第六章 计数原理---高二年级数学人教版（2019）选择性必修三单元练习（含解析）
文档属性
| 名称 | 第六章 计数原理---高二年级数学人教版（2019）选择性必修三单元练习（含解析） |  | |
| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 52.7KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 人教A版（2019） | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2023-03-01 16:53:24 | ||
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文档简介
计数原理
1. 即将毕业，4名同学与数学老师共5人站成一排照相，要求数学老师站中间，则不同的站法种数是( )
A. 120 B. 96 C. 36 D. 24
2. 第十三届冬残奥会于2022年3月4日至3月13日在北京举行.现从4名男生，2名女生中选3人分别担任冬季两项、单板滑雪、轮椅冰壶志愿者，且至多有1名女生被选中，则不同的选择方案共有.( )
A. 72种 B. 84种 C. 96种 D. 124种
3. 有10台不同的电视机，其中甲型3台，乙型3台，丙型4台．现从中任意取出3台，若其中至少含有两种不同的型号，则不同的取法共有( )
A. 96种 B. 108种 C. 114种 D. 118种
4. 现从6名学生干部中选出3名同学分别参加全校资源、生态和环保3个夏令营活动，则不同的选派方案的种数是( )
A. 20 B. 90 C. 120 D. 240
5. 甲、乙、丙、丁、戊共5名同学进行劳动技术比赛，决出第1名到第5名的名次，已知甲和乙都没有得到冠军，并且乙不是第5名，则这5个人的名次排列情况共有( )
A. 72种 B. 54种 C. 36种 D. 27种
6. 山东省高考改革后实施选科走班制度，小明需要从物理、化学、生物、政治、历史、地理中选择三科作为自己的选科组合，物理和历史不能同时选择，则小明不同的选科情况有( )
A. 14种 B. 16种 C. 18种 D. 20种
7. 2022年2月4日，中国北京第24届奥林匹克冬季运动会开幕式以二十四节气的方式开始倒计时创意新颖，惊艳了全球观众.衡阳市某中学为了弘扬我国二十四节气文化，特制作出“立春”、“惊蛰”、“清明”、“立夏”、“芒种”、“小暑”六张知识展板分别放置在六个并排的文化橱窗里，要求“立春”和“惊蛰”两块展板相邻，且“清明”与“惊蛰”两块展板不相邻，则不同的放置方式有多少种 ( )
A. 192 B. 240 C. 120 D. 288
8. 现有语文、数学、外语、物理、化学、生物各一本，均分给3个人，其中数学和物理不分给同一个人，则不同的分配方法有( )
A. 36 B. 54 C. 72 D. 84
9. 已知的展开式中第5项与第7项的二项式系数相等，且展开式的各项系数之和为1024，则下列说法正确的是( )
A. 展开式中存在常数项 B. 展开式中第6项的系数最大
C. 展开式中奇数项的二项式系数和为256 D. 展开式中含项的系数为45
10. 现安排甲、乙、丙、丁、戊5名同学参加数学、物理、化学、生物四个学科的竞赛考试，以下说法正确的是( )
A. 每人都参加一项考试的不同方法数为
B. 每人都参加一项考试，每项考试至少有一人参加，则不同的方法数为
C. 如果生物考试没人参加，其余三个学科至少安排一人，则这5名同学全部被安排的不同方法数为
D. 每人都安排一项考试，每项考试至少有一人参加，甲、乙不参加数学考试但能参加其他三项考试，丙、丁、戊四项考试都能参加，则不同安排方案的种数是
11. 如图，某城市M，N两地之间有整齐的方格形道路网，某同学从M处沿道路走到N处，他随机地选择一条沿街的最短路径，则下列说法正确的是( )
A. 他从M处到达N处有12种走法
B. 他从M处到达N处有35种走法
C. 他从M处经过A处到达N处有18种走法
D. 他从M处经过A处到达N处有30种走法
12. 在含有件次品的件产品中，任取件，则下列说法正确的是( )
A. 恰好取到一件次品有不同取法
B. 至少取到一件次品有不同取法.
C. 两名顾客恰好一人买到一件次品一人买到一件正品有不同取法.
D. 把取出的产品送到检验机构检查能检验出有次品的有不同种方式.
13. 新冠病毒爆发初期，全国支援武汉的活动中，需要从A医院某科室的6名男医生含一名主任医师 名女医生含一名主任医师中分别选派3名男医生和2名女医生，要求至少有一名主任医师参加，则不同的选派方案共有__________种用数字作答
14. 若，则__________.
15. 4名同学到3个小区参加垃圾分类宣传活动，每名同学只去1个小区，每个小区至少安排1名同学，则不同的安排方法共有________种．
16. 某种产品有4件次品和6件正品，每件产品均不相同且可区分，今每次取出一件来测试，直到这4件次品全测出为止，则最后一件次品恰好在第五次测试时被发现，则不同情况种数是__________用数字作答
17. 从1到7的7个数字中取两个偶数和三个奇数组成没有重复数字的五位数．试问：
能组成多少个不同的五位偶数？
五位数中，两个偶数排在一起的有几个？
两个偶数不相邻且三个奇数也不相邻的五位数有几个？所有结果用数值表示
18. 六个人从左至右排成一行，最左端只能排甲或乙，最右端不能排甲，则不同的排法共有几种？
把5件不同产品摆成一排，若产品A与产品B相邻，且产品A与产品C不相邻，则不同的摆法有几种？
四个不同的小球放入编号为1，2，3，4的四个盒子中，恰有一个空盒，共有多少种放法？
注：最后结果需用数字作答
19. 已知
求：①；
②；
在的展开式中，求：
①展示式中的第3项；
②展开式中二项式系数最大的项.
20. 为了迎接到校访问的同学，需要分上午、下午和晚上三个组各安排5名本校学生作为志愿者负责接待，并要求下午组的志愿者不能与上午组、晚上组的重复．某班共有40名学生，其中22名女生和18名男生，现准备从中选择志愿者．
共有多少种选法？
如果下午组中有一名男生请假，需要从班上的非志愿者中选一名男生替代，那么至少有多少种选法？
如果三个组的志愿者都不能重复，且都要有男生和女生，那么共有多少种选法？
21. 为了某次的航天飞行，现准备从10名预备队员其中男6人，女4人中选4人参加航天任务．
若男甲和女乙同时被选中，共有多少种选法？
若至少两名男航天员参加此次航天任务，问共有几种选法？
若选四个航天员分配到A、B、C三个实验室去，其中每个实验室至少一个航天员，共有多少种选派法？
22. 某城市地铁公司为鼓励人们绿色出行，决定按照乘客经过地铁站的数量实施分段优惠政策，不超过12站的地铁票价如下表：
乘坐站数
票价元 2 4 6
现有甲、乙两位乘客同时从起点乘坐同一辆地铁，已知他们乘坐地铁都不超过12站，且他们各自在每个站下地铁的可能性是相同的．
若甲、乙两人共付费6元．则甲、乙下地铁的方案共有多少种？
若甲、乙两人共付费8元，则甲比乙先下地铁的方案共有多少种？
答案和解析
1.【答案】D
【解析】
【分析】
本题考查分步计数原理的应用，排列与排列数，注意优先分析受到限制的元素．属于基础题.
根据题意，分2步进行分析：①分析易得数学老师的站法，②将剩下的4人全排列，安排在剩下的4个位置，由分步计数原理计算可得答案．
【解答】
解：根据题意，分2步进行分析：
①，要求数学老师站中间，则数学老师的站法有1种，
②，将剩下的4人全排列，安排在剩下的4个位置，有种排法，
则不同的站法种数有种；
故答案为：
2.【答案】C
【解析】
【分析】
本题考查了排列组合的应用，分类讨论的方法，考查了推理能力与计算能力，属于基础题.
先分有一名女生和没有女生两种情况选出志愿者，然后再排列.
【解答】
解：第一步，选出的志愿者中没有女生共种，只有一名女生共种；
第二步，将三名志愿者分配到三项比赛中共有种.
所以，不同的选择方案共有种.
故选：
3.【答案】C
【解析】
【分析】
本题主要考查了组合的应用.
根据题意，先求出从10台不同的电视机中任意取出3台的取法，然后求取出的3台电视机只包含一种型号的取法，相减即可得到答案.
【解答】
解：从10台不同的电视机中任意取出3台，共有种取法，
若取出的3台电视机只包含一种型号，共有种取法，
则取出的3台电视机至少含有两种不同的型号共有种取法，
故选
4.【答案】C
【解析】
【分析】
本题考查排列问题，属基础题.
根据排列可求不同的选派方案的种数.
【解答】
解：共有种不同的选派方案．
故选：
5.【答案】B
【解析】
【分析】
本题考查排列的应用，涉及分步计数原理的应用，属于基础题.
根据题意，分两种情况讨论：①、甲是最后一名，则乙可以为第二、三、四名，剩下的三人安排在其他三个名次，②、甲不是最后一名，甲乙需要排在第二、三、四名，剩下的三人安排在其他三个名次，由加法原理计算可得答案.
【解答】
解：根据题意，甲乙都没有得到冠军，而乙不是最后一名，
分两种情况讨论：
①、甲是最后一名，则乙可以为第二、三、四名，即乙有3种情况，
剩下的三人安排在其他三个名次，有种情况，
此时有种名次排列情况;
②、甲不是最后一名，甲乙需要排在第二、三、四名，有种情况，
剩下的三人安排在其他三个名次，有种情况，
此时有种名次排列情况;
则一共有种不同的名次排列情况.
故选
6.【答案】B
【解析】
【分析】
本题主要考查的是组合数的应用，属于基础题.
根据题意，可分为三类：若物理和历史同时不选若选物理，不选历史若不选物理，选历史；结合分类加法计数原理即可求解.
【解答】
解：由题意，从物理、化学、生物、政治、历史、地理中选择三科作为自己的选科组合，
且物理和历史不能同时选择，可分为三类：
若物理和历史同时不选，共有种选法;
若选物理，不选历史，共有种选法;
若不选物理，选历史，共有种选法;
由分类加法计数原理，可得不同的选科情况共有种.
故选：
7.【答案】A
【解析】
【分析】
本题主要考查排列组合，属一般题.
先考虑特殊位置，进而求解即可.
【解答】
解;当惊蛰在两边有2种，此时立春与其相邻，另外4个任意排列有，则共有种
当惊蛰不在两边有4种，立春可在惊蛰的左边或者右边有2种，此时清明不能与惊蛰相邻，可从另外3个任选1个有3种，剩下的3种任意排列有种，则共有种
故共有种.
8.【答案】C
【解析】
【分析】
本题考查排列组合的应用，属于中档题.
先计算将6本书平均分给三人，再计算数学物理作为一组分配给一个人的分法，利用间接法即可求解.
【解答】
解：根据题意，先计算将6本书平均分给三人的情况数目，分2步分析：
①将6本书分成3组，有种分组方法；
②将分好的三组全排列，对应三人，有种情况，则将6本书平均分给三人，有种分配方法.
再计算其中数学和物理分给同一个人的情况，分2步分析：
①将除数学和物理之外的4本书，分成2组，有种分组方法，
②将数学和物理作为1组，和其他2组一起全排列，对应三人，有种情况，则数学和物理分给同一个人的分配方法有种分派方法.
则数学和物理不分给同一个人的分配方法有种；
故选C
9.【答案】ABD
【解析】
【分析】
本题考查二项展开式的特定项和特定项的系数，以及二项展开式中二项式系数的性质的应用，属于中档题.
根据的展开式中第5项与第7项的二项式系数相等，得到，再结合展开式的各项系数之和为1024求出a的值，利用二项展开式的通项公式结合二项式系数的性质逐项判断即可.
【解答】
解：因为的展开式中第5项与第7项的二项式系数相等，
所以，得，故给定的二项式为，
故展开式的通项公式为，
令，解得，即常数项为第9项，故A正确；
因为展开式中各项系数之和为1024，所以令，得，解得，
所以展开式的项的系数与对应的二项式系数相等，故展开式中第6项的系数最大，B正确；
展开式中奇数项的二项式系数和为，故C错；
令得，故展开式中含项的系数为，故D正确.
故选
10.【答案】BD
【解析】
【分析】
本题考查排列组合的应用，涉及分步计数原理的应用，属于中档题．
根据题意，依次分析选项是否正确，综合可得答案．
【解答】
解：根据题意，依次分析选项：
对于A，每人都参加一项考试，则每人有4种安排方法，则5人有种安排方法，A错误；
对于B，每人都参加一项考试，每项考试至少有一人参加，需要先将5人分为4组，再将4组安排到四项考试中，有 种安排方法，B正确；
对于C，分2步分析：需要先将5人分为3组，有种分组方法，将分好的三组安排参加数学、物理、化学考试，有 种情况，
则有 种安排方法，C错误；
对于D，每人都安排一项考试，每项考试至少有一人参加，甲、乙不参加数学考试但能参加其他三项考试，丙、丁、戊四项考试都能参加，
分2种情况讨论：①从丙，丁，戊中选出2人参加数学考试，②从丙，丁，戊中选出1人参加数学考试，则有种安排方法，D正确；
故选：
11.【答案】BC
【解析】
【分析】
本题考查了排列组合及简单计数问题，重点考查了乘法原理，属于基础题．
由排列组合及简单计数问题，结合乘法原理求解即可．
【解答】
解：对于选项A、他随机地选择一条沿街的最短路径，从M处到达N处，需要七步，其中四步向右，三步向上，所以共有种走法，故选项A错误;
对于选项B、由选项A的分析知，选项B正确;
对于选项C、他从M处到达A，有种走法，再从A处到达N，有种走法，
根据分步乘法计数原理，他从M处经过A处到达N处有种走法，故选项C正确;
对于选项D、由选项C的分析知，选项D错误.
故选：
12.【答案】AC
【解析】
【分析】
本题考查排列组合的综合应用以及至多至少问题，属于中档题.
根据题意逐项进行判断可得结果.
【解答】
解：由题意可得，从50件产品中任取两件产品，恰好取到一件次品，表示抽到一件次品，1件正品，有不同取法，故A正确；
至少取到1件次品包括两种情况：只抽到一件次品和抽到两件次品，所以共种取法，故B不正确；
两名顾客恰好一人买到一件次品一人买到一件正品，表示抽到一件次品，一件正品，进行排列，有不同取法，故C正确；
把取出的产品送到检验机构检查能检验出有次品，即至少取到1件次品，有不同种方式，故D不正确.
故选：
13.【答案】90
【解析】
【分析】
本题考查组合问题，注意用间接法分析．
根据题意，先计算从A医院某科室的6名男医生和4名女医生中分别选派3名男医生和2名女医生的取法数目，再排除其中没有主任医师参加的取法，由此分析可得答案．
【解答】
解：根据题意，从A医院某科室的6名男医生和4名女医生中分别选派3名男医生和2名女医生，有种取法，
若其中没有主任医师参加，即从不是主任医师的5名男医生中选出3名男医生，从不是主任医师的3名女医生中选出2名女医生，
其取法有种，
则至少有一名主任医师参加的取法有种，
故答案为：
14.【答案】61
【解析】
【分析】
本题主要考查二项式定理的应用，关键是根据要求的结果，属于基础题．
在所给的式子中，令可得，令可得，再由此求得的值．
【解答】
解：令，则，
则，
令，则，所以，
则
故答案为
15.【答案】36
【解析】
【分析】
本题考查计数原理以及排列组合的应用，属于基础题．
解题时先选后排，先将4名同学分成三组，一组两人，其余两组各一人，再将3组分到3个小区，即可得到答案.
【解答】
解：由题意，先将4名同学分成三组，一组两人，其余两组各一人，
再将3组分到3个小区，可得不同的安排方法有：
故答案为：
16.【答案】576
【解析】
【分析】
本题主要考查计数原理的应用，属于中档题.
第五次抽到一件次品有种情况，前四次有三次是次品，一次是正品共有种可能，前4次测试中的顺序有种可能，由分步计数原理可得.
【解答】
解：对四件次品编序为1，2，3，4，
第五次抽到其中任一件次品有种情况，
前四次有三次是次品，一次是正品共有种可能，
前4次测试中的顺序有种可能，
所以由分步计数原理可得，共有种可能.
故答案为
17.【答案】解：从1到7的7个数字中取两个偶数和三个奇数组成没有重复数字的五位数共有种选法，
要使组成的五位数为偶数，
则偶数在末尾，五位偶数共有个．
五位数中，偶数排在一起的有个．
两个偶数不相邻且三个奇数也不相邻的五位数有个．
【解析】本题主要考查了数字的排列组合问题，相邻问题用捆绑，不相邻用插空，属于中档题．
根据先取后排的原则，从1到7的七个数字中取两个偶数和三个奇数，将末尾排偶数，再将剩余的四个数全排列即可；
利用捆绑法把两个偶数捆绑在一起，再和另外三个奇数进行全排列；
利用插空法，先排两个偶数，再从两个偶数形成的3个间隔中，插入三个奇数，问题得以解决.
18.【答案】解：当甲在最左端时，有种排法；当甲不在最左端时，乙必须在最左端，且甲也不在最右端，有种排法，
共计种排法．
分3步进行：
①、产品A与产品B相邻，将AB看成一个整体，考虑AB之间的顺序，有种情况，
②、将AB与剩余的2件产品全排列，有种情况，
③、产品A与产品C不相邻，C有3个空位可选，即有3种情况，
由分步计数原理所求结果共有种．
四个不同的小球放入编号为1，2，3，4的四个盒子中，恰有一个空盒，说明恰有一个盒子中有2个小球，
从4个小球中选两个作为一个元素，同另外两个元素在三个位置全排列，
故共有种不同的放法．
【解析】本题主要考查了排列组合以及简单计数问题，属于中档题．
分两类：甲在最左端和甲不在最左端也不在最右端，根据排列公式求解即可；
对A，B捆绑内部排，再把AB看成一个整体和剩下的两件进行全排，把C插到三个空位里即可求解；
先选2个球组成一组，剩下的两个球各自成一组，再从4个盒子中选3个盒子放三组球全排即可．
19.【答案】解：令，则，
令，则
①
②展开式中，、、、都大于零，而、、、都小于零，
，
令，则
所以
的展开式中第项为，
①当时，所以展示式中的第3项为
②或3时，二项式系数最大，
时，由知，
时，
【解析】本题考查了二项展开式的特定项与特定项的系数和二项式定理的应用，是中档题.
①运用赋值法，令，求得，令，求得，由此可求得答案.
②由二项式的展开式判断、、、都大于零，而、、、都小于零，令，可求得答案；
先求出展开式的通项公式，①令时，求展示式中的第3项；
②令或3时，求得二项式系数最大项．
20.【答案】解：可以分三步完成：先选下午的志愿者，有种选法;再选上午的志愿者，有种
选法;最后选晚上的志愿者，因为可以与上午的重复，所以有种选法.因此，共有
种选法.
当志愿者全部是男生时，非志愿者中的男生人数最少，剩有3名，则从班上的非志愿者
中选一名男生替代，至少有种选法.
因为三个组的志愿者都不能重复，
所以共有种选法，
其中不含男生有种选法，
不含女生有种选法，
所以三个组的志愿者都不能重复，且都要有男生和女生，
共有种选法.
【解析】本题主要通过计数原理和排列组合的应用评价学生对计数原理、排列和组合的理解程度，以及分类讨论的思想方法进行数学建模的能力，属于较难题.
21.【答案】解：若男甲和女乙同时被选中，剩下的2人从8人中任选2人即可，即有种；
至少两名男航天员，可以分为2名，3名，4名男航天员三类，
利用分类计数原理可得种；
先选4名航天员，然后把这4名航天员可以分2，1，1一组，
再分配到A、B、C三个实验室去，共有种．
【解析】本题主要考查分类和分布计数原理，以及分组分配问题，关键是如何分组，属于中档题．
若男甲和女乙同时被选中，剩下的2人从8人中任选2人即可；
至少两名男航天员，可以分为2名，3名，4名三类，利用分类计数原理可得；
先选4名航天员，然后把这4名航天员可以分2，1，1一组，再分配到A、B、C三个实验室去，问题得以解决．
22.【答案】解：甲、乙两人共付费6元，则其中一人不超过3站，另外一人超过3站但不超过7站，
则甲、乙下地铁的方案共有种；
甲、乙两人共付费8元，又因为甲比乙先下地铁，故分以下两种情况
①甲不超过3站下车，乙超过7站不超过12站下车，共有种，
②甲乙都在超过3站不超过7站下车，且甲在乙前共有种，
故有种．
【解析】本题考查了分类和分步计数原理，排列组合的简单应用，属于中档题．
先根据共付费6元得一人付2元一人付4元，再确定人与乘坐站数，可得结果；
先根据共付费8元得一人付2元一人付6元或两人都付4元，再求甲比乙先下地铁的方案数，可得结果.
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1. 即将毕业，4名同学与数学老师共5人站成一排照相，要求数学老师站中间，则不同的站法种数是( )
A. 120 B. 96 C. 36 D. 24
2. 第十三届冬残奥会于2022年3月4日至3月13日在北京举行.现从4名男生，2名女生中选3人分别担任冬季两项、单板滑雪、轮椅冰壶志愿者，且至多有1名女生被选中，则不同的选择方案共有.( )
A. 72种 B. 84种 C. 96种 D. 124种
3. 有10台不同的电视机，其中甲型3台，乙型3台，丙型4台．现从中任意取出3台，若其中至少含有两种不同的型号，则不同的取法共有( )
A. 96种 B. 108种 C. 114种 D. 118种
4. 现从6名学生干部中选出3名同学分别参加全校资源、生态和环保3个夏令营活动，则不同的选派方案的种数是( )
A. 20 B. 90 C. 120 D. 240
5. 甲、乙、丙、丁、戊共5名同学进行劳动技术比赛，决出第1名到第5名的名次，已知甲和乙都没有得到冠军，并且乙不是第5名，则这5个人的名次排列情况共有( )
A. 72种 B. 54种 C. 36种 D. 27种
6. 山东省高考改革后实施选科走班制度，小明需要从物理、化学、生物、政治、历史、地理中选择三科作为自己的选科组合，物理和历史不能同时选择，则小明不同的选科情况有( )
A. 14种 B. 16种 C. 18种 D. 20种
7. 2022年2月4日，中国北京第24届奥林匹克冬季运动会开幕式以二十四节气的方式开始倒计时创意新颖，惊艳了全球观众.衡阳市某中学为了弘扬我国二十四节气文化，特制作出“立春”、“惊蛰”、“清明”、“立夏”、“芒种”、“小暑”六张知识展板分别放置在六个并排的文化橱窗里，要求“立春”和“惊蛰”两块展板相邻，且“清明”与“惊蛰”两块展板不相邻，则不同的放置方式有多少种 ( )
A. 192 B. 240 C. 120 D. 288
8. 现有语文、数学、外语、物理、化学、生物各一本，均分给3个人，其中数学和物理不分给同一个人，则不同的分配方法有( )
A. 36 B. 54 C. 72 D. 84
9. 已知的展开式中第5项与第7项的二项式系数相等，且展开式的各项系数之和为1024，则下列说法正确的是( )
A. 展开式中存在常数项 B. 展开式中第6项的系数最大
C. 展开式中奇数项的二项式系数和为256 D. 展开式中含项的系数为45
10. 现安排甲、乙、丙、丁、戊5名同学参加数学、物理、化学、生物四个学科的竞赛考试，以下说法正确的是( )
A. 每人都参加一项考试的不同方法数为
B. 每人都参加一项考试，每项考试至少有一人参加，则不同的方法数为
C. 如果生物考试没人参加，其余三个学科至少安排一人，则这5名同学全部被安排的不同方法数为
D. 每人都安排一项考试，每项考试至少有一人参加，甲、乙不参加数学考试但能参加其他三项考试，丙、丁、戊四项考试都能参加，则不同安排方案的种数是
11. 如图，某城市M，N两地之间有整齐的方格形道路网，某同学从M处沿道路走到N处，他随机地选择一条沿街的最短路径，则下列说法正确的是( )
A. 他从M处到达N处有12种走法
B. 他从M处到达N处有35种走法
C. 他从M处经过A处到达N处有18种走法
D. 他从M处经过A处到达N处有30种走法
12. 在含有件次品的件产品中，任取件，则下列说法正确的是( )
A. 恰好取到一件次品有不同取法
B. 至少取到一件次品有不同取法.
C. 两名顾客恰好一人买到一件次品一人买到一件正品有不同取法.
D. 把取出的产品送到检验机构检查能检验出有次品的有不同种方式.
13. 新冠病毒爆发初期，全国支援武汉的活动中，需要从A医院某科室的6名男医生含一名主任医师 名女医生含一名主任医师中分别选派3名男医生和2名女医生，要求至少有一名主任医师参加，则不同的选派方案共有__________种用数字作答
14. 若，则__________.
15. 4名同学到3个小区参加垃圾分类宣传活动，每名同学只去1个小区，每个小区至少安排1名同学，则不同的安排方法共有________种．
16. 某种产品有4件次品和6件正品，每件产品均不相同且可区分，今每次取出一件来测试，直到这4件次品全测出为止，则最后一件次品恰好在第五次测试时被发现，则不同情况种数是__________用数字作答
17. 从1到7的7个数字中取两个偶数和三个奇数组成没有重复数字的五位数．试问：
能组成多少个不同的五位偶数？
五位数中，两个偶数排在一起的有几个？
两个偶数不相邻且三个奇数也不相邻的五位数有几个？所有结果用数值表示
18. 六个人从左至右排成一行，最左端只能排甲或乙，最右端不能排甲，则不同的排法共有几种？
把5件不同产品摆成一排，若产品A与产品B相邻，且产品A与产品C不相邻，则不同的摆法有几种？
四个不同的小球放入编号为1，2，3，4的四个盒子中，恰有一个空盒，共有多少种放法？
注：最后结果需用数字作答
19. 已知
求：①；
②；
在的展开式中，求：
①展示式中的第3项；
②展开式中二项式系数最大的项.
20. 为了迎接到校访问的同学，需要分上午、下午和晚上三个组各安排5名本校学生作为志愿者负责接待，并要求下午组的志愿者不能与上午组、晚上组的重复．某班共有40名学生，其中22名女生和18名男生，现准备从中选择志愿者．
共有多少种选法？
如果下午组中有一名男生请假，需要从班上的非志愿者中选一名男生替代，那么至少有多少种选法？
如果三个组的志愿者都不能重复，且都要有男生和女生，那么共有多少种选法？
21. 为了某次的航天飞行，现准备从10名预备队员其中男6人，女4人中选4人参加航天任务．
若男甲和女乙同时被选中，共有多少种选法？
若至少两名男航天员参加此次航天任务，问共有几种选法？
若选四个航天员分配到A、B、C三个实验室去，其中每个实验室至少一个航天员，共有多少种选派法？
22. 某城市地铁公司为鼓励人们绿色出行，决定按照乘客经过地铁站的数量实施分段优惠政策，不超过12站的地铁票价如下表：
乘坐站数
票价元 2 4 6
现有甲、乙两位乘客同时从起点乘坐同一辆地铁，已知他们乘坐地铁都不超过12站，且他们各自在每个站下地铁的可能性是相同的．
若甲、乙两人共付费6元．则甲、乙下地铁的方案共有多少种？
若甲、乙两人共付费8元，则甲比乙先下地铁的方案共有多少种？
答案和解析
1.【答案】D
【解析】
【分析】
本题考查分步计数原理的应用，排列与排列数，注意优先分析受到限制的元素．属于基础题.
根据题意，分2步进行分析：①分析易得数学老师的站法，②将剩下的4人全排列，安排在剩下的4个位置，由分步计数原理计算可得答案．
【解答】
解：根据题意，分2步进行分析：
①，要求数学老师站中间，则数学老师的站法有1种，
②，将剩下的4人全排列，安排在剩下的4个位置，有种排法，
则不同的站法种数有种；
故答案为：
2.【答案】C
【解析】
【分析】
本题考查了排列组合的应用，分类讨论的方法，考查了推理能力与计算能力，属于基础题.
先分有一名女生和没有女生两种情况选出志愿者，然后再排列.
【解答】
解：第一步，选出的志愿者中没有女生共种，只有一名女生共种；
第二步，将三名志愿者分配到三项比赛中共有种.
所以，不同的选择方案共有种.
故选：
3.【答案】C
【解析】
【分析】
本题主要考查了组合的应用.
根据题意，先求出从10台不同的电视机中任意取出3台的取法，然后求取出的3台电视机只包含一种型号的取法，相减即可得到答案.
【解答】
解：从10台不同的电视机中任意取出3台，共有种取法，
若取出的3台电视机只包含一种型号，共有种取法，
则取出的3台电视机至少含有两种不同的型号共有种取法，
故选
4.【答案】C
【解析】
【分析】
本题考查排列问题，属基础题.
根据排列可求不同的选派方案的种数.
【解答】
解：共有种不同的选派方案．
故选：
5.【答案】B
【解析】
【分析】
本题考查排列的应用，涉及分步计数原理的应用，属于基础题.
根据题意，分两种情况讨论：①、甲是最后一名，则乙可以为第二、三、四名，剩下的三人安排在其他三个名次，②、甲不是最后一名，甲乙需要排在第二、三、四名，剩下的三人安排在其他三个名次，由加法原理计算可得答案.
【解答】
解：根据题意，甲乙都没有得到冠军，而乙不是最后一名，
分两种情况讨论：
①、甲是最后一名，则乙可以为第二、三、四名，即乙有3种情况，
剩下的三人安排在其他三个名次，有种情况，
此时有种名次排列情况;
②、甲不是最后一名，甲乙需要排在第二、三、四名，有种情况，
剩下的三人安排在其他三个名次，有种情况，
此时有种名次排列情况;
则一共有种不同的名次排列情况.
故选
6.【答案】B
【解析】
【分析】
本题主要考查的是组合数的应用，属于基础题.
根据题意，可分为三类：若物理和历史同时不选若选物理，不选历史若不选物理，选历史；结合分类加法计数原理即可求解.
【解答】
解：由题意，从物理、化学、生物、政治、历史、地理中选择三科作为自己的选科组合，
且物理和历史不能同时选择，可分为三类：
若物理和历史同时不选，共有种选法;
若选物理，不选历史，共有种选法;
若不选物理，选历史，共有种选法;
由分类加法计数原理，可得不同的选科情况共有种.
故选：
7.【答案】A
【解析】
【分析】
本题主要考查排列组合，属一般题.
先考虑特殊位置，进而求解即可.
【解答】
解;当惊蛰在两边有2种，此时立春与其相邻，另外4个任意排列有，则共有种
当惊蛰不在两边有4种，立春可在惊蛰的左边或者右边有2种，此时清明不能与惊蛰相邻，可从另外3个任选1个有3种，剩下的3种任意排列有种，则共有种
故共有种.
8.【答案】C
【解析】
【分析】
本题考查排列组合的应用，属于中档题.
先计算将6本书平均分给三人，再计算数学物理作为一组分配给一个人的分法，利用间接法即可求解.
【解答】
解：根据题意，先计算将6本书平均分给三人的情况数目，分2步分析：
①将6本书分成3组，有种分组方法；
②将分好的三组全排列，对应三人，有种情况，则将6本书平均分给三人，有种分配方法.
再计算其中数学和物理分给同一个人的情况，分2步分析：
①将除数学和物理之外的4本书，分成2组，有种分组方法，
②将数学和物理作为1组，和其他2组一起全排列，对应三人，有种情况，则数学和物理分给同一个人的分配方法有种分派方法.
则数学和物理不分给同一个人的分配方法有种；
故选C
9.【答案】ABD
【解析】
【分析】
本题考查二项展开式的特定项和特定项的系数，以及二项展开式中二项式系数的性质的应用，属于中档题.
根据的展开式中第5项与第7项的二项式系数相等，得到，再结合展开式的各项系数之和为1024求出a的值，利用二项展开式的通项公式结合二项式系数的性质逐项判断即可.
【解答】
解：因为的展开式中第5项与第7项的二项式系数相等，
所以，得，故给定的二项式为，
故展开式的通项公式为，
令，解得，即常数项为第9项，故A正确；
因为展开式中各项系数之和为1024，所以令，得，解得，
所以展开式的项的系数与对应的二项式系数相等，故展开式中第6项的系数最大，B正确；
展开式中奇数项的二项式系数和为，故C错；
令得，故展开式中含项的系数为，故D正确.
故选
10.【答案】BD
【解析】
【分析】
本题考查排列组合的应用，涉及分步计数原理的应用，属于中档题．
根据题意，依次分析选项是否正确，综合可得答案．
【解答】
解：根据题意，依次分析选项：
对于A，每人都参加一项考试，则每人有4种安排方法，则5人有种安排方法，A错误；
对于B，每人都参加一项考试，每项考试至少有一人参加，需要先将5人分为4组，再将4组安排到四项考试中，有 种安排方法，B正确；
对于C，分2步分析：需要先将5人分为3组，有种分组方法，将分好的三组安排参加数学、物理、化学考试，有 种情况，
则有 种安排方法，C错误；
对于D，每人都安排一项考试，每项考试至少有一人参加，甲、乙不参加数学考试但能参加其他三项考试，丙、丁、戊四项考试都能参加，
分2种情况讨论：①从丙，丁，戊中选出2人参加数学考试，②从丙，丁，戊中选出1人参加数学考试，则有种安排方法，D正确；
故选：
11.【答案】BC
【解析】
【分析】
本题考查了排列组合及简单计数问题，重点考查了乘法原理，属于基础题．
由排列组合及简单计数问题，结合乘法原理求解即可．
【解答】
解：对于选项A、他随机地选择一条沿街的最短路径，从M处到达N处，需要七步，其中四步向右，三步向上，所以共有种走法，故选项A错误;
对于选项B、由选项A的分析知，选项B正确;
对于选项C、他从M处到达A，有种走法，再从A处到达N，有种走法，
根据分步乘法计数原理，他从M处经过A处到达N处有种走法，故选项C正确;
对于选项D、由选项C的分析知，选项D错误.
故选：
12.【答案】AC
【解析】
【分析】
本题考查排列组合的综合应用以及至多至少问题，属于中档题.
根据题意逐项进行判断可得结果.
【解答】
解：由题意可得，从50件产品中任取两件产品，恰好取到一件次品，表示抽到一件次品，1件正品，有不同取法，故A正确；
至少取到1件次品包括两种情况：只抽到一件次品和抽到两件次品，所以共种取法，故B不正确；
两名顾客恰好一人买到一件次品一人买到一件正品，表示抽到一件次品，一件正品，进行排列，有不同取法，故C正确；
把取出的产品送到检验机构检查能检验出有次品，即至少取到1件次品，有不同种方式，故D不正确.
故选：
13.【答案】90
【解析】
【分析】
本题考查组合问题，注意用间接法分析．
根据题意，先计算从A医院某科室的6名男医生和4名女医生中分别选派3名男医生和2名女医生的取法数目，再排除其中没有主任医师参加的取法，由此分析可得答案．
【解答】
解：根据题意，从A医院某科室的6名男医生和4名女医生中分别选派3名男医生和2名女医生，有种取法，
若其中没有主任医师参加，即从不是主任医师的5名男医生中选出3名男医生，从不是主任医师的3名女医生中选出2名女医生，
其取法有种，
则至少有一名主任医师参加的取法有种，
故答案为：
14.【答案】61
【解析】
【分析】
本题主要考查二项式定理的应用，关键是根据要求的结果，属于基础题．
在所给的式子中，令可得，令可得，再由此求得的值．
【解答】
解：令，则，
则，
令，则，所以，
则
故答案为
15.【答案】36
【解析】
【分析】
本题考查计数原理以及排列组合的应用，属于基础题．
解题时先选后排，先将4名同学分成三组，一组两人，其余两组各一人，再将3组分到3个小区，即可得到答案.
【解答】
解：由题意，先将4名同学分成三组，一组两人，其余两组各一人，
再将3组分到3个小区，可得不同的安排方法有：
故答案为：
16.【答案】576
【解析】
【分析】
本题主要考查计数原理的应用，属于中档题.
第五次抽到一件次品有种情况，前四次有三次是次品，一次是正品共有种可能，前4次测试中的顺序有种可能，由分步计数原理可得.
【解答】
解：对四件次品编序为1，2，3，4，
第五次抽到其中任一件次品有种情况，
前四次有三次是次品，一次是正品共有种可能，
前4次测试中的顺序有种可能，
所以由分步计数原理可得，共有种可能.
故答案为
17.【答案】解：从1到7的7个数字中取两个偶数和三个奇数组成没有重复数字的五位数共有种选法，
要使组成的五位数为偶数，
则偶数在末尾，五位偶数共有个．
五位数中，偶数排在一起的有个．
两个偶数不相邻且三个奇数也不相邻的五位数有个．
【解析】本题主要考查了数字的排列组合问题，相邻问题用捆绑，不相邻用插空，属于中档题．
根据先取后排的原则，从1到7的七个数字中取两个偶数和三个奇数，将末尾排偶数，再将剩余的四个数全排列即可；
利用捆绑法把两个偶数捆绑在一起，再和另外三个奇数进行全排列；
利用插空法，先排两个偶数，再从两个偶数形成的3个间隔中，插入三个奇数，问题得以解决.
18.【答案】解：当甲在最左端时，有种排法；当甲不在最左端时，乙必须在最左端，且甲也不在最右端，有种排法，
共计种排法．
分3步进行：
①、产品A与产品B相邻，将AB看成一个整体，考虑AB之间的顺序，有种情况，
②、将AB与剩余的2件产品全排列，有种情况，
③、产品A与产品C不相邻，C有3个空位可选，即有3种情况，
由分步计数原理所求结果共有种．
四个不同的小球放入编号为1，2，3，4的四个盒子中，恰有一个空盒，说明恰有一个盒子中有2个小球，
从4个小球中选两个作为一个元素，同另外两个元素在三个位置全排列，
故共有种不同的放法．
【解析】本题主要考查了排列组合以及简单计数问题，属于中档题．
分两类：甲在最左端和甲不在最左端也不在最右端，根据排列公式求解即可；
对A，B捆绑内部排，再把AB看成一个整体和剩下的两件进行全排，把C插到三个空位里即可求解；
先选2个球组成一组，剩下的两个球各自成一组，再从4个盒子中选3个盒子放三组球全排即可．
19.【答案】解：令，则，
令，则
①
②展开式中，、、、都大于零，而、、、都小于零，
，
令，则
所以
的展开式中第项为，
①当时，所以展示式中的第3项为
②或3时，二项式系数最大，
时，由知，
时，
【解析】本题考查了二项展开式的特定项与特定项的系数和二项式定理的应用，是中档题.
①运用赋值法，令，求得，令，求得，由此可求得答案.
②由二项式的展开式判断、、、都大于零，而、、、都小于零，令，可求得答案；
先求出展开式的通项公式，①令时，求展示式中的第3项；
②令或3时，求得二项式系数最大项．
20.【答案】解：可以分三步完成：先选下午的志愿者，有种选法;再选上午的志愿者，有种
选法;最后选晚上的志愿者，因为可以与上午的重复，所以有种选法.因此，共有
种选法.
当志愿者全部是男生时，非志愿者中的男生人数最少，剩有3名，则从班上的非志愿者
中选一名男生替代，至少有种选法.
因为三个组的志愿者都不能重复，
所以共有种选法，
其中不含男生有种选法，
不含女生有种选法，
所以三个组的志愿者都不能重复，且都要有男生和女生，
共有种选法.
【解析】本题主要通过计数原理和排列组合的应用评价学生对计数原理、排列和组合的理解程度，以及分类讨论的思想方法进行数学建模的能力，属于较难题.
21.【答案】解：若男甲和女乙同时被选中，剩下的2人从8人中任选2人即可，即有种；
至少两名男航天员，可以分为2名，3名，4名男航天员三类，
利用分类计数原理可得种；
先选4名航天员，然后把这4名航天员可以分2，1，1一组，
再分配到A、B、C三个实验室去，共有种．
【解析】本题主要考查分类和分布计数原理，以及分组分配问题，关键是如何分组，属于中档题．
若男甲和女乙同时被选中，剩下的2人从8人中任选2人即可；
至少两名男航天员，可以分为2名，3名，4名三类，利用分类计数原理可得；
先选4名航天员，然后把这4名航天员可以分2，1，1一组，再分配到A、B、C三个实验室去，问题得以解决．
22.【答案】解：甲、乙两人共付费6元，则其中一人不超过3站，另外一人超过3站但不超过7站，
则甲、乙下地铁的方案共有种；
甲、乙两人共付费8元，又因为甲比乙先下地铁，故分以下两种情况
①甲不超过3站下车，乙超过7站不超过12站下车，共有种，
②甲乙都在超过3站不超过7站下车，且甲在乙前共有种，
故有种．
【解析】本题考查了分类和分步计数原理，排列组合的简单应用，属于中档题．
先根据共付费6元得一人付2元一人付4元，再确定人与乘坐站数，可得结果；
先根据共付费8元得一人付2元一人付6元或两人都付4元，再求甲比乙先下地铁的方案数，可得结果.
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