第一关通过且第二关也通过，由计算即可判定B；计算“至少出现一个5点”且“三个点数之和等于15”的结果总数及“至少出现一个5点”的结果总数，利用条件概率的公式计算即可判定
【解答】
解：对于A，记直接闯过第n关得概率为，
当时，掷色子2次有36种结果，出现的点数之和超过6包含了21种结果，
所以，故A正确；
对于B，连续挑战前两关并过关则必须第一关通过且第二关也通过，
当时，掷色子1次有6种结果，出现的点数之和超过3包含了3种结果，
所以，所以连续挑战前两关并过关的概率为，故B错误；
对于C，直接挑战第3关，掷色子3次，
则“至少出现一个5点”且“三个点数之和等于15”的结果包含：点数分别为4，5，6的有6种，点数分别为5，5，5的有1种，故共有7种结果；
“至少出现一个5点”的结果包含：含1个5点事件有种，含2个5点事件有种，含3个5点事件有1种，
故“至少出现一个5点”的结果有91种，
所以，故C正确；
对于D，直接挑战第4关，掷色子4次有种结果，出现的点数之和超过20包含了35种结果：
含5，5，5，6的有4个，含5，5，6，6的有6个，含6，6，6，6的有1个，含4，6，6，6的有4个，含5，6，6，6的有4个，含4，5，6，6的有12个，含3，6，6，6的有4个，
所以共有个，所以，故D正确.
故选：

13.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查贝叶斯公式的应用，考查条件概率．
设使用的枪校准过， 使用的枪未校准， 射击时中靶，根据贝叶斯公式可得，进而得解．
【解答】
解：设使用的枪校准过， 使用的枪未校准， 射击时中靶，
则，，，
由贝叶斯公式，得
所以，所用的枪是校准过的概率为

14.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查离散型随机变量的数学期望的求法，考查二项分布的性质等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．
利用古典概型求出试验成功的概率，再利用二项分布均值公式求解．
【解答】
解：在投掷两枚骰子中，不含5，6的次数为，
试验成功的概率，
在10次这样的试验中成功次数，
在10次这样的试验中成功次数的均值为
故答案为：

15.【答案】32
【解析】
【分析】
本题考查了正态分布的理解和应用，解题的关键是掌握正态曲线的对称性，考查了逻辑推理与运算能力，属于中档题．
【解答】
解：根据正态曲线的对称性知：要使误差在的概率不小于，
则且，则，所以，
又，所以，即，
所以
故答案为：

16.【答案】5

【解析】
【分析】
本题考查了古典概型概率公式的应用，离散型随机变量及其分布列和离散型随机变量期望，属于中档题．
利用古典概型的概率公式先求出白球的个数，然后求出随机变量的可能取值，然后求出其对应的概率，列出分布列，由数学期望的计算公式求解即可．
【解答】
解：设白球的个数为y，
又从袋中任意摸出2个球，至少得到1个白球的概率是，
则，解得，
所以白球的个数为5；
由题意可知，的可能取值为0，1，2，3，
所以，
，
，
，
则随机变量的分布列为：
0 1 2 3
P
则
故答案为：5；

17.【答案】解：设“甲一天内租用公共自行车的费用比乙多”为事件A，
则事件A包含甲用1元，乙用0元;甲用3元，乙用0元或1元，
所以，
即甲一天内租用公共自行车的费用比乙多的概率为
随机变量X的可能取值为0，1，2，3，4，6，
所以随机变量X的分布列为
所以
【解析】本题考查概率的求法，考查离散型随机变量的分布列和数学期望的求法，属于中档题.
设“甲一天内租用公共自行车的费用比乙多”为事件A，则事件A包含甲用1元，乙用0元;甲用3元，乙用0元或1元，求解可得；
由题意得变量X的所有取值为0，1，2，3，4，6分别求出相应的概率，由此能求出X的分布列和数学期望．
18.【答案】解：由，即背诵的6首古诗词中，正确的有4首，错误的有2首，
又由，所以分两种情况讨论：
若第1首和第2首背诵正确，则其余4首可任意背诵正确2首，
概率为，
若第1首背诵正确，第2首背诵错误，则第3首背诵正确，其余3首可任意背诵正确2首，
概率为，
故且的概率为
由题意知：，可得随机变量的取值范围为，
求得：
，
，
，
所以的分布列为：
10 30 50
P

【解析】本题考查二项分布及其分布列.
由，即背诵的6首古诗词中，正确的有4首，错误的有2首，分类求解概率和，即可求解；
由取值范围为，分别求出概率，即可求解分布列.
19.【答案】解：设事件：“在样本中任取1个，这个出行人恰好不是青年人”为M，
由表可得：样本中出行的老年人、中年人、青年人人次分别为19，39，42，
所以在样本中任取1个，这个出行人恰好不是青年人的概率
由题意，X的所有可能取值为：
因为在2018年从A市到B市乘坐高铁的所有成年人中，随机选取1人次，此人
为老年人概率是，
所以，
，
，
所以随机变量X的分布列为：
X 0 1 2
P
故
答案不唯一，言之有理即可．
如可以从满意度的均值来分析问题，参考答案如下：
由表可知，乘坐高铁的人满意度均值为：
乘坐飞机的人满意度均值为：
因为，
所以建议甲乘坐高铁从A市到B市．
【解析】本题主要考查了古典概型的概率计算、以及离散型随机变量的分布列和期望的计算．
样本中出行的老年人、中年人、青年人人次分别为19，39，42，即可按照古典概型的概率计算公式计算得出；
依题意可知X服从二项分布，先计算出随机选取1人次，此人为老年人概率是，所以即可求出X的分布列和数学期望；
可以计算满意度均值来比较乘坐高铁还是飞机.
20.【答案】解：甲在初赛的两轮中均获胜的概率为：，
乙在初赛的两轮中均获胜的概率为：，
丙在初赛的两轮中均获胜的概率为：，
因为，所以，
所以，
所以甲进入决赛可能性最大．
由，
整理得：，
解得或，
又，所以，
所以丙在初赛中均获胜的概率为，
进入决赛的人数为的可能取值为0，1，2，3，
，
，
，
，
所以的分布列为
0 1 2 3
P

【解析】本题考查相互独立事件同时发生的概率，离散型随机变量及其分布列，属于中档题.
利用相互独立事件同时发生的概率公式，分别求得甲，乙，丙进入决赛的概率，即可判断；
先求出p的值，再由的可能取值为0，1，2，3，分别求得，，，，即可得到的分布列.
21.【答案】解：记“从这200人中随机抽取1人，此人选择第2种APP”为事件 A，
由表中数据可得：200人中有90人选择使用了第2种APP，
所以，故从这200人中随机抽取1人，此人选择第2种APP的概率为；
样本数据中有5种APP，其中“优秀APP”有2种，X的所有可能取值为：0，1，2，
，，，
故X的分布列为：
X 0 1 2
P
故X数学期望；
易知，
，
，
，
，
故
【解析】本题考查古典概型的概率，离散性随机变量分布列的求法以及期望和方差的计算方法，属于中档题．
按照古典概型的概率计算方法求解；
分别算出随机变量X等于0，1，2，时的概率，然后写出分布列，即可求出期望；
根据方差的性质和计算方法判断它们的大小．
22.【答案】解：由频率分布直方图可知：
故估计50位农民的年平均收入为20千元．
由题意知，
，
时，满足题意，即最低年收入标准大约为千元；
由，
每个农民的年收入不少于千元的概率为，记1000个农民的年收入不少于千元的人数为，
则，其中，
于是恰好有k个农民的年收入不少于千元的事件概率为，
从而由，
得，而，
当时，，
当时，
由此可知，在所走访1000位农民中，年收入不少于千元的人数最有可能是978人．
【解析】本题考查频率分布直方图，考查正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义，考查运算求解能力，是中档题．
求各组数据区间的中点值乘以相应的频率之和，即可得
①根据正态分布曲线的对称性分析求解即可;
②根据正态分布求出每个农民的年收入不少于干元的概率，记1000个农民的年收入不少于千元的人数为，可得，其中，然后根据二项分布的概率计算公式，计算出这1000位农民中的年收入不少于千元的人数最有可能的值即可.
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